计算流体力学复习题答案

《计算流体力学》复习题1. 用待定系数法，用000 , , x kh x x lh -+三点构造一阶导数值 ()0f x ' 的差分近似，这里k 、l 为已知的正整数。

【解答】所求的差商近似，表达式应为()()()()()000001pk l f x c f x kh c f x c f x lh h h -'=-++++⎡⎤⎣⎦O 通过泰勒展开，可有()()()()()()()()()()()22000003324430011211624k l k l k l k l k l f x c c c f x kc lc f x k c l c hf x h k c l c h f x k c l c h f x -----''''=+++-+++'''''''+-++++比较上式两边，得到确定系数k c -、0c 、l c 的方程组0220111022k l k l k l c c c kc lc k c l c ---⎧++=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得()()0kl lc k k l l k c kl k c l k l -⎧=-⎪+⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎪+⎪⎩从而得到差商近似的表达式()()()()()()()000020116l l k kf x f x kh f x f x lh h k k l kl l k l kl h f x ⎡⎤-'=--+++⎢⎥++⎣⎦'''+⋅+由于0k ≠、0l ≠，所以差分近似具有二阶精度。

2. 考虑对流方程0u u t x∂∂∂∂+= ， （1）用特征线法构造方程的单侧三点迎风格式； （2）分析这一格式的截断误差； （3）分析这一格式的格式粘性。

【解答】（1）根据迎风原则，应选用 n j u 、1nj u -、2n j u - 构造单侧三点迎风格式。

记 λ∆=∆tx，则由三点插值公式，有 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1121222 , , , 2 , 21112 , 2 , 1 , 22n n nj j j n j n n n j j j x t x t t x t u x t u x t u x t x x x x t x t u x t x x u x t u x t u x t λλλλλλ+----∆-∆∆-∆-∆∆-∆≈+∆∆-∆∆-∆∆-∆+-∆-∆=--+---所以，所求的差分格式为()()()()11211122122n n n n jj j j u u u u λλλλλλ+--=--+---（2）将格式改写成112122342122+------+-++=∆∆∆∆n n n n nn n nj jj j j j j j u u u u u u u u t txx通过泰勒展开，得到()()()23323232332322311126312n n n n n j j j j j n nj j v v v v v t t t x x t t t x x v v t x x x x ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂+∆+∆+O ∆+-∆+O ∆⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤∂∂=∆-∆+O ∆⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦因此，格式的截断误差为()223332222333221111122632 , , , nnnnnn j j j j j jv v v v v R t t t x t x t x t x x t t t x x ∂∂∂∂∂=-∆+∆-∆+∆-∆∆+∂∂∂∂∂O ∆∆∆∆∆=由此可知，格式无条件相容并具有一阶精度。

（3）由原方程，知u u t x ∂∂∂∂=- ， 2222u u t x ∂∂∂∂= ， 3333u ut x∂∂∂∂=- 所以取v u =，有()23222310326nnn j j ju u R t t x x x x ∂∂=-∆-∆∆+∆∂∂⋅+因此，格式粘性为零。

3. 考虑方程0u u u t x∂∂∂∂+= ， （1）用 Taylor 展开法推导方程的 Lax-Wendroff 格式； （2）将方程改写成守恒形式，并写出其守恒形式的 Lax 格式。

