初中数学最短距离问题分类及解题策略
初三数学两之间线段最短求最值四大类型
两之间线段最短求最值四大类型【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。
【方法技巧】模型一“一线两点”型(一动＋两定)类型一异侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．【解题思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．类型二同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l 的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P.类型三同侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P 三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.类型四异侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．模型二“一点两线”型(两动＋一定)问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．【解题思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．模型三“两点两线”型(两动＋两定)问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．【典例分析】【典例1-1】基本模型问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧试确定点P的位置，使AP+BP的值最小．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB′，与直线l交于点P；二证：验证当A，P，B'三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例1-2】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧，在直线l上确定点P的位置，使|P A ﹣PB|的值最大．解题思路：一找：连接AB并延长，交直线l于点P；二证：验证当A，B，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-3】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使AP+BP 的值最小．解题思路：一找：连接AB交直线l于点P；二证：验证当A，P，B三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-4】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使|P A﹣PB|的值最大．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，交直线于点P；二证：验证当A，B'，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式1-1】如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为．【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O是对角线BD的中点，E是AB 边上一点，且AE＝1，P是CD边上一点，则|PE﹣PO|的最大值为．【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在BD，AB上，且BF＝DE＝4．点P为AC上一点，则|PF﹣PE|的最大值为．【变式1-4】结论：如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于，A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC 的最小值为．【典例2】模型分析问题：点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别为OA，OB上的动点，试确定点M，N 的位置，使△PMN的周长最小．解题思路：一找：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P“，连接P'P“，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，P″四点共线时，△PMN的周长最小．三计算．注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动“问题请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝°；（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．【变式2-2】如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为．【典例3】模型分析问题：点P，Q是∠AOB内部的两定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使四边形PMNQ的周长最小．解题思路：一找：作点P关于OA的对称点P'，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，Q′四点共线时，四边形PQNM的周长最小．三计算．请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式3-1】如图，已知正方形ABCD的边长为5，AE＝2DF＝2，点G，H分别在CD，BC 边上，则四边形EFGH周长的最小值为．【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB的中点，若点P，Q分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPQ周长的最小值为．【典例4-1】基本模型问题：如图，点A，B为直线l同侧两定点，M，N为直线l上的动点，且MN的长度为定值，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边．