全等三角形提高题目及答案
全等三角形经典例题(含答案)
全等三角形经典例题(含答案)全等三角形是指两个三角形的所有对应边和对应角都相等。
判断两个三角形是否全等的条件有三种：SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA（角-边-角）。
下面介绍几个经典的全等三角形例题：例题一：已知△ABC和△DEF，已知AB=DE，AC=DF，∠C=∠F，是否可以断定△ABC≌△DEF？如果可以，请说明理由；如果不可以，请给出反例。
解析：根据题目可知，已知△ABC和△DEF的所有对应边和对应角都相等，即满足ASA条件。
因此，可以断定△ABC≌△DEF。
因为已知条件满足△ABC和△DEF的全等条件。
例题二：已知△ABC和△DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF，是否可以断定△ABC≌△DEF？如果可以，请说明理由；如果不可以，请给出反例。
解析：根据题目可知，已知△ABC和△DEF的所有对应边都相等，即满足SSS条件。
因此，可以断定△ABC≌△DEF。
因为已知条件满足△ABC和△DEF的全等条件。
例题三：已知△AB C和△DEF，已知∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF，是否可以断定△ABC≌△DEF？如果可以，请说明理由；如果不可以，请给出反例。
解析：根据题目可知，已知△ABC和△DEF的对应角相等，BC=EF，但没有给出第三边的长度。
无法判断是否满足SSS或SAS条件，因此无法断定△ABC≌△DEF。
例题四：已知△ABC和△DEF，已知AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，是否可以断定△ABC≌△DEF？如果可以，请说明理由；如果不可以，请给出反例。
解析：根据题目可知，已知△ABC和△DEF的对应边和对应角相等，即满足SAS条件。
因此，可以断定△ABC≌△DEF。
因为已知条件满足△ABC和△DEF的全等条件。
例题五：已知两个全等的三角形ABC和DEF，若∠A=60°，AC=6，DF=9，求BC和EF的长度。
解析：由于△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可知BC=EF。
6 探索全等三角形的条件(1)-边角边(SAS)(拓展提高)(解析版)
专题1.6 探索全等三角形的条件（1）-边角边（SAS ）（拓展提高）一、单选题1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB ，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ，若∠A ＝50°，则∠BDE 的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】A 【分析】先由直角三角形的性质得∠B ＝90°﹣∠A ＝40°，再证△CDE ≌△CDA （S A S ），得∠CED ＝∠A ＝50°，然后由三角形的外角性质即可得出答案．【详解】∵∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，∴∠B ＝90°﹣∠A ＝40°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ECD ＝∠ACD ，在△CDE 和△CDA 中，EC AC ECD ACD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE ≌△CDA （S A S ），∴∠CED ＝∠A ＝50°，又∵∠CED ＝∠B +∠BDE ，∴∠BDE ＝∠CED ﹣∠B ＝50°﹣40°＝10°，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．2．如图所示，AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，5AB =cm ，4=AD cm ，则边AC 的长度可能是（ ）A ．3cmB ．5cmC ．14cmD ．13cm【答案】B 【分析】延长AD 至M 使DM =AD ，连接CM ，根据SAS 得出≅ADB MDC ，得出AB =CM =4cm ，再根据三角形的三边关系得出AC 的范围，从而得出结论；【详解】解：延长AD 至M 使DM =AD ，连接CM ，∵AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，∴BD =CD ，∵∠ADB =∠CDM ,∴≅ADB MDC ，∴MC =AB =5cm ，AD =DM =4cm ，在AMC 中，3＜AC ＜13，故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出AC 长度的取值范围是解题的关键．3．如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（ ）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒【答案】C 【分析】由已知可得△ABC ≌△ADE ，故有∠BAC =∠DAE ，由∠EAB =120°及∠CAD =10°可求得∠AFB 的度数，进而得∠GFD 的度数，在△FGD 中，由三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求得∠EGF 的度数．【详解】在△ABC 和△ADE 中AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△ADE （SAS ）∴∠BAC =∠DAE∵∠EAB =∠BAC +∠DAE +∠CAD =120°∴∠BAC =∠DAE ()112010552=⨯︒-︒=︒ ∴∠BAF =∠BAC +∠CAD =65°∴在△AFB 中，∠AFB =180°-∠B -∠BAF =90°∴∠GFD =90°在△FGD 中，∠EGF =∠D +∠GFD =115°故选：C【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，关键求得∠BAC 的度数．