周期数列参数（大全）
斐波拉契数列(教师版)--高中数学
专题突破之--斐波那契数列意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55，‧‧‧‧‧‧，这个数列称为斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在．比如大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数；松果、蜂巢、菠萝、蜻蜓翅膀、蜻蜓眼睛的构造与斐波那契数列紧密相连．数学中黄金分割、黄金矩形、杨辉三角、等角螺旋、斐波拉契弧线、质数数量、十二平均律、尾数循环等问题也都与斐波那契数列紧密相关.【数列表示】1.逐项罗列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55，‧‧‧‧‧‧2.递推公式：a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2(n ≥3)3.通项公式：a n =151+52n-1-52n【常考性质】性质1.前n 项和：S n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n =a n +2-1性质2.奇数项和：a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1=a 2n偶数项和：a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n =a 2n +1-1性质3.平方性质：a n 2=a n a n +1-a n a n -1平方和性质：a 12+a 22+⋅⋅⋅+a n 2=a n a n +1性质4.中项性质：a n a n +2-a 2n +1=(-1)n +1；3a n =a n -2+a n +2性质5.余数列周期性：被2除的余数列周期为3：1,1,0,‧‧‧‧‧‧被3除的余数列周期为8：1,1,2,0,2,2,1,0,‧‧‧‧‧‧被4除的余数列周期为6：1,1,2,3,1,0,‧‧‧‧‧‧性质6.斐波那契不等式：n n -1<log a na n +1<n -1n -2性质7.质数数量：每3个连续的数中有且只有1个能被2整除；每4个连续的数中有且只有1个能被3整除；每5个连续的数中有且只有1个能被5整除；每6个连续的数中有且只有1个能被8整除；每7个连续的数中有且只有1个能被13整除；‧‧‧‧‧‧性质8.两倍数关系：a2n a n=a n -1+a n +1性质9.下标为3的倍数的项之和：a3+a6+⋅⋅⋅+a3n=12(a3n+2-1)性质10.a n+1+5-1 2a n是等比数列【两个重要关联】1.杨辉三角将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得1,1,2,3,5,8,‧‧‧‧‧‧，则a n=C0n-1+C1n-2+C2n-3+⋅⋅⋅+C m n-1-m(n-1≥m)，表示如下：a1=C00=1a2=C01=1a3=C02+C11=1+1=2a4=C03+C12=1+2=3a5=C04+C13+C22=1+3+1=5a6=C05+C14+C23=1+4+3=8a7=C06+C15+C24+C33=1+5+6+1=13‧‧‧‧‧‧a n=C0n-1+C1n-2+C2n-3+⋅⋅⋅+C m n-1-m(n-1≥m)2.计数问题问题：有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要等上第10级台阶有几种走法？分析：设第n级台阶有a n种走法，则a1=a2=1,a n=a n-1+a n-2(n≥3)，数列a n就是斐波那契数列，故有a10=89种走法.【训练题组】一、单选题1.(2023·上海市市辖区·单元测试)著名的波那契列{a n}：1，1，2，3，5，8，⋯，满足a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，那么1+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021是斐波那契数列中的()A.第2020项B.第2021项C.第2022项D.第2023项【答案】C【解析】因为a1=a2=1，所以1+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021=a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021=a4+a5+a7+a9+⋯+a2021=a6+a7+a9+⋯+a2021=⋯=a2020+a2021=a2022，故选：C．2.(2023·北京市市辖区·期末考试)斐波那契数列{F n}(n∈N*)在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：F1=F2=1，当n>2时，F n=F n-1+F n-2.若F100=F21+F22+F23+⋯+F2mF m，则m=()A.98B.99C.100D.101【答案】B【解析】由已知得F21=F2⋅F1，且F n-1=F n-F n-2，所以F22=F2⋅(F3-F1)=F2⋅F3-F2⋅F1，F23=F3⋅(F4-F2)=F4⋅F3-F3⋅F2，........F2m=F m⋅(F m+1-F m-1)=F m⋅F m+1-F3⋅F m-1，累加整理可得F21+F22+.....+F2m=F m⋅F m+1；又因为F100=F21+F22+F23+⋯+F2mF m=F m+1．即F m+1是该数列的第100项，所以m=99，所以B选项正确．故选：B．利用累加法即可求解．本题主要考查递推式求通项公式以及累加法的应用，属于中档题．3.(2023·河南省鹤壁市·单元测试)意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N*)，其中a1=1，a2=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为()A.13B.6732021C.12D.6742021【答案】B【解析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144⋯可得每三个数中有一个偶数(并且是最后一个)，∴2021=673×3+2，∴该数列的前2021项中有673个偶数，∴从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为P=6732021．故选：B．4.(2022·湖北省黄冈市·月考试卷)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1,1,2,3,5,8,⋯，该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和，即递推关系式为a n+2=a n+1+a n,n∈N*，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列a n的通项公式为a n=A⋅1+52n+B⋅1-52n，其中A,B的值可由a1和a2得到，比如兔子数列中a1=1,a2=1代入解得A=15,B=-15.