周期数列详解
整理几个重要的特殊数列
几个重要的特殊数列 基础知识 1．斐波那契数列 莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出） 因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为： ，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得 所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如： 它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明） （1）斐波那契数列的前项和； （2）； （3）（）； （4）（）； （5）（）； 2．分群数列 将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
几个特殊的数列
几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
第一节 数列的概念及通项公式
答案：an＝2×3n
4．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝ ________.
解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． 两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝2n2－1(n≥2)． 又由题设可得a1＝2，满足上式， 从而{an}的通项公式为an＝2n2－1(n∈N *)． 答案：2n2－1(n∈N *)
以上各式累加得，an－a1＝1×1 2＋2×1 3＋…＋n－11n ＝1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1＝1－n1. ∴an＋1＝1－n1，∴an＝－n1(n≥2)． 又∵当n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－n1.
[解题方略] 对于形如 an＋1－an＝f(n)的递推关系的递推数列，即数列相 邻两项之差是一个关于 n 的函数式，可以直接对等式两边求和 进行解答，也可写为 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1) ＋a1 的形式进行迭代．
[一“点”就过] 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn －1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达 式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合， 则应该分n＝1与n≥2两段来写．
所以数列{an}的通项公式是an＝－2n＋8(n∈N *)． 答案：－2n＋8
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则an＝________.
解析：当n≥2时，Sn－1＝2n－1，两式相减， 得an＝2n－2n－1＝2n－1.又当n＝1时，a1＝2， 不满足an＝2n－1，所以an＝22n，－1n，＝n1≥，2. 答案：22n，－1n，＝n1≥，2
周期数列
常见递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。
数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。
一、周期数列如果数列满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，则数列为周期数列。
例1、已知数列满足a1 =2，an+1 =1－，求an 。
解:an+1 =1－an+2 =1－=－, 从而an+3 = 1－=1＋an－1=an ,即数列是以3为周期的周期数列。
又a1 =2，a2=1－=, a3 =－12 , n=3k＋1所以an= ,n=3k＋2 ( kN )－1 , n=3k＋3二、线性递归数列1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式an= f (an-1 )（n,n）及一个初始项a1所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列满足an＋1 =f (n) an＋g(n)，其中f (n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n 的函数。
（一）当f (n) =p 时，g(n) =q（p、q为常数）时，数列是常系数一阶线性递归数列。
（1）当p =1时，是以q为公差的等差数列。
（2）当q=0，p0时，是以p为公比的等比数列。
（3）当p1且q0时，an＋1 =p an＋q可化为an＋1－=p(an－),此时｛an－｝是以p为公比，a1－为首项的等比数列，从而可求an。
例2、已知：=且，求数列的通项公式。
解：=－=即数列是以为公比，为首项的等比数列。
（二）当f(n)，g(n)至少有一个是关于n的非常数函数时，数列｛an｝是非常系数的一阶线性递归数列。
（1）当f(n) =1时，化成an＋1=an＋g(n),可用求和相消法求an。
