高考数学 第八章 第六节 椭圆课时提升作业 理 新人教A版
《2.1椭圆》课时提升作业含试卷分析详解人教A版必修1-1 十 2.1.2.1
课时提升作业 十椭圆的简单几何性质一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(·广东高考)已知椭圆x 225+y 2m 2=1(m>0)的左焦点为F 1(-4,0),则m= ( )A.9B.4C.3D.2 【解析】选C.由题意得:m 2=25-42=9, 因为m>0,所以m=3.2.(·烟台高二检测)椭圆x 225+y 29=1与x 29−k +y 225−k=1(0<k<9)的关系为 ( )A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率 【解析】选B.对于椭圆x 29−k +y 225−k=1(0<k<9),c 2=(25-k)-(9-k)=16,焦点在y 轴上,所以它们有相等的焦距.【补偿训练】将椭圆C 1∶2x 2+y 2=4上的每一点的纵坐标变为原来的一半,而横坐标不变,得一新椭圆C 2,则C 2与C 1有 ( ) A.相等的短轴长 B.相等的焦距 C.相等的离心率 D.相等的长轴长 【解析】选C.把C 1的方程化为标准方程,即 C 1:x 22+y 24=1,从而得C 2:x 22+y 2=1.因此C 1的长轴在y 轴上,C 2的长轴在x 轴上. e 1=√22=e 2,故离心率相等.【误区警示】解答本题时容易得到C 2:x 22+y 216=1.而错选A.3.已知椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是 ( )A.(±√3,0)B.(0,±√3)C.(±√,0)D.(0,±√)【解析】选A.直线x+2y=2与坐标轴的交点为椭圆的顶点, 又因为椭圆的焦点在x 轴上,所以a=2,b=1, 所以c=√a 2−b 2=√3.所以椭圆的焦点坐标是(±√3,0).4.(·南昌高二检测)椭圆x 2a+y 2b =1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 ( ) A.14B.√55C.12D.√5-2【解析】选 B.因为A,B 分别为左右顶点,F 1,F 2分别为左右焦点,所以|AF 1|=a-c,|F 1F 2|=2c,|BF 1|=a+c,又由|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列得(a-c)(a+c)=4c 2,即a 2=5c 2,所以离心率e=√55.【补偿训练】设椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 ( )A.√22B.√2−12C.2-√2D.√2-1【解析】选D.设椭圆方程为x 2a+y 2b =1(a>b>0),因为F 1(-c,0),所以P(-c,y P )代入椭圆方程得c 2a 2+y P2b 2=1,所以y P 2=b4a2, 又因为b 2=a 2-c 2,所以a 2−c 2a=2c,所以e 2+2e-1=0,又0<e<1,所以e=√2-1.5.设AB 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB 分为100等份,过每个分点作AB 的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P 1,P 2,…,P 99,F 1为椭圆的左焦点,则|F 1A|+|F 1P 1|+|F 1P 2|+…+|F 1P 99|+|F 1B|的值是 ( ) A.98a B.99a C.100a D.101a【解析】选D.设F 2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性 有:|F 1P 1|=|F 2P 99|,|F 1P 2|=|F 2P 98|,…,|F 1P 49|=|F 2P 51|,因此|F 1P 1|+|F 1P 99|=|F 1P 2|+|F 1P 98|=…=|F 1P 49|+|F 1P 51|=|F 1A|+|F 1B|=2a. 故结果应为50×2a+|F 1P 50|=101a.【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|F 1P 50|,结果选C 而致错. 二、填空题(每小题5分,共15分)6.(·武汉高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y 轴上,且长轴长为12,离心率为13,则椭圆方程为 .【解析】因为椭圆的焦点在y 轴上, 所以设椭圆的方程为y 2a2+x 2b 2=1(a>b>0).由{2a =12,c a=13,得{a =6,c =2,由a 2=b 2+c 2,得b 2=32. 故椭圆的方程为y 236+x 232=1.答案:y 236+x 232=17.(·济南高二检测)已知椭圆x 25+y 2m=1的离心率e=√105,则m 的值为 .【解析】由椭圆的标准方程,易知m>0且m ≠5. ①若0<m<5,则a 2=5,b 2=m.由m5=1-(√105)2=35,得m=3.②若m>5,则a 2=m,b 2=5.由5m =1-(√105)2=35,得m=253.所以m 的值为3或253. 答案:3或2538.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则O P →·F P →的最大值为 .【解题指南】设P(x 0,y 0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出. 【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x 0,y 0),则有x 024+y 023=1,解得y 02=3(1−x 024),因为F P →=(x 0+1,y 0),O P →=(x 0,y 0),所以O P →·F P →=x 0(x 0+1)+y 02=x 0(x 0+1)+ 3(1−x 024)=x 024+x 0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=-2,因为-2≤x 0≤2,所以当x 0=2时,O P →·F P →取得最大值224+2+3=6. 答案:6【误区警示】解题中容易不考虑x 0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的23,求椭圆的离心率.【解析】设椭圆方程为x 2a+y 2b=1(a>b>0),则M(c,23b).代入椭圆方程,得c 2a+4b 29b =1,所以c 2a=59,所以c a =√53,即e=√53. 【一题多解】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c.则焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),M 点的坐标为(c,23b),则△MF 1F 2为直角三角形. 在Rt △MF 1F 2中, |F 1F 2|2+|MF 2|2=|MF 1|2, 即4c 2+49b 2=|MF 1|2.而|MF 1|+|MF 2|=√4c 2+49b 2+23b=2a,整理得3c 2=3a 2-2ab.又c 2=a 2-b 2,所以3b=2a.所以b 2a =49. 所以e 2=c 2a =a 2−b 2a =1-b2a=59,所以e=√53.10.(·潍坊高二检测)如图,已知椭圆x 2a+y 2b=1(a>b>0),F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB=90°,求椭圆的离心率. (2)若A F 2→=2F 2B →,A F 1→·A B →=32,求椭圆的方程.【解析】(1)若∠F 1AB=90°,则△AOF 2为等腰直角三角形,所以有OA=OF 2,即b=c. 所以a=√2c,e=c a =√22.(2)由题意知A(0,b),F 1(-c,0),F 2(c,0). 其中,c=√2−b 2,设B(x,y). 由A F 2→=2F 2B →⇔(c,-b)=2(x-c,y), 解得x=3c2,y=-b2,即B (3c2,−b2).将B 点坐标代入x 2a +y 2b =1,得94c 2a +b 24b=1,即9c 24a+14=1,解得a 2=3c 2.① 又由A F 1→·A B →=(-c,-b)·(3c 2,−3b 2)=32⇒b 2-c 2=1,即有a 2-2c 2=1.② 由①②解得c 2=1,a 2=3, 从而有b 2=2.所以椭圆方程为x 23+y 22=1.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(·武汉高二检测)椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆C 与x 轴正半轴交于点A,与y 轴正半轴交于B(0,2),且B F →·B A →=4√2+4,则椭圆C 的方程 为 ( )A.x 24+y 22=1 B.x 26+y 24=1 C.x 28+y 24=1 D.x 216+y 28=1【解析】选C.由已知得F(c,0),A(a,0),B(0,2), 所以B F →·B A →=(c,-2)·(a,-2)=ac+4=4√2+4,所以{b =2,ac =4√2,a 2=b 2+c 2,解得a 2=8,b 2=4.所以椭圆C 的方程为x 28+y 24=1.2.(·长春高二检测)如图,F 1,F 2分别是椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,A 和B是以O 为圆心,以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F 2AB 是等边三角形,则椭圆的离心率为 ( )A.√32B.12C.√22D.√3-1【解析】选D.由题意知A (−c 2,√3c2).把A 代入椭圆x 2a+y 2b =1(a>b>0),得c 24a +3c 24b =1,所以(a 2-c 2)c 2+3a 2c 2=4a 2(a 2-c 2),整理,得e 4-8e 2+4=0, 所以e 2=8±√64−162=4±2√3.因为0<e<1,所以e=√3-1.二、填空题(每小题5分,共10分) 3.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e ≤√32.则长轴长的取值范围为.【解析】因为b=1,所以c 2=a 2-1, 又c 2a =a 2−1a =1-1a≤34,所以1a≥14,所以a 2≤4,又因为a 2-1>0,所以a 2>1, 所以1<a ≤2,故长轴长2<2a ≤4. 答案:(2,4]4.(2019·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆x 2a+y 2b =1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .【解题指南】利用k BF ·k CF =-1计算得出离心率的值. 【解析】将直线y=b2与椭圆的方程联立得B (−√32a,b2),C (√32a,b 2),F(c,0), 则k BF =b 2−√32a−c ,k CF =b2√32a−c,因为∠BFC=90°,所以k BF ·k CF =b 2−√32a−c ×b 2√32a−c =-1,整理得b 2=3a 2-4c 2,所以a 2-c 2=3a 2-4c 2,即3c 2=2a 2⇒e=c a =√63.答案:√63三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知椭圆x 29+y 24=1的焦点为F 1,F 2,点P 是椭圆上的一个动点,求P F 1→·P F 2→的取值范围.【解析】由x 29+y 24=1,得F 1(-√5,0),F 2(√5,0),设P(x 0,y 0),则P F 1→=(-√5-x 0,-y 0),P F 2→=(√5-x 0,-y 0).所以P F 1→·P F 2→=(x 02-5)+y 02.① 又x 029+y 024=1,所以y 02=4-49x 02,代入①, 得P F 1→·P F 2→=59x 02-1,因为0≤x 02≤9,所以0≤59x 02≤5, 所以-1≤P F 1→·P F 2→≤4, 所以P F 1→·P F 2→∈[-1,4].【误区警示】本题易出现只注意到x 02≥0得出P F 1→·P F 2→≥-1的错误,错误的原因是忽视了点P(x 0,y 0)在椭圆上,x 0应满足x 0∈[-3,3].6.已知椭圆x 2+y 2b2=1(0<b<1)的左焦点为F,左、右顶点分别为A,C,上顶点为B,过F,B,C 三点作☉P,且圆心在直线x+y=0上,求此椭圆的方程.【解题指南】根据圆的性质,得圆心P 为FC 的垂直平分线与BC 的垂直平分线的交点,因此分别求出FC,BC 的垂直平分线方程,得到它们的交点为P (1−c 2,b 2−c 2b),代入直线x+y=0解出b 2=12,即可得出此椭圆的方程.【解析】设圆心P 的坐标为(m,n),因为圆P 过点F,B,C 三点,所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上,也在BC 的垂直平分线上, FC 的垂直平分线方程为x=1−c 2.①因为BC 的中点为(12,b 2),k BC =-b,所以BC 的垂直平分线方程为y-b 2=1b(x −12)②由①,②联立,得x=1−c 2,y=b 2−c 2b,即m=1−c2,n=b 2−c2b.因为P(m,n)在直线x+y=0上,所以1−c 2+b 2−c 2b=0,可得(1+b)(b-c)=0,因为1+b>0,所以b=c,结合b 2=1-c 2得b 2=12,所以椭圆的方程为x 2+y 212=1,即x 2+2y 2=1.。
2021年高考数学一轮复习 8.5 椭圆课时作业 理(含解析)新人教A版