构造▱AMNA′，作点A′关于直线l的对称点A“，连接A “B，交直线l于点N，再确定点M；二证：验证当A“，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例4-2】模型演变问题：如图，直线a∥b，定点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥a，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边构造▱AMNA′，连接A'B；二证：验证当A'，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式4-1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AM+CN的最小值为．【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB方向平移得到△A'B'D'，连接B'C，D'C，求B'C+D'C的最小值．专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（知识解读）【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。
八年级数学最短路径题型归纳
八年级数学中的最短路径问题，通常涉及到几何图形中的点、线、面等元素，需要利用一些基本的几何知识和数学原理来求解。
以下是一些常见的最短路径题型及其解题方法：1.两点之间的最短距离：题型描述：在平面上给定两点A和B，求A到B的最短距离。
解题方法：直接连接A和B，线段AB的长度即为最短距离。
2.点到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一条直线l，求P到l的最短距离。
解题方法：作点P到直线l的垂线，垂足为Q，则PQ的长度即为最短距离。
3.直线到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定两条直线l1和l2，求l1到l2的最短距离。
解题方法：如果l1和l2平行，则它们之间的距离即为最短距离；如果l1和l2不平行，则作l1到l2的垂线，垂足所在的线段即为最短4.点到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一个圆O，求P到圆O的最短距离。
解题方法：如果点P在圆O内，则最短距离为P到圆心的距离减去圆的半径；如果点P在圆O外，则最短距离为P到圆心的距离；如果点P在圆O上，则最短距离为0。
5.圆到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定两个圆O1和O2，求O1到O2的最短距离。
解题方法：如果两圆外离，则它们之间的最短距离为两圆的半径之和；如果两圆外切，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差；如果两圆相交或内切，则它们之间的最短距离为0；如果两圆内含，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差减去两圆半径之和的绝对值。
6.多边形内的最短路径：题型描述：在一个多边形内给定两个点A和B，求A到B的最短解题方法：通常需要将多边形划分为多个三角形，然后利用三角形内的最短路径（即连接两点的线段）来求解。
7.立体几何中的最短路径：题型描述：在立体图形中给定两点A和B，求A到B的最短路径。
解题方法：通常需要将立体图形展开为平面图形，然后利用平面几何中的最短路径原理来求解。
在解决最短路径问题时，需要注意以下几点：准确理解题目要求，确定需要求的是哪两点之间的最短距离。
【初二】最短距离问题总结
【初二】最短距离问题总结在初二数学课程中，最短距离问题是一个常见的问题类型。
本文将对最短距离问题进行总结和简要解析。
最短距离问题定义最短距离问题是指在给定的条件下，求解两个点之间最短路径的问题。
该问题常见于几何、图论和最优化等领域，在实践中具有广泛的应用。
最短距离问题解决方法1. 直线距离计算最简单的情况是直线距离计算。
当两个点在平面直角坐标系中给出时，可以使用勾股定理（即直角三角形斜边长度公式）计算两点之间的直线距离。
2. 曼哈顿距离计算曼哈顿距离是指在矩形网格中，从一个点到达另一个点所需要的最小移动次数（只能上下左右移动，不能斜向移动）。
曼哈顿距离计算可以通过两点横纵坐标的差值相加得到。
3. 最短路径算法对于复杂的情况，如图论中求解两点之间的最短路径，可以使用最短路径算法。
常见的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd Algorithm）等。
这些算法可以在给定网络、权重或距离信息的情况下，计算出两点之间最短路径的长度和路径。
最短距离问题应用举例最短距离问题在实际生活中有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 导航系统：导航系统通过计算起点和终点之间的最短路径，为驾驶员提供最优的导航路线。
2. 物流配送：物流公司需要计算货物从起点到终点的最短路径，以最大程度地减少运输成本和时间。
3. 网络通信：计算机网络中的路由算法使用最短路径算法来确定数据包传输的最佳路径。
4. 旅行规划：旅行者可以使用最短路径算法规划旅游路线，使得行程更加紧凑和高效。
总结最短距离问题是初二数学课程中的一个重要内容。
通过不同计算方法和最短路径算法，可以有效地解决两点之间最短路径的问题。
最短距离问题在实际中有许多应用场景，涉及导航、物流、网络通信和旅行规划等领域。
中考复习系列之距离最短或最大问题(最新整理)
中考复习系列之距离最短或最大问题
归于几何模型，这类模型又分为两种情况：
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的
两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线
段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
（1）归入“两点之间的连线中，线段最短”例1、几何模型：
条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点．A B l 问题：在直线上确定一点，使的值最小．
l P PA PB +方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最A l A 'A B 'l P PA PB A B '+=小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．求ABCD E AB P AC PB PE +的最小值.
（2）如图2，的半径为2，点在上，，，是O ⊙A B C 、、O ⊙OA OB ⊥60AOC ∠=°P 上一动点，求的最小值.