利用以上信息计算5+125= .(x 表示不超过x的最大整数)()A. 10B.11C.12D.13【答案】B【解析】由题意可令A=B=1，所以将数列a n逐个列举可得：a1=1，a2=3，a3=a1+a2=4，a4=a3+a2=7，a5=a4+a3=11，故a5=1+525+1-525=11，因为1-525∈-1,0，所以1+525∈11,12，故1+525=11．故选：B5.(2023·湖北省恩施土家族苗族自治州·单元测试)斐波那契数列{F n}，因数学家莱昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列{F n}满足F1=F2=1，且F n+2=F n+1+F n(n∈N*).卢卡斯数列{L n}是以数学家爱德华⋅卢卡斯命名，与斐波那契数列联系紧密，即L1=1，且L n+1=F n+F n+2(n∈N* )，则F2023=()A.13L2022+16L2024 B.13L2022+17L2024C.15L2022+15L2024 D.-15L2022+25L2024【答案】C【解析】因为F n+2=F n+1+F n(n∈N*)，L n+1=F n+F n+2(n∈N*)，所以可得L2022=F2021+F2023=2F2023-F2022L2024=F2023+F2025=2F2023+F2024=3F2023+F2022，解得F2023=15L2022+15L2024．6.(2022·广东省河源市·单元测试)斐波拉契数列a n满足：a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n n∈N*.该数列与如图美丽曲线有深刻联系，设S n=a1+a2+⋯+a n，T n=a21+a22+⋯+a2n，给出以下三个命题：①a2n+2-a2n+1=a n+3⋅a n；②S n=a n+2-1；③T n+1=a2n+1+a n+1⋅a n．其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】a n+2=a n+1+a n⇒a n+2-a n+1=a n，a n+3=a n+2+a n+1，所以(a n+2+a n+1)(a n+2-a n+1)=a n+3⋅a n，即a2n+2-a2n+1=a n+3⋅a n，故①正确；a n+2=a n+1+a n，a n+1=a n+a n-1，a n=a n-1+a n-2，⋯⋯a3=a2+a1，相加可得：a n+2=a2+S n即S n=a n+2-1，故②正确；因为a n+1⋅a n=(a n+a n-1)⋅a n=a2n+a n⋅a n-1⇒a2n=a n+1⋅a n-a n⋅a n-1(n≥2)，所以T n+1=a21+a22+⋯+a2n+1=a21+a3⋅a2-a2⋅a1+a4⋅a3-a3⋅a2+⋅⋅⋅+a n+1⋅a n-a n⋅a n-1+a2n+1，又a1=1,a2=1，可得T n+1=a2n+1+a n+1⋅a n，故③正确．7.(2022·湖北省·期中考试)若数列{F n}满足F1=1，F2=1，F n=F n-1+ F n-2(n≥3)，则{F n}称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n≥2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618等等．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近(备注：0.6182≈0.38，1.6182≈2.61)A.31万B.51万C.217万D.317万【答案】C【解析】∵当n≥2时S n=F n+2-F2，则S28=F30-1，因为随着n的增大，相邻两项之比接近0.618，则F29=0.618F30，由S30=S28+F29+F30=F30-1+0.618F30+F30=2.618F30-1≈217万.故选C．8.(2023·山东省济南市·期末考试)1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：1，1，2，3，5，8，13，⋯，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列F n称为斐波那契数列，则下列结论正确的是 ()A.F2+F4+F6+⋯+F2020=F2021B.F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022C.F1+F2+F3+⋯+F2021=F2023D.F1+F3+F5+⋯+F2021=F2022-1【答案】B【解析】根据题意可知，F n+2=F n+1+F n，对于A，因为F2+F4+F6+⋯+F2020=F1+F2+F4+F6+⋯+F2020-1=F3+F4+F6+⋯+F2020-1=F5+F6+⋯+F2020-1=⋯=F2021-1，故A错误;对于D，因为F1+F3+F5+⋯+F2021=F2+F3+F5+⋯+F2021=F4+F5+⋯+F2021=⋯=F2022，故D错误;对于C，由F2+F4+F6+⋯+F2020=F2021-1，F1+F3+F5+⋯+F2021=F2022，可知F1+F2+F3+⋯+F2021=F2021-1+F2022=F2023-1，故C错误;对于B，因为F n+1=F n+2-F n，所以F2n+1=F n+1·F n+2-F n=F n+1F n+2-F n F n+1，即F22=F2F3-F1F2，F23=F3F4-F2F3，⋯，F22021=F2021F2022-F2020F2021，累加得F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022-F1F2，因为F1F2=F21，即F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022得证，故B正确．故选：B．9.(2022·江苏省南通市·月考试卷) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，⋯，其中a1=a2=1，且从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即a n+2=a n+1+a n，后来人们把这样的一列数组成的数列a n中，a n a n+2+a n+2a n+4称为“斐波那契数列”.则斐波那契数列a n=()A.a n a n+5B.a2n+3C.a n+2a n+3D.3a2n+2【答案】D【解析】因为a n+2=a n+1+a n，则a n+4=a n+2+a n+3=a n+2+a n+2+a n+1=2a n+2+a n+1，则a n a n+2+a n+2a n+4==a n a n+2+a n+2(2a n+2+a n+1)=a n+2(a n+a n+1)+2a2n+2=a n+2·a n+2+2a2n+2=3a2n+2．10.