2021年高考数学一轮复习 8.5 椭圆课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(xx·石家庄质检(二))中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：因为焦距为4，所以c ＝2，离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2＝4，故选D.答案：D2．(xx·泉州质检)已知椭圆C 的上、下顶点分别为B 1、B 2，左、右焦点分别为F 1、F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e 等于( )A.13B.12C.22D.32解析：四边形B 1F 1B 2F 2为正方形，则b ＝c ，∴e ＝22，选C. 答案：C3．(xx·江西红色六校第二次联考)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：由题可得如图．|F 1F 2|＝2c ＝|PF 2|，∠PF 2Q ＝60°，∴|F 2Q |＝c ，∴2c ＝32a ，∴e ＝c a ＝34，故选C.答案：C4．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．答案：B5．(xx·西安质检)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)，OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6. 答案：C6．(xx·内江市第二次模拟)过椭圆C ：x 25＋y 2＝1的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B两点，交y 轴于点M ，若MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，则λ1＋λ2＝( )A ．10B ．5C ．－5D ．－10 解析：特殊地，当直线l 斜率为0时，为x 轴，则A 、B 、M 坐标分别为(5，0)、(－5，0)、(0,0)．MA →＝(5，0)，AF →＝(2－5，0)，MB →＝(－5，0)，BF →＝(2＋5，0)． ∴λ1＝－(25＋5)，λ2＝25－5，∴λ1＋λ2＝－10，选D. 答案：D 二、填空题7．(xx·浙江金华十校高三模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (3,0)，且点⎝⎛⎭⎪⎫－3，322在椭圆C 上，则椭圆C 的标准方程为________．解析：由已知椭圆的右焦点为F (3,0)，故c ＝3，则b 2＝a 2－9，即x 2a 2＋y 2a 2－9＝1，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，322，可求得a 2＝18，b 2＝9. 答案：x 218＋y 29＝1 8．(xx·河北唐山第二次模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2为直角三角形，则△PF 1F 2的面积等于________．解析：c＝2，b＝23，由b>c得∠P不能为直角，故△PF1F2为直角三角形，只能∠F1或∠F2为直角，若∠F2为直角则F2(2,0)得P(2,3)∴S△PF1P2＝4×3×12＝6.答案：69．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F1F2|＝1，∵直线MF2的倾斜角为120°，∴∠MF2F1＝60°.∴|MF2|＝2，|MF1|＝3，2a＝|MF1|＋|MF2|＝2＋3，2c＝|F1F2|＝1.∴e＝ca＝2－ 3.答案：2－ 3三、解答题10．根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；(2)经过两点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.解：(1)设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1，则由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝ 5.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中令x ＝±c 得|y |＝b 2a在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中令y ＝±c 得|x |＝b 2a依题意并结合图形知b 2a ＝23 5.∴b 2＝103.即椭圆的标准方程为x 25＋3y 210＝1或y 25＋3x 210＝1.(2)设经过两点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，代入A 、B 得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. 11．(xx·安徽示范高中摸底考试)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足BF 1→＝F 1F 2→，AB ⊥AF 2.(1)求椭圆C 的离心率；(2)D 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，D 到直线l ：x －3y －3＝0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C 的方程．解：(1)设B (x 0,0)，由F 2(c,0)，A (0，b )， 知AF 2→＝(c ，－b )，AB →＝(x 0，－b ) ∵AF 2→⊥AB →，∴cx 0＋b 2＝0，x 0＝－b 2c，由BF 1→＝F 1F 2→知F 1为BF 2中点，故－b 2c＋c ＝－2c∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即a 2＝4c 2，故椭圆C 的离心率e ＝12(2)由(1)知c a ＝12，得c ＝12a ，于是F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，0， △ABF 的外接圆圆心为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，0，半径r ＝a ，D 到直线l ：x －3y －3＝0的最大距离等于2a ，所以圆心到直线的距离为a ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12a －32＝a ，解得a ＝2，∴c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.12．(xx·保定市第一次模拟)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 、N 分别为其短轴的两个端点，且四边形MF 1NF 2的周长为4，设过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AB |＝43.(1)求|AF 2|·|BF 2|的最大值；(2)若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积． 解：(1)因为四边形MF 1NF 2为菱形，又其周长为4，故a ＝1 由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4a ＝4，又因为|AB |＝43，所以|AF 2|＋|BF 2|＝83，所以|AF 2|·|BF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|AF 2|＋|BF 2|22＝169当且仅当|AF 2|＝|BF 2|＝43时，等号成立．(此时AB ⊥x 轴，故可得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，23，代入椭圆E 的方程x 2＋y 2b 2＝1得b ＝63<1，即当且仅当b ＝63时，|AF 2|＝|BF 2|＝43) 所以|AF 2|·|BF 2|的最大值为169.(2)因为直线l 的倾斜角为45°，所以可设l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝ 1－b 2由(1)知椭圆E 的方程为x 2＋y 2b2＝1所以，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c x 2＋y 2b 2＝1化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b2因为直线l 的斜率为1，所以|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2| 即43＝2|x 1－x 2|，所以89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 89＝41－b 21＋b 22－41－2b21＋b2，得b 2＝12，b ＝22所以c ＝22，l 的方程为：y ＝x ＋22F 2到l 的距离d ＝1.所以S △ABC ＝12|AB |×1＝12×43×1＝23.[热点预测]13．(xx·贵州省六校第一次联考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1→·PF 2→＝－54，求点P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设P (x ，y )(x >0，y >0)．则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝－54，又x 24＋y 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝74x24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1y 2＝34⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝32，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)显然x ＝0不满足题设条件．可设l 的方程为y ＝kx ＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝kx ＋2⇒x 2＋4(kx ＋2)2＝4⇒(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0 ∴x 1x 2＝121＋4k 2，x 1＋x 2＝－16k 1＋4k2由Δ＝(16k )2－4·(1＋4k 2)·12>016k 2－3(1＋4k 2)>0,4k 2－3>0，得k 2>34.①又∠AOB 为锐角⇔cos ∠AOB >0⇔OA →·OB →>0， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2>0又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)·121＋4k 2＋2k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 1＋4k 2＋4＝121＋k21＋4k2－2k ·16k 1＋4k 2＋4＝44－k 21＋4k2>0∴－14<k 2<4. ②综合①②可知34<k 2<4，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.35135 893F 褿 27629 6BED 毭#26736 6870桰34689 8781 螁C33264 81F0 臰23888 5D50 嵐Y+%36390 8E26 踦31116 798C 禌21209 52D9 務。
秋高中数学课时作业8椭圆的标准方程及性质的应用新人教A版选修1-1(2021年整理)
2018年秋高中数学课时分层作业8 椭圆的标准方程及性质的应用新人教A 版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学课时分层作业8 椭圆的标准方程及性质的应用新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时分层作业(八) 椭圆的标准方程及性质的应用(建议用时：40分钟)［基础达标练]一、选择题1．若点P(a,1）在椭圆错误!＋错误!＝1的外部，则a的取值范围为（）A.错误!B。
错误!∪错误!C。
错误!D。
错误!B[由题意知错误!＋错误!〉1,即a2〉错误!,解得a>错误!或a<－错误!.］2．若直线y＝x＋2与椭圆错误!＋错误!＝1有两个公共点，则m的取值范围是( ）【导学号：97792074】A．(－∞，0）∪（1，＋∞)B．(1，3)∪（3，＋∞)C．（－∞，－3)∪（－3,0) D．（1，3）B［由错误!消去y，整理得（3＋m）x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则错误!解得错误!由错误!＋错误!＝1表示椭圆，知m>0且m≠3。
综上可知，m>1且m≠3，故选B.］3．椭圆错误!＋错误!＝1的左焦点为F1,点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是( ）A．±错误!B．±错误!C．±错误!D．±错误!A［设椭圆的右焦点为F2，则原点O是线段F1F2的中点，从而OM綊12PF2，则PF2⊥F1F2，由题意知F2（3,0)，由错误!＋错误!＝1得y2＝错误!解得y＝±错误!，从而M的纵坐标为±错误!。
高三数学一轮复习 8.6 椭圆课时训练解析 新人教A版