OB PA PC +（3）如图3，，是内一点，，分别是上45AOB ∠=°P AOB ∠10PO =Q R 、OA OB 、的动点，求周长的最小值．
PQR △
异旁的两个定点．则先做对称点，再连接对称点与。
中考总复习专题--最短距离
中考总复习专题最短距离一、最短距离中的解题依据及解题思路：1、考查知识点：两点之间线段最短” 垂线段最短” 点关于直线对称”，。
2、原型：考题较多的是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
3、解题总思路：找点关于动点所在直线为对称轴的对称点，实现折”转直” 其中，一个动点折线”转直”通常找一个对称点、两个动点中折线”转直”通常找两个对称点。
最终转化为两点之间的距离。
即建立最短距离数学模型是解题的关键。
二、例题讲解1、在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE 的值最小.则BP+PE的最小值为1、如图正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连结BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,则PB+PE的最小值为3、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A ( 2，0)，B (0，4).(1)求该函数的解析式；(2)0为坐标原点，设OA AB的中点分别为C、D, P为0B上一动点，求PO PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.4、已知O O的直径CD为4,弧AD的度数为60°点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.PO=1Q Q R分别是OA OB上的动点，求△ PQRP是/ AOB内一点,课后练习题1. （2016 •苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3, 4），D是OA的中点，点E在AB 上,当厶CDE的周长最小时，点E的坐标为。
yi2.（2015玉林）已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC CD的动点（均不与顶点合），当四边形AEPC的周长取最小值时，四边形AEPQ勺面积是________.第2题3、（2016雅安）如图，在矩形ABCD中，AD = 6，AE丄BD，垂足为E，ED = 3BE，1 24.如图，抛物线y= 2X + bx —2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A( —1, 0).（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标;尸护—芬 2 = 2x2 —3x—2=（要求：画出图形即可）2（x—2）2—¥，二顶点D的坐标为（2，—25）⑵点M是x轴上的一个动点，当厶DCM的周长最小时，求点M的坐标;(3)点N是对称轴上的一个动点,当厶NCA的周长最小时，求点N的坐标;点N是对称轴上的一个动点,当|PC -PB|的值最大时，求点P的坐图（3）图（3）⑷(4)。
初二数学最短路径技巧
初二数学最短路径技巧
在初二数学中，最短路径问题是一个常见的题型。
这类问题通常涉及到几何图形，如三角形、四边形等，要求找出从一点到另一点的最短路径。
解决最短路径问题的一般步骤如下：
1. 确定起点和终点：首先明确问题的起点和终点，这是解题的基础。
2. 构建几何模型：根据题目描述，将问题抽象化为一个几何模型。
这可能涉及到三角形、四边形、圆等几何图形。
3. 应用几何定理：根据几何定理，如勾股定理、三角形的三边关系等，来分析最短路径。
4. 求解最短路径：通过计算和推理，找出起点到终点的最短路径。
下面是一个具体的例子：
题目：一个池塘的四周是一条宽1米的马路，现在要在马路的四周每隔2米种一棵树。
四个角各种一棵，请问需要多少棵树？
分析：
1. 确定起点和终点：起点是马路的起点，终点是马路的终点。
2. 构建几何模型：将马路和池塘抽象为一个矩形，四个角各种一棵树。
3. 应用几何定理：由于四个角各种一棵树，因此最短路径是从一个角到其对角线的中点。
根据勾股定理，最短距离为 $\sqrt{2}$ 米。
4. 求解最短路径：由于每隔2米种一棵树，因此需要的树的数量为
$\frac{\sqrt{2}}{2} \times 2 = \sqrt{2}$ 棵。
