金版学案2016秋数学必修5课件：第三章3.1第2课时不等式的性质与应用
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高中数学新人教B版必修5课件：第三章不等式3.1.2不等式的性质(1)
> ≥10%.
所以,同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件变
好了.
目标导航
题型一
题型二
题型三
题型四
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
题型五
+
反思一般地,设a,b为正实数,且a<b,m>0,则 + > .利用这个不等
式,可以解释很多现象,比如b g糖水中有a g糖(b>a>0),若再添上m g
糖(m>0,且未到达饱和状态),则糖水变甜了.再比如芭蕾舞演员跳芭
蕾时总是踮起脚尖,这是为什么呢?这是因为踮起脚尖改变了演员
下半身与整个身高的比值,使这个比值接近于黄金分割比0.618,从
而带给观众更美的享受.
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
改为 “
3
>
3
” ,其他条件不变,应该怎样证明?
1
1
1
1
3
证明:∵a>b>0,∴0< < ,即 > >0.
又 c>d>0,∴ > >0,∴
3
c
b
>
.
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
不等式的性质PPT教学课件
例题解析
【解析】氢氧化钠（NaOH），俗称烧碱、火碱、 苛性钠，常温下是一种白色晶体，具有强腐蚀 性．易吸收空气中的水分易潮解可用作干燥剂和易 与空气中二氧化碳反应生成碳酸钠故密封干燥保 存．易溶于水，其水溶液呈强碱性，能使酚酞变红； 使紫色石蕊试液变蓝．由以上所知道的内容可判断 选项A、C、D错误。 故选B。
知识回顾
知识点2 稀酸的化学性质 1.酸与指示剂的反应
稀盐酸 稀硫酸
紫色石蕊溶液 变红色 变红色
2.酸与较活泼金属的反应
无色酚酞溶液 不变色 不变色
实验内容
现象
将镁、锌、 有气泡产生， 铁铝分别与 反应速率：镁 稀盐酸反应 ＞铝＞锌＞铁
化学方程式 ①Zn + 2HCl === ZnCl2 + H2↑ ②Mg + 2HCl === MgCl2 + H2↑ ③2Al + 6HCl === 2AlCl3 + 3H2↑ ④Fe + 2HCl === FeCl2 + H2↑
常见 的酸 和碱
稀酸的化 学性质
常见的碱
酸与较活泼金属反应 酸与金属氧化物的反应 酸与盐的反应
常见碱的物理性质及用途
碱溶液的 碱与非金属氧化物的反应 化学性质 碱与盐的反应
知识网络
知识回顾
知识点1 常见的酸 硫酸、盐酸、硝酸的物理性质及用途
酸 化学式
物理性质
主要用途
硫 酸 H2SO4 盐 酸 HCl 硝 酸 HNO3
【变式题】盐酸或稀硫酸常用作金属表面的清洁剂是 利用了它们化学性质中的（ C ）
A 、能与碱反应 B 、能与金属反应 C 、能与某些金属氧化物反应 D 、能与紫色石蕊试液反应
例题解析
【解析】氢氧化钠（NaOH），俗称烧碱、火碱、 苛性钠，常温下是一种白色晶体，具有强腐蚀 性．易吸收空气中的水分易潮解可用作干燥剂和易 与空气中二氧化碳反应生成碳酸钠故密封干燥保 存．易溶于水，其水溶液呈强碱性，能使酚酞变红； 使紫色石蕊试液变蓝．由以上所知道的内容可判断 选项A、C、D错误。 故选B。
知识回顾
知识点2 稀酸的化学性质 1.酸与指示剂的反应
稀盐酸 稀硫酸
紫色石蕊溶液 变红色 变红色
2.酸与较活泼金属的反应
无色酚酞溶液 不变色 不变色
实验内容
现象
将镁、锌、 有气泡产生， 铁铝分别与 反应速率：镁 稀盐酸反应 ＞铝＞锌＞铁
化学方程式 ①Zn + 2HCl === ZnCl2 + H2↑ ②Mg + 2HCl === MgCl2 + H2↑ ③2Al + 6HCl === 2AlCl3 + 3H2↑ ④Fe + 2HCl === FeCl2 + H2↑
常见 的酸 和碱
稀酸的化 学性质
常见的碱
酸与较活泼金属反应 酸与金属氧化物的反应 酸与盐的反应
常见碱的物理性质及用途
碱溶液的 碱与非金属氧化物的反应 化学性质 碱与盐的反应
知识网络
知识回顾
知识点1 常见的酸 硫酸、盐酸、硝酸的物理性质及用途
酸 化学式
物理性质
主要用途
硫 酸 H2SO4 盐 酸 HCl 硝 酸 HNO3
【变式题】盐酸或稀硫酸常用作金属表面的清洁剂是 利用了它们化学性质中的（ C ）
A 、能与碱反应 B 、能与金属反应 C 、能与某些金属氧化物反应 D 、能与紫色石蕊试液反应
例题解析
高中数学人教A版必修5课件：3.1.2 不等式的性质
1 1
1
1
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
比较大小
【例1】 (1)比较下列两个代数式的大小:x2+3与3x; (2)已知a,b均为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 分析:我们知道,a-b>0⇔a>b,a-b<0⇔a<b,因此,若要比较两个代 数式的大小,只需作差,并与0作比较即可. 解:(1)(x2+3)-3x=x2-3x+3
