整理高中数学必修五第二章《数列》导学案及章节检测
人教A版高二数学必修五第二章 数列 导学案(含答案,精排版) 2.3 等差数列的前n项和
§2.3 等差数列的前n项和班级： .组名： . 姓名： .时间：年月日【本卷要求】：1.动脑思考2.听懂是骗人的，看懂是骗人的，做出来才是自己的3.该背的背，该理解的理解，该练习的练习，该总结的总结，勿懈怠！4.多做多思，孰能生巧，熟到条件反射，这样一是能见到更多的出题方式，二是能提高做题速度5.循环复习6.每做完一道题都要总结该题涉及的知识点和方法7.做完本卷，总结该章节的知识结构，以及常见题型及做法8.独立限时满分作答9.步骤规范，书写整洁10.明确在学习什么东西，对其中的概念、定律等要追根溯源，弄清来龙去脉才能理解透彻、应用灵活11.先会后熟：一种题型弄懂了，再多做几道同类型的，总结出这种题型的做法，直到条件反射【一分钟德育】是谁这些年来，在茫茫的人海中，是谁最关心你最疼爱你？在你最需要帮助的时候，是谁向你伸出援助之手？在你出门在外的时候，是谁总是牵挂着你惦念着你？是谁总是盼着你回家等着你吃饭？在你生病的时候，是谁最紧张最着急？在你最高兴的时候，是谁比你更高兴？在你最痛苦的时候，是谁比你更痛苦？在你最失落无助的时候，是谁来安慰你鼓励你？在你最孤独寂寞的时候，是谁来陪伴你？是谁对你的生命影响最大？【导读导思】自主学习、课前诊断先通读教材，画出本节课中的基本概念及物理规律，回答导学案预习中涉及的问题，独立完成，限时25分钟。
一、等差数列前n项和公式是什么？你能推导出来吗？它们什么时候用比较合适？二、等差数列前n项和有什么性质？题目中出现什么特征时使用？三、如何找到前n 项和最大值或最小值，以及是前几项？如何应用等差数列前n 项和二次式的轴对称性的性质？四、在等差数列的基础上，加绝对值，再求前n 项和，如何处理？五、涉及等差数列奇数项和偶数项和，一般如何处理？六、如何证明构造的新数列为等差数列？七、1-1,1,2n n n S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩什么时候使用？以及如何使用？【知识小结】1.()()()1121212()22a n n n n n n n n n S na d a a nS d S n n S S na na S λ+-⎧=+⎪⎪+⎪=⎪⎪⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=+⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩11中首项和公差涉及末项时使用常数项为0的n 的二次式，二次项系数等于公差的一半，求首项a =S 轴对称性求最值自创性质选择、填空时用涉及与的转换时使用n 可扩展为任意正整数，即使无意义时，也不影响结果2.常用技巧1. 用首项和公差表示题中出现的量2. 特殊值法3. 罗列法【巩固练习】选择题、填空题每题6分，解答题、计算题每题12分题型一、等差数列前n 项和公式的基本应用 1.已知等差数列{}n a 中， （1）131,,1522n a d S ==-=-，求n 及n a ； （2）11,512,1022n n a a S ==-=-，求d ； （3）524S =，求24a a +2.等差数列{a n }中，a 1+a 7=42， a 10-a 3=21， 则前10项的S 10等于（ ） A 、 720 B 、257 C 、255 D 、不确定3.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n ，而a 1，a 3，a 5，a 7，……组成一新数列{C n }，其通项公式为 （ ） A 、 C n =4n-3 B 、 C n =8n-1 C 、C n =4n-5 D 、C n =8n-9 题型二、等差数列的前n 项和性质的应用4.等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定其前n 项和的公式吗？5.等差数列的前10项之和是100，前100项之和是10，求前110项之和。
必修5 第二章：数列复习2导学案
必修5 数列复习小结 第2课时高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一 数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T练习：1、若数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，求该数列的通项公式。
答案：⎩⎨⎧=-122n n a )2()1(≥=n n2、n S 为{n a }的前n 项和，n S =3（n a －1），求n a （n ∈N +）3、设数列{}n a 满足2*12333()3n n a a a a n N +++=∈n-1…+3，求数列{}n a 的通项公式2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a例2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.3.形如)(1n f a a nn =+型（累乘法） 例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。
答案：12+=n a n练习：1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。
答案：)1(2+=n n a n4.形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法） 例1. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：231-=n a n题型二 根据数列的性质求解（整体思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ） 5、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 .题型三：求数列的前n 项和基本方法：A ）公式法，B ）分组求和法1、求数列n{223}n +-的前n 项和n S .C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++111； 例1、求和：S =1+n ++++++++++ 32113211211例2、求和：nn +++++++++11341231121 .D ）倒序相加法， 例、设221)(xx x f +=，求：).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++E ）错位相减法，1、若数列{}n a 的通项n n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .2.21123(0)n n S x x nx x -=++++≠ （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑）题型五：数列单调性最值问题例1、数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时，n S 取得最大值；。