例3、（2003年全国文科高考题）已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n--1＋an －1 (n2) , (1)求a2 ,a3 ; (2) 证明：an= .(1)解：a1 =1, a2=3＋1=4 , a3=32＋4=13 .(2)证明：an=3n--1＋an－1 (n2) ,an－an－1=3n—1 ,an－1－an－2=3n—2 ,an－2－an－3=3n—3……,a4－a3=33 ,a3－a2=32 ,a2－a1=31将以上等式两边分别相加，并整理得:an－a1=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31 ,即an=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31＋1= .（2）当g(n)=0时,化为a n＋1=f(n) an ，可用求积相消法求an 。
“周期数列”探究
数 学 基 础精 讲
《 理 天 地 》 中版 数 高
‘ 期 数 ＂ 攘 穿 ‘ 周 叫
马： ｉ 羞才 （ 河北省邯郸市第一 中学 ０ ６０） ５０２ １概 念 ．
又 。 ＝ ， ｚ一 一 ＝ ｎ ＝２
３— １～ 一 １
一 ，
１
，
对 于 数 列 ｛ ，如 果 存 在 一 个 常 数 Ｔ ｎ｝ （ － ＋ ， 得 对 任 意 的 正 整 数 ＞ 。恒 有 ＴＥ Ｎ ） 使
则
数 列 ｛ 是周 期 数列 ． ａ）
３ 应 用 ． 例 １ 已知 数 列 （ ａ ）满 足 ａ 一 ２ 口 ， 井１—
１
ａ 一 ｎ（ 。为 实 数 ） ｎ 一 ，
（ ∈ Ｎ＋） ，
１ 二 ， ａ． 一 求
ａ＂
分析
周 期数列 的通 项公 式通 常可 以分 段
若 数列 ｛ 满 足 ａ｝
） ，
ａ ＋ ｎ １ … ＋ ｎ 一 一 ｓ ｎ＞ ｋ ， ∈ ＋ （ ，
则
数 列 ｛ 是周 期数 列 ； ａ｝
若数 列 ｛ 满 足 ａ｝
・ａ 一 一 ｓ ｎ＞ ， ∈ Ｎ十， ≠ Ｏ （ ， Ｓ ），
以 ・口 １ ・…
差 数 列 ” 若 “ 对 差数 列 ”ｎ ｝ ，２ ＝ ３ａ 一 ． 绝 ｛ 中 ａ。＝ ，２ ＝
０ 数 列 ｛ ）满 足 ｂ ， 一 ａ ｎ ＋ ｎ ， ＝ １ ２， ＋ 井ｌ ２ ， ３ … ， 别判 断 当 ”一 。 ， 分 。时 ， 列 ｛ 数 ａ ）和 ｛ ｂ ｝的
３， ３ ａ２
以＋ 一 ａ （ ｔ∈ Ｎ ， ｔ 常数 ） ， ＋且 为 ， 若 ｎ ＝ ６ ＝ ＝
七大基础数列
七大基础数列：(1)常数数列；(2)等差数列；(3)等比数列；(4)质数型数列；(5)周期数列；(6)对称数列；(7)简单递推数列。
一、常数数列由一个固定的常数构成的数列叫做常数数列。
【例】3，3，3，3，3，3，3，3，3，…二、等差数列相邻两项之差（后项减去前项）等于定值的数列叫做等差数列。
【例】3，5，7，9，11，13，15，17，…三、等比数列相邻两项之比（后项除以前项）等于定值的数列叫做等比数列。
【例】3，6，12，24，48，96，192，…备考要点：“等差数列”与“等比数列”的基本概念在考试当中没有太多的意义，对于考生来说，重要的是：快速的判断出数列是等差数列，还是等比数列，抑或两者皆不是，然后把数列对应规律的下一项迅速判断出来。
四、质数型数列质数数列：由质数构成的数列叫做质数数列。
【例】2，3，5，7，11，13，17，19，…合数数列：由合数构成的数列叫做合数数列。
【例】4，6，8，9，10，12，14，15，…质数基本概念：只有1 和它本身两个约数的自然数叫做质数；除了1 和它本身之外还有其他约数的自然数叫做合数。
注意：1 既不是质数，也不是合数。
五、周期数列自某一项开始重复出现前面相同（相似）项的数列叫做周期数列。
【例】1，3，7，1，3，7，…【例】1，7，1，7，1，7，…【例】1，3，7，-1，-3，-7，…周期数列基本原则：一般来说，数字推理当中的周期数列（包括未知项）至少应出现两个“3-循环节”，或者三个“2-循环节”，此时其周期规律才比较明显。
故在一般情况下，要判断一个数列有无周期规律，加上未知项，至少要有六项。
项数过少的数列称其为“周期数列”过于牵强，此时这种数列如果还有其他规律存在的时候，优先考虑其他规律而非“周期规律”。
六、对称数列关于某一项呈某种对称规律（相同或相似）的数列叫做对称数列。
【例】1，3，7，4，7，3，1，…【例】1，3，7，4，4，7，3，1，…【例】1，3，7，4，-4，-7，-3，-1，…【例】1，3，7，0，-7，-3，-1，…七、简单递推数列数列当中每一项等于其前两项的和、差、积或者商，我们把这种数列叫做简单递推数列。
(精选)小学奥数周期问题--周期问题精讲
第十四讲:周期问题知识点说明周期问题：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类： 1．图形中的周期问题；2．数列中的周期问题；3．年月日中的周期问题．周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。
主要方法有观察法、逆推法、经验法等。
主要问题有年月日、星期几问题等。
⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？这个数列的周期是2，1829÷=，所以第18个数是2．⑵如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列的周期是3，16351÷=⋅⋅⋅，所以第16个数是1．⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(161)271-÷=⋅⋅⋅，所以第16个数是2．板块一、图形中的周期问题【例 1】小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：●●○●●○●●○…你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？【解析】仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1个白球）．再看看90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．因为90330÷=，正好有30个周期，第90个是白球．100333÷=…1，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球．【巩固】美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的：○●○○○●○○○●○○○……那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？【解析】观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子．因为102425÷=…2，所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有25126+=（个）【例 2】小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．⑴第73颗是什么颜色的？⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？【解析】⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5颗．73514÷=(组)……3(颗)，第73颗是第15组的第3颗，所以是蓝色的．⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组，一共有5945⨯=(颗)珠子．第10颗黄珠子是第l0组的第2颗，所以它是从头数的第47颗．列式：592=(颗)=+47⨯+452⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子．第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有完整的两组(第9、10组)，共l0颗珠子，第8颗红珠子后面还有4颗珠子，所以是14颗．列式：524=+=(颗)．⨯+10414【巩固】奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第28个字是什么字？【解析】这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即5个字为一个周期．因为2855÷=…3，所以28个字里含有5个周期还多3个字，即第28个字就是所列一个周期中的第3个字，所以第28个字是“欢”字．【巩固】节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？【解析】从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：1，5，9，13，……，这些编号被4除所得的余数都是1．734181=⨯+，即73被4除的余数是1，因此第73盏灯是白灯．【例 3】节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、……这样排下去．问：⑴第150盏灯是什么颜色？⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？【解析】⑴街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个周期就是54110++=（盏）灯．150(541)15÷++=，150盏灯刚好15个周期，所以第150盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯．⑵如果是200盏灯，就是200(541)20⨯=÷++=的周期．每个周期都有4盏蓝灯，20480（盏）前200盏彩灯中有80盏蓝灯．【巩固】在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第50颗，那么其中白珠有多少颗？【解析】50(225) 5⨯+=（个）．÷++=…5．52212【巩固】小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来．⑴最后1枚是几分硬币⑵这200枚硬币一共价值多少钱？【解析】 ⑴每个周期有3216++=枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以6，根据余数来判断200633÷=……2，所以最后一枚是1分硬币⑵每个周期中6枚硬币共价值13221512⨯+⨯+⨯=（分），用这个数乘以周期次数再加上余下的，就可以得到一共价值多少了12332398⨯+=（分），所以，这200枚硬币一共价值398分．【巩固】 桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？