当且仅当 x=y= 2 , 且z=1 时取等号.
1
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
不等式性质的应用
【例2】 对于实数a,b,c,给出下列命题: ①若a>b,则ac2>bc2; ②若a<b<0,则a2>ab>b2; ③若a>b,则a2>b2;
④若 a<b<0,则 ������ > ������.
其中,正确命题的序号是 .
1 解析:∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴ -������ ������ ������ ������ ������ 又∵a>b>0,∴ > , ∴ < . ������ ������ -������ -�
> 0.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型四
题型三
证明不等式
������ ������
=
(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b). ∵a>0,b>0,且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.
1
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题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
比较大小
【例1】 (1)比较下列两个代数式的大小:x2+3与3x; (2)已知a,b均为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 分析:我们知道,a-b>0⇔a>b,a-b<0⇔a<b,因此,若要比较两个代 数式的大小,只需作差,并与0作比较即可. 解:(1)(x2+3)-3x=x2-3x+3
当且仅当 x=y= 2 , 且z=1 时取等号.
1
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
不等式性质的应用
【例2】 对于实数a,b,c,给出下列命题: ①若a>b,则ac2>bc2; ②若a<b<0,则a2>ab>b2; ③若a>b,则a2>b2;
④若 a<b<0,则 ������ > ������.
其中,正确命题的序号是 .
1 解析:∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴ -������ ������ ������ ������ ������ 又∵a>b>0,∴ > , ∴ < . ������ ������ -������ -�
> 0.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型四
题型三
证明不等式
������ ������
=
(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b). ∵a>0,b>0,且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.
人教B版高中数学必修五3.1.2不等式的性质上课课件
难点
不等;4与4+4，那 么反过来呢？
2、桌子上有一个盘放着五个苹果，另 一个盘放着八根香蕉，问那一个多？反 过来呢？
由以上的两个例子可以得出一下结论
性质1 如果a>b那么b<a;如果b<a,那么a>b.
性质1表明，把不等式的左边和右边交换
位置，所得不等式与本来的不等式异同，我
若a>b>0则有
an bn a b 0,bn an 0 (a b)(b n an ) 0
若a=b则有a-b=0
(a b)(b n an ) 0
若0<a<b则有
an bn a b 0 bn an 0
(a b)(b n an ) 0
综上所述时 a, b R ，都有
(3) ∵a＞b，并且-4＜0 ∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3 得 -4a＜-4b
性质4 如果a>b,c>0，则ac>bc;如果 a>b,c<0则ac<bc
推论1 如果a>b>0,则c>d>0,则ac>bd
证明：因为a>b,c>0.所以ac>bc
又因为c>d,b>0所以bc>bd
几个两边都是正数的同向不等式的 两边分别相乘，所得到的不等式与原不 等式同向
例3.将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的 数的大小，用“<”或“>”填空：
7×3_______4×3， 7×2_______4×2， 7×1_______4×1， 7×（－1）_______4×（－1）， 7×（－2）_______4×（－2）， 7×（－3）_______4×（－3），
几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向。
不等;4与4+4，那 么反过来呢？
2、桌子上有一个盘放着五个苹果，另 一个盘放着八根香蕉，问那一个多？反 过来呢？
由以上的两个例子可以得出一下结论
性质1 如果a>b那么b<a;如果b<a,那么a>b.