高三数学一轮复习 8.6 椭圆课时训练解析 新人教A 版(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：由题意知a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 答案：D2．(2010·广东高考)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15解析：由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．答案：B3．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：把椭圆方程化成x 21m＋y 21n＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1m＞0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反之，若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1m＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件．答案：C4．(2011·长沙模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1D.x 216＋y 24＝1 解析：由x 2＋y 2－2x －15＝0， 知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.又e ＝c a ＝12，c ＝1.答案：A5．若椭圆上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( )A ．[14，13]B ．[13，12]C ．(13，1)D ．[13，1)解析：设P 到两个焦点的距离分别为2k ，k ，根据椭圆定义可知：3k ＝2a ，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k ≤2c ，∴2a ≤6c ，即e ≥13.答案：D6．过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．5x －3y －13＝0B ．5x ＋3y －13＝0C ．5x －3y ＋13＝0D ．5x ＋3y ＋13＝0解析：设过点P 的弦与椭圆交于A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)两点，则⎩⎨⎧x 216＋y 215＝1，x 226＋y225＝1，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，∴23(x 1－x 2)－25(y 1－y 2)＝0， ∴kA 1A 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝53. ∴弦所在直线方程为y ＋1＝53(x －2)，即5x －3y －13＝0. 答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是____________．解析：由题意知，2c ＝8，c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48， ∴方程是y 264＋x 248＝1. 答案：y 264＋x 248＝1 9．(2010·湖北高考)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________，直线x 0x2＋y 0y ＝1与椭圆C 的公共点个数为________．解析：依题意得点P 位于椭圆C 的内部(异于原点O )，因此有|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|＜2a ，即22－1≤|PF 1|＋|PF 1|＜22，2≤|PF 1|＋|PF 2|＜22，|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)；依题意，可考虑取特殊点P (－1,0)，相应的直线为x ＝－2，显然该直线与椭圆没有公共点，即直线x 0x2＋y 0y ＝1与椭圆的公共点的个数为0.答案：[2,2 2 ) 0三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m ，是否存在实数m ，使直线l 与(1)中的椭圆有两个不同的交点M 、N ，使|AM |＝|AN |，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，设椭圆的方程为x 2a2＋y 2＝1，设右焦点为(c,0)，则由点到直线的距离公式，得|c ＋22|2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝3，∴所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，∴4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－3m2，x 1·x 2＝3m 2－14，∴y 1＋y 2＝m2.∵|AM |＝|AN |，∴x 21＋y 1＋12＝x 22＋y 2＋12∴－3m 2＝－(m2＋2)， ∴m ＝2，此时判别式Δ＝0，∴满足条件的m 的值不存在．11．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP |最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2.解得a 2＝16，b 2＝12. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4. 因为MP ＝(x －m ，y )，所以|MP |2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12·(1－x 216)＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2.因为当|MP |最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点， 即当x ＝4时，|MP |2取得最小值．而x ∈[－4,4]，故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，所以－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是[1,4]．12．(2010·全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程． 解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a .l 的方程为y ＝x ＋c, 其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1.化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－b 2a 2＋b 2.因为直线AB 斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝ 2[x 1＋x 22－4x 1x 2].得43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |得k PN ＝－1. 即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.。
高考数学 8.6椭圆课时体能训练 理 新人教A版
【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 8.6椭圆课时体能训练 理 新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1.椭圆22x y 143+=的右焦点到直线y 的距离是( )（A ）12 （B （C ）1 （D 2.（2012·嘉兴模拟）已知A 为椭圆2222x y 1a b 0a b+=>>（）上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|=3∶1,则该椭圆的离心率为( )（A ）12 （B ）2 （C ）3（D ）13 3.（2012·哈尔滨模拟）椭圆2222x y 1a b 0a b+=>>（）的两顶点为A(a,0),B(0,b)，且左焦点为F ，△FAB是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )（A （B （C （D 4.（易错题）已知椭圆22x y 1,43+=若此椭圆上存在不同的两点A 、B 关于直线y=4x+m 对称，则实数m 的取值范围是( )(A)(1313-(B) (1313-(C) (13-(D) (5.若椭圆22x y 15m +=的离心率e =则m 的值为( )（A ）1 （B（C （D ）2533或6.已知F 1、F 2分别是椭圆2222x y 1a b 0a b+=>>（）的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足OA OB + =0（O 为坐标原点），212AF FF 0⋅= ，则直线AB 的方程是( )（A ）y=2x （B ）y=-2x （C ）y=-2x （D ）y=2x二、填空题（每小题6分，共18分）7.方程22x y 1k 3k 3+=-+表示椭圆，则k 的取值范围是______． 8.（易错题）已知F1、F2分别是椭圆2222x y 1a b 0a b+=>>（）的左、右焦点，以原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与椭圆在y 轴左侧交于A 、B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率等于______.9.椭圆M: 2222x y 1a b 0a b+=>>（）的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 为椭圆M 上任一点,且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是［2c 2，3c 2］,其中c =则椭圆M 的离心率e 的取值范围是______.三、解答题（每小题15分，共30分）10.（2012·衢州模拟）已知椭圆x 2+（m+3）y 2=m （m>0）的离心率e =求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长及顶点坐标.11.（预测题）已知点P （4，4），圆C ：（x-m)2+y 2=5(m ＜3) 与椭圆E: 2222x y 1a b+= a b 0>>（）有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切.（1）求m 的值与椭圆E 的方程；（2）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅的取值范围.【探究创新】（16分）已知直线x-2y+2=0经过椭圆C: 2222x y 1a b 0a b+=>>（）的左顶点A 和上顶点D,椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS,BS 与直线l :10x 3=分别交于M,N 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 的长度的最小值；（3）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得△T SB 的面积为15？若存在，确定点T 的个数，若不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选B.椭圆22x y 143+=的右焦点为F （1，0）,∴它到直线y =y 0-=2=2. 【解析】选B.设|AF 2|=m,则|AF 1|=3m, ∴2a=|AF 1|+|AF 2|=4m. 又在Rt △AF 1F 2中，12FF 2c.===12FF 2c e 2a 2a 4m 2∴====3. 【解析】选B.由题意知,|BF|2+|BA|2=|FA|2, 即(b 2+c 2)+(a 2+b 2)=(a+c)2, ∴b 2=ac, 即a 2-ac-c 2=0, ∴e 2+e-1=0,又e ＞0,1e .2∴=4. 【解析】选B.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), AB 的中点M （x,y)，21AB 21y y 1k ,x x 4-==-- x 1+x 2=2x,y 1+y 2=2y,22113x 4y 12 ,+=①22223x 4y 12 ,+=②①②两式相减得()()222221213x x 4y y 0-+-=，即y 1+y 2=3(x 1+x 2),即y=3x,与y=4x+m 联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部，则22m 9m 1,43+＜即m 【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧对于直线与椭圆相交问题，若题设和待求涉及到弦的中点和所在直线的斜率，求解时一般先设交点坐标，代入曲线方程，再用平方差公式求解，这种解法，大大减少了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算.5.【解析】选D.当椭圆22x y 15m+=的焦点在x 轴上时，a b c =由e =5=，解得m=3； 当椭圆22x y 15m+=的焦点在y 轴上时，a b c = 由e 5=，5=，解得25m .3=6.【解题指南】由OA OB +=0知，A 、B 两点关于原点对称，设出A 点坐标,利用向量列方程求解. 【解析】选A.设A(x 1,y 1)，因为OA OB +=0，所以B(-x 1,-y 1),2AF =(c-x 1,-y 1)，12FF=(2c,0)，又因为212AF FF 0⋅= ，所以(c-x 1,-y 1)·（2c,0)=0，即x 1=c ，代入椭圆方程得21b y a =，因为离心率e 2=，所以，a b c A(c,)2==，，，所以直线AB的方程是y x.2= 7.【解析】方程22x y 1k 3k 3+=-+表示椭圆，则 k 30k 30k 3k 3->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得k>3. 答案：k>38.【解析】因为△F 2AB是等边三角形，所以c A(2-在椭圆2222x y 1a b +=上，所以2222c 3c 14a 4b +=，因为c 2=a 2-b 2，所以，4a 4-8a 2c 2+c 4=0，即e 4-8e 2+4=0，所以，2e 4e 1=±=或e 1=（舍）．1【误区警示】11的错误，其错误原因是没有注意到或不知道椭圆离心率的范围.9.【解析】∵|PF 1|·|PF 2|的最大值为a 2, ∴由题意知2c 2≤a 2≤3c 2,a e ,2≤≤ ∴椭圆离心率e］. 答案:10.【解题指南】首先把椭圆的方程化为标准方程，再判断椭圆焦点位置，根据椭圆的离心率求m 的值，最后求长轴和短轴的长及顶点坐标.【解析】椭圆方程可化为22x y 1.m mm 3+=+ 因为m m 2m 0m 3m 3+-=>++m （），所以mm .m 3>+即22m a m,b ,c m 3====+由e 2==解得m=1. 所以1a 1b 2==，，椭圆的标准方程为22y x 1.14+=所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 四个顶点的坐标分别为（-1,0）,（1,0）,（10,2-）,（10,2）. 11.【解析】（1）点A 代入圆C 的方程，得（3-m ）2+1=5， ∵m ＜3,∴m=1.圆C 的方程为（x-1)2+y 2=5. 设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1:y=k(x-4)+4, 即kx-y-4k+4=0. ∵直线PF 1与圆C相切，=解得11k ,2=或1k .2= 当11k 2=时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为36,11不合题意，舍去. 