【解析】 1963÷=…1,1462÷=…2,所以,第19枚硬币是一角的,第14枚硬币是五角的．【巩固】 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？【解析】 这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有591327++=（朵）花．因为249279÷=……6，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花．按花的排列规律，这6朵花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花．在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在249朵花中，自然也是绿花最多，红花最少．少几朵呢？有两种解法：（方法1）249(5913)9÷++= (6)红花有：59550⨯+=（朵）绿花有：139117⨯=（朵）红花比绿花少：1175067-=（朵）（方法2）249(5913)9÷++=……6，一个周期少的：1358-=（朵），9872⨯=（朵），余下的6朵中还有5朵红花，所以72567-=（朵）.【例 4】 如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，A ”，第二组⑵如果“爱，C ”代表1991年，那么“科，D ”代表1992年……问2008年对应怎样的组？【解析】 （1）要求第62组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上面一行是以“我们爱科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“ABCDEFG ”七个字母为一个周期62512÷=……2 ,6278÷=……6，所以第62组是“们，F ”⑵2008是1991之后的第17组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则按“DEFGABC ” 七个字母为一个周期：2008199117-=（组），1753÷= (2)1772÷=……3，所以2008年对应的组为“学，F ”．【巩固】 在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北【解析】 要知道第50组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第50个字分别应该是什么．第一行“新北京新奥运”是6个字一个周期，5068÷=…2，第50个字就是北．再看第二行“奥林匹克运动会”是7个字一个周期，5077÷=…1，第50个字就是奥．把第一行和第二行合在一起，第50组就是“北奥”．【例 5】如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼。
数列中的周期性和模周期性
2中等数学!赦修活劲葆程讲農］数列中的周期性和模周期性田尚（湖南省长沙市第一中学,410005）中图分类号:0122.7文献标识码：A文章编号:1005-6416（2019）05-0002-07（本讲适合高中）数列是高中数学竞赛中的重要内容，其蕴含着丰富的性质.以数列为背景，经常可设计出一些构思精巧、形式优美、富有新意的问题.因此,各类竞赛都很注重对数列的考查.本文以研究数列的性质为出发点，主要探讨数列中的周期性和模周期性问题.1数列的周期性1.1知识介绍定义1对于数列山”1,若存在确定的正整数T及％,使得对一切n^n0,恒有a”+7 =a”成立，则称）«…!是从第n0项起的周期为T的周期数列.当n0=l时，称巾”｝为纯周期数列；当%工2时，称｛a”丨为混周期数列.定义2给定数列UJ,若项a”+*与项a“,a”+i,"・，a”+_i之间满足函数关系式F（a”+&,a”+*-i,・・・，a”）=0或a”+*=/（a”+Q,…，a”），则称此关系式为k阶递归式，由此递归式和初始值«1,a2,--,a k所确定的数列｛a”|称为k阶递归数列.关于周期数列，以下性质在解题中应用较多.收稿日期：2018-08-21得回日期=2018-12-10性质1周期数列为无穷数列，其值域为有限集.证明设数列｝是从第N项开始的周期为T的周期数列.则由定义知a n G｛ct,,¾•',a N_\,a N,••',a^+T_i｝（n C Z+）,即其值域为有限集.性质2值域为有限数集的无穷递归数列必为周期数列.证明设也”｝的值域为有限集D,\D\且巾”｝满足％阶递归关系a n+k=/（a”，a”+i,…，a”+_i）56N）.考虑无穷有序数组（5,°2,…，aQ,（°2，°3，…，a*+i）,…，仏心+1,色+*-1），…由于=则上述不相同的有序数组至多个.由抽屉原理，知必存在两个相同的有序数组.不妨设（a m,a m+l,---,a m+k_1）与（為+『，a m+T+l，…，am+T+lc-J（k、T G Z*）相同，即£=5+/^=^,^+1,-,/71+:-1成立•用数学归纳法证明：当n^m时，恒有a n+T=a n-事实上，当n-m时，结论已经成立.设nWs（sMm+A:-l）时，结论成立.由a s+i+r=/（a j+r5a j-i+r»,"*>a J+t-i+r）=A a s，a s-i，---,a s+k-J=a s+l,即当n=s+l时，命题成立.2019年第5期3综上，当n ^m 时，恒有a n + T = a ”.