(2022·全国·月考试卷)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯，即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)n≥3,n∈N*，此数列在现代物理“准晶体结构”､化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列a n，则数列a n的前2021项的和为()A.2020B.1348C.1347D.672【答案】B【解析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...各项除以2的余数，可得a n为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...，所以a n是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为1+1+0=2，因为2021=673×3+2，所以数列a n的前2021项的和为673×2+2=1348．故选B．11.(2022·安徽省六安市·单元测试)历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，⋯⋯即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n}，则b1 +b2+b3⋯+b52的值为()A.71B.72C.73D.74【答案】A【解析】由题意知：数列{b n}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，........故该数列的周期为6，所以b1+b2+b3⋯+b52=8×(1+1+2+3+1)+1+1+2+3=71．故选：A．12.(2023·单元测试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，⋯，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”.设数列{a n}的前n项和为S n，记a2023=m，a2024=n，则S2023=()A.m+n-2B.m+nC.m+n-1D.m+n+1【答案】C【解析】因为a n+2=a n+1+a n，所以a2023=a2022+a2021=a2022+a2020+a2019=⋯=a2022+a2020+a2018+⋯+a2+a1 ①，a2024=a2023+a2022=a2023+a2021+a2020=⋯=a2023+a2021+a2019+⋯+a5+a3+a2 ②，由 ①+ ②，得a2023+a2024=S2023+a2，又a2023=m，a2024=n，a2=1，即m+n=S2023+1，所以S2023=m+n-1.故选C．13.(2022·河南省·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯.该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，记S n是数列{a n}的前n项和，则(a3 -S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+⋯+(a100-S98)=()A.0B.1C.98D.100【答案】C【解析】解：∵a1+a2=a3，a2+a3=a4，⋯，a n+a n-1=a n+1，a n+1+a n=a n+2，∴a2+S n=a n+2，∴a n+2-S n=a2=1，∴(a3-S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+⋯+(a100-S98)=1×98=98，故选：C．由斐波那契数列可得：a1+a2=a3，a2+a3=a4，⋯，a n+a n-1=a n+1，a n+1+a n=a n+2，相加可得a2+S n=a n+2，进而得出结论．本题考查了斐波那契数列的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.(2022·重庆市·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21⋯.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则(a1a3-a22)(a2a4-a33)(a3a5-a34)⋯(a2015a2017-a22016)=()A.1B.2017C.-1D.-2017【答案】C【解析】解：根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1；当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1，所求式子最末项n=2015，从而可得结果．由题意得：a1a3-a22=1，a2a4-a23=-1，a3a5-a24=1，⋯，∴当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1；当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1∴(a1a3-a22)(a2a4-a33)(a3a3-a34)⋅⋅⋅(a2015a2017-a22016)=-1．故选：C．根据a n+a n+1=a n+2，当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1，当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1，从而可以求出结果．本题考查根据数列的性质求值的问题，关键是能够总结归纳出数列中的规律，属中档题．15.已知55<84,134<85，设a=log53,b=log85c=log138，则A.a<b<cB.b<a<cC.b<a<cD.c<a<b【答案】A【解析】由斐波那契不等式：nn-1<log ana n+1<n-1n-2知答案为A.二、多选题1.(2023·山东省青岛市·期末考试)若数列{a n}满足a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是()A.a7=13B.a1+a3+a5+⋯+a2019=a2020C.3a n=a n-2+a n+2(n≥3)D.a2+a4+a6+⋯+a2020=a2021【答案】ABC【解析】解：因为a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，所以a3=a2+a1=2，a4=a3+a2=3，a5=a4+a3=5，a6=a5+a4=8，a7=a6+a5=13，所以A正确；a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，可得a n+2=a n+1+a n=2a n+a n-1=3a n-a n-2，即有3a n=a n-2+a n+2(n≥3)，故C正确；设数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3+a5+...