当1k 2=时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为-4，∴c=4,F 1(-4,0),F 2(4,0).122a AF AF =+===a 2=18,b 2=2.椭圆E 的方程为：22x y 1.182+= (2) ()AP 1,3,Q x,y)AQ x 3,y 1),==-- （，（设()()()2222AP AQ x 33y 1x 3y 6.x y 1,x 3y 18,182⋅=-+-=+-+=+=即而x 2+(3y)2≥2|x|·|3y|,∴-18≤6xy ≤18.则(x+3y)2=x 2+(3y)2+6xy=18+6xy 的取值范围是［0，36］. x+3y 的取值范围是［-6，6］. ∴x +3y-6的取值范围是［-12，0］,即AP AQ ⋅的取值范围是［-12，0］.【变式备选】在平面直角坐标系xOy 中，经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆22x y 12+=有两个不同的交点P 和Q ． （1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A,B ，是否存在常数k ，使得向量OP OQ AB +与共线？如果存在，求出k 值；如果不存在，请说明理由． 【解析】（1）由已知条件，直线l的方程为y kx =代入椭圆方程得(22x kx 12+=．整理得221(k )x 10 2+++=① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于22218k 4(k )4k 202∆=-+=->，解得k k <>即k的取值范围为,,-∞+∞（）∪ （2）设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2),则()1212OP OQ x x ,y y ,+=++由方程①，122x x 12k+=-+． ② 又()1212y y k x x +=++ ③而),B(0,1),AB=()．所以OP OQ AB + 与共线等价于)1212x x y y +=+，将②③代入上式，解得k = 由（1）知k k <>故没有符合题意的常数k. 【探究创新】【解析】（1）由题知A(-2,0),D(0,1),故a=2,b=1,所以椭圆方程为：22x y 1.4+= （2）设直线AS 的方程为y=k(x +2)(k>0)，从而可知M 点的坐标为(1016k ,33). 由()22y k x 2x y 142⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得S(22228k 4k ,14k 14k -++)， 所以可得BS 的方程为()1y x 24k =--，从而可知N 点的坐标(101,33k-)， 16k 18MN 33k 3∴=+≥当且仅当1k 4=时等号成立，故当1k 4=时，线段MN 的长度取最小值83.（3）由（2）知,当|MN|取最小值时，1k 4=，此时直线BS 的方程为x+y-2=0，S(64,55)，BS 5∴=要使椭圆C 上存在点T ，使得△TSB 的面积等于15，只需T 到直线BS 的距离等于4，所以点T 在平行于直线BS 且与直线BS的直线 l ′上.直线BS ：x+y-2=0；直线l ′：x+y+m=0，得53m m ,22=-=-或则直线l ′：53x y 0x y 0,22+-=+-=或 225x y 02x 4y 40⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩，消去y 得5x 2-20x+21=0,Δ<0无解； 223x y 02x 4y 40,⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得5x 2-12x+5=0,Δ=44>0,有两个解, 所以点T 有两个．。
高考数学一轮强化训练 8.6椭圆 文 新人教A版
高考数学一轮强化训练 8.6椭圆 文 新人教A 版强化训练当堂巩固1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15答案:B解析:由2a,2b,2c 成等差数列,所以2b=a+c. 又222b ac =-,所以222()4()a c a c +=-. 所以53a c =.所以35c e a ==.2.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P.若AP 2PB =,则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12 答案:D解析:对于椭圆,∵AP 2PB =,则OA 2OF =, ∴a=2c.∴12e =.3.已知椭圆22221(y x a b a b +=>>0)的左、右焦点分别为1(0)F c -,、2(0)F c ,,若椭圆上存在一点P 使1221sin PFF sin PF F a c =,∠∠则该椭圆的离心率的取值范围为 . 答案:(211)-,解析:因为在△12PF F 中,由正弦定理得211221sin PFF sin PF F PF PF ||||=,∠∠则由已知,得1211a c PF PF =,||||即a|1PF |=c|2PF |. 由椭圆的定义知|1PF |+|2PF |=2a,则c a |2PF |+|2PF |=2a,即|2PF |22a c a=,+ 由椭圆的几何性质知|2PF |<a+c,则22a c a<+a+c,即2220c c a +->, 所以221e e +-,解得21e <-或21e >.又(01)e ∈,,故椭圆的离心率211)e ∈,.4.椭圆22192y x +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上,若|1PF |=4,则|2PF |= ;12F PF ∠的大小为 .答案:2 120 解析:∵2292a b =,=,∴22927c a b =--=∴|12F F |27=又|1PF |=4,|1PF |+|2PF |=2a=6, ∴|2PF |=2.又由余弦定理,得cos 2221224(27)12F PF +-∠==-,∴12120F PF ∠=,故应填2,120.5.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的离心率3e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A 的坐标为(-a,0).①若|AB|42=求直线l 的倾斜角; ②若点0(0)Q y ,在线段AB 的垂直平分线上,且QA QB ⋅=4.求0y 的值.解:(1)由3c e a ==得2234a c =.再由222c a b =-,解得a=2b. 由题意可知12242a b ⨯⨯=,即ab=2.解方程组 22a b ab =,⎧⎨=,⎩得a=2,b=1.所以椭圆的方程为2214x y +=. (2)①由(1)可知点A 的坐标是(-2,0).设点B 的坐标为11()x y ,,直线l 的斜率为k. 则直线l 的方程为y=k(x+2).于是A,B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+,⎧⎪⎨+=.⎪⎩ 消去y 并整理,得 2222(14)16(164)0k x k x k +++-=.由212164214k x k --=,+得2122814k x k -=+.从而124k y =. 所以|AB|22222241284(2)()1414k k k k k +-=--+=++. 由|AB|42=24142k +=. 整理得42329230k k --=,即22(1)(3223)0k k -+=,解得1k =±. 所以直线l 的倾斜角为4π或34π.②设线段AB 的中点为M,由①得M 的坐标为22282()1414kk k k -,++.以下分两种情况:(ⅰ)当k=0时,点B 的坐标是(2,0),线段AB 的垂直平分线为y 轴, 于是0QA (2)y =-,-,0QB (2)y =,-. 由QA QB ⋅=4,得022y =±.(ⅱ)当0k ≠时,线段AB 的垂直平分线方程为222281()1414k k y x k k k -=-+++.令x=0,解得02614k y k=-+.由0QA (2)y =-,-,QB 110()x y y =,-,QA QB ⋅10102()x y y y =---222222(28)646()14141414k k k k k k k k --=++++++ 42224(16151)4(14)k k k +-==,+ 整理得272k =.故14k = 所以0214y =. 综上022y ,=±0214y =. 课后作业巩固提升见课后作业A题组一 椭圆的离心率问题1.椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的右焦点为F,其右准线与x 轴的交点为A,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( )A.2(0]B.1(0]2,C.[211)-,D.1[1)2,答案:D解析:|AF|22a b c c c =-=,而|PF|a c ≤+,所以2b a c c+≥, 即2210e e +-≥,解得112e ≤<.2.已知12F F ,是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△2ABF 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( ) 32212答案:C解析:根据题意:2145AF F ∠=2222b c e e a,=,+-1=0,又(01)e ∈,,∴21e =-. 3.设椭圆22221(0y x m m n+=>,n>0)的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为( )A.2211216y x +=B.2211612y x +=C.2214864y x += D.2216448y x += 答案:B解析:由题意可知:c=2,且焦点在x 轴上.由12e =,可得m=4,∴22212n m c =-=.故选B.题组二 椭圆的定义4.设P 是椭圆2212516y x +=上的点.若12F F ,是椭圆的两个焦点,则|1PF |+|2PF |等于( ) A.4 B.5 C.8 D.10 答案:D解析:因为a=5,所以|1PF |+|2PF |=2a=10.5.设直线l :2x+y-2=0与椭圆2214y x +=的交点为A 、B,点P 是椭圆上的动点,则使△PAB 面积为13的点P 的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案:D解析:联立方程组 2222014x y y x +-=,⎧⎪⎨+=,⎪⎩ 消去y 整理解得:02x y =,⎧⎨=⎩ 或 10x y =,⎧⎨=,⎩ |AB|5=, 结合图象知P 的个数为4.题组三 椭圆的综合应用6.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,3且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为 .答案:221369y x += 解析:3212e a a ==,=6,b=3,则所求椭圆方程为221369y x +=.7.已知1F 、2F 是椭圆C:22221(y x a b a b+=>>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥.若△12PF F 的面积为9,则b= .答案:3解析:依题意,有 1212222122184PF PF a PF PF PF PF c ||+||=,⎧⎪||⋅||=,⎨⎪||+||=,⎩ 可得2436c +24a =,即229a c -=,∴b=3.8.在平面直角坐标系xOy 中1212A A B B ,,,,为椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的四个顶点,F 为其右焦点,直线12A B 与直线1B F 相交于点T,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为 . 答案:275-解析:直线12A B 的方程为:1yx a b +=-;直线1B F 的方程为:1y x c b +=-;二者联立解得点()2()b a c ac T a c a c+,,--则OT 中点()()2()b a c ac M a c a c +,--在椭圆22221(y x a b a b+=>>0)上, 222222()11030()4()a c c c ac a a c a c ++=,+-=,--3e +10e-3=0, 解得275e =-.9.已知椭圆C:2212x y +=的两焦点为12F F ,,点00()P x y ,满足2200012x y <+<,则|1PF |+|2PF |的取值范围为,直线02x x+01y y =与椭圆C 的公共点个数为 .答案:[222), 0解析:延长1PF 交椭圆C 于点M,故|12F F |≤|1PF |+|2PF |<|1MF |+|2MF |=2a,即2≤|1PF |+|2PF |22<;当00y =时2002x ,<<,直线0012x xy y +=为x=02(2)(2)x ∈-∞,-⋃,+∞与椭圆C 无交点;当00y ≠时,直线0012x xy y +=为0012x xy y -=,代入2212x y +=中有 222000()222x y x x x +-+-2020y =. ∵2222000044()(22)2x x y y ∆=-+-22008(1)02x y =+-<,∴直线与椭圆无交点.10.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D,且2BF FD =,则椭圆C 的离心率为 .答案3解析:如图,不妨设B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,设D(x,y).由2BF FD =,得(c,-b)=2(x-c,y),即 2()2c x c b y =-,⎧⎨-=,⎩ 解得322c x b y ⎧=,⎪⎨⎪=-,⎩ 3()22c b D ,-.由2BF FD =,可得|FD |12=|BF |2a =, ①又由椭圆第二定义知,|FD |2233()()22a c a c c e c c a=-⋅=-⋅. ②由①②解得223a c =,即213e =,∴33e =. 11.