学科基础导论自测卷答案

u ( x, t ) |x at (at ) F (0) G (2at ) (at ) x G ( x) ( ) F (0) F (0) G (0) (0) 2
u ( x, t ) |x at (at ) F (2at ) G (0) (at ) x F ( x) ( ) G(0) F (0) G(0) (0) 2
所以最终解得：
u ( x, t ) (
x at x at ) ( ) (0) 2 2
3.解： 1）从状态 A 到状态 B 为准静态过程,则外界对系统所做的功为：
V2 V2
W1 pdV
V1
nRT1 V dV RT1 ln 1 V V2 V1
V2 V1
因此系统对外界做的功为：
W2 W1 RT1 ln
由理想气体的物态方程 pV nRT 得：
W2 RT1 ln
p1 p2
2)由于变化过程中温度不变，因此系统的内能不发生变化，有热力学第一定律，系统放出的 热量为：
Q W1 W2 RT1 ln
3)由熵函数 S C p ln T nR ln p S0 可得：



x px i x

x
交换算符作用顺序，由求导法则，前导后不导加上后导前不导得：
px x i x
由对易关系知：

i x

[ x, px ] x px px x i
右侧不为 0，因此这两个算符不是对易的。 证毕。



（三）计算题 1.解: 从状态Ⅰ ( p1 ,V1 , T1 ) 变化到状态而Ⅱ ( p2 ,V2 , T1 ) ，为等温膨胀过程，因此外界对系统做的功 为，并且由理想气体物态方程化简为：
化简得：
V2 V3 V1 V4
所以 1 式化简为：
W R(T1 T2 ) ln
V2 V1
整个循环中，气体从高温热源吸取了 Q1 的热量，对外做了 W 的功，故热功转化的效率为：

W Q1
R(T1 T2 ) ln RT1 ln V2 V1
V2 V1
1
T2 T1
2.解： 其通解的形式为： u( x, t ) F ( x at ) G( x at ) 将边界条件带入可得：
由状态函数和 Rnl 和 Ylm 形式可知：
3 5
4 5
n 2 ; l 1 ; m 0, 1
对于氢原子能量： 算符本征值为：
Z 2 es2
2n 2
2
，只与主量子数 n 有关，而 n 有确定的值，因此氢原子能量也具
有确定的值为：
es2
8
2
，概率为：1，平均值为：
es2பைடு நூலகம்

2
Lz m
H
2
l ( l 1 ) ,l 0 , 1 , 2

2
2 U ( r )
rr


唯一性 抛物型
稳定性 椭圆型 双曲型 抛物型 椭圆型
*20 f ( p,V , T ) 0
（二）证明题 1.证：因为由比定容比热容和比定压比热容有定义式：
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(一)填空题 1.孤立系统 封闭系统 开放系统
2.热力学平衡状态 3.几何参量 4.热平衡定律 5.经验温标 6.PV=nRT 7.外界对系统所做的功加上系统从外界吸收的能量等于系统内能的变化量 8.不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化 之完全变成有用的功而不引起其他变化 9.系统经过绝热过程由初态变到终态，它的熵永不减少，熵在可逆绝热过程中不变，在不可 逆绝热过程后增加
W Q1 Q2 RT1 ln
V2 V RT2 ln 4 ……1 V1 V3

因为状态Ⅱ到状态Ⅲ和状态Ⅳ到状态Ⅰ为准静态过程，满足 pV 常量，因此有
p2V2 p3V3 和 p4V4 p1V1
由理想气体的物态方程知—— pV nRT 带入上式得：
1 1 TV T2V3 1 和 T2V4 1 TV 1 2 1 1
2
3 5
9 25
当 m=1 时，角动量 z 分量为： 平均值为： 0
概率为： ( )
2
4 5
16 25
9 16 16 25 25 25
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8
2
对于角动量平方： 算符本征值为： L l (l 1)
2 2
，只与角量子数 l 有关，而 l 有确定的值，因此氢原子角动量
2
平方也具有确定的值： 2
2
，概率为：1 ，平均值为： 2
对于角动量 z 分量： 算符本征值为： Lz m ，只与磁量子数 m 有关，而 m 的取值有两个： 当 m=0 时，角动量 z 分量为：0 概率为： ( )
W pdV
V1
V2
V2
nRT1 V dV RT1 ln 1 V V2 V1
由于该过程为等温过程， 系统内能无变化。 由热力学第一定律得： 系统从外界吸收的热量为：
Q1 W RT1 ln
V2 V1
从状态Ⅱ ( p2 ,V2 , T1 ) 变化到状态Ⅲ ( p3 ,V3 , T2 ) 为绝热膨胀过程， 在此过程中气体吸收的热量 等于零。 从状态Ⅲ ( p3 ,V3 , T2 ) 变化到状态Ⅳ ( p4 ,V4 , T2 ) 为等温压缩过程，因此外界对系统做的功为， 并且由理想气体的物态方程化简为：
W pdV
V3
V4
V4
V nRT2 dV RT2 ln 3 V V4 V3
由于该过程为等温过程， 系统内能无变化， 由热力学第一定律得， 系统从外界吸收的热量为：
Q2 W RT2 ln
V4 V3
从状态Ⅳ ( p4 ,V4 , T2 ) 变化到状态Ⅰ ( p1 ,V1 , T1 ) 为绝热压缩过程， 在此过程中气体吸收的热量 等于零。 整个循环完成后，气体回到原来的状态，内能作为状态函数变化为零，由热力学第一定律可 知，在整个过程中气体对外界所做的功应等于气体在循环中所吸收的净热量，即：
CV
理想气体的焓为
dU dH , Cp dT dT
H U pV
再由理想气体的物态方程
pV nRT 得 H U nRT
两边同时微分得
dH dU nRdT
所以
C p CV
证毕。
dH dU nR dT
2.证：只考虑一维，由坐标算符 r r ，动量算符 P i 得：
12.隧道效应 隧道效应 隧道效应 13.波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的概率成比例， 描写粒子的波乃是概率波 14.波粒二象性 15. 波粒二象性 粒子性
Ae
2
i
( p r Et )

*16. L l (l 1) *17. P i *18 存在性 *19 双曲型
______ ______ __
力学参量
化学参量
电磁参量
热力学第零定律 热力学温标 理想气体温标
不可能从单一热源吸热使
SB S A
B
dQ T A
k2 2 2 10. ( F ) ( G ) 4 1 11. En (n ) , n 1, 2,3, 2
p1 p2
S C p ln T nR ln p1 S0 (C p ln T nR ln p2 S0 ) R ln
4.解： 将氢原子状态函数进行归一化处理，得：
p2 p1
(r , , ) R21 (r )Y10 ( , ) R21 (r )Y11 ( , )