通过以上步骤，我们可以求解出最短路径问题。
需要注意的是，这类问题需要灵活运用几何知识和定理，同时还需要一定的计算能力。
八年级数学最短距离问题
八年级数学最短距离问题八年级数学最短距离问题最短距离；对称；平移；展开初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”（以下简称“两点之间，线段最短”）这一公理为原则引申出来的。
初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题，即最短路线问题，它的解决方法归根到底是想方设法运用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用方法是对称和展开。
一、利用“对称”解决最短路线问题。
对称有一个重要的性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分”，简单地说就是“对称轴垂直平分这条对应点连线段”。
而垂直平分线有一条重要的性质，即“垂直平分线上的点到两端点的距离相等”。
所以，我们研究A点到直线l的距离问题，就转化成了A’点到直线l的距离问题，而这个转化是等价的。
例1.（饮马问题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远。
分析：本题要求的是将军行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短，从而求得答案。
如果我们设饮水地点是P，所求的距离就是AP+BP两线段长度之和，为了应用“两点之间，线段最短”这一公理，我们利用对称的方法将A点对称到河对岸的A’点，这样AP+BP=A’P+BP，我们连接A’Ｂ，与CD的交点P 即为饮水地点，如图利用勾股定理求出结果：A’Ｂ2=AG2+BG2，A’B=13公里。
二、利用“平移”解决最短路线问题例2.A，B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸。
请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A，B两个村子之间的路程最短。
分析：因为河垂直于河岸，所以最短路程必然是折线。
分别是A 点到河岸+桥长+河岸到B 点。
因为桥长是垂直于桥且长度固定，等于河宽，所以我们可以作A点垂直于河岸的垂线，量出AC=EF，如图。
（完整版）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧
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（完整版）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
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初中数学“最短距离”问题分类及解题策略绵阳市游仙区新桥中学数学教研组何道华最短距离问题贯穿于初中几何学习的整个过程，由初一上册的“两点之间的距离”，初一下册的“点到直线的距离”、“平移”等基本问题开始，到初二上册的轴对称，初二下册的直角三角形的有关计算，再到初三上册的旋转等，都涉及到研究距离最短的问题。
虽然解决此类问题的依据很简单，主要是线段最短、垂线段最短以及三角形中的三边大小关系等原理，但图形千变万化，经常与三角形、四边形、圆及抛物线等问题综合考察，涉及的知识背景多，动点、动线的位置不确定，往往需要作平移、对称、旋转等辅助线才能发现线段之间的联系，找到最短距离的位置后，通常还需要进行准确的计算。
通过这类问题的解决，能培养学生动手操作、逻辑思考、严密计算等能力，是各类考试的热点同时也是难点问题。
一、最短距离的基本原理1、两点间的距离是指连接两点的的长度。
在连接两点的所有线中，最短。
简称。
2、点到直线的距离是指点到直线的的长度。
在连接直线外一点与直线上一点的所有线段中，最短。
简称。
3、两平行线间的距离是指平行线中一条直线上的任意一点到另一直线的的长度。
4、三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边。
由任意三点连接的三条线段中，另两边之差≤第三边≤另两边之和。
二、题型及解题策略题型解题策略项目举例解题策略问题解法依据一条线段同一平面内有关联线段Rt△ABC中，点D在斜边AB上移动，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，点G是EF的中点。