+a2019=a1+(a2+a1)+(a4+a3)+⋯+(a2018+a2017)=a1+S2018=1+S2018，又a n+2=a n+1+a n=a n+a n-1+a n-1+a n-2=a n+a n-1+a n-2+a n-3+a n-3+a n-4=⋯=S n+1，所以a2020=S2018+1=a1+a3+a5+⋯+a2019，所以B正确；a2+a4+a6+⋯⋯+a2020=a2+a3+a2+a5+a4+⋯+a2019+a2018=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a2019=S2019，但S2019+1=a2021，所以a2+a4+a6+⋯+a2020≠a2021，所以D不正确．故选：ABC．根据斐波那契数列的定义求出前7项，从而可判定选项A，由数列的递推式可判断C；然后根据递推关系求出a n+2=S n+1，从而可判断选项B和D．本题考查数列递推式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．2.(2022·湖北省荆门市·期末考试)2022年11月23日是斐波那契纪念日，其提出过著名的“斐波那契”数列，其著名的爬楼梯问题和斐波那契数列相似，若小明爬楼梯时一次上1或2个台阶，若爬上第n个台阶的方法数为b n，则()A.b7=21B.b1+b2+b3+b5+b7=51C.b21+b22+⋯+b2n=b n⋅b n+1-1D.b n-2+b n+2=3b n【答案】ACD【解析】∵b1=1，b2=2，b3=3，b4=5，b5=8，∴当n≥3时，b n=b n-1+b n-2，∴b6=13，b7=21，A正确;b1+b2+b3+b5+b7=1+2+3+8+21=35，B错误;∵b21=1，b22=b2(b3-b1)=b2b3-b2b1，∴有b2n=b n(b n+1-b n-1)=b n b n+1-b n b n-1，∴b21+b22+⋯+b2n=1-b1b2+b n⋅b n+1=b n⋅b n+1-1，C正确;∵b n-2=b n-b n-1，b n+2=b n+b n+1，∴b n-2+b n+2=2b n+b n+1-b n-1=3b n，D正确．故选ACD．3. (2022·安徽省阜阳市·单元测试)意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契提出的“兔子数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233⋯，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +1+a n (n ∈N +).若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{b n }，记{b n }的前n 项和为S n ，则以下结论正确的是( )A.b n +9-b n +1=0 B.S n +10=S n +2+9C.b 2022=2 D.S 2022=2696【答案】ABC【解析】由题意，可知新数列{b n }：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，⋯，故新数列{b n }是以8为最小正周期的周期数列，∴b n +9=b n +1，故A 正确；∵2022÷8=252⋯6，且1+1+2+0+2+2+1+0=9，∴S n +10=S n +2+9，B 正确，b 2022=b 6=2，故C 正确∴{b n }的前2022项和为9×252+1+1+2+0+2+2=2276，故D 错误；故选：ABC ．4.(2022·全国·单元测试)意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契提出的斐波那契数列被誉为最美的数列，斐波那契数列{a n }满足：a 1=1，a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3,n ∈N *).若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格的边长为1，记每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为b n ，则下列结论正确的是( )A.4(b 2020-b 2019)=πa 2021⋅a 2018B.a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=a 2021-1C.a 21+a 22+a 23+⋯+a 22020=2a 2019⋅a 2021D.a 2019⋅a 2021-a 22020+a 2018⋅a 2020-a 22019=0【答案】ABD 【解析】由题意得b n =π4a 2n ，则4(b 2020-b 2019)=4π4a 22020-π4a 22019=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2021⋅a 2018，故选项A 正确;因为数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3)，所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3)，a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+⋯+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1，故选项B 正确;数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3)，即a n -1=a n -a n -2(n ≥3)，两边同乘a n -1，可得a 2n -1=a n -1a n -a n -1a n -2，则a 21+a 22+a 23+⋯+a 22000=a 21+(a 3a 2-a 2a 1)+(a 3a 4-a 3a 2)+⋯+(a 2020a 2021-a 2020a 2019)=a 21+a 2020a 2021-a 2a 1=a 2020a 2021，故选项C 错误;由题意a n -1=a n -a n -2(n ≥3)，则a 2019⋅a 2021-a 22020+a 2018⋅a 2020-a 22019=a 2019⋅(a 2021-a 2019)+a 2020⋅(a 2018-a 2000)=a 2019⋅a 2020+a 2000⋅(-a 2019)=0，故选项D 正确.故选ABD ．5.(2023·浙江省·其他类型)意大利著名数学家莱昂纳多⋅斐波那契( Leonardo Fibonacci )在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,⋯，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着n 趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割5-12≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为a n=151+52n-1-52n，它是用无理数表示有理数数列的一个范例.