4．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF ，CE ，下列说法：①ABD △和ACD △面积相等； ②BAD CAD ∠=∠； ③BDF ≌CDE △；④//BF CE ；⑤CE AE =．其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．①③④D．①④⑤【答案】C【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；在△BDF和△CDE中，BD CDBDF CDE DF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；∴∠F=∠DEC，∴BF∥CE，故④正确；∵△BDF≌△CDE，∴CE=BF，故⑤错误，正确的结论为：①③④，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．5．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3【答案】D 【分析】设运动时间为t 秒，由题目条件求出BD=12AB=6，由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，然后结合全等三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．【详解】解：设运动时间为t 秒，∵12AB AC cm ==，点D 为AB 的中点．∴BD=12AB=6， 由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，又∵∠B=∠C∴①当BP=CQ ，BD=CP 时，BPD ∆≌CQP ∆∴2t=vt ，解得：v=2②当BP=CP ，BD=CQ 时，BPD ∆≌CPQ ∆∴8-2t=2t ，解得：t=2将t=2代入vt=6，解得：v=3综上，当v=2或3时，BPD ∆与CQP ∆全等故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6．如图1，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图2，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图3，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依次规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是（ ）．A ．nB ．21n -C ．(1)2n n +D ．3(1)n +【答案】C 【分析】根据条件可得图1中△ABD ≌△ACD 有1对三角形全等；图2中可证出△ABD ≌△ACD ，△BDE ≌△CDE ，△ABE ≌△ACE 有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n 个图形中全等三角形的对数．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD=∠CAD ．在△ABD 与△ACD 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是()12n n+．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．二、填空题7．如图所示，点O为AC的中点，也是BD的中点，那么AB与CD的关系是________．【答案】平行且相等【分析】只需要证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得出结论．【详解】解：∵点O为AC的中点，也是BD的中点，∴AO=OC，BO=OD，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=CD，∠A=∠C，即AB 与CD 的关系是平行且相等，故答案为：平行且相等．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的判定定理．掌握全等三角形的判定定理是解题关键．8．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若7,5AB AC ==，则AD 长的取值范围是_________．【答案】16AD <<【分析】利用中线的性质，作辅助线AD=DE ，构造全等三角形()ADB EDC SAS ≅，再有全等三角形对应边相等的性质，解得7CE AB ==，最后由三角形三边关系解题即可．【详解】如图，AD 为BC 边上的中线,延长AD 至点E ，使得AD=DE在△ADB 和△EDC 中BD DC ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB EDC SAS ∴≅7CE AB ∴==CE AC AE AC CE -<<+75275AD ∴-<<+16AD ∴<<故答案为：16AD <<．【点睛】本题考查三角形三边的关系，其中涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识、正确作出辅助线是解题的关键．9．如图，在ABC 中，,90AC BC ACB =∠=︒，点D 是BC 上的一点，过点B 作//BE AC ，使BE CD =，连接CE 与AD 相交于点G ，则AD 与CE 的关系是_______________．【答案】AD ⊥CE ，AD =CE【分析】证明△ACD ≌△CBE ，得到∠CAD =∠BCE ，AD =CE ，结合∠ACB =90°，可得∠CGD =90°，从而可得结果．