性质1表明，把不等式的左边和右边交换
位置，所得不等式与本来的不等式异同，我
若a>b>0则有
an bn a b 0,bn an 0 (a b)(b n an ) 0
若a=b则有a-b=0
(a b)(b n an ) 0
若0<a<b则有
an bn a b 0 bn an 0
(a b)(b n an ) 0
综上所述时 a, b R ，都有
(3) ∵a＞b，并且-4＜0 ∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3 得 -4a＜-4b
性质4 如果a>b,c>0，则ac>bc;如果 a>b,c<0则ac<bc
推论1 如果a>b>0,则c>d>0,则ac>bd
证明：因为a>b,c>0.所以ac>bc
又因为c>d,b>0所以bc>bd
几个两边都是正数的同向不等式的 两边分别相乘，所得到的不等式与原不 等式同向
例3.将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的 数的大小，用“<”或“>”填空：
7×3_______4×3， 7×2_______4×2， 7×1_______4×1， 7×（－1）_______4×（－1）， 7×（－2）_______4×（－2）， 7×（－3）_______4×（－3），
几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向。
不等式的基本性质PPT课件
事实上，如果a>b， c>0，因为ac-bc=c(ab)>0，所以ac>bc.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
不等式的性质 课件
1.已知α∈(0， )，β∈( ，π)，则α-2β的范围为 . 2.已知a>b>0，c2<d<0，e<0，2 求证
e e. ac bd
【解题指南】1.先求出-2β的范围，再根据不等式的性质求
α-2β的范围.
2.欲证明 e 因e 为，e<0，所以只需证明
1 1.
如果a-c与ab-cd同b号 d，那么只需证明a-c>b-d. a c b d
【探究总结】 1.不等式性质的注意点 (1)在使用不等式的性质时，一定要弄清它们成立的前提条件， 如a>b⇒ac>bc，只有c>0时该结论才成立，否则不成立. (2)注意不等式的互推性，有些性质是单向的，有些是双向的.
2.应用不等式的性质时应注意的问题 (1)利用不等式的性质证明不等式时要注意不等式的性质成立 的条件，如果不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证 明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行转化. (2)利用不等式的性质求代数式范围时，一是要合理、准确地 使用不等式的性质，二是要注意题设中的条件，特别注意题中 的隐含条件.
a<b，
故①错；
②当c≠0时，由a<b可得ac2<bc2，当c=0时，由a<b得不出
ac2<bc2，故②错；
③因为 1< 1<0，所以a<0，b<0，所以ab>0，所1以 ·ab<
ab
a
1·ab，即a>b，③正确；
b
④因为c>d，所以-c<-d，又a>b，两个不等式的方向不同向， 不能相加，所以a-c>b-d错误； ⑤a=3，b=2，c=-3，d=-4满足条件，但ac>bd不成立，故 ⑤错误. 答案：③
e e. ac bd
【解题指南】1.先求出-2β的范围，再根据不等式的性质求
α-2β的范围.
2.欲证明 e 因e 为，e<0，所以只需证明
1 1.
如果a-c与ab-cd同b号 d，那么只需证明a-c>b-d. a c b d
【探究总结】 1.不等式性质的注意点 (1)在使用不等式的性质时，一定要弄清它们成立的前提条件， 如a>b⇒ac>bc，只有c>0时该结论才成立，否则不成立. (2)注意不等式的互推性，有些性质是单向的，有些是双向的.