高中数学第二章数列2-3等比数列同步导学案新人教B版必修5
高中数学第二章数列2-3等比数列同步导学案新人教B版必修5考纲要求1、理解等比数列的概念2、掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及性质3、并能利用有关知识解决相应问题B案（基础回归）1、如果—1，a，b，c，—9成等比数列，那么A、b=3，ac=9B、b=—3，ac=9C、b=3，ac=—9D、b=—3，ac=—92、在等比数列{an}中，a2=8，a5=64，则公比q为A、2B、3C、4D、83、在数列{an}中，an+1=can（c为非零常数）且前n项和Sn=3n+k，则k等于A、—1B、1C、0D、24、在等比数列{an}中，a8=10，则a3·a13= 。
5、已知an=2an—1（n≥2），a1=1，cn=，则{cn}的前n项和Sn=1。
2an6、已知等比数列{an}中，前10项的和S10=10，前20项的和S20=30，则S30= 。
C 案（典型例题分析）题型一、等比数列的基本量例1：等比数列{an}中，Sn 为前n 项和，若S3+ S6=2S9，求q 的值。
二、等比数列的证明例2：设数列{an}中，a1=1，Sn+1=4an+2，bn=an+1—2an （1）求证：数列{bn}为等比数列。
（2）求数列{bn}的前n 项和Tn 。
引申2：已知数列{an}中a1=1且满足an+1=2an+1求{an}的通项公式。
三．等比数列的综合应用例3：已知a1=2，点（an ，an+1）在函数f （x ）=x2+2x 的图象上。
其中n=1，2，3……（1）证明数列{lg （1+an ）}是等比数列。
（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）……（1+an ）求Tn 。
当堂检测：1、已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，且S3=3a1，则数列{an}的公比q 的值为 。
2、（1）例题2中如果Cn=nna 2 求证：{cn}为等差数列（2）求{an}的通项公式。
A 案 必做题：1、在等比数列{an}中，a3·a4·a5=3，a6·a7·a8=24，则a9·a10·a11的值等于 A 、48 B 、72C 、145D 、1922、等比数列{an}中，如果公比q<1，那么等比数列{an}是 A 、递增数列 B 、递减数列C 、常数列D 、无法确定增减性3、等比数列{an}中，a7a11=6，a4+a14=5，则=1020a a A 、 B 、3223C 、或D 、—或—322332234、正项等比数列{an}中，a5a6=81，则log3a1+log3a2+……+log3a10= A 、5 B 、10C 、20D 、405、正项等比数列{an}中，a1=3，S3=21，则a3+a4+a5= A 、33 B 、72C 、84D 、1896、三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数为 。
高中数学 第二章《数列(复习)》导学案 新人教A版必修5
第二章 《数列（复习）》1. 系统掌握数列的有关概念和公式；2. 了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系；3. 能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a .【知识链接】（复习教材P 28 ～P 69，找出疑惑之处）(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．【学习过程】※ 学习探究1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3． 求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．5. 数列求和主要：（1）逆序相加；（2）错位相消；（3）叠加、叠乘；（4）分组求和；（5）裂项相消，如111(1)1n n n n =-++. ※ 典型例题例1在数列{}n a 中，1a ＝1，n ≥2时，n a 、n S 、n S －12成等比数列. （1）求234,,a a a ； （2）求数列{}n a 的通项公式.例2已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意正整数n ，均有3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋯⋯+=，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2004的值．※ 动手试试练 1. 等差数列{}n a 的首项为,a 公差为d ；等差数列{}n b 的首项为,b 公差为e . 如果(1)n n n c a b n =+≥，且124,8.c c == 求数列{}n c 的通项公式.练2. 如图，作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前n 个内切圆的面积和.练3. 一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去回了5个伙伴; 第2天， 6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，……，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂.A. 55986B. 46656C. 216D. 36【学习反思】※ 学习小结1. 数列的有关概念和公式；2. 熟练掌握有关概念和公式并能灵活运用，培养解决实际问题的能力.