如图,椭圆C:22221y x a b+=的顶点为1212A A B B ,,,,焦点为12F F ,,|11A B |7=,1122B A B A S11222B F B F S =.(1)求椭圆C 的方程;(2)设n 为过原点的直线,l 是与n 垂直相交于P 点.与椭圆相交于A,B 两点的直线,|OP |=1.是否存在上述直线l 使0OA OB ⋅=成立?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)由|11A B |7=知227a b +=, ①由112211222B A B A B F B F SS=知a=2c, ②又222b ac =-, ③由①②③,解得2243a b =,=,故椭圆C 的方程为22143y x +=. (2)设A,B 两点的坐标分别为1122()()x y x y ,,,,假设使0OA OB ⋅=成立的直线l 存在,①当l 不垂直于x 轴时,设l 的方程为y=kx+m , 由l 与n 垂直相交于P 点且|OP |=1得211m k||=, +即221 m k=+.由0OA OB⋅=得1212x x y y+=.将y=kx+m代入椭圆方程,得222(34)8(412)0k x kmx m+++-=,由求根公式可得122834kmx xk-+=,+④212241234mx xk-=+. ⑤121212120()()x x y y x x kx m kx m=+=+++221212(1)()k x x km x x m=++++,将④⑤代入上式并化简得222222(1)(412)8(34)0k m k m m k+--++=. ⑥将221m k=+代入⑥并化简得25(1)0k-+=,矛盾.即此时直线l不存在.②当l垂直于x轴时,满足|OP|=1的直线l的方程为x=1或x=-1,则A,B两点的坐标为33(1)(1)22,,,-或(-133)(1)22,,-,-,当x=1时33(1)(1)22OA OB,⋅=,⋅,-=504-≠;当x=-1时3(1)(12OA OB,⋅=-,⋅-,32-5)04=-≠,∴此时直线l也不存在.综上可知,使0OA OB⋅=成立的直线l不存在.12.如图,已知椭圆22221yxa b+=（a>b>0)过点2(1),,离心率为2,左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为A B,和C,D,O.为坐标原点(1)求椭圆的标准方程.(2)设直线1PF,PF2的斜率分别为1k,k2.(ⅰ)证明:12312k k-=.(ⅱ)问直线l上是否存在点P,使得直线OA OB OC OD,,,的斜率kOA,kOB,kOC,kOD满足+OA k +0OB OC OD k k k +=?若存在,求出所有满足条件的点P 的坐标;存不存在,说明理由.解:(1)因为椭圆过点22(1)e ,,=, 所以22211122c a a b+=,=.又222a b c =+,所以21a b c =,=,=1.故所求椭圆的标准方程为2212x y +=. (2)(ⅰ)证明:方法一:由于1(10)F -,,F 21(10)PF ,,,PF 2的斜率分别为1k ,k 2,且点P 不在x轴上,所以121200k k k k ≠,≠,≠.又直线12PF PF ,的方程分别为12(1)(1)y k x y k x =+,=-,联立方程解得 122112212k k x k k k k y k k +⎧=,⎪-⎪⎨⎪=,-⎪⎩所以121221212()k k k k P k k k k +,--. 由于点P 在直线x+y=2上,所以12122122k k k k k k ++=-.因此1212230k k k k +-=, 即12312k k -=,结论成立. 方法二:设00()P x y ,,则00120011y yk k x x =,=+-. 因为点P 不在x 轴上,所以0y ≠. 又002x y +=,所以000012000013(1)422312x x x y k k y y y y +---=-===. 因此结论成立.(ⅱ)设()()()A A B B C C A x y B x y C x y ,,,,,,()D D D x y ,.联立直线1PF 与椭圆的方程得 122(1)12y k x x y =+,⎧⎪⎨+=,⎪⎩ 化简得2222111(21)4220k x k x k +++-=,因此221122114222121A B A B k k x x x x k k -+=-,=,++由于OA,OB 的斜率存在,所以00A B x x ≠,≠,因此2101k ≠,.因此11(1)(1)A B A B OA OB A B A By y k x k x k k x x x x +++=+=+ 211112142(2)22A B A B x x k k k k x x k +=+=--12121k k =--. 相似地,可以得到220001C D x x k ≠,≠,≠,,22221OC OD k k k k +=-,- 故1222122()11OA OB OC OD k k k k k k k k +++=-+-- 2212112222122(1)(1)k k k k k k k k -+-=--- 121222122(1)()(1)(1)k k k k k k -+=---. 若0OA OB OC OD k k k k +++=,须有120k k +=或121k k =.①当120k k +=时,结合(ⅰ)的结论,可得22k =-,所以解得点P 的坐标为(0,2);②当121k k =时,结合(ⅰ)的结论,解得23k =或21(k =-此时11k =-,不满足12k k ≠,舍去),此时直线CD 的方程为y=3(x-1),联立方程x+y=2得5344x y =,=.因此53()44P ,.综上所述,满足条件的点P 的坐标分别为(0532)()44,,,.。
高考数学总复习 8.5椭圆提高分课时作业(含2013年模拟题) 新人教A版
高考数学总复习 8.5椭圆提高分课时作业（含2013年模拟题）新人教A 版【考点排查表】考查考点及角度 难度及题号错题记录基础 中档 稍难 椭圆的定义及标准方程 1,2,3 7 椭圆的几何性质 5 4,6,8 9 直线与椭圆的位置关系 1011,1213一、选择题1．(2013·宁波模拟)已知椭圆的中心为原点，离心率e ＝32，且它的一个焦点与抛物线x 2＝－43y 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B.x 24＋y 2＝1C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 【解析】 抛物线的焦点为(0，－3)，椭圆的中心在原点，则所求椭圆的一个焦点为(0，－3)，即半焦距c ＝3，又离心率e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1，故所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.故选A.【答案】 A2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3,0)B ．(－4,0)C ．(－10,0)D ．(－5,0)【解析】∵圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3，又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5. ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)． 【答案】 D3．(2013·韶关模拟)已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8【解析】 将椭圆的方程转化为标准形式为y 2m －22＋x 210－m2＝1，显然m －2＞10－m ，即m ＞6，(m －2)2－(10－m )2＝22， 解得m ＝8. 【答案】 D 4．(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2C ．3D ．2【解析】 设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．半焦距为c 1，则椭圆的离心率为e 1＝c 1a. 设双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，半焦距为c 2，则双曲线的离心率为e 2＝c 2m.由双曲线与椭圆共焦点知c 1＝c 2.由点M ，O ，N 将椭圆长轴四等分可知m ＝a －m ，即2m ＝a .∴e 2e 1＝c 2m c 1a＝am＝2. 【答案】 B5．(2013·温州模拟)已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个【解析】 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．【答案】 C6．如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，左焦点为F ，A 、B 、C 为其三个顶点，直线CF 与AB 交于D 点，则tan ∠BDC 的值等于( )A ．33B ．－3 3 C.35D.－35【解析】 由e ＝12知b a ＝1－e 2＝32，c b ＝33.由图知tan ∠DBC ＝tan ∠ABO ＝a b ＝233，tan ∠DCB ＝tan ∠FCO ＝cb ＝33. ta n ∠BDC ＝－tan(∠DBC ＋∠DCB )＝－233＋331－233·33＝－3 3.【答案】 B 二、填空题7．(2011·江西高考)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________________．【解析】 设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34， 所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0， 求得切点A 35，45，易知另一切点B (1,0)， 则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2. 令y ＝0得右焦点为(1,0)， 令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2＝b 2＋c 2＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.【答案】x 25＋y 24＝18．(2013·武汉模拟)在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为________．【解析】设另一个焦点为F ，如图所示，∵|AB |＝|AC |＝1，△ABC 为直角三角形， ∴1＋1＋2＝4a ，则a ＝2＋24，设|FA |＝x ，∴⎩⎨⎧x ＋1＝2a ，1－x ＋2＝2a ，∴x ＝22， ∴1＋222＝4c 2，∴c ＝64，e ＝c a＝6－ 3. 【答案】6－ 39．(2013·镇江调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF →1·PF →2＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．【解析】 设P (x ，y )，则PF →1·PF →2＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝3c 2－a 2a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 三、解答题10．(2012·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点P55a ，22a 在椭圆上． (1)求椭圆的离心率．(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上，且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．【解】 (1) 点P55a ，22a 在椭圆上 ⇔15a 2a 2＋12a 2b 2＝1⇔b 2a 2＝58⇔e 2＝1－b 2a 2＝38⇔e ＝64.(2)设Q (a cos θ，b sin θ)(0≤θ≤2π)；则A (－a,0) |AQ |＝|AO |⇔a 2(1＋cos θ)2＋b 2sin 2θ＝a 2⇔3cos 2θ－16cos θ＋5＝0⇔cos θ＝13.直线OQ 的斜率k OQ ＝b sin θa cos θ＝± 5.11．如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．【解】 (1)∵∠F 1AF 2＝60°，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.(2)设|BF 2|＝m ；则|BF 1|＝2a －m . 在△BF 1F 2中，由余弦定理得：|BF 1|2＝|BF 2|2＋|F 1F 2|2－2|BF 2||F 1F 2|cos 120°， 即(2a －m )2＝m 2＋a 2＋am ，所以m ＝35a .△AF 1B 面积S ＝12|F 2F 1|×|AB |sin 60°，∴12aa ＋35a ×32＝403， 解得a ＝10，c ＝5，b ＝5 3.12．(文)(2012·山东高考)如图，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.(1)求椭圆M 的标准方程；(2) 设直线l ：y ＝x ＋m (m ∈R )与椭圆M 有两个不同的交点P ，Q ，l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S ，T .求|PQ ||ST |的最大值及取得最大值时m 的值．【解析】 (1)e ＝c a ＝32⇒a 2－b 2a 2＝34①矩形ABCD 面积为8，即2a ·2b ＝8② 由①②解得：a ＝2，b ＝1， ∴椭圆M 的标准方程是x 24＋y 2＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4y ＝x ＋m⇒5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－85m ，x 1x 2＝4m 2－45，由Δ＝64m 2－20(4m 2－4)>0得 －5<m < 5. |PQ |＝2－85m 2－44m 2－45＝4255－m 2. 当l 过A 点时，m ＝1，当l 过C 点时，m ＝－1. ①当－5<m <－1时，有S (－m －1，－1)，T (2,2＋m )，|ST |＝2(3＋m )，|PQ ||ST |＝455－m 23＋m2＝45－4t 2＋6t－1，。