2.应用不等式的性质时应注意的问题 (1)利用不等式的性质证明不等式时要注意不等式的性质成立 的条件，如果不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证 明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行转化. (2)利用不等式的性质求代数式范围时，一是要合理、准确地 使用不等式的性质，二是要注意题设中的条件，特别注意题中 的隐含条件.
a<b，
故①错；
②当c≠0时，由a<b可得ac2<bc2，当c=0时，由a<b得不出
ac2<bc2，故②错；
③因为 1< 1<0，所以a<0，b<0，所以ab>0，所1以 ·ab<
ab
a
1·ab，即a>b，③正确；
b
④因为c>d，所以-c<-d，又a>b，两个不等式的方向不同向， 不能相加，所以a-c>b-d错误； ⑤a=3，b=2，c=-3，d=-4满足条件，但ac>bd不成立，故 ⑤错误. 答案：③
高二数学人教A版必修五 第三章 3.1 第2课时 不等式的性质(同步课件1)
又因为cd > 0,所以 1 > 0. cd
所以ac× 1 > bd× 1 > 0，
cd
cd
即 a > b > 0. dc
所以 a > b . dc
第十九页，编辑于星期一：点 五十七分。
1.不等式的基本性质；
2.不等式基本性质的应用.
第二十页，编辑于星期一：点 五十七分。
a > b,c < 0 ac < bc ;(可乘性)
证明如下： 因为ac - bc =(a - b)c, 又因为a > b,所以a - b > 0. 所以当c > 0时，(a - b)c > 0,故ac > bc; 当c < 0时,(a - b)c < 0,故ac < bc.
第六页，编辑于星期一：点 五十七分。
(5) a > b,c > d⇒ a + c > b + d;
（同向不等式的可加性）
(6) a > b > 0,c > d > 0⇒ ac > bd；
(同向不等式的可乘性)
第七页，编辑于星期一：点 五十七分。
(7) a > b > 0⇒ an > bn ,n∈N,n ≥1;
(可乘方性)
(8) a > b > 0⇒ n a > n b,n∈N,n ≥ 2.
b
b
）
∧b≥2,c∧d≤2 B.a∧b≥2,c∨d≥2
C
C.a∨b≥2,c∧d≤2 D.a∨b≥2,c∨d≥2
第十八页，编辑于星期一：点 五十七分。
4. 已知a b 0, c d 0,求证：a b . dc
高中数学必修五《不等式的证明及应用》教案
不等式的证明及应用知识要点：1．不等式证明的基本方法：（1）比较法：a b a b a b a b a b a b ->⇔>-=⇔=-<⇔<⎧⎨⎪⎩⎪000用比较法证明不等式，作差以后因式分解或配方。
（2）综合法：利用题设、不等式的性质和某些已经证明的基本不等式（a 2> 0; | a | > 0; a ≥0; a b ab a b c abc 2233323+≥++≥;等），推论出所要证的不等式。
综合法的思索路线是“由因导果”即从一个（一组）已知的不等式出发，不断地用必要条件来代替前面的不等式，直至推导出所要求证的不等式。
（3）分析法：“执果索因”从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式。
证明不等式通常采用“分析综合法”，即用分析法思考，用综合法表述。
2．不等式证明的其它方法：（1）反证法：理论依据A B B A ⇒⇒与等价。
先否定命题结论，提出假设，由此出发运用已知及已知定理推出矛盾。
根据原命题与逆否命题等价，A B ⇒得证。
（2）放缩法：理论依据 a > b , b > c ⇒ a > c（3）函数单调性法。
3．数（式）大小的比较：（1）作差或作比法（2）媒介法（3）函数单调性法4．不等式在函数中的应用：（1）求函数的定义域（2）求函数的值域（3）研究函数的单调性5．基本不等式法求最值：（1）均值定理求最值：要求各项为正，一边为常数，等号可取。
（2）绝对值不等式||||||||||a b a b a b -≤+≤+的应用。
其中||||||a b a b +≥-取等号的条件是ab < 0且|a | > |b |。
|a+b | < |a | + |b |取等号的条件是ab > 0。
6．方程与不等式解的讨论（1）一元二次方程ax bx c 20++=有严格的顺序性：a b ac ≠-≥0402,,∆x x b a x x c a x b a 1212122+=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=-±及,∆。
人教版高中数学必修五课件3.1 第2课时 不等式的性质3精选ppt课件
cd
所以ac>bd>0.
又因为cd>0，所以 >0.
所以ac· >bd· >0，
即 所以
a b0. dc
a b. dc
a
e
c2
＞e
bd2
.
a b. dc
a
1
c2
＜
b
1
d2
.