※ 知识拓展数列前n 项和重要公式：2222(1)(21)1236n n n n +++++=； 3332112[(1)]2n n n ++=+※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 集合{}*21,,60M m m n n N m ==-∈<的元素个数是（ ）.A. 59B. 31C. 30D. 292. 若在8和5832之间插入五个数，使其构成一个等比数列，则此等比数列的第五项是（ ）.A ．648B ．832C ．1168D ．19443. 设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和是12， 前三项的积是48，则它的首项是（ ）.A. 1B. 2C. 4D. 84. 已知等差数列245,4,3, (77)的前n 项和为n S ，则使得n S 最大的序号n 的值为 . 5. 在小于100的正整数中，被5除余1的数的个数有 个；这些数的和是1. 观察下面的数阵， 容易看出， 第n 行最右边的数是2n ， 那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和是多少?12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25… … … … … …2. 选菜问题：学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的，下星期一会有20% 改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有30% 改选A 种菜. 用,n n a b 分别表示在第n 个星期选A 的人数和选B 的人数，如果1300,a = 求10a .。
高中数学 第2章 数列(1)复习导学案 苏教版必修5
【学习目标】掌பைடு நூலகம்数列有关概念和公式并会运用解决问题
【课前预习】
1．数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
2．等差、等比数列的定义．
3．等差、等比数列的通项公式．
4．等差中项、等比中项．
5．等差、等比数列的前 项和公式及其推导方法．
其中正确命题的序号为．
3．写出数列的一 个通项公式，使它的前 项分别是下列各数：
（1） ；（2） ；
（3） ， ， ， ；（4） ；
【课外作业】
1．等差数列 中，前 项（ 为奇数） 和为 ，其 中偶数项之和为 ，
且 ，求通项 公式．
2．在等差数列 中，已知 ，求 ．
3．如图是第七届国际数学教育大会 的会徽图案轮廓，它是由一串直角三角形组成的，其中 ，记 的长度所组成的数列为 ,写出数列 的通项公式．
知这三个数的和等于 ，求这三个数．
【学后反思】
课题:数列复习专题（1）检测案
班级：姓名：学 号：第学习小组
【课堂检测】
1．若直角三角形的三边的长组成公差为 的等差数列，则三边长分别为（）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
2．设 是等比数列，有下列四个命题：（1） 是等比数列；（2） 是等比数列；（3） 是等比数列；（4） 是等比数列；
则这个数列前 项的和为．
（6）已知正项等比数列 共有 项，且 ，
，则 ，公比 ．
（7）设 ， 都是 等差数列，它们的前 项和分别为 ， ，
已知 ，则 ； ．
（8）已知方程 和 一共四个根组成一个首项为 的等差数列，则 ．
人教A版高中数学必修5第二章 数列2.2 等差数列导学案(2)
高中数学 2.2等差数列（1）学案新人教A 版必修5学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项.学习重难点1.重点： 等差数列的通项公式2.难点： 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项一、课前准备 （预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？ 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、试一试问题一：等差数列的概念1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =问题二：等差数列的通项公式2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 学习探究探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 探究 2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数. ※ 模仿练习练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，3,,,3a d a d a d a d --++. 当堂检测1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ . 课后作业1. 在等差数列n 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ； ⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ；⑶已知112a=，627a=，求d；⑷已知d＝－13，78a=，求1a.2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.课后反思。
人教A版高中数学必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和导学案