【解答】（1）按时间自变量的泰勒展开()()21221 , , 2nnn nj j j ju u u x t u x t t t t t +∂∂=+∆+∆+∂∂由原方程，u uu t x∂∂∂∂=- ， 22222222222u u u u u u u u u u u t t x t x t x t x x t u u u u u u u u u u u u u u u u u x x x x x x xx x x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()2212221 , , 22nnn n j j j ju u u u x t u x t t u t u u x x x ∂∂∂∂+⎡⎤∂⎛⎫⎛⎫=-∆+∆++⎢⎥ ⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦用中心差分近似上式中的一阶和二阶空间导数，并冻结系数，就得到Lax-Wendroff 格式()22111111122221222n nn n n n nj j j j j j j n n nn n j j jj j u u u u u u u u u tu t u t u xx x +-+-+-+⎛⎫---+=-∆+∆+∆ ⎪ ⎪∆∆∆⎝⎭（2）将方程改写成守恒形式212 0u u tx∂∂∂∂⎛⎫⎪⎝⎭+=则守恒形式的 Lax 格式为22111111122202nnn n j j n j j j u u u u u t x-+++-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+=∆∆4. 考虑热传导方程 22u ut x∂∂∂∂= ，（1）证明下述三层隐式格式是条件相容的1111112+=2n n n n n nj j j j j j u u u u u u tx+-+-+----∆∆（2）分析下述两层格式的平均稳定性（01θ＃）()11111111222+2+=1θθ+++++-+----+-∆∆∆n n n n n n n nj j j j j j j j u u u u u u u u tx x【解答】（1）通过泰勒展开，得到格式的截断误差3224222223224211 , , 612n n nn j j j jv t v v t R t x t x t x t x x 骣骣骣鼢珑抖 鼢 ç珑鼢 =-++-+=ç珑鼢 ç珑鼢 ç抖 珑桫鼢珑桫桫L L ∆∆∆∆O ∆∆∆∆ 判断相容性。

当 0→∆t ，0→∆x 时，如果0tx∆→∆ ，才能有 0→n j R ，所以格式是条件相容的。

（2）记 2∆=∆tr x，将格式改写成 ()()()111111112+12+θθ+++++-+---=+--n n n n n n n n j j j j j j j j u r u u u u r u u u设舍入误差 jikxn k n j eC =ε ，则有 ()()()112112n ik x ik xnik x ik x k kC r e e Cr e e θθ∆∆∆∆+--轾轾--+=+--+犏犏臌臌记k x α=∆，求出增长因子()()()()()()()()()()22112112cos 212cos 212141sin 1211cos 2121cos 14sin2i i i i r e e r G r r e e r r r r ααααθθαθαθαθθααθαθ--+--++--==----+-----==+-+由 11G -＃ ，有()22214sin 141sin14sin222r r r αααθθθ骣÷ç÷-+?-?ç÷ç÷桫即 24sin02r α³ 和 ()2412sin22r αθ- 。

其中第一个不等式显然成立；第二个不等式当 120- θ ，即 12³θ 时总是成立的，而当 12<θ 时给出 ()21sin 2212r αθ£- 。

因 2sin 2α 的最大值为1，故应有()1212r θ£-5. 用von Neumann 方法分析下列差分格式的平均稳定性111122221121111122221122+ = 122+= 12n n n n n j j j j j n n n n n j j j j j u u u u u x tu u u u u x t νν+++++-++++++-⎧--⎪∆⎪∆⎪⎨⎪--⎪∆⎪∆⎩ 【解答】记 2ν∆=∆tr x ，将格式改写成 ()()1111222211111112222111 2+ 212+2+++++-++++++-⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩n n n n n j j j j j n n n n n j j j j j u u r u u u u u r u u u 设舍入误差 jikxn k n j eC =ε ，则有 121221212sin 212sin 2n n k k n n k k k x r C C k x C r C ∆∆+++ì骣ï÷ïç÷+=镧÷çï÷桫ïïíï骣ï÷çï÷=-çï÷ï÷ç桫ïïî增长因子121221122212sin 1212sin 212sin 12sin 22n n n k kkn nn kk kk xr CCC k x G r k x k x CC C r r ∆∆∆∆++++-骣÷ç÷===-=ç÷ç÷桫++6. 对守恒形式的双曲型方程0u f t x∂∂∂∂+= ，其两步格式的一般形式为（其中的 θ 和 σ 均为常数，0σ> ）()()()()()()*111**111 11 2112 θθσσθθσθσ++++--∆⎧=-+--⎪⎪∆⎨∆⎪⎡⎤=--+-+--+-⎣⎦⎪∆⎩n n n nj j j j j n n n n n j j j j j j j t u u u f f x t u u f f f f f x 证明：当f au =（a 为常数）时该格式还原成 Lax-Wendroff 格式()()2111111 1 22 2 n n n n n n nj j j j j j j t t u u a u u a u u u x x ++-+-∆∆⎛⎫=--+-+ ⎪∆∆⎝⎭【解答】略。