高中数学 课时分层作业8 椭圆的简单几何性质 新人教A版选修2-1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题课时分层作业(八) 椭圆的简单几何性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A ．x 236＋y 216＝1 B ．x 216＋y 236＝1 C ．x 26＋y 24＝1D ．y 26＋x 24＝1A [由题意知⎩⎨⎧a ＋b ＝10c ＝25c 2＝a 2－b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝4因此所求椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.]2．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距D [由25－9＝(25－k )－(9－k )知，两椭圆有相等的焦距．]3．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )【导学号：46342074】A ．12B ．13C ．14D ．22A [由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为( )A ．22 B ．32 C ．3－12 D ．5－12D [在Rt△ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2.将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0, 解得e ＝－1±52，因为0<e <1，所以e ＝5－12.故选D.] 5．如图226，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的左焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝( )图226A ．35B ．30C ．25D ．20A [设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性，知|P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，所以原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋|P 4F |＝7a ＝35.]二、填空题6．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________．12 [如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12.] 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．x 245＋y 236＝1 [设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2＋16b 2＝1c a ＝55，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45b 2＝36因此所求椭圆方程为x 245＋y 236＝1.]8．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________.【导学号：46342075】[1,2] [因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.]三、解答题9．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P在椭圆上，且∠OPA ＝120°，求椭圆的离心率．[解] 不妨设A (a,0)，点P 在第一象限内，由题意知，点P 的横坐标是a 2，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32b ，又∠OPA ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan∠POA ＝32b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝(3b )2－b 23b ＝223.10．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D (2,0)．设点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程．(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程.【导学号：46342076】[解] (1)因为a ＝2，c ＝3，所以b ＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12.又因为x 24＋y 20＝1，所以(2x －1)24＋⎝⎛⎭⎪⎫2y －122＝1，即为中点M 的轨迹方程．[能力提升练]1．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x轴，若|PF |＝14|AF |，则该椭圆的离心率是( )A.14 B ．34 C ．12 D.32 B [由于PF ⊥x 轴，则令x ＝－c ，代入椭圆方程，解得，y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b4a2，y ＝±b 2a ，又|PF |＝14|AF |，即b 2a ＝14(a ＋c )，即有4(a 2－c 2)＝a 2＋ac ， 即有(3a －4c )(a ＋c )＝0，则e ＝c a ＝34，故选B.]2．“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，当0<m <4时，4－m 2＝12，得m ＝3， 当m >4时，m －4m＝12，得m ＝163， 即“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的充分不必要条件．]3．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为________．x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3a －c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，则b 2＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________．12 [由AP →＝2PB →，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ，则离心率e ＝12.] 5．已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.【导学号：46342077】[解] (1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6.由于y >0，所以只能取x ＝32，于是y ＝523.所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，523.(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，又B (6,0)，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x －922＋15，9 2时，d取最小值为15.由于－6≤x≤6，所以当x＝。
《2.1椭圆》课时提升作业含试卷分析详解人教A版必修1-1 九 2.1.1
课时提升作业 九椭圆及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.(·青岛高二检测)已知椭圆x 225+y 216=1上一点P 到其中一个焦点的距离为3,则点P 到另一个焦点的距离为 ( )A.2B.3C.5D.7【解析】选 D.设该椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,利用椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=10.不妨令|PF 1|=3,则|PF 2|=7.2.(·日照高二检测)已知椭圆x 225+y 29=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是 ( ) A.2 B.4 C.8 D.32【解析】选B.设椭圆的另一个焦点为E,如图,则|MF|+|ME|=10, 所以|ME|=8.又ON 为△MEF 的中位线, 所以|ON|=12|ME|=4.3.椭圆x 2m +y 24=1的焦距是2,则m 的值是 ( )A.5B.3或8C.3或5D.20【解析】选C.由题意得2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1, 所以m=5或m=3.4.(·淄博高二检测)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为√3,则这个椭圆的方程 为 ( ) A.x 212+y 29=1 B.x 29+y 212=1C.x 212+y 29=1或x 29+y 212=1D.以上都不对【解析】选C.设短轴的一个端点为P,焦点分别为F 1,F 2,因为△PF 1F 2为正三角形,所以|OP|=√32|F 1F 2|,可得b=√3c,即√2−c 2=√3c.① 又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为√3, 所以a-c=√3,②联立①②,可得a=2√3,c=√3,b=√2−c 2=3.因此a 2=12且b 2=9,可得椭圆的标准方程为x 212+y 29=1或x 29+y 212=1.5.已知椭圆x 24+y 2=1的焦点为F 1,F 2,点M 在该椭圆上,且M F 1→·M F 2→=0,则点M 到x 轴的距离为 ( ) A.2√33B.2√63C.√33D.√3【解题指南】由M F 1→·M F 2→=0知△MF 1F 2为直角三角形,可根据面积求M 到x 轴的距离.【解析】选C.由M F 1→·M F 2→=0,得MF 1⊥MF 2,可设|MF 1→|=m,|MF 2→|=n,在△F 1MF 2中,由m 2+n 2=4c 2得(m+n)2-2mn=4c 2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a 2-4c 2,故mn=2b 2,即mn=2, 所以S △F 1MF 2=12·mn=1,设点M 到x 轴的距离为h,则12×|F 1F 2|×h=1,又|F 1F 2|=2√3,故h=√33. 二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为 . 【解析】由题意可得{a +c =3,a −c =1.所以{a =2,c =1.故b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆方程为x 24+y 23=1. 答案:x 24+y 23=17.设P 是椭圆x 216+y 29=1上的点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF 1|·|PF 2|的最大值是 .【解析】由题意知:|PF 1|+|PF 2|=2a=8, 所以|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2=(82)2=16,当且仅当|PF 1|=|PF 2|时取“=”,故|PF 1|·|PF 2|的最大值是16. 答案:168.如图所示,F 1,F 2分别为椭圆x 2a2+y 2b 2=1的左、右焦点,点P 在椭圆上,△POF 2是面积为√3的正三角形,则b 2= .【解析】由题意S △POF 2=√34c 2=√3,所以c=2,所以a 2=b 2+4.由题意得点P 坐标为(1,√3),把x=1,y=√3代入椭圆方程x 2b +4+y 2b =1中得1b 2+4+3b2=1,解得b 2=2√3答案:2√3三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程. 【解析】当焦点在x 轴上时,设其方程为x 2a+y 2b=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知9a+0b=1,又a=3b,解得b 2=1,a 2=9,故椭圆的方程为x 29+y 2=1. 当焦点在y 轴上时,设其方程为y 2a2+x 2b2=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知0a+9b=1,又a=3b,联立解得a 2=81,b 2=9,故椭圆的方程为y 281+x 29=1.故椭圆的标准方程为y 281+x 29=1或x 29+y 2=1.10.(·郑州高二检测)如图,设P 是圆x 2+y 2=25上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影,M 为PD 上一点,且|MD|=45|PD|.当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程.【解题指南】设M(x,y),由等式|MD|=45|PD|坐标化,即得轨迹方程.【解析】设点M 的坐标是(x,y),P 的坐标是(x P ,y P ),因为点D 是P 在x 轴上的投影,M 为PD 上一点,且|MD|=45|PD|,所以x P =x,且y P =54y.因为P 在圆x 2+y 2=25上,所以x 2+(54y)2=25,整理得x 225+y 216=1,即点M 的轨迹C 的方程是x 225+y 216=1.1.(·郑州高二检测)已知方程x 2|m|−1+y 22−m=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是 ( )A.m<2B.1<m<2C.m<-1或1<m<2D.m<-1或1<m<32【解析】选D.由题意得{|m|−1>0,2−m >0,2−m >|m|−1.即{m >1或m <−1,m <2,0≤m <32或m <0.所以1<m<32或m<-1.2.