2.5 等比数列的前n 项和（二）[学习目标] 1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想解决与等比数列前n 项和有关的问题．知识点一 等比数列前n 项和的变式1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1（q n －1）q －1＝a 1－a n q1－q ＝a 1q n q －1－a 1q －1； 当q ＝1时，S n ＝na 1．2．当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q·q n＋a 11－q，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n＋A ．由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 思考 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1＋k ，则实数k 等于________． 答案 －13解析 由题{a n }是等比数列， ∴3n的系数与常数项互为相反数， 而3n的系数为13，∴k ＝－13.知识点二 等比数列前n 项和的性质1．连续m 项的和(如S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m )仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数) 2．S m ＋n ＝S m ＋q mS n (q 为数列{a n }的公比)． 3．若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q ． 思考 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6等于( ) A ．140 B ．120 C ．210 D ．520 答案 A解析 S 2＝20，S 4－S 2＝40，∴S 6－S 4＝80， ∴S 6＝S 4＋80＝S 2＋40＋80＝140.题型一 等比数列前n 项和的性质例1 (1)等比数列{a n }中，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝______．(2)等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝80，则公比q ＝____． 答案 (1)28 (2)2解析 (1)∵数列{a n }是等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也是等比数列， 即7，S 4－7，91－S 4也是等比数列， ∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)， 解得S 4＝28或S 4＝－21.又∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2·(1＋q 2)＞0， ∴S 4＝28.(2)由题S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， ∴S 奇＝－80，S 偶＝－160， ∴q ＝S 偶S 奇＝2. 反思与感悟 解决有关等比数列前n 项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n 项和的相关性质，常常可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q 的讨论．解题中把握好等比数列前n 项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点，方可使“英雄”有用武之地．跟踪训练1 (1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6等于( ) A ．2 B.73C.83 D ．3 答案 B解析 方法一 因为数列{a n }是等比数列，所以S 6＝S 3＋q 3S 3，S 9＝S 6＋q 6S 3＝S 3＋q 3S 3＋q 6S 3，于是S 6S 3＝（1＋q 3）S 3S 3＝3，即1＋q 3＝3，所以q 3＝2.于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. 方法二 由S 6S 3＝3，得S 6＝3S 3.因为数列{a n }是等比数列，且由题意知q ≠－1，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，所以(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，解得S 9＝7S 3，所以S 9S 6＝73.(2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求通项公式．解 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇、S 偶，由题意知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶．∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13. 又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，即a 1＝12.故所求通项公式为a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.题型二 等比数列前n 项和的实际应用例2 小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．解 方法一 设小华每期付款x 元，第k 个月末付款后的欠款本利为A k 元，则：A 2＝5 000×(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0082－x ， A 4＝A 2(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0084－1.0082x －x ，…A 12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x ＝0，解得x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810＝5 000×1.008121－（1.0082）61－1.0082≈880.8. 故小华每期付款金额约为880.8元．方法二 设小华每期付款x 元，到第k 个月时已付款及利息为A k 元，则：A 2＝x ；A 4＝A 2(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082)；A 6＝A 4(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082＋1.0084)；…A 12＝x (1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)．∵年底付清欠款，∴A 12＝5 000×1.00812，即5 000×1.00812＝x (1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)， ∴x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元．