记斐波那契数列为a n，其前n项和为S n，则下列结论正确的有()A.1010k=1a2k=a2021 B.S13=29a8C.2020k=1a k+2a k-a2k+1=0 D.S n=a n+2-1【答案】BCD【解析】通过给出数列的前9项，发现a2+a4=a5-1，a2+a4+a6=a7-1，⋯，因此我们归纳、猜想1010k=1a2k=a2021-1，事实上，1010k=1a2k=a2+a4+a6+a8+⋯+a2020=(a3-1)+a4+a6+a8+⋯+a2020=-1+a5+a6+a8+⋯+a2020=-1+a7+a8+⋯+a2020=⋯=-1+a2021，故选项A错误;可以运算得到S13=609=21×29=29a8，故选项B正确;可以发现，a3a1-a22=1，a4a2-a23=-1，a5a3-a24=1，a6a4-a25=-1，⋯，归纳得到2020k=1(a k+2a k-a2k+1)=0，故选项C正确;可以发现，S1=a3-1，S2=a4-1，S3=a5-1，⋯，归纳得到S n=a n+2-1，事实上，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n=(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)+⋯+(a n+2-a n+1)=a n+2-a2=a n+2-1，故选项D正确．6.(2022·江苏省苏州市·期中考试)意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列a n满足：a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2 n≥3,n∈N*.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为S n，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为c n，则下列结论正确的是( )A.S n+1=a2n+1+a n+1⋅a nB.a1+a2+a3+⋯+a n=a n+2-1C.a1+a3+a5+⋯+a2n-1=a2n-1D.4c n-c n-1=πa n-2⋅a n+1【答案】ABD【解析】对于A选项，因为斐波那契数列总满足a n=a n-1+a n-2n≥3,n∈N*，所以a21=a2a1，a22=a2a2=a2a3-a1=a2a3-a2a1，a23=a3a3=a3a4-a2=a3a4-a3a2，类似的有，a2n=a n a n=a n a n+1-a n-1=a n a n+1-a n a n-1，累加得a21+a22+a23+⋯+a2n=a n⋅a n+1，由题知S n+1=a21+a22+a23+⋯+a2n+a2n+1=a n+1⋅a n+2=a2n+1+a n+1⋅a n，故选项A正确，对于B选项，因为a1=a1，a2=a3-a1，a3=a4-a2，类似的有a n=a n+1-a n-1，累加得a1+a2+a3+⋯+a n=a n+a n+1-a2=a n+2-1，故选项B正确，对于C选项，因为a1=a1，a3=a4-a2，a5=a6-a4，类似的有a2n-1=a2n-a2n-2，累加得a1+a3+⋯+a2n-1=a1+a2n-a2=a2n，故选项C错误，对于D选项，可知扇形面积c n=π⋅a2n4，故4c n-c n-1=4π⋅a2n4-π⋅a2n-14=πa2n-a2n-1=πa n-2⋅a n+1，故选项D正确，故选ABD．7.(2022·湖南省娄底市·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，⋯.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{F n}称为斐波那契数列，现将{F n}中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{M n}，则下列结论中正确的是A.M 2022=1B.M6n-2=M6n-4+2M6n-5(n≥1，n∈N *)C.F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022D.F 1+F 2+F 3+⋯+F 2021=F 2022-1【答案】BC【解析】M1=1,M2=1,M3=2,M4=3,M5=1,M6=0,M7=1,M8=1,M9=2,M10=3,M11=1,M12=0，所以数列{M n}是以6为最小正周期的数列，又2022=6×337，所以M2022=0，故A选项错误；n≥1，n∈N*，则M6n-2=M4=3，M6n-4=M2=1，2M6n-5=2M1=2，故M6n-2=M6n-4+2M6n-5(n≥1,n∈N*)成立，B选项正确；对于n≥2，n∈N*，总有F2n=F n F n+1-F n-1=F n F n+1-F n F n-1，故F21+F22+F23+⋯+F22021=F21+F2F3-F1F2+F3F4-F2F3+⋯+F2021F2022-F2020F2021=F21-F1F2+F2021F2022=F2021F2022，故C选项正确；对于n≥1，n∈N*，总有F n=F n+2-F n+1，故F1+F2+F3+⋯+F2021=F3-F2+F4-F3+⋯+F2023-F2022=F2023-F2=F2023-1，故D选项错误．8.(2022·云南省·单元测试)斐波那契，公元13世纪意大利数学家.他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a米的铁丝，需要截成n(n>2)段，每段的长度不小于1m，且其中任意三段都不能构成三角形，若n的最大值为10，则a的值可能是()A.100B.143C.200D.256【答案】BC【解析】由题意，一段长为a米的铁丝，截成n段，且其中任意三段都不能构成三角形，当n取最大值时，每段长度从小到大排列正好为斐波那契数列，而数列的前10项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143，前11项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=232，所以只需143≤a<232，BC均符合要求．故选：BC．三、填空题1.(2023·江西省赣州市·期末考试)斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列a n为斐波那契数列，数 满足a1=a2=1，且a n+2=a n+1+a n，则称数列a n为斐波那契数列.已知数列a n 列b n的前12项和为86，则b1+b2=．满足b n+3+(-1)a n b n=n，若数列b n【答案】8【解析】斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯⋯.(特征：每三项中前两项为奇数后一项为偶数)由b n+3+(-1)a n b n=n得：b4-b1=1，b5-b2=2，b6+b3=3，则b1+b2+b4+b5=3+2(b1+b2)，同理：b7-b4=4，b8-b5=5，b10-b7=7，b11-b8=8，b12+b9=9，得：b7=5+b1，b8=7+b2，b10=12+b1，b11=15+b2，则b7+b8+b10+b11=39+2(b1+b2)，b3+b6+b9+b12=12，则s12=b1+b2+⋯+b12=54+4(b1+b2)=86，则b1+b2=8．2.