【详解】解：由题意可知：∵∠ACB =90°，BE ∥AC ，∴∠ACB =∠EBC =90°，在Rt △ACD 和Rt △CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （SAS ），∴∠CAD =∠BCE ，AD =CE ，∵∠CAD +∠CDA =90°，∴∠CDA +∠BCE =90°，∴∠CGD =180°-（∠CDA +∠BCE ）=90°，∴AD ⊥CE ，综上：AD ⊥CE ，AD =CE ，故答案为：AD ⊥CE ，AD =CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ACD ≌△CBE ，得到角和线段之间的相等关系．10．如图，在ABC 中，90B ∠>︒，CD 为ACB ∠的角平分线，在AC 边上取点E ，使DE DB =，且90AED ∠>︒，若A x ∠=︒，ACB y ∠=︒，则AED =∠_______．（用x 、y 的代数式表示）【答案】180°-x°-y° 【分析】在AC 上截取CF =BC ，根据全等三角形的性质可得BD =DF =DE ，可得∠AED =∠ABC ，根据三角形的内角和可求解．【详解】解：如图，在AC 上截取CF =BC ，∵CD 为∠ACB 的角平分线，∴∠ACD =∠BCD ，∵CF =BC ，∠ACD =∠BCD ，CD =CD ，∴△BDC ≌△FDC （SAS ），∴∠ABC =∠CFD ，DF =BD ，∵BD =DE ，∴DE =DF ，∴∠DEF =∠DFE ，∴∠AED =∠CFD ，∵∠A =x°，∠ACB =y°，∴∠ABC =180°-∠A -∠ACB =180°-x°-y°，∴∠AED =∠DBC =180°-x°-y°，故答案为：180°-x°-y°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．11．如图，在ABC 中，90,,,ACB AC BC CE BE CE ∠=︒=⊥与AB 相交于点F ，且CD BE =，则ACD CBA DAF ∠∠∠、、之间的数量关系是_____________．【答案】=ACD CBA DAF ∠∠∠+【分析】先利用同角的余角相等得到ACD ∠=CBE ∠，再通过证ACD CBE ≌，得到==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠，再 利用三角形内角和得=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠可得=DAF EBF ∠∠，最后利用角的和差即可得到答案，ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠．【详解】证明：∵90ACB ∠=︒，CE BE ⊥∴+90ACD ECB ∠=︒∠，+90CBE ECB ∠=︒∠∴ACD ∠=CBE ∠又∵AC BC =，CD BE =∴ACD CBE ≌∴==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠∵=AFD EFB ∠∠∴=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠即=DAF EBF ∠∠∴ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠故答案为：=ACD CBA DAF ∠∠∠+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、内角和定理以及全等三角形的判定和性质，能通过性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．12．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．【答案】12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示，由题可知ABC ADC ≅△△，∴30BAC DAC ∠=∠=︒，90ACB ACD ∠=∠=︒，2BC BD ==，∴60BAD ∠=︒，180BCD ∠=︒，∴B ，C ，D 在一条直线上，∵60B D ∠=∠=︒，∴△ABD 是等边三角形，∴△ABD 的周长()3312BD BC CD==+=；故答案是12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质计算是解题的关键． 13．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6．延长BC 到点E ，使CE ＝2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为__秒时，△ABP 和△DCE 全等．【答案】1或7【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2或AP=16-2t=2即可求得结果．【详解】因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP＝2t＝2，所以t＝1，因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP＝16﹣2t＝2，解得t＝7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为：1或7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，要注意分类讨论．14．如图，△P AB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△P AB与△PCD的面积之差为_____．【答案】10【分析】由“SAS”可证△APC≌△BPD，可得S△APC＝S△BPD，由面积和差关系可求解．