反思与感悟 分期付款问题是典型的求等比数列前n 项和的应用题，此类题目的特点是：每期付款数相同，且每期间距相同．解决这类问题有两种处理方法，如本题中方法一是按欠款数计算，由最后欠款为0列出方程求解；而方法二是按付款数计算，由最后付清全部欠款列方程求解．跟踪训练2 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14.设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n的表达式．解 第1年投入800万元，第2年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15万元，…，第n 年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1万元，所以总投入a n ＝800＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋ (800)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n (万元)．同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14万元，…，第n 年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1万元．所以总收入b n ＝400＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋ (400)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.综上，a n ＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ，b n ＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.题型三 新情境问题例3 定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数． (1)证明：数列{2a n ＋1}是“平方数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方数列”的前n 项之积为T n ，则T n ＝(2a 1＋1)(2a 2＋1)·…·(2a n ＋1)，求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；(3)对于(2)中的T n ，记b n ＝log2a n ＋1T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞4 024的n 的最小值．(1)证明 由条件得a n ＋1＝2a 2n ＋2a n ， 2a n ＋1＋1＝4a 2n ＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2. ∴数列{2a n ＋1}是“平方数列”．∵lg(2a n ＋1＋1)＝lg(2a n ＋1)2＝2lg(2a n ＋1)， 且lg(2a 1＋1)＝lg 5≠0， ∴lg （2a n ＋1＋1）lg （2a n ＋1）＝2，∴{lg(2a n ＋1)}是首项为lg 5，公比为2的等比数列． (2)解 ∵lg(2a 1＋1)＝lg 5，∴lg(2a n ＋1)＝2n －1lg 5.∴2a n ＋1＝52n －1，∴a n ＝12(52n －1－1)．∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1) ＝lg 5（1－2n）1－2＝(2n－1)lg 5， ∴T n ＝52n－1.(3)解 ∵b n ＝log2a n ＋1T n ＝lg T n lg （2a n ＋1）＝（2n－1）lg 52n －1lg 5＝2n－12n －1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴S n ＝2n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2n －2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.由S n ＞4 024，得2n －2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＞4 024， 即n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＞2 013. 当n ≤2 012时，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜2 013； 当n ≥2 013时，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＞2 013. ∴n 的最小值为2 013.反思与感悟 数列创新题的特点及解题关键 特点：叙述复杂，关系条件较多，难度较大． 解题关键：读清条件要求，理清关系，逐个分析．跟踪训练3 记U ＝{1，2，…，100}．对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1，2，…，k }，求证：S T ＜a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D . (1)解 当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝a 2＋9a 2＝30， ∴a 2＝3，a 1＝a 23＝1，故a n ＝a 1qn －1＝3n －1.(2)证明 对任意正整数k (1≤k ≤100)． 由于T ⊆{1，2，…，k }，则S T ≤a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝1＋3＋32＋…＋3k －1＝3k－12＜3k ＝a k ＋1.(3)证明 设A ＝∁C (C ∩D )，B ＝∁D (C ∩D )， 则A ∩B ＝∅，S C ＝S A ＋S C ∩D ，S D ＝S B ＋S C ∩D ，S C ＋S C ∩D －2S D ＝S A －2S B ，∴S C ＋S C ∩D ≥2S D 等价于S A ≥2S B . 