(2023·湖北省黄冈市·单元测试)1202年意大利数学家列昂那多-斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,⋯该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列a n的前2022，则数列a n 项的和为．【答案】2276【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯各项除以3的余数，可得数列{a n}为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1...，∴数列{a n}是周期为8的数列，一个周期中八项和为1+1+2+0+2+2+1+0=9，又2022=252×8+6，∴数列{a n}的前2022项的和S2022=252×9+8=2276．故答案为：2276．3.(2022·海南省·期末考试)斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列{a n}满足a1=0，a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，若记a1+a3+a5+⋯+a2019=M，a2+a4 +a6+⋯+a2020=N，则a2022=.(用M，N表示)【答案】M+N+1【解析】因为a1+a3+a5+⋯+a2019=M，a2+a4+a6+⋯+a2020=N，所以S2020=M+N，所以a1+(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a2017+a2018)=a1+S2018=M，所以S2018=M-a1=M，因为a2+a4+a6+⋯+a2020=N，所以a2+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2018+a2019)=-a1+S2019+a2=S2019+1=N，所以S2019=N-1，所以a2020=S2020-S2019=(M+N)-(N-1)=M+1，a2019=S2019-S2018=(N-1)-M=N-M-1，所以a2021=a2019+a2020=N，a2022=a2020+a2021=M+N+1，故答案为：M+N+1．由已知两式相加得S2020=M+N，由a1+a3+a5+⋯+a2019=M得S2018=M-a1=M，由a2+a4+a6+⋯+a2020=N得S2019=N-1，从而得到a2020=S2020-S2019，a2019=S2019-S2018，利用a n+2=a n+1+a n(n∈N*)可得答案．本题考查数列的递推关系式及前n项和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．4.(2022·陕西省咸阳市·模拟题)意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、⋯⋯，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示．大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为{a n}，其中a1=a2=1，有以下几个命题：①a n+a n+1=a n+2(n∈N+)；②a21+a22+a23+a24=a4⋅a5；③a1+a3+a5+⋯+a2021=a2022；④a22n+1=a2n⋅a2n+2-1(n∈N+)．其中正确命题的序号是．【答案】①②③【解析】斐波那契数列从第3项起，每一项都是前2项的和，所以a n+a n+1=a n+2(n∈N+)，①正确；a21+a22+a23+a24=1+1+4+9=15，a4⋅a5=3×5=15，②正确；a2022=a2021+a2020=a2021+a2019+a2018=⋯=a2021+a2019+a2017+a2016=⋯=a2021+a2019+a2017+a2015+⋯+a3+a2= a2021+a2019+a2017+a2015+⋯+a3+a1，所以③正确．当n=1时，a22n+1=a23=4，a2n⋅a2n+2-1=a2⋅a4-1=1×3-1=2，所以④错误．故答案为：①②③．根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案．本题属新概念题，考查了数列的递推式，理解斐波那契数列的定义是关键点，属于基础题．5.(2022·江苏省苏州市·单元测试)数列a n：1，1，2，3，5，8，⋯，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”.数学上，该数列可表述为a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n n∈N*.对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式a n=151+52n-1-52n等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到a2n+1=a n+1a n+2-a n=a n+2a n+1-a n+1a n，从而易得a21+a22+a23+⋯+a2126值的个位数为．【答案】4【解析】因为a2n+1=a n+1(a n+2-a n)=a n+2a n+1-a n+1a n，所以a21+(a2a3-a2a1)+(a3a4-a3a2)+⋯+(a126a127-a126a125)=1-a2a1+a126a127=a126a127．又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以a126，a6的个位数字相同，a127，a7的个位数字相同，易知a6=8，a7=a6+a5=13，则8×3=24，所以a126a127的个位数字为4．故答案为：4．6.(2022·全国·期末考试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为F n.利用下图所揭示的F n的性质，则在等式F22022 -F21+F22+⋅⋅⋅+F22021=F2022⋅F m中，m=．【答案】2020【解析】由题意，F n+2=F n+1+F n，所以F2022⋅F2021=F2021+F2020⋅F2021=F22021+F2021⋅F2020，F2021⋅F2020=F22020+F2020⋅F2019，F2020⋅F2019=F22019+F2019⋅F2018，⋯F3⋅F2=F22+F2⋅F1=F22+F21，所以F2022⋅F2021=F22021+F22020+F22019+⋯+F22+F21，所以F22022-F21+F22+⋅⋅⋅+F22021=F22022-F2022⋅F2021=F2022F2022-F2021=F2022⋅F m，所以F2022-F2021=F m，所以F2022=F2021+F m，由F2022=F2021+F2020，所以F m=F2020，所以m=2020，故答案为 2020．。
整理几个重要的特殊数列