作出CG最短时的图形。
连接CD，则CDEFCG2121==，当CD┴AB时，CG最短。
垂线段最短利用相等线段转化。
无关联线段正方形的顶点A、B分别在x、y的正半轴上，AB=a，作出OC最长时的图形。
找AB的中点E，连接OE、CE，当三点O、E、C共线时，OC最长。
三角形的一边小于另两边之和挖掘图中的固定点及长度不变的线段，与所求线段构造△。
空间距离求一只蚂蚁从点A沿正方体表面爬到点G的最短距离。
把正方体展开，使点A和点G在同一平面内。
两点之间线段最短把空间距离问题转化在同一平面内。
两条线段两线段之和最小两线段共点在河边建抽水站P，使它到两厂A、B距离之和最短。
作其中一厂关于河边的对称点，连接该点与另一厂，与河边的交点P即为所求。
任意三点构成的线段中，当第三边为定值，另两边的公共点在第三边上时，两边之和最小；若另两边的公共点在第三边延长线上时，两边之差最大。
利用轴对称将其中一条线段转移到与另一线段在同一△中，而该△的第三边是固定的。
两线段不共点要沿河边修一条100米长的绿道，方便C、D两小区居民散步。
怎样规划路线，才能使所建的道路之和最短？沿河边方向把点C向右平移100米到点E，作点E关于河边的对称点E′，连接DE′，交河边于点B，再作AB=100米即可。
两线段之差最大定点在定直线同侧在河边找一点Q，使|QA-QB|的值最大。
两定点所连直线与定直线的交点为Q。
定点在定直线异侧在河边找一点Q，使|QA-QB|最大。
作点A关于河边的对称点A′，连接A′B，与河边的交点即为Q。
带系数的线段之和动点在线段上点B在射线AM外，请在射线上求一点P，使21AP+PB的值最小。
作∠MAN=30°，BE┴AN于E，交AM于P，则PE=1/2AP，当点C移动到点P时，1/2AC+CB的值最小=BE。
（1）△两边之和大于第三边；（2）垂线段最短。
构造正弦值与系数相等的角，进而转化为两线段的和。
动点在圆上如图AC⊥BC，CB=4，CA=6，⊙C的半径为2，点P在圆C上。
求PA+21PB的最小值。
连接CP，因CP:CB=1:2想到作CD=1，构造△CPD∽△CBP，则PD=1/2PB，连接AD与交⊙C于E，当P与E重合时，PA+1/2PB最小。
（1）圆的半径相等；（2）△两边之和大于第三边利用半径相等的特点构造相似比等于所求系数的母子相似△，进而转化为两线段的和。
三 条 线 段三线段 首尾相连点A 、B 在∠MON 的两边上，请在∠MON 的两边上找两点C 、D ，使AD+CD+CB 的值最小。
分别作点A 、B 关于ON 、OM 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交角的两边于点C 、D 。
两点之间线段最短通过作对称点，把不在同一直线的线段转化在同一直线上。
三条线段共 点在△ABC 中找一点P ，使它到三顶点的距离之和最短（即费马点）。
把△PBC 逆时针旋转60°得△CP ′′B ′，当点P ′、P ′′在线段AB ′上时，PA+PB+PC 最短。
由全等得∠APC=∠BPC=120°，再作等边△ACE ，BE 与AB ′的交点即为所求点P 。
利用旋转，将不在同一直线的线段转化在同一直线上。
三、典型例题 1、如图，直线333-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，请在x 轴上求一点C ，使点C 到点B 和直线AB 的距离之和最短。
分析：虽然线段CB 和CD 同在一个三角形，但这个三角形三边都不固定。
把线段BC 翻折到B ′C ，从而当B ′、C 、D 三点在同一直线上，且该直线垂直于AB 时，点C 到点B 和直线AB 的距离之和最短。
解：作点B 关于x 轴的对称点B ′，再作B ′E ⊥AB 于E ，交x 轴于点F ，连接B ′C ， ∴B ′C=BC ，∴CB+CD=B ′C+CD<B ′E ，即当C 与F 重合时，CB+CD 最短为B ′E ，∵333-=x y ，∴A （3，0），B （0，3-），∴∠ABB ′=60°，BB ′=23， ∴B ′E=3，∴点C 到点B 和直线AB 的距离之和最短为3。
解后反思：（1）此题利用轴对称把CB+CD 转移到另一个三角形中，而该三角形的第三边容易找到最小值。
（2）在平面直角坐标系中求线段最短问题时，要注意“解析式↔坐标值↔线段长”三者的相互转化，特别是要善于发现特殊数量与特殊图形之间的联系，充分运用好数形结合思想。
（3）利用轴对称把不在同一三角形的线段转移到同一三角形的问题通常称为“将军饮马”问题。