(·临沂高二检测)设椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P(a,b)满足|F 1F 2|=|PF 2|,设直线PF 2与椭圆交于M,N 两点,若|MN|=16,则椭圆的方程 为 ( ) A.x 2144+y 2108=1 B.x 2100+y 275=1C.x 236+y 227=1 D.x 216+y 212=1【解析】选B.因为点P(a,b)满足|F 1F 2|=|PF 2|,所以√(a −c)2+b 2=2c,整理得2(c a )2+c a -1=0,所以c a =12.所以a=2c,b=√3c,可得椭圆方程为3x 2+4y 2=12c 2,直线PF 2的方程为y=√3代入椭圆方程,消去y 并整理,得5x 2-8cx=0,解得x=0或85c,得M(0,-√3c),N (85c,3√35c),所以|MN|=165c=16,所以c=5,所以椭圆方程为x 2100+y 275=1.3.(·温州高二检测)已知椭圆x 24+y 22=1的两个焦点是F 1,F 2,点P 在该椭圆上,若|PF 1|-|PF 2|=2,则△PF 1F 2的面积是 . 【解析】由已知得|F 1F 2|=2c=2√2,|PF 1|+|PF 2|=4, 又|PF 1|-|PF 2|=2, 所以得|PF 1|=3,|PF 2|=1, 因此|PF 2|2+|F 1F 2|2=|PF 1|2, 所以△PF 1F 2是直角三角形, 所以S △PF 1F 2=12·|F 1F 2|·|PF 2|=√2.答案:√24.(·唐山高二检测)已知椭圆C:x 22+y 2=1的焦点F(1,0),直线l :x=2,点A ∈l ,线段AF 交C 于点B,若F A →=3F B →,则|A F →|=【解题指南】设出A 点的坐标,利用F A →=3F B →求出A 点坐标,即可求出|A F →|的大小.【解析】设A(2,y 0),B(x 1,y 1),F A →=(1,y 0),F B →=(x 1-1,y 1),由F A →=3F B →,得(1,y 0)=3(x 1-1,y 1), 所以{x 1=43,y 1=y 03,又点B 在椭圆C 上,所以(43)22+(y 03)2=1,解得y 0=±1,所以A 点坐标为(2,±1),所以|A F →|=√(2−1)2+(±1−0)2=√2. 答案:√2三、解答题(每小题10分,共20分)5.(·烟台高二检测)已知椭圆y 2a2+x 2b 2=1(a>b>0)的焦点分别为F 1(0,-1),F 2(0,1),且3a 2=4b 2. (1)求椭圆的方程.(2)设点P 在这个椭圆上,且|PF 1|-|PF 2|=1,求∠F 1PF 2的余弦值. 【解析】(1)由题意得椭圆焦点在y 轴上,且c=1. 又因为3a 2=4b 2,所以a 2-b 2=14a 2=c 2=1,所以a 2=4,b 2=3,所以椭圆标准方程为y 24+x 23=1.(2)如图所示,|PF 1|-|PF 2|=1.又由椭圆定义知, |PF 1|+|PF 2|=4, 所以|PF 1|=52,|PF 2|=32,|F 1F 2|=2,cos ∠F 1PF 2=(52)2+(32)2−222×52×32=35. 6.(·连云港高二检测)设F 1,F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点,B 为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P 是该椭圆上的一个动点,求|PF 1|·|PF 2|的最大值. (2)若C 为椭圆上异于B 的一点,且B F 1→=λC F 1→,求λ的值. (3)设P 是该椭圆上的一个动点,求△PBF 1的周长的最大值. 【解析】(1)因为椭圆的方程为x 24+y 2=1,所以a=2,b=1,c=√3, 即|F 1F 2|=2√3,又因为|PF 1|+|PF 2|=2a=4, 所以|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2=(42)2=4,当且仅当|PF 1|=|PF 2|=2时取“=”, 所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4. (2)设C(x 0,y 0),B(0,-1),F 1(-√3,0), 由B F 1→=λC F 1→得x 0=√3(1−λ)λ,y 0=-1λ. 又x 024+y 02=1,所以有λ2+6λ-7=0, 解得λ=-7或λ=1,C 异于B 点,故λ=1舍去.所以λ=-7. (3)因为|PF 1|+|PB|=4-|PF 2|+|PB|≤4+|BF 2|, 所以△PBF 1的周长≤4+|BF 2|+|BF 1|=8,所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时,△PBF 1周长最大,最大值为8.。
高考数学第一轮总复习 8.5 椭圆课时提升作业 文(含模拟题,解析)新人教A版
高考数学第一轮总复习 8.5 椭圆课时提升作业文（含模拟题，解析）新人教A版(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014·宜昌模拟)已知椭圆C的短轴长为6,离心率为,则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A.9B.1C.1或9D.以上都不对2.(2013·大纲版全国卷)椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是,那么直线PA1斜率的取值范围是( )A. B.C. D.3.(2014·黄石模拟)设椭圆+=1(a>b>0)的离心率为e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)( )A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情形都有可能4.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=15.设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( )A.9,12B.8,11C.8,12D.10,126.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )A. B. C. D.7.已知椭圆+=1,若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.8.(能力挑战题)已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,A是椭圆上一动点,圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切,若M(t,0)为一个切点,则( )A.t=2B.t>2C.t<2D.t与2的大小关系不确定二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2014·仙桃模拟)已知椭圆+=1的焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点,若连接F1,F2,P三点恰好能构成直角三角形,则点P到y轴的距离是.10.分别过椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1,l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是.11.(2014·镇江模拟)已知点A(0,2)及椭圆+y2=1上任意一点P,则|PA|的最大值为.12.(能力挑战题)已知椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,上顶点为B,右焦点为F.设线段AB的中点为M,若2·+≥0,则该椭圆离心率的取值范围为.三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.如图,F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.(1)求椭圆C的离心率.(2)已知△AF1B的面积为40,求a,b的值.14.(2014·南宁模拟)设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C 两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程.(2)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.15. (能力挑战题)(2013·重庆高考)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A′两点,|AA′|=4.(1)求该椭圆的标准方程.(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′,过P,P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.答案解析1.【解析】选C.依题设知:解得a=5,b=3,c=4.所以椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a+c=9或a-c=1.2.【解析】选B.设P(x0,y0),则+=1,=,=,·===-,故=-.因为∈[-2,-1],所以∈.3.【解析】选A.因为e=,所以=.因为a2=b2+c2,所以b2=a2.因为x1+x2=-,x1·x2=-,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=+1==<2.所以P点在圆x2+y2=2内.4.【解析】选D.由椭圆+=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因为过点F的直线与椭圆+=1(a>b>0)交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=-1,则b2+a2=a2b2 ①,b2+a2=a2b2 ②,由①-②得b2(-)+a2(-)=0,化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,=,又直线的斜率为k==,即=.因为b2=a2-c2=a2-9,所以=,解得a2=18,b2=9.故椭圆方程为+=1.5.【思路点拨】可先求点P到两圆圆心的距离之和,注意两圆圆心与椭圆焦点的关系.【解析】选C.可先求点P到两圆圆心的距离,然后再加两圆半径和或再减两圆半径和,因为两圆圆心分别为椭圆的左、右焦点,所以点P到两圆圆心的距离的和为2a=10,因此所求最大值为2a+2,最小值为2a-2,故最大值是12、最小值是8.6.【解析】选D.因为PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,所以|PF2|=2ctan 30°=c,|PF1|= c.又|PF1|+|PF2|=c=2a,所以=,即椭圆的离心率为,选D.7.【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),kAB==-,x1+x2=2x,y1+y2=2y,3+4=12 ①,3+4=12 ②,①②两式相减得3(-)+4(-)=0,即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,则+<1,即-<m<.【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧对于直线与椭圆相交问题,若题设和待求涉及弦的中点和所在直线的斜率,求解时一般先设交点坐标,代入曲线方程,再用平方差公式求解,这种解法大大减少了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算.8.【思路点拨】先画出图形,注意圆的切线的性质以及椭圆的定义即可求解.【解析】选A.如图,P,Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点,则|MF2|=|F2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|,即|F1M|+|MF2|=2a.所以t=a=2.9.【解析】依题意:F1(0,-3),F2(0,3).又因为3<4,所以∠F1F2P=90°或∠F2F1P=90°,设P(x,3),代入椭圆方程得:x=±,即点P到y轴的距离为.答案:10.【思路点拨】关键是由l1,l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.又点P在椭圆内部,所以有c2<b2,又b2=a2-c2,所以有c2<a2-c2,即2c2<a2,亦即:<,所以0<<.答案:【加固训练】已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2=,则椭圆的离心率e的取值范围为.【解析】设椭圆的短轴的一个端点为B,则∠F1BF2≥,在△BF1F2中,sin∠OBF2==e≥sin=,故≤e<1.答案:11.【解析】设P(x0,y0),则-2≤x0≤2,-1≤y0≤1,所以|PA|2=+(y0-2)2.因为+=1,所以|PA|2=4(1-)+(y0-2)2=-3-4y0+8=-3+.因为-1≤y0≤1,而-1<-<1,所以当y0=-时,|PA=,即|PA|max=.答案:12.【解析】由题意得A(-a,0),B(0,b),M,F(c,0),则=,=,=(c,-b).由2·+≥0可得c2+2ac-2a2≤0,解得e∈[-1-,-1+].又e∈(0,1),所以椭圆的离心率的取值范围为(0,-1].答案:(0,-1]13.【解析】(1)∠F1AF2=60°⇒a=2c⇒e==.(2)设|BF2|=m(m>0),则|BF1|=2a-m,在△BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|×|F1F2|×cos120°, 即(2a-m)2=m2+a2+am,所以m= a.△AF1B的面积S=×|AF1|×|AB|×sin60°=×a××=40,所以a=10,c=5,b=5.【一题多解】本题第(2)问还可以用如下的方法解决:设|AB|=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a.由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a可知,|BF1|=3a-t,再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos60°可得,t= a.由=a·a·=a2=40知,a=10,b=5.14.【解析】(1)依题意知,2a=4,所以a=2.因为e==,所以c=,b==.所以所求椭圆C的方程为+=1.