【补偿训练】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，
求证： P Q
【证明】因为c＜d＜0，所以-c＞-d＞0.
么方法？ 提示：需要用作商法，先比较 与1的大小关系，再由 不等式的性质得出P与Q的大小关系.
(a )ab， b
【解析】因为a>0，b>0，所以P>0，Q>0，
因为
=aa-b·bb-a= a≠b，
所以当aa>b>0时， P>Q. b
>1，a(-ab)>a 0b ，则
b
>1，于是
当 P>bQ>.a>0时，0<Px2x5， <1，a-b<0，则Qx3x4x2，>1，于是
(4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加， 不等号方向不变，不能相减”. (5)性质6，7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为 正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式.
(6)性质7，8可并为函数y=xn(n>0)在(0，+∞)上递增. (7)性质1，3是单向推导，其他是“双向”推导.
Q
2.(变换条件、改变问法)本例条件改为已知a>0，且
a≠1，
试比较log0.5 与log2 的大小.
【解析】 2 Paa31a21 aa2a1， (1)当a>1时，a (a-1)>0，所以 Q
金版学案2016秋数学人教A版必修5课件：第三章3.4第1课时基本不等式
第三页，编辑于星期日：二十一点 六分。
a＋b 4.熟练掌握基本不等式 ab≤ 2 (a，b∈R)，会用基 本不等式证明不等式．
第四页，编辑于星期日：二十一点 六分。
1．重要不等式 如果 a，b∈R，那么 a2＋b2__≥__2ab(当且仅当_a_＝__b__ 时取“＝”)．
a＋b 2. 基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件：_a_＞_0_，__b_＞__0__． (2)等号成立的条件：当且仅当_a_＝__b___时取等号．
4．基本不等式的常用推论 (1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)； (2)ba＋ab≥__2__ (a，b 同号)； (3)当 ab＞0 时，ba＋ab≥__2_；当 ab＜0 时，ba＋ab≤ __－_2__； (4)a2＋b2＋c2_≥__ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．
所以ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥6， 当且仅当ba＝ab，ac＝ac，bc＝bc， 即 a＝b＝c 时，等号成立，
b＋c c＋a a＋b 所以 a ＋ b ＋ c ≥6.
第三十页，编辑于星期日：二十一点 六分。
[迁移探究] 在本例条件不变的情况下，证明 ab(a＋ b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)≥6abc.
答案：[2，＋∞)
第十四页，编辑于星期日：二十一点 六分。
类型 1 不等式的证明
[典例 1] 已知 a，b，c，d 都是正数，求证(ab＋cd)(ac ＋bd)≥4abcd.
证明：由 a，b，c，d 都是正数，得
ab＋cd
ac＋bd
2 ≥ ab·cd＞0， 2 ≥ ac·bd＞0.
第十五页，编辑于星期日：二十一点 六分。
证明：因为 a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1，
a＋b 4.熟练掌握基本不等式 ab≤ 2 (a，b∈R)，会用基 本不等式证明不等式．
第四页，编辑于星期日：二十一点 六分。
1．重要不等式 如果 a，b∈R，那么 a2＋b2__≥__2ab(当且仅当_a_＝__b__ 时取“＝”)．
a＋b 2. 基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件：_a_＞_0_，__b_＞__0__． (2)等号成立的条件：当且仅当_a_＝__b___时取等号．
4．基本不等式的常用推论 (1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)； (2)ba＋ab≥__2__ (a，b 同号)； (3)当 ab＞0 时，ba＋ab≥__2_；当 ab＜0 时，ba＋ab≤ __－_2__； (4)a2＋b2＋c2_≥__ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．
所以ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥6， 当且仅当ba＝ab，ac＝ac，bc＝bc， 即 a＝b＝c 时，等号成立，
b＋c c＋a a＋b 所以 a ＋ b ＋ c ≥6.
第三十页，编辑于星期日：二十一点 六分。
[迁移探究] 在本例条件不变的情况下，证明 ab(a＋ b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)≥6abc.
