圆的基本性质练习(含标准答案)

圆的基本性质

考点 1对称性

圆既是 ________① _____对称图形，又是 ______② ________对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的____③ _________。它的对称中心是_____④ _______。同时圆又具有旋转不变性。

温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。

考点 2垂径定理

定理：垂直于弦的直径平分______⑤ ______并且平分弦所对的两条___⑥ ________。

常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 ______ ⑦_______ ，并且平分弦所对的两条_____⑧___________。

温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅

助线的作法。在这里总结一下：（ 1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关

键是构造直角三角形；（ 2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（ 3）另外要注意答案不唯一的情况，若点

的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（ 4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂

直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；

考点 3圆心角、弧、弦之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______⑨ ______，所对的弦也 _____⑩ ________。

常用的还有：（ 1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___○11 ____________，所对的

弦_____○12 ___________。

（ 2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角

○○____ 13 ___________，所对的弧 ______ 14

__________ 。

方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两

个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。

温馨提示：（ 1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。

（2）在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。

考点 4 圆周角定理及其推论

定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______○15 __________，都等于这条弧所对的圆心角的

______ ○16________。

推论：半圆或直径所对的圆周角是_______○17 ________，90°的圆周角所对的弦是______○18 __________ 。

方法点拨：定理中的推论应用十分广泛，一般情况下用它来构造直角三角形，若需要直角或证明垂直时，通

常作出直径就能解决问题。

温馨提示：定理中的“同弧或等弧”不能改为是“同弦或等弦”。因为在圆中一条弦所对的圆周角有两个，

这两个圆周角互补。

<<名题精解 >>

例 1：如图 1，正方形ABCD 是⊙ O 的内接正方形，点P 在劣弧CD上不同于点 C 得到任意一点，则∠BPC 的度数是（）

A．45B．60C．75D．90

A D

2 ：如C C

O 中， AOB的

例

O

图，在P O

度数为

C m， C A B是 ACB O上一点， D，E 是

B E

AB 上例 1 图

不同的

D A D B

例 2 图两点（不例 3 图与 A，B两点重

合），则 D E 的度数为（）

A ．m

m m m B．180C．90 D ．

222

例 3：高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路

面 AB =10M，净高CD=7M，则此圆的半径OA=（）

3737

A．5B．7C．D．

57

训练

一、选择题（每题 3 分，共 30 分）

1．（ 09 年南宁）如图， AB是⊙ O的直径，弦 CD⊥ AB于点 E，∠ CDB＝ 30° , ⊙ O的半径为3cm ，则弦CD的长为

（）

A．3

cm B．3cm C ．2 3cm D ．9cm 2

2．（ 09 年天津市）如图，△ABC内接于⊙ O，若∠ OAB＝28°，则∠ C 的大小为（

题图）

第 1题图第 2题图第 3题图第 4 A． 28°B． 56°C． 60°D． 62°

3．（ 09 南宁）如图，AB 是⊙ O 的直径，弦

CD ⊥ AB 于

点 E, ∠ CDB ＝ 30° , ⊙ O 的半径

为

3cm ，则弦

CD 的长为

（

）

A ．

3 cm

B ． 3cm

C ． 2

3cm

D ． 9cm

2

4．（ 09

年安徽）如图，弦

CD 垂直于⊙

O 的直径

AB ，垂足为

H ，且

CD ＝ 2 2 ，BD ＝

3 ，则

AB 的长为（

）

A ． 2

B

． 3

C

． 4

D

． 5

5．（ 09 年安徽）△

ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A 为锐角，

CD 为

AB 边上的高，

I

为△ ACD 的内切圆圆心，则∠

AIB 的度数

是（

） A ． 120°

B

． 125°

C ． 135°

D ． 150°

6．（ 09

年重庆）如图，⊙

O 是△ ABC 的外接圆，

AB 是直径．若

∠

BOC ＝ 80°，则∠

A 等于（

）

A ． 60°

B ．50°

C ．40°

D ． 30°

C

第6题图 第7题图

第8题图

A D

B

7．（ 09 年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧）

第 9题图

13M ，则拱高为 ( )

，其跨度为 24M ，拱的半径为 A ． 5M

B ．8M

C

． 7M

D ．53M

8．（ 09 年山东青岛市）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽

0.8M ，最深处水

深 0.2M ，则此输水管道的直径是（ ）

A ． 0.4M

B ． 0.5M

C ． 0.8M

D ． 1M

9．（ 09 山西省太原市）如图，在

Rt △ ABC 中，∠ C ＝90°， AB ＝ 10，若以点 C 为圆心， CB 长为半径的圆恰好经过

AB 的中点 D ，则 AC 的长等于（ ）

A ．5 3

B ．5

C ．5 2

D ． 6

10.( 09 年云南省 ) 如图， A 、 D 是⊙ O 上的两个点， BC 是直径，若∠ D ＝ 35°，则∠ OAC 的度数是（

）

A ． 35°

B ． 55°C

． 65°D ． 70°

二、填空题（每小题

3 分，共 30 分）

第12题图 第 13题图

第10题图

第 11`题图