【详解】解：∵△P AB与△PCD均为等腰直角三角形，∴PC＝PD，∠APB＝∠CPD＝90°，AP＝BP，∴△APC≌△BPD（SAS），∴S△APC＝S△BPD，∵S△APB﹣S△PCD＝S△APC+S△ABC﹣（S△BPD﹣S△BCD），∴S△APB﹣S△PCD＝S△BCD+S△ABC＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△APC≌△BPD是本题的关键．三、解答题15．如图所示，AC BC ⊥，DC EC ⊥，垂足均为点C ，且AC BC =，EC DC =．求证：AE BD =．【答案】见解析【分析】根据SAS 证明ACE BCD △≌△即可．【详解】证明：∵AC BC ⊥，DC EC ⊥，∴90ACB ECD ∠=∠=︒∴ACB BCE ECD BCE ∠+∠=∠+∠即ACE BCD ∠=∠在ACE 和BCD △中AC BC ACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ACE BCD ≌△△ ∴AE BD =【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明ACE BCD ∠=∠是解答此题的关键． 16．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，//,,AB DE AB DE BE CF ==．求证：A D ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】根据平行得出B DEF ∠=∠，然后用“边角边”证明ABC DEF △≌△即可．【详解】证明：∵//AB DE ，∴B DEF ∠=∠．∵BE CF =，∴BE EC CF EC +=+．∴BC EF =．在ABC 和DEF 中，,,,AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF △≌△．∴A D ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．17．如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，点E 、F 在AC 上，//DF BE ，且DF BE =，AE CF =．求证：AB CD =，且//AB CD ．【答案】见解析【分析】根据已知条件可证得ABE CDF △≌△，从而由全等三角形的性质可得要证的结论．【详解】//DF BEBEO DFO ∴∠=∠AEB CFD ∴∠=∠又DF BE =∵，AE CF =ABE CDF ∴△≌△AB CD ∴=，BAE DCF ∠=∠//AB CD ∴【点睛】本题考查了三角形全等的的判定的性质，关键是得出AEB CFD ∠=∠．18．如图，BD ，CE 分别是ABC 的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线上，点Q 在CE 上，BP AC =，CQ AB =，请说明AQ 与AP 的关系．【答案】AP =AQ 且AP ⊥AQ【分析】由于BD AC ⊥，CE AB ⊥，可得ABD ACE ∠=∠，又由对应边的关系，进而得出ABP QCA ∆≅∆，即可得出AQ=AP ．在此基础上，可证明90PAQ ∠=︒．【详解】解：证明：BD AC ⊥，CE AB ⊥（已知），90BEC BDC ∴∠=∠=︒，90ABD BAC ∴∠+∠=︒，90ACE BAC ∠+∠=︒（直角三角形两个锐角互余），ABD ACE ∴∠=∠（等角的余角相等），在ABP ∆和QCA ∆中，BP AC ABD ACE CQ AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABP QCA SAS ∴∆≅∆，∴=AP AQ ．ABP QCA ∆≅∆，CAQ P ∴∠=∠，BD AC ⊥，即90P CAP ∠+∠=︒，90CAQ CAP ∴∠+∠=︒，即90QAP ∠=︒，AP AQ ∴⊥．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用．19．平面上有ACD △与,BCE AD 与BE 相交于点,P AC 与BE 相交于点,M AD 与CE 相交于点N ，若,,AC BC CD CE ECD ACB ==∠=∠．（1）求证：≌ACD BCE ；（2）55,145ACE BCD ∠=︒∠=︒，求BPD ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BPD =140°．【分析】（1）利用SAS 证明△ACD ≌△BCE 即可；（2）由全等三角形的性质可知：∠A =∠B ，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD 的度数．【详解】解：（1）证明：∵∠ACB =∠ECD ，∠ACE =∠ACE ，∴∠BCE =∠ACD ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC BCE ACD CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；（2）∵△ACD ≌△BCE ，∴∠A =∠B ，∠BCE =∠ACD ，∴∠BCA =∠ECD ，∵∠ACE =55°，∠BCD =155°，∴∠BCA +∠ECD =100°，∴∠BCA =∠ECD =50°，∵∠ACE =55°，∴∠ACD =105°∴∠A +∠D =75°，∴∠B +∠D =75°，∵∠BCD =145°，∴∠BPD =360°-75°-145°=140°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°．20．