由条件S C ≥S D 可得S A ≥S B .①若B ＝∅，则S B ＝0，所以S A ≥2S B 成立， ②若B ≠∅，由S A ≥S B 可知A ≠∅，设A 中的最大元素为I ，B 中的最大元素为m ， 若m ≥I ＋1，则由(2)得S A ＜S I ＋1≤a m ≤S B ，矛盾． 又∵A ∩B ＝∅，∴I ≠m ，∴I ≥m ＋1，∴S B ≤a 1＋a 2＋…＋a m ＝1＋3＋32＋…＋3m －1＜a m ＋12≤a I 2≤S A2， 即S A ＞2S B 成立．综上所述，S A ≥2S B . 故S C ＋S C ∩D ≥2S D 成立．1．等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 等于( ) A ．2n－1 B.4n－13C.1－（－4）n 5D.1－（－2）n3答案 B解析 由a 1a 2a 3＝1得a 32＝1，∴a 2＝1， 又∵a 4＝4，∴a 4a 2＝4.∴数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n 是首项为1， 公比为4的等比数列．∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝1－4n 1－4＝4n－13.2．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 D解析 设每天植树棵数为{a n }，则{a n }是等比数列， ∴a n ＝2n (n ∈N *，n 为天数)． 由题意得2＋22＋23＋ (2)≥100， ∴2n －1≥50，∴2n≥51， ∴n ≥6.∴需要的最少天数n ＝6.3．等比数列{a n }的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是( ) A ．28 B ．48 C ．36 D ．52 答案 A解析 易知S m ＝4，S 2m －S m ＝8， ∴S 3m －S 2m ＝16，∴S 3m ＝12＋16＝28.4．已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列．求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．证明 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得2a 7＝a 1＋a 4， 即2a 1·q 6＝a 1＋a 1·q 3， ∴2q 6－q 3－1＝0.令q 3＝t ，则2t 2－t －1＝0， ∴t ＝－12或t ＝1，即q 3＝－12或q3＝1.当q 3＝1时，2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝6a 1， ∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)，∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．当q 3＝－12时，2S 3＝2×a 1（1－q 3）1－q ＝2a 1×321－q ＝3a 11－q ，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝3a 141－q，S 12－S 6＝a 7（1－q 6）1－q ＝a 1·q 6（1－q 6）1－q ＝a 14×341－q，∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)，∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列． 综上可知，2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．等比数列中用到的数学思想1．分类讨论的思想：(1)利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论； (2)研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0，0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0，0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．2．函数的思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n(q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1·(q n－1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n－1)也与指数函数相联系．3．整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n，a 11－q当成整体求解．。
人教A版高二数学必修五第二章 数列 导学案(含答案,精排版) 2.4 等比数列
§2.4 等比数列制作：_____________审核：______________班级： .组名： . 姓名： .时间：年月日【本卷要求】：1.动脑思考2.每个点都要达标，达标的标准是能够“独立做出来”，不达标你的努力就体现不出来3.听懂是骗人的，看懂是骗人的，做出来才是自己的4.该记的记，该理解的理解，该练习的练习，该总结的总结，勿懈怠！5.明确在学习什么东西，对其中的概念、定律等要追根溯源，弄清来龙去脉才能理解透彻、应用灵活6.先会后熟：一种题型先模仿、思考，弄懂了，再多做几道同类型的，总结出这种题型的做法，直到条件反射7.每做完一道题都要总结该题涉及的知识点和方法8.做完本卷，总结该章节的知识结构，以及常见题型及做法9.独立限时满分作答10.多做多思，孰能生巧，熟到条件反射，这样一是能见到更多的出题方式，二是能提高做题速度11.循环复习12.步骤规范，书写整洁【一分钟德育】高中学生学习方法常规在学习过程中，掌握科学的学习方法，是提高学习成绩的重要条件。
以下我分别从预习、上课、作业、复习、考试、课外学习等六个方面，谈一下学习方法的常规问题。
应当说明的是，我这里所谈的是各科学习的一般规律，不涉及具体学科。
一、预习。
预习一般是指在老师讲课以前，自己先独立地阅读新课内容，做到初步理解，做好上课的准备。
所以，预习就是自学。
预习要做到下列四点：1、通览教材，初步理解教材的基本内容和思路。