因此，数列｛ a ” I 是从第m 项开始的周期 为T 的周期数列.性质3周期数列必有界.证明 由性质1,知周期数列的值域是 有限集，进而知周期数列必有界.1.2例题选讲例1令S 为一个有限集，且SCQ.对任意正整数仁若能找到S 中的个数（允许 相同）其和为0,则b k =0；否则,b k = l.证明：实数0.力篦…为有理数.［分析】只要证:数列｛b n !从某项开始为周期数列.只需考虑0幺S,且S 中同时存在正数和负数的情况.记s =冬 <•••< 如，_竺>...>其中,Pi 、qi 、Uj 、y E z +,且(P>,?；) = !(» 巳 1,2,…,, (吟,10 = 1()巳 1,2,...,/}).记 T= 71 (q “j +p ：Uj),1 WiWm lCjCZv iN = mT + IT +屮+.・.+巴?1其中，［幻表示不超过实数X 的最大整数.下面证明：T 为数列｛ b n |从某项开始的周期，即存在正整数N,使得当n^N 时，均有 6” = b*+T.故 6” =0 o b n + T =0.当b n =0时,取出这n 个和为0的数，再力廿上-------个丛及------------Pi ”i 个913 +p l v l q x qg +p®--J'J 这n + T 个数之和为0,即b n + T =0.v \当 U 时,由于n + T＞（m + l ）T,故qw存在一个正数至少出现T 次,不妨设该正数號•若负数的个数均小于八则正数至少有个.故正数之和大于”巴+ •••+巴）.于是，这n + T 个数之和不为0,与bw= 0矛盾.从而,必存在一个负数至少出现T 次，不妨设该 负数为-勺，则可去掉一-—q iUj （＜ T ）个生9 +PiVj qj及一7~P 円（＜ T ）个-出•故这n 个数之Qi u j+Pi v j 弓和为0,即b n =0.因此，数列｛ b n \从某项开始为周期数列，即实数0.久篦…为有理数.【评注】要证明实数0.价篦…为有理数的重要方法是说明无穷数列｛ b n ｝为从某项开始的周期数列•本题有一定的组合色彩，可按照定义证明｛ b n \从某项开始是周期为T 的 周期数列.例2设实数列怡”］满足：=a 9x 2 =/3,%”+2 = G Z+）.证明：对任何实数a 、0,必存在整数p 、q,使得对任何正整数",均有p＜x n ＜q.【分析】先取a 、0的几个特殊值，容易发现数列的周期为9•结合性质3,知周期数列有界.则可证明原命题的一个充分条件:数列中存在正整数N,使得对任何k^N,均有叫+9 = X k-若%…=0,则结论成立.若如不恒为0卫”不恒为正（否则，％+34中等数学=X n+2~X n+l=(%”+1一％”)一％”+1=一哲<°,矛盾)，也不恒为负(否则卫”+2=+>0)，则存在m C Z+，及a、6M0,a、b不全为零,使得陷=~a,x m+l=b.于是，%m+2="m+l=b+a,x m+3=\x m+2\-x m+l=a,X m+4=l%m+3I~X m+2=_b,x m+5=1陷+4丨_轧+3=b-a.(1)当b<a时，陷+6=\x m+5\-x m+4=a,%m+7=1陷+6丨-轧+5=2a-b,X m+S=I%m+7I_%m+6=Q_6,陷+9=l%m+8丨-%“+7X m+\0=l%m+9'~X m+&(2)当bNa时，类似(1)可得X m+9=-a,%m+10=b.从而，总有X m+g=x m,xm+w=X m+l.再结合二阶递归式，知对于任何k^n,均有x k+9=X k-结合性质3,知数列｛%”｝有界，即对任何 实数a、0,必存在整数p、g,使得对任何正整数口,均有p<x n<q.［评注】欲证数列｛签｝有界，可尝试加强命题，证明伙」为周期数列.例3已知两个整数列!a J J!满足方程(a“-a”-i)(a”-a”-2)+(%-b”_J(6”-b”_2)=0,①其中,/1=3,4,-.证明:存在正整数仁使得a k+^k=a t+2018+^4+2018-②【分析】本题所给条件有明显的几何意义,故设在平面直角坐标系下P”(a”,6”).由方程①，知点P"在以P”—P”_2为直径 的圆上.记d”=IP”P”+i F=(a”-a n+i)2+(b n -b n+1)2.显然，｛d J为非负整数列，且由点P n在以P”-iP“-2为直径的圆上，知｛d n|单调不增.于是,存在足够大的◎使得0=“”=血+i=力”+2=…,或0<d”=d”+i=d”+2=…，即点Pgn)与仇+i重合或与代+2重合.从而，数列I a”｝从n项开始是周期为1或2的周期数列.类似地，数列｛久|从“项开始是周期为1或2的周期数列.这表明，存在,使得式②成立.［评注】从结论上看,要证的是“年份数”为数列｛的周期，实质上很可能存在比年份数更小的周期•此外，本题中构建几何模型解决代数问题的方法是十分漂亮的.例4已知正整数d,定义数列jaj:［牛，a”为偶数；a0=1,Q”+i=2a…+d,a n为奇数.求所有满足条件的整数必使得存在n>0,a n=1.⑴(2011,克罗地亚国家队选拔考试)【分析】先对d分奇偶讨论.若d为偶数，则a”=1+加,数列｛a”|中的所有项均为奇数且数列是单调递增的，不合题意.设d为奇数•可由数学归纳法证明：若a”为奇数，则a»Wd；若％为偶数，则a“W2d.可见，数列｛a”I的值域为有限集.由性质2,知数列｛Q”｝从某项开始为周期数列.设r(r>0)为存在sMr且使得a r=a s的最小下标.若a「Wd,则a「、a,均为其前一项除以2,即a严竽4=竽.2019年第5期5故a一1=a,_i，这与r是最小值矛盾.若a r>d,由a”W2d,得a八a,均为其前一项加d,仍有a r_i=a,_i,也与r的最小性 矛盾.因此,r=0,即对每一个奇数d,均存在s,使得a s=a0=1.【评注】观察数列的初始项a。