答案：[2，＋∞)
第十四页，编辑于星期日：二十一点 六分。
类型 1 不等式的证明
[典例 1] 已知 a，b，c，d 都是正数，求证(ab＋cd)(ac ＋bd)≥4abcd.
证明：由 a，b，c，d 都是正数，得
ab＋cd
ac＋bd
2 ≥ ab·cd＞0， 2 ≥ ac·bd＞0.
第十五页，编辑于星期日：二十一点 六分。
证明：因为 a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1，
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题的是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 B．若 a＞b＞0，则1a＞1b C．若 a＜b＜0，则ba＞ab D．若 a＞b，1a＞1b，则 a＞0，b＜0
解析：法一：因为 c2≥0，所以 c＝0 时，有 ac2＝bc2，
故 A 为假命题；
由 a＞b＞0，有 ab＞0⇒aab＞abb⇒1b＞1a，
错． 取 a＝2，b＝1，则1a＝12·1b＝1， 有1a＜1b，故 B 错． 取 a＝－2，b＝－1， 则ba＝12，ab＝2，有ba＜ab，故 C 错． 答案：D
类型 2 利用不等式的性质比较两数式的大小
[典例 2] 已知 a，b，x，y 均为正实数，且1a＞1b，x
＞y，试判断x＋x a与y＋y b的大小关系．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是( ) A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1 C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1
答案：A
3．若1a＜1b＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②|a| ＞|b|；③a＜b 中，正确的不等式有( )
第三章 不等式
3. 1 不等关系与不等式 第 2 课时 不等式的性质与
应用
[学习目标] 1.用不等式的基本性质比较代数式的大 小． 2.用不等式的基本性质证明简单的不等式． 3.用 不等式的基本性质讨论式子的取值范围.
[知识提炼·梳理]
不等式的性质
性质 1：如果 a＞，那么 b_＜___a；如果 b＜a，那么 a＞b，即 a＞b⇔b b_＜___a.
4. 已知 x＜1，则 x2＋2 与 3x 的大小关系为________． 解析：(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)，因为 x＜1，所以 x－1＜0，x－2＜0，所以(x－1)(x－2)＞0，所以 x2＋2＞ 3x. 答案：x2＋2＞3x
5．给出的四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a ＞0＞b；④a＞b＞0，能得出1a＜1b成立的是________．
解：因为 x － y ＝ bx－ay ， x＋a y＋b （x＋a）（y＋b）
又1a＞1b且
a＞0，b＞0，
所以 b＞a＞0，又 x＞y＞0，所以 bx＞ay.
即 bx－ay＞0，又 x＋a＞0，y＋b＞0.
所以 bx－ay ＞0，即 x ＞ y .
（x＋a）（y＋b）
x＋a y＋b
归纳升华 比较两数(式)的大小的方法
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 解析：由1a＜1b＜0，得 a＜0，b＜0，故 a＋b＜0 且 ab ＞0，所以 a＋b＜ab，即①正确；由1a＜1b＜0，得1a＞1b， 两边同乘ab，得b＞a，故②错误；
由①②知b＞a，a＜0，b＜0，那么 a＞b，即③错 误，故选 B.
答案：B
归纳升华 运用不等式的性质判断真假的技巧： (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其 是不要想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进 行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条 件；二是取值要简单，便于验证计算．
[变式训练] 对于实数 a，b，c，下列命题中是真命
性质 8：如果 a＞b＞0，那么n a＞n b(n∈N，n≥2)．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 已知 a＞b， (1)1a＜1b.( ) (2)ac2＞bc2(c≠0)．( ) (3)lg(a－b)＞0.( ) (4)a－c＞b－c.( )
解析：(1)取 a＝1，b＝－2 知1a＞1b，(1)错；(2)因为 c≠0， 所以 c2＞0，又 a＞b，所以 ac2＞bc2.(2)对；(3)当 a－b∈(0， 1]时，lg(a－b)≤0.(3)错；(4)因为 a＞b，所以 a＋(－c)＞b ＋(－c)．(4)对．
解析：由1a＜1b，可得1a－1b＜0， 即b－aba＜0.故①②④可推出1a＜1b. 答案： ①②④
类型 1 利用不等式的性质判断命题真假
[典例 1] 判断下列三个命题的真假． (1)若 a＜b＜0，则1a＜1b； (2)若 a＞b，则12a＞12b； (3)若 a＞b＞c，则有 a|c|＞b|c|.