(2)因为点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),所以解得x1=,y1=.所以3x1-4y1=-5x0.因为点P(x0,y0)在椭圆C:+=1上,所以-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10.所以3x1-4y1的取值范围为[-10,10].【加固训练】设A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点,为椭圆上一点,椭圆长半轴的长等于焦距.(1)求椭圆的方程.(2)设P(4,x)(x≠0),若直线AP,BP分别与椭圆相交异于A,B的点M,N,求证:∠MBN为钝角.【解析】(1)依题意,得a=2c,b2=a2-c2=3c2.则椭圆方程为+=1,将代入,得c2=1.故椭圆方程为+=1.(2)由(1)知,A(-2,0),B(2,0),设M(x0,y0),则-2<x0<2,=(4-).由P,A,M三点共线,得x=,=(x0-2,y0),=,·=2x0-4+=(2-x0)>0,即∠MBP为锐角,则∠MBN为钝角.15.【解析】(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1.由e=,得b2==8,从而a2==16,故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0),又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+ y2=x2-2x0x ++81-=(x-2x0)2-+8(x∈).设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因为x1∈,所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以S =|2y1||x1-x0|=×2|x0|==.当x0=±时,△PP′Q的面积S取到最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP| ==,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.。
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【全程复习方略】（山东专用）2014版高考数学 第八章 第六节 椭圆课时提升作业 理 新人教A 版一、选择题1.(2013·银川模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为1,2且它的长轴长等于圆C:x 2+y 2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是( )()()()()22222222x y x y A 1 B 1431612x x y C y 1 D 14164+=+=+=+=2.(2013·武汉模拟)已知曲线C 上的动点M(x,y),向量a =(x+2,y)和b =(x-2,y)满足|a |+|b |=6，则曲线C 的离心率是( )()(()()21A B C D 3333.已知圆(x+2)2+y 2=36的圆心为M,设A 为圆上任一点，N(2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线4.(2013·烟台模拟)椭圆2222x y 1a b+= (a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1,F 2,若|AF 1|,|F 1F 2|,|AF 2|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )()(()(11A B C D 2425.(2013·重庆模拟)已知F 1,F 2分别是椭圆2222x y 1a b +=(a>b>0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足OA OB +=u u u r u u u r 0(O 为坐标原点)，212AF FF 0=u u u r u u u r g ，则直线AB 的方程是( )()()()()A y x B y 22C y x D y 22==-=-= 6.(能力挑战题)以F 1(-1,0),F 2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )()()()()22222222x y x y A 1B 1201998x y x y C 1D 15432+= +=+= += 二、填空题7.(2013·莱芜模拟)椭圆22x y 125a+=上一点M 到焦点F 1的距离为6，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，则|ON|=_____________.8.(2013·贵阳模拟)设F 1,F 2分别是椭圆22x y 12516+=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM|=3，则P 点到椭圆左焦点距离为_________.9.已知F 1,F 2分别是椭圆2222x y 1a b+= (a>b>0)的左、右焦点，以原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A,B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率等于________.三、解答题10.(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1: 2222x y 1a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(-1,0),且点P(0,1)在C 1上,(1)求椭圆C 1的方程.(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2=4x 相切，求直线l 的方程.11.已知椭圆C: 2222x y 1a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点F 及点A(0，b),原点O 到直线FA的距离为 b.2 (1)求椭圆C 的离心率e.(2)若点F 关于直线l :2x+y=0的对称点P 在圆O ：x 2+y 2=4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标.12.(能力挑战题)已知椭圆C ：2222x y 1a b+= (a ＞b ＞0).(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为,2求椭圆的标准方程. (2)在(1)的条件下，设过定点M(0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A,B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围.(3)过原点O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆2222x y 1a b+= (a ＞b ＞0)相交于P ，S ，R ，Q 四点，设原点O到四边形PQSR 一边的距离为d,试求d=1时a,b 满足的条件.答案解析1.【解析】选A.圆C 的方程可化为(x-1)2+y 2=16. 知其半径r=4,∴长轴长2a=4,∴a=2. 又c 1e ,a 2== ∴c=1,b 2=a 2-c 2=4-1=3,∴椭圆的标准方程为22x y 1.43+= 2.【解析】选A.因为|a |+|b |=6表示动点M(x,y)到两点(-2,0)和(2,0)距离的和为6，所以曲线C 是椭圆，且长轴长2a=6,即a=3， 又c=2,∴e=2.33.【解析】选 B.点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA|=|PN|,又AM 是圆的半径,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6＞|MN|，由椭圆的定义知,P 的轨迹是椭圆.4.【解析】选B.由题意知|AF 1|=a-c,|F 1F 2|=2c,|AF 2|=a+c ， ∴a-c,2c,a+c 成等比数列. 故(2c)2=(a-c)(a+c), ∴4c 2=a 2-c 2,∴a 2=5c 2,c e a 5∴== 5.【思路点拨】由OA OB +=u u u r u u u r0知，A,B 两点关于原点对称，设出A 点坐标,利用向量列方程求解. 【解析】选A.设A(x 1,y 1)，因为OA OB +=u u u r u u u r，0所以B(-x 1,-y 1),2AF u u u r =(c-x 1,-y 1)，12FF u u u r =(2c,0)，又因为212AF FF u u u r u u u r g =0，所以(c-x 1,-y 1)·(2c,0)=0，即x 1=c ，代入椭圆方程得21b y a=，因为离心率e 2=所以，a b c A(c,)2==，，，所以直线AB 的方程是y x.2= 6.【思路点拨】由于c=1,所以只需长轴最小,即公共点P ，使得|PF 1|+|PF 2|最小时的椭圆方程.【解析】选C.由于c=1，所以离心率最大即为长轴最小.点F 1(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为F ′(-3,2)， 设点P 为直线与椭圆的公共点， 则2a=|PF 1|+|PF 2|=|PF ′|+|PF 2|≥|F ′F 2|=取等号时离心率取最大值，此时椭圆方程为22x y 1.54+= 7.【解析】如图，|ON|=12|MF 2|.∵a=5,∴2a=10， ∴|MF 2|=10-|MF 1|=10-6=4. ∴|ON|=12·4=2. 答案:28.【解析】因为|OM|=3,数形结合得|PF 2|=6,又|PF 1|+|PF 2|=10, ∴|PF 1|=4. 答案:49.【解析】因为△F 2AB 是等边三角形，所以c A(2-在椭圆2222x y 1a b+=上，所以2222c 3c 14a 4b +=，因为c 2=a 2-b 2，所以，4a 4-8a 2c 2+c 4=0，即e 4-8e 2+4=0，所以，2e 4e 1e 1()=±==或舍．1【误区警示】11的错误，其错误原因是没有注意到或不知道椭圆离心率的范围.10.【解析】(1)由题意得c=1,b=1, a =∴椭圆C 1的方程为22x y 1.2+= (2)由题意得直线的斜率一定存在且不为0,设直线l 方程为y=kx+m.因为椭圆C 1的方程为22x y 1,2+=∴22y kx m,x y 1,2=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-2=0. 直线l 与椭圆C 1相切，∴Δ=16k 2m 2-4(2k 2+1)(2m 2-2)=0.即2k 2-m 2+1=0. ①直线l 与抛物线C 2：y 2=4x 相切,则2y kx m y 4x =+⎧⎨=⎩消去y 得k 2x 2+(2km-4)x+m 2=0.∴Δ=(2km-4)2-4k 2m 2=0,即km=1. ②由①②解得k m m ====所以直线l的方程y x y x 22=+=-- 11.【解析】(1)由点F(-ae,0)，点A(0,b)及b =得直线FA 的方程为x 1,ae +=-ey 0.-+=∵原点O 到直线FA的距离b 2=a =解得e 2=(2)方法一:设椭圆C的左焦点F(关于直线l :2x+y=0的对称点为P(x 0,y 0),则有001,2x y 220,22=⎨⎪⎪+=⎪⎩g解得00x a,y 105== ∵P 在圆x 2+y 2=4上,22 4.∴+= ∴a 2=8,b 2=(1-e 2)a 2=4.故椭圆C 的方程为22x y 1,84+=点P 的坐标为68(,).55方法二:∵F (a,0)2-关于直线l 的对称点P 在圆O 上,又直线l :2x+y=0经过圆O:x 2+y 2=4的圆心O(0,0),∴F(也在圆O 上.从而22(04+=，a 2=8,b 2=(1-e 2)a 2=4. 故椭圆C 的方程为22x y 1.84+= ∵F(-2，0)与P(x 0,y 0)关于直线l 对称,00y 1,x 22x 2y 20.22⎧=⎪+⎪∴⎨-⎪+=⎪⎩g 解得0068x ,y .55== 故点P 的坐标为68(,).5512.【解析】(1)由已知2a=4,∴a=2,又c e c a ==∴= 因此,b 2=a 2-c 2=4-3=1,∴椭圆的标准方程为22x y 1.4+=(2)显然直线x=0不满足题设条件， 可设直线l :y=kx+2,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由22x y 14y kx 2⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得(1+4k 2)x 2+16kx+12=0. ∵Δ=(16k)2-4×12(1+4k 2)＞0,12212212121212k (,).16kx x ,14k 12x x ,14k0AOB 90OA OB 0,OA OB x x y y 0,OA OB x x y y ∴∈-∞⋃+∞ -+=+=+︒∠︒⇒∴=+=+u u u r u u u rg u u u r u u u rg u u u r u u u rg ①又由＜＜＞＞所以 =x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=(1+k 2)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4, ∴-2＜k ＜2. ② 由①②得k∈(2,2).-⋃ (3)由椭圆的对称性可知PQSR 是菱形,原点O 到各边的距离相等. 当P 在y 轴上，Q 在x 轴上时，直线PQ 的方程为22x y 111,d 11,a b a b+==+=由得 当P 不在y 轴上时，设直线PS 的斜率为k,P(x 1,kx 1),则直线RQ 的斜率为2211,Q(x ,x ),k k-- 112222221112222222222y kx ,11k .x y x ab 1,a b 111.x a k b 11Rt OPQ d PQ OP OQ ,22PQ OP OQ .=⎧⎪=+ ⎨+=⎪⎩=+ ==V g g g 由得①同理②在中，由即()()22212122222112x x x (kx )kx x kx x (),k-++=++g 所以［］［］化简得222221k 11k ,x x +=+222222222222111k k ()1k ,a k b a b 111.a b11,1.a b+++=++=+=即综上。