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周期数列一、周期数列的定义：类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列}{n a ，如果存在一个常数T )(+∈N T ，使得对任意的正整数0n n >恒有n T n a a =+成立，则称数列}{n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列。
若10=n ，则称数列}{n a 为纯周期数列，若20≥n ，则称数列}{n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。
设{An}是整数,m 是某个取定的大于1的正整数,若Bn 是An 除以m 后的余数,即Bn=An(mod m),且Bn 在{0,1,2,...,m-1},则称数列{Bn}是{An}关于m 的模数列,记作{An(mod m)}。
若模数列{An(mod m)}是周期的,则称{An}是关于模m 的周期数列。
二、 周期数列的性质1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2、如果T 是数列}{n a 的周期，则对于任意的+∈N k ，kT 也是数列}{n a 的周期。
3、若数列}{n a 满足21---=n n n a a a （+∈N n ，且2>n ），则6是数列的一个周期。
4、已知数列}{n a 满足n t n a a =+（+∈N t n ,，且t 为常数），n S 分别为}{n a 的前n 项的和，若r qt n +=（t r <≤0，+∈N r ），则r n a a =，r t n S qS S +=。
特别地：数列}{n a 的周期为6，（即：n n a a =+6）则262012335S S S += 5、若数列}{n a 满足s a a k n n =+-),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列； 若数列}{n a 满足s a a a k n n n =+++--Λ1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列。
若数列}{n a 满足s a a a k n n n =⋅⋅⋅--Λ1)0,,(≠∈>+s N n k n ，则数列}{n a 是周期数列。
特别地：数列}{n a 满足s a a n n =+-1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=2；数列}{n a 满足s a a a n n n =++--21),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=3 数列}{n a 满足s a a n n =-1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=2； 数列}{n a 满足s a a a n n n =--21),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=36、若数列}{n a 满足,11dca baa a n n n --=--a+d=0,则数列}{n a 是周期T=2；例：数列}{n a 满足,37311--=--n n n a a a 则数列}{n a 是周期T=2；；三、周期数列性质的简单应用 1、求数列的通项公式（1）数列 1，2，1，2，1，2，… 的通项公式 解析：原数列可构造成：2123-，2123+，2123-，2123+，2123-，2123+，…… ， 它的通项公式可以写成：21)1(23⨯-+=n n a (n ∈ N)， 或者写成：)2sin(2123ππn a n -+=( n ∈ N)， 又或者写成：πn a n cos 2123+=(n ∈ N)， 总结：一般的数列 a ，b ，a ，b ，a ，b ，…… 它的通项公式可以写成：πn a b b a a n cos )(21)(21-++=( n ∈ N) （2）1-，0，1，1-，0，1，……的通项公式解析：该数列周期为3，我们把它与周期为π的函数x y tan = 进行改造，使它们能发生联系。
事实上，当 x 分别为3π-，0，3π，32π，π，34π，……时，x tan 的值分别为3-，0，3，3-，0，3，……这样1-，0，1，1-，0，1，……的通项公式可以写成：π)2tan(31-n所以，原数列的通项公式为 π)2tan(312-+=n b n (n ∈N )（3）数列}c {n ：1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式解析：将原数列扩大2倍：2， 4， 6， 8， 2， 4， 6， 8，……再减去平均数5得到：3-，1-， 1， 3，3-，1-， 1， 3，……分解成两个数列：(1) 1-， 1， 1-， 1， 1-， 1， 1-， 1，……(2) 2-，2-， 2， 2， 2-， 2-， 2， 2，…… (1)的通项公式为n )1(- 易得，(2)的通项只要求出1+，1+，1-，1-，1+，1+，1-，1-，……的通项便可以了，它与(2)相差一个系数2-。