几个重要的特殊数列 基础知识 1．斐波那契数列 莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出） 因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为： ，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得 所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如： 它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明） （1）斐波那契数列的前项和； （2）； （3）（）； （4）（）； （5）（）； 2．分群数列 将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
第01讲 数列的基本知识与概念(六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
是单调递增数列，则实数b的取值范围为（
A． −3, +∞
B． −2, +∞
）．
C． −2, +∞
D． −3, +∞
【答案】A
【解析】由题意可得+1 − > 0恒成立，
即 +1
2
报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（
A．2
B．4
C．6
D．8
）
【答案】A
【解析】报出的数字依次是1,2,2,4,8,2,6,2,2,4,8,2,6 ⋯，除了首项以外是个周期为6的
周期数列．
去掉首项后的新数列第一项为2，
因为2023 = 337 × 6 + 1，所以原数列第2024个被报出的数应该为2．故选：A．
所以2024 = 2021 = ⋯ = 2 = 2．
【方法技巧】
故选：A．
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数
列的周期，再根据周期性求值．
题型突破·考法探究
题型一：数列的周期性
【变式1-1】（2024·陕西榆林·三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，
从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所
所以1 > 2 > 3 > 4 > 5 > 6 = 7 < 8 < 9 <⋅⋅⋅，显然 的最小值是6 ．
又+1 − = − 6，
所以6 = 1 + 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + 5 − 4 + 6 − 5
沪教版(上海)高二数学上册7.1数列_课件
为 a ，这里n是 n
正整数 ．
3．数列的通项公式
如果数列的第n项an与 n 之间的关系可以用一个函数式an＝f(n) 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4．数列与函数的关系
(1)数列与函数的内在联系
从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为 正整数集N＋(或它的有限子集)的函数an＝f(n)，即当自变量按照从小到大的
整理得 a2n－2nan－2＝0，
∴an＝n± n2＋2. 又 0＜x＜1，故 0＜2an＜1，于是 an＜0，
∴an＝n－ n2＋2(n∈N＋)．
(2)aan＋n 1＝n＋1n－－
n＋12＋2 n2＋2
＝
n＋ n＋1＋
n2n＋＋212＋2＜1.
∵an＜0，∴an＋1＞an， ∴数列{an}是递增数列．
数列
1 ． 如 果 f(x) ＝ x2 － 1 ， x∈{1,2,3,4,5} ． 则 f(x) 的 值 域 为 {0,3,8,15,24}．
2．将前5个正整数的倒数排成一列 1，12，13，14，15 .
3．函数f(x)＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}的图象上共有 5 个点，它 们是(1,3)，(2,5)，(3,7)，(4,9．)，(5,11)
4.若本例条件换为 f(x)＝log2x－lo2g2x(0＜x＜1)，且数列 {an}满足 f(2an)＝2n(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列{an}的增减性． 【解析】 (1)∵f(x)＝log2x－lo2g2x， 又∵f(2an)＝2n， ∴log22an－log222an＝2n， 即 an－a2n＝2n.
(2)∵bn＝11·2＋21·3＋31·4＋…＋n·n1＋1 ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－n＋1 1 ＝1－n＋1 1＝n＋n 1， ∴b1＝12，b2＝23，b3＝34，b4＝45，b10＝1110.
数列的概念及简单表示法(高三一轮复习)
所以数列
S 2
n
是首项为S
2 1
＝a
2 1
＝1，公差为1的等差数列，所以S
2 n
＝n，所以Sn＝
n
(n∈N*)．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 20 —
命题点2 由数列的递推公式求通项公式
考向1 累加法
例2
设数列
a
n
满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列
1 3
an＋1，所以a2＝3S1＝3×
16 3
＝16.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1
＝13an＋1－13an，即an＋1＝4an.
所以从第二项起，数列an为首项为16，公比为4的等比数列，所以an＝ 4n(n≥2)．
经检验，an＝4n对n＝1不成立，
所以an＝136，n＝1， 4n，n≥2.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
，所以a2＝
4 2－a1
＝
4 2－4
＝－2，a3＝
4 2－a2
＝
4 2＋2
＝1，a4＝
4 2－a3
＝
4 2－1
＝4，…，所以数列
a
n
是以3为周期的周期数列，又2
022＝
673×3＋3，所以a2 022＝a673×3＋3＝1.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 12 —
4．(易错题)若数列
— 7—
4.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 8 列表法 、图象法和 9 解析法 ．
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— 8—
常用结论► (1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有 关，还与这些“数”的排列顺序有关． (2)项与项数的概念：数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项 对应的位置序号． (3)若数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}的通项公式为an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.