(1)作差法． 作差后通过分解因式、配方等手段，充分利用 a2，|a|， a的 非负性判断差的符号，然后根据以下结论判断大小：若 A－B＞0， 则 A＞B；若 A－B＝0，则 A＝B；若 A－B＜0，则 A＜B.
(2)作商法． 借助不等式的性质 4 可得如下结论： 若 B＞0，AB＞1，则 A＞B；若 B＜0，BA＞1，则 A＜ B. (3)中间量法． 借助不等式的性质 2，即 a＞b，b＞c，则 a＞c，一 般选择 0 或 1 为中间量．
解：(1)因为 a＜b＜0，所以 ab＞0， 所以a1b＞0. 所以 a·a1b＜b·a1b. 所以1b＜1a. 所以(1)是假命题．
(2)因为函数 y＝12x在 R 上是减函数． 又 a＞b，所以12a＜12b. 所以(2)是假命题．
(3)因为 a＞b，|c|≥0，当 c≠0 时，|c|＞0. 所以 a|c|＞b|c|； 当 c＝0 时，|c|＝0，所以 a|c|＝b|c|＝0， 所以(3)是假命题．
性质 2：如果 a＞b，b＞c，那么 a b_＞___c，即 a＞b， b＞c⇒a b_＞___c.
性质 3：如果 a＞b，那么 a＋c_＞___b＋c. 性质 4：如果 a＞b，c＞0，那么 ac c_＞___bc；如果 a＞b， c＜0，那么 ac c_＜___bc. 性质 5：如果 a＞b，c＞d，那么 a＋c c__＞__b＋d. 性质 6：如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac c__＞__bd. 性质 7：如果 a＞b＞0，那么 an c_＞__bn，(n∈N，n≥1)．
故 B 为假命题；
a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－1b＞－1a，
a＜b＜0⇒－a＞－b＞0.
⇒ab＞ba，
故 C 为假命题；
a＞b⇒b－a＜0，
1a＞1b⇒1a－1b＞0⇒b－aba＞0. ⇒ab＜0.
因为 a＞b，所以 a＞0 且 b＜0，故 D 为真命题．
法二：特殊值排除法，取 c＝0，则 ac2＝bc2，故 A
解析：法一：因为 c2≥0，所以 c＝0 时，有 ac2＝bc2，
故 A 为假命题；
由 a＞b＞0，有 ab＞0⇒aab＞abb⇒1b＞1a，
错． 取 a＝2，b＝1，则1a＝12·1b＝1， 有1a＜1b，故 B 错． 取 a＝－2，b＝－1， 则ba＝12，ab＝2，有ba＜ab，故 C 错． 答案：D
类型 2 利用不等式的性质比较两数式的大小
[典例 2] 已知 a，b，x，y 均为正实数，且1a＞1b，x
＞y，试判断x＋x a与y＋y b的大小关系．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是( ) A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1 C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1
答案：A
3．若1a＜1b＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②|a| ＞|b|；③a＜b 中，正确的不等式有( )
第三章 不等式
3. 1 不等关系与不等式 第 2 课时 不等式的性质与
应用
[学习目标] 1.用不等式的基本性质比较代数式的大 小． 2.用不等式的基本性质证明简单的不等式． 3.用 不等式的基本性质讨论式子的取值范围.
[知识提炼·梳理]
不等式的性质
性质 1：如果 a＞，那么 b_＜___a；如果 b＜a，那么 a＞b，即 a＞b⇔b b_＜___a.
4. 已知 x＜1，则 x2＋2 与 3x 的大小关系为________． 解析：(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)，因为 x＜1，所以 x－1＜0，x－2＜0，所以(x－1)(x－2)＞0，所以 x2＋2＞ 3x. 答案：x2＋2＞3x
5．给出的四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a ＞0＞b；④a＞b＞0，能得出1a＜1b成立的是________．
解：因为 x － y ＝ bx－ay ， x＋a y＋b （x＋a）（y＋b）
又1a＞1b且
a＞0，b＞0，
所以 b＞a＞0，又 x＞y＞0，所以 bx＞ay.