以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项：)4121sin(21ππ-=n c n (n∈N)，∴ 2-，2-，2，2，2-，2-，2，2，……的通项为： )4121sin(222ππ--=n c n (n∈N)， ∴ 3-，1-，1，3，3-，1-，1，3，……的通项为： )4121sin(22)1(3ππ---=n c nn (n∈N)， 则原数列}c {n 的通项为：)]4121sin(22)1(5[21ππ---+=n c n n (n∈N)。
（4）}{n c ：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……的通项公式乘以(－4)得：4-，4-，4-，4-，8-，8-，8-，8-，12-，12-，12-，12-，……，加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，……， 它的通项公式为：)]4121sin(22)1(5[21'ππ---+=n c n n 又)4(4'++-=n c c n n 化简整理得：]4121sin(22)1(32[81ππ-+--+=n n c n n (n∈N)。
2、求数列中的项例3（由第十四届希望杯改编）、已知数列}{n a 中，5,321==a a 且对于大于2的正整数，总有21---=n n n a a a ，则2009a 等于（ ）． A ．-5 B ．-2 C ．2 D ．3．解析：由性质（2）知，数列}{n a 是以6为周期的周期数列，而533462009+⨯=，再由性质（3）可得5)(3233452009-=--=-==a a a a a a a ，故选A ．例4（上海中学数学杂志2000年的第1期）、已知实数列}{n a 满足a a =1（a 为实数），11313---+=n n n a a a (+∈N n )，求2000a ．解：11313---+=n n n a a a (+∈N n )可变形为1133133---+=n n n a a a ．我们发现1133133---+=n n na a a 与三角式6tantan 16tan tan )6tan(πππx x x -+=+十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系的原型．通过运算，发现本题中可取n a =6tan πn ，6)1(tan 1π-=-n a n ．显然此数列的周期是6．而263332000+⨯=，再由性质（3），得aa a a -+==31322000．3、求周期数列的前n 项和例5、设数列}{n a 中，21321===a a a ，，且对N n ∈，有321+++n n n n a a a a =321++++++n n n n a a a a （121≠++n n n a a a ）成立，试求该数列前100项和100S ．解：由已知条件，对任何自然数+N ，有321+++n n n n a a a a = 321++++++n n n n a a a a ，把式中的n 换成1+n ，得4321++++n n n n a a a a = 4321+++++++n n n n a a a a ．两式相减得，44321)(+++++-=-n n n n n n n a a a a a a a ．因为1321≠+++n n n a a a ，所以n n a a =+4)(+∈N n ．所以}{n a 是以4为周期的周期数列，而254100⨯=，再由性质（3），得200)4211(25254100=+++⨯==S S ．例6（上海08质检题）、若数列}{n a 满足n n n a a a -=++12)(+∈N n ，n S 为}{n a 的前n 项和，且20082=S ，20103=S ，求2008S ．解析：由n n n a a a -=++12及性质（2），可知所以数列}{n a 是以6为周期的周期数列．由20082=S ，20103=S ，知200821=+a a ，2010321=++a a a ，再结合123a a a -=，可求得10031=a ，10052=a ，23=a ；由递推关系式可进一步求得10034-=a ，10055-=a ，26-=a ．因为433462008+⨯=，由性质（3），得100710070334334462008=+⨯=+=S S S ．4、求周期数列的极限例7、（06北京）在数列}{n a 中，1a ，2a 是正整数，且21---=n n n a a a ，Λ5,4,3=n ，则称}{n a 为“绝对差数列”．若“绝对差数列”}{n a 中，320=a ，021=a ，数列}{n b 满足21++++=n n n n a a a b ，Λ3,2,1=n ，分别判断当n →∞时，数列}{n a 和}{n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值．解析：因为在绝对差数列}{n a 中320=a ，021=a ．所以自第20项开始，该数列是320=a ，021=a ，322=a ，323=a ，024=a ，325=a ，326=a ，027=a …．即自第 20 项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当n →∞时，n a 的极限不存在．当20n ≥时，126n n n n b a a a ++=++=，所以lim 6n n b →∞=．。