2、预习时如发现与新课相联系的旧知识掌握得不好，则查阅和补习旧知识，给学习新知识打好牢固的基础。
3、在阅读新教材过程中，要注意发现自己难以掌握和理解的地方，以便在听课时特别注意。
4、做好预习笔记。
预习的结果要认真记在预习笔记上，预习笔记一般应记载教材的主要内容、自己没有弄懂需要在听课着重解决的问题、所查阅的旧知识等。
二、上课。
课堂教学是教学过程中最基本的环节，不言而喻，上课也应是同学们学好功课、掌握知识、发展能力的决定性一环。
高中数学必修5《数列-等差数列》导学案
第二章数列2.2等差数列一、学习目标1.理解等差解数列的定义和通项公式，会判断数列是否是等差数列，并会应用通项公式解决问题。
2.理解等差中项的定义，会应用等差中项的性质解决问题。
【重点、难点】等差数列的概念和通项公式，等差中项的性质二、学习过程【导入新课】1.等差数列的定义：a n= _________.3.等差中项若______成等差数列,则A叫a与b的等差中项,且A=_____.【典型例题】例1.在等差数列{a n}中，a2=5,a6=17，则a14=( )A.45B.41C.39D.37例2.一个各项都是正数的无穷等差数列{a n}，a1和a3是方程x2－8x+7=0的两个根，求它的通项公式.例3.已知等差数列{a n}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则a n=__________.【变式拓展】1．在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=( )A．10 B．18 C．20 D．282.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，此等差数列的公差d为____________．三、总结反思(1)通项公式的作用：根据通项公式,在a1,a n,d,n中知道任何三个可求另一个,也可用于等差数列的判断.等差数列的通项公式可变形为a n=dn+(a1-d),当d≠0时可把a n看作自变量为n的一次函数.(2)等差数列的单调性(1)当公差d<0时,等差数列为递减数列.(2)当公差d=0时,等差数列为常数列.(3)当公差d>0时,等差数列为递增数列.四、随堂检测1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a7=-4,则公差d= .2.已知首项a1=1,公差d=-2的等差数列{a n},当a n=-27时,n= .3.x-1与y+1的等差中项为5,则x+y= .4.等差数列{a n}的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则它的第5项为.。
高中数学第二章数列2-1数列同步导学案新人教B版必修5
高中数学第二章数列2-1数列同步导学案新人教B 版必修5课程要求了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式.类比函数理解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式等），能根据项数多少、数列的性质对数列分类.了解递推公式是给出数列的一种方法.掌握根据递推公式写出数列的前项的技巧.会利用一些简单的递推公式求出数列的通项.n 基本概念1．叫做数列，叫做这个数列的项.2．就叫做这个数列的通项公式.3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以来表示一个数列，图象是一些，它们位于.4．根椐数列的项数可以把数列分为和.根据数列中项与项的大小关系可以把数列分为、、和.5．那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.6．若数列的前项和记为，即则{}n a n nS ,321n n a a a a S ++++=概念深化1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集为定义域的函数的表达式；+N {}n ,,2,12．如果知道了数列的通项公式，那么依次用去替代公式中的就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项； ,3,2,1n3．像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如的不足近似值，精确到所构成的数列就没有通项公式.2 ,0001.0,001.0,01.0,1.0,1 ,4142.1,414.1,41.1,4.1,14．有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，例如数列：,1,1,1,1,1,1---它可以写成也可以写成,)1(n n a -=⎩⎨⎧-=.,1,,1为偶数为奇数n n a n还可以写成等.这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列.2)1(+-=n n a5．有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.典例精析题型一 根据数列的前几项，写出数列的通项公式.{}n a例1 写出下列数列的一个通项公式：(1)；（2）； ,33,17,9,5,3 ,544,433,322,211 （3）；（4） ,777,,7777,777,77,7.,1337,1126,917,710,1,32 --- 命题意图：寻求规律，写出通项公式.。
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高一数学必修5第二章数列测试卷
高一数学必修5第二章数列测试卷
2010-3-26
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，)
1．如图,这是一个正六边形的序列,则第(n )个图形的边数为（ ）.
A. 5n -1
B. 6n
C. 5n+1
D.4n+2
2．在等比数列中T n 表示前n 项的积，若T 5 =1，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3. 如果
为各项都大于零的等差数列，公差
，则 ( )
A 、
B 、
C 、
D 、
4．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为
234，则它的第七项等于（ ） A. 22
B. 21
C. 19
D. 18
5．数列{a n }中,
=1 ,对于所有的n ≥2,n ∈
都有
,则
等于( ) A.