2、如图，Rt △OAB 中，∠OAB=90°，AB=6，OA=8，⊙O 的半径为4，点C 是圆O 上的一个动点，点D 是CB 的中点。
求AD 的取值范围。
分析：从静止的图形入手，圆的半径和直角三角形是固定的，容易想到连接半径，以及直角三角形斜边的中线，进而利用三角形三边关系可求解。
解法一：作OB 的中点E ，连接OC 、AE 、DE ， ∵∠OAB=90°，AB=6，OA=8，点D 是CB 的中点，∴AE=OB 21=5，DE=21OC=2， ∵当点D 在线段AE 的延长线上时，AD 最长；当点D 在线段AE上时，AD 最短，∴73≤≤AD 。
解法二：倍长AD 至DF ，连接CF ，并把点O 向右平移6个单位到O ′，易知CF //AB //OO ′=6，∴当点C 在⊙O 上移动时，点F 也在以O ′为圆心，4为半径的圆上移动， ∵AO ′=BO=10，那么6≤AF ≤14， ∴73≤≤AD 。
解后反思：（1）遇到中点问题，通常要考虑作中位线、直角三角形斜边的中线或倍长构造全等等辅助线；在圆中，连接半径能很快找到线段之间的关系。
（2）在动态问题中，要善于从静止的点、线段、角中发现变化的规律，动中有静，静中察变，动静结合，以静制动。
特殊位置的图形中隐含特殊的数量关系，反之亦然。
3、如图，AD 是等腰△ABC 底边的高，AB=AC =6，BC =4，点E 在AD 上，点P 从点A 出发，沿A →E →C 移动，点P 在线段AD 上移动的速度是在线段EC 上移动的3倍。
当点E 位于何处时，点P 移动的时间最短？分析：设点P 在EC 上的运动速度为单位1，此题就是要求EC AE +31的最小值。
由已知得sin ∠BAD =31，因此过点C 作CF ⊥AB 于点F ，CF 交AD 于点E ，此时点P 的运动时间最短。
解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，CF 交AD 于点E ， ∵AD 是等腰△ABC 底边的高，AB=AC =6，BC =4， ∴AD ⊥BC ，BD =DC =2，而∠BAD 是公共角，则△A EF ∼△ABD ， ∴AB AE BD EF =，即62AE EF =，∴EF=31AE ， 设点P 在EC 上的运动速度为单位1，则点P 移动的时间为EC AE +31， ∴EC AE +31=EF+EC=CF ，由垂线段最短知，此时点P 移动的时间最短， 又∠DCE=∠BAD ，则△CDE ∼△ABD ，得ADBDCD ED =， ∵AB=6，BD=DC=2，则AD=42，∴2422=ED ，解得ED=22，则AE=42—22=227，∴当AE=227时，点P 运动的时间最短。
解后反思：（1）把点P 在EC 上的运动速度看着单位1可大大简化此题的计算量。
（2）充分利用已有的线段比值是构造恰当的相似三角形的关键。
4、如图，点A 、B 在圆O 上，OA ⊥OB ，OA=OB=6，C 是OA 中点，点D 在OB 上，OD=4，点P 是⊙O 上的一个动点。
（1）求2PC+PD 的最小值。
（2）求PC+21PD 的最小值。
（3）求PD PC -2的最大值。
（4）求PC+23PD 的最小值。
分析：连接OP ，则图中△包含边之比为1：2和2：3两种关系，从而想到构造相似比为1：2和2：3的△，可把带系数的线段转化为相等线段，进而可用三角形三边关系找最大或最小值。
解：（1）如图1，连接OP ，倍长OA 到AE ，再连接EP 、ED ，ED 交⊙O 于点F ， ∵C 是OA 中点，OA=OB=6，∴21==OE OP OP OC ， 而∠POC=∠POE ，∴△POC ∽△EOP ，∴PE=2PC ， ∴2PC+PD=PE+PD∴当点P 移动到点F 时，2PC+PD 最小=DE ，在Rt △DOE 中，DE=22124+=410，∴2PC+PD 的最小值=DE=410. （2）如图1，∵PC+21PD=21（2PC+PD ）， ∴由（1）知：PC+21PD 的最小值是210。
（3）如图2，由（1）知：当点P 移动到ED 与⊙O 的另一交点G 时，PD PC -2的值最大，∴PD PC -2的最大值=DE=410。
（4）延长OB 至H ，使BH=3，连接PH 、CH ，CH 交⊙O 于点I ， ∵OP=OB=6，OD=4， ∴32==OH OP OP OD ， 而∠POD=∠POH ， ∴△POD ∽△HOP ，∴PH=23PD ， ∴PC+23PD=PC+PH ，∴当点P 移动到点I 时，PC+23PD 最短=CH ， 在Rt △COH 中，CH=2293+=310， ∴PC+23PD 的最小值=CH=310。