（1）如图1，一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定，这里所运用的几何原理是：；（2）如图2，小河的旁边有一个甲村庄所示，现计划在河岸AB上建一个泵站，向甲村供水，使得所铺设的供水管道最短，请在上图中画出铺设的管道，这里所运用的几何原理是：（3）如图3，在新修的小区中，有一条“Z”字形长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE=CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度（用两个字母表示线段）．这样做合适吗?请说出理由．【答案】（1）三角形具有稳定性；（2）见解析，垂线段最短；（3）合理，见解析【分析】（1）根据三角形的稳定性解答；（2）根据垂线段最短解答；（3）首先证明△MEB≌△MFC，根据全等三角形的性质可得ME＝MF．【详解】解：（1）一扇窗户打开后，用窗钩AB要将其固定，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性；故答案为：三角形具有稳定性；（2）过甲向AB作垂线，如图2所示；运用的原理是：垂线段最短；故答案为：垂线段最短；（3）合理，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，∵点M 是BC 的中点，∴MB ＝MC ，在△MCF 和△MBE 中BE CF B C BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MEB ≌△MFC （SAS ），∴ME ＝MF ，∴想知道M 与F 之间的距离，只需要测出线段ME 的长度．【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，三角形的稳定性，以及全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形判定定理，会用它证明对应边相等．。
八年级全等三角形专题练习(解析版)
一、八年级数学全等三角形解做题压轴题〔难〕1. 〔1〕如图〔1〕,：在△ ABC中,N BAC=90.,AB二AC,直线m经过点A, 8口,直线m, CE J_直线m,垂足分别为点D、E.证实:DE=BD+CE.〔2〕如图〔2〕,将〔1〕中的条件改为：在△ ABC中,AB=AC, D、A、E三点都在直线m 上,并且有N BDA=Z AEC=Z BAC=.,其中.为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立? 如成立,请你给出证实;假设不成立,请说明理由.〔3〕拓展与应用：如图〔3〕 , D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点〔D、A、E 三点互不重合〕,点F为N BAC平分线上的一点,且△ ABF和^ ACF均为等边三角形,连接BD、CE,假设N BDA=Z AEC=Z BAC,试判断△ DEF 的形状.【答案】(1)见解析(2)成立(3) 4DEF为等边三角形【解析】解：(1)证实：BDL直线m, CEJ_直线m,,N BDA=N CEA=900.: Z BAC=90°, /. Z BAD+Z CAE=90°.•/ Z BAD+Z ABD=90°, /. Z CAE=Z ABD.又AB二“AC〞,「・△ ADB合△ CEA (AAS) . /. AE=BD, AD=CE./. DE=,,AE+AD=H BD+CE.(2)成立.证实如下：: Z BDA =Z BAC=a , /. Z DBA+Z BAD=Z BAD+Z CAE=180°-O r . /. Z DBA=Z CAE.Z BDA=Z AEC=., AB=AC,「・△ AD於△ CEA (AAS). /. AE=BD, AD=CE.DE二AE+AD=BD+CE.(3)△ DEF为等边三角形.理由如下：由(2)知,△ ADB合△ CEA, BD=AE, Z DBA =Z CAE,: △ ABF 和^ ACF 均为等边三角形,J Z ABF=Z CAF=60°.・•, Z DBA+Z ABF=Z CAE+Z CAF. /. Z DBF=Z FAE.; BF=AF,,•・丛DBF合△ EAF (AAS) . /. DF=EF, Z BFD=Z AFE.・•, Z DFE=Z DFA+z AFE=Z DFA+Z BFD=60°.・•.A DEF为等边三角形.(1)由于DE=DA+AE,故由AAS证△ ADB合4 CEA,得出DA=EC, AE=BD,从而证得DE=BD+CE.(2)成立,仍然通过证实△ ADB2 J CEA,得出BD=AE, AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由△ ADB2△ CEA得BD=AE, NDBA=N CAE,由△ ABF和△ ACF均等边三角形,得Z ABF=Z CAF=60°, FB=FA,所以N DBA+N ABF=N CAE+N CAF,即N DBF二N FAE,所以△ DBF^ △ EAF,所以FD=FE, Z BFD=Z AFE,再根据N DFE=Z DFA+Z AFE=Z DFA+Z BFD=60°得到△ DEF是等边三角形.2.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE, PE 交CD 于 F〔1〕证实：PC=PE；〔2〕求N CPE的度数：〔3〕如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当N ABC=12〔T时,连接【答案】(1)证实见解析(2) 90° (3) AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC, ZABP=ZCBP=45%结合PB=PB得出aABP g^CBP,从而得出结论：⑵、根据全等得出NBAP=NBCP, ZDAP=ZDCP,根据PA=PE得出NDAP=NE,即ZDCP=ZE,易得答案；(3)、首先证实4ABP和^CBP全等,然后得出PA=PC, NBAP=NBCP,然后得出NDCP二NE,从而得出NCPF=NEDF=60°,然后得出AEPC是等边三角形,从而得出AP=CE.【详解】⑴、在正方形ABCD 中,AB=BC, ZABP=ZCBP=45