B. C. D.
6．设
是等差数列，
是其前项的和，且
，
，则下列结论
错误的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
与
是
的最大值
7．等差数列共有
项，其中奇数项之和为，偶数项之和为
，则其中间项为
（ ）.
A. 28
B. 29
C. 30
D.31 8、在等比数列中,
,前项和为
,若数列
也是等比数列,则
等于
A.
B. C. D.
9、设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6
S 12
＝
( )
（A ）310
（B ）13
（C ）18
（D ）19
10、已知1是a 2与b 2的等比中项，又是
与
的等差中项，则
的值是（ ） A ．1或
B ．
1
或
－
C ．1或
D ．1或－
11．已知数列
中, (),则在数列的前50项中最小项和最大项分
别是( )
A.
B.
C.
D. .
12.正奇数集合{1,3,5,…},现在由小到大按第n 组有(2n -1)个奇数进行分组:
{1}, {3,5,7}, {9,11,13,15,17},…
(第一组) (第二组) (第三组) 则2009位于第（ ）组中. A. 33 B. 32 C . 31 D. 30 二、填空题：(本题共4小题，每小题4分，共16分．) 13．等差数列中，
，则
________
14、设
是首项为1的正项数列，且
,则它的通项公式是
=________ 15、设f (x )=
,利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法,
可求得f (－8)+f (－7)+…+f (0)+…+f (8)+f (9)的值为___________________.
16．设等差数列
的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则
， ， ，
成等比数列．
三、解答题：（共74分）
18、（本小题12分）在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .
(1)设
，证明：数列{b n }是等差数列；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
解：(1)证明：由已知 a n ＋1＝2a n ＋2n 得
b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n
2n －1＋1＝b n ＋1.
又b 1＝a 1＝1，
因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知a n 2n －1＝n ，即a n ＝n ·2n －
1.
S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －
1， 两边乘以2得，2S n ＝2＋2×22＋…＋n ×2n . 两式相减得
S n ＝－1－21－22－…－2n －
1＋n ·2n ＝－(2n －1)＋n ·2n ＝(n －1)2n ＋1.
18. （本小题满分12分） 数列的前项和为
，
，
．求数列
的通项
19、（本小题满分12分）
等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列
（1）求{}的公比q；
（2）求－＝3，求
20. （本小题满分12分）已知关于x的二次方程的两根满足
，且
（1）试用表示;（2）求证：数列是等比数列;
（3）求数列的前n项和.
21．（本小题满分12分）已知数列：
①观察规律，归纳并计算数列的通项公式，它是个什么数列？
②若，设=，求。
③设
22、（本小题满分14分）甲、乙两企业，2000年的销售量均为p（2000年为第一年），根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第n年的销售量比前一年的销售量多.
（1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式；
（2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年的销售量不足另一企业的年销售量的20%，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在那一年出现？是说明理由。
高一数学必修5第二章数列测试题
参考答案
一、选择题：（本大题共12个小题；每小题5分，共60分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13、700 ; 14、；15.16、
三、解答题：（本大题共6小题，共74分．）
17.解:设等差数列的公差为d.
由即d=1.
所以即
19.解：（Ⅰ）依题意有
由于，故
又，从而
（Ⅱ）由已知可得
故
从而
20.解(1) 的两根
令
(3)
21. 解：①由条件，
∴；∴
故为等差数列，公差
②
又知
∴
③
相减,得
所以
22.解：设甲企业前n年的总销量为，第n年的销量为，乙企业第n年的销售量，根据题意，得，（）
，当时，，
，，
.
（2），，故甲企业不可能被乙企业收购，
当时，，乙企业不可能被甲企业收购，
当时，，，
则当时，经验证，
当且时，有，，
当且时，，所以必有，
故当时，即2010乙企业可能被甲企业收购.
整理丨尼克
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