即 bx－ay＞0，又 x＋a＞0，y＋b＞0.
所以 bx－ay ＞0，即 x ＞ y .
（x＋a）（y＋b）
x＋a y＋b
归纳升华 比较两数(式)的大小的方法
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 解析：由1a＜1b＜0，得 a＜0，b＜0，故 a＋b＜0 且 ab ＞0，所以 a＋b＜ab，即①正确；由1a＜1b＜0，得1a＞1b， 两边同乘ab，得b＞a，故②错误；
由①②知b＞a，a＜0，b＜0，那么 a＞b，即③错 误，故选 B.
答案：B
归纳升华 运用不等式的性质判断真假的技巧： (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其 是不要想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进 行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条 件；二是取值要简单，便于验证计算．
[变式训练] 对于实数 a，b，c，下列命题中是真命
性质 8：如果 a＞b＞0，那么n a＞n b(n∈N，n≥2)．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 已知 a＞b， (1)1a＜1b.( ) (2)ac2＞bc2(c≠0)．( ) (3)lg(a－b)＞0.( ) (4)a－c＞b－c.( )
解析：(1)取 a＝1，b＝－2 知1a＞1b，(1)错；(2)因为 c≠0， 所以 c2＞0，又 a＞b，所以 ac2＞bc2.(2)对；(3)当 a－b∈(0， 1]时，lg(a－b)≤0.(3)错；(4)因为 a＞b，所以 a＋(－c)＞b ＋(－c)．(4)对．
解析：由1a＜1b，可得1a－1b＜0， 即b－aba＜0.故①②④可推出1a＜1b. 答案： ①②④
类型 1 利用不等式的性质判断命题真假
[典例 1] 判断下列三个命题的真假． (1)若 a＜b＜0，则1a＜1b； (2)若 a＞b，则12a＞12b； (3)若 a＞b＞c，则有 a|c|＞b|c|.
(1)作差法． 作差后通过分解因式、配方等手段，充分利用 a2，|a|， a的 非负性判断差的符号，然后根据以下结论判断大小：若 A－B＞0， 则 A＞B；若 A－B＝0，则 A＝B；若 A－B＜0，则 A＜B.
(2)作商法． 借助不等式的性质 4 可得如下结论： 若 B＞0，AB＞1，则 A＞B；若 B＜0，BA＞1，则 A＜ B. (3)中间量法． 借助不等式的性质 2，即 a＞b，b＞c，则 a＞c，一 般选择 0 或 1 为中间量．
解：(1)因为 a＜b＜0，所以 ab＞0， 所以a1b＞0. 所以 a·a1b＜b·a1b. 所以1b＜1a. 所以(1)是假命题．
(2)因为函数 y＝12x在 R 上是减函数． 又 a＞b，所以12a＜12b. 所以(2)是假命题．
(3)因为 a＞b，|c|≥0，当 c≠0 时，|c|＞0. 所以 a|c|＞b|c|； 当 c＝0 时，|c|＝0，所以 a|c|＝b|c|＝0， 所以(3)是假命题．
性质 2：如果 a＞b，b＞c，那么 a b_＞___c，即 a＞b， b＞c⇒a b_＞___c.
性质 3：如果 a＞b，那么 a＋c_＞___b＋c. 性质 4：如果 a＞b，c＞0，那么 ac c_＞___bc；如果 a＞b， c＜0，那么 ac c_＜___bc. 性质 5：如果 a＞b，c＞d，那么 a＋c c__＞__b＋d. 性质 6：如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac c__＞__bd. 性质 7：如果 a＞b＞0，那么 an c_＞__bn，(n∈N，n≥1)．
故 B 为假命题；
a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－1b＞－1a，
a＜b＜0⇒－a＞－b＞0.
⇒ab＞ba，
故 C 为假命题；
a＞b⇒b－a＜0，
1a＞1b⇒1a－1b＞0⇒b－aba＞0. ⇒ab＜0.
因为 a＞b，所以 a＞0 且 b＜0，故 D 为真命题．
法二：特殊值排除法，取 c＝0，则 ac2＝bc2，故 A