六年级奥数-数列与数表(教师版)
第二讲数列与数表1.等差数列：若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
2.斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…这个以1，1分别为第1项、第2项，以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。
3.周期数列与周期：从某一项开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现的这一段数的个数则称为此数列的周期。
例如： 8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6……这是一个周期数列，周期为6。
4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1寻找各项与项数间的关系。
2考虑此项与它前一项之间的关系。
3考虑此项与它前两项之间的关系。
4数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。
5有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。
（“分组”是难点）6常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找到周期，探求规律。
1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
2.在解题中应用数列相关知识。
周期数列
常见递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。
数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。
一、周期数列如果数列满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，则数列为周期数列。
例1、已知数列满足a1 =2，an+1 =1－，求an 。
解:an+1 =1－an+2 =1－=－, 从而an+3 = 1－=1＋an－1=an ,即数列是以3为周期的周期数列。
又a1 =2，a2=1－=, a3 =－12 , n=3k＋1所以an= ,n=3k＋2 ( kN )－1 , n=3k＋3二、线性递归数列1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式an= f (an-1 )（n,n）及一个初始项a1所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列满足an＋1 =f (n) an＋g(n)，其中f (n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n 的函数。
（一）当f (n) =p 时，g(n) =q（p、q为常数）时，数列是常系数一阶线性递归数列。
（1）当p =1时，是以q为公差的等差数列。
（2）当q=0，p0时，是以p为公比的等比数列。
（3）当p1且q0时，an＋1 =p an＋q可化为an＋1－=p(an－),此时｛an－｝是以p为公比，a1－为首项的等比数列，从而可求an。
例2、已知：=且，求数列的通项公式。
解：=－=即数列是以为公比，为首项的等比数列。
（二）当f(n)，g(n)至少有一个是关于n的非常数函数时，数列｛an｝是非常系数的一阶线性递归数列。
（1）当f(n) =1时，化成an＋1=an＋g(n),可用求和相消法求an。
例3、（2003年全国文科高考题）已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n--1＋an －1 (n2) , (1)求a2 ,a3 ; (2) 证明：an= .(1)解：a1 =1, a2=3＋1=4 , a3=32＋4=13 .(2)证明：an=3n--1＋an－1 (n2) ,an－an－1=3n—1 ,an－1－an－2=3n—2 ,an－2－an－3=3n—3……,a4－a3=33 ,a3－a2=32 ,a2－a1=31将以上等式两边分别相加，并整理得:an－a1=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31 ,即an=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31＋1= .（2）当g(n)=0时,化为a n＋1=f(n) an ，可用求积相消法求an 。
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件1.1第2课时数列的递推公式
探究点二 由递推公式求数列的通项公式
【例2】 (1)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+ 1 − 1 ,n∈N+,求数列{an}
的通项公式an.
分析 先将递推公式变形为an+1-an=
解
1
∵an+1-an=
1
∴a2-a1=
1
−
−
1
1
−
+1
+1
,再利用累加法求通项公式
1
,
+1
(2)在数列{an}中,a1=2,an=1-
1
-1
1
B.2
A.-1
(n≥2),则 a2 024 等于( C )
1
C.
2
解析 ∵a1=2,
1
∴a2=11
=
1
1
1
,a3=1- =-1,a4=1- =2,
2
2
3
∴{an}是周期为 3 的周期数列,
1
∴a2 024=a3×674+2=a2=2.故选
C.
D.2
规律方法 由递推公式求数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依
次代入计算即可;
(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形
式;
(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形
式;
(4)若一个数列的项具有周期性,可以借助周期的特征求解.
课标要求
1.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项;
2.掌握数列单调性的含义及判断方法.
目录索引
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周期数列参数（大全）
这个是斐波那契数列，还有一个鲁卡斯数列我感觉到有时更好用！特别是7天线更神奇！用传统的5,10，有时破了5天线，还没到10天线就回头了呢，其实是7天线在起作用。
19世纪时法国一个数学家鲁卡斯（E．Lucas）在研究数论的素数分布问题时发现和斐波那契数有些关系，而他又发现一种新的数列：1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，521等等。
这数列和斐波那契数列有相同的性质，第二项以后的项是前面二项的和组成。
数学家们称这数列为鲁卡斯数列。
斐波纳契数列与解鲁卡斯数列都与黄金分割比有密切的关系.
鲁卡斯数列与费波纳茨数列的关系
费波纳茨数列Fn：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……….
鲁卡斯数列…L n：1、3、4、7、11、18、29、47、76、123、199、322……..
鲁卡斯数列的构成为相邻两费波纳茨数之和的集合，即Ln=Fn-1+Fn+1。
1876年鲁卡斯在研究一元二次方程POW（X，2）-X-1=0的两个根X1=（1+SQRT（5））/2，X2=（1-SQRT（5））/2时{1/X=X/（1-X）}得出了两个重要的推论结果：
Fn=(1/SQRT(5))*POW((1+SQRT(5))/2,n)-
(1/SQRT(5))*POW((1-SQRT(5))/2,n)
Ln=POW((1+SQRT(5))/2,n)+POW((1-SQRT(5))/2,n)
方程1/X=X/（1-X）的正根，为无理数∮=（1+SQRT （5））/2≈1.618，即著名的黄金分割比。
由黄金分割比按0.38（∮平方分之一）的乘率递减求出的正方形，所作圆弧的连线，即黄金螺旋线。
螺旋线是宇宙构成的基本形态，也是股市起伏时间序的基本形态，
而其本质的参数即是黄金分割比∮。
比较费波纳茨数列与鲁卡斯数列，对相邻两数的比值取n趋向无穷大的极限，比值趋向黄金分割比∮
Fn+1/Fn------->?∮
Ln+1/Ln------->?∮
因此，结论是两数列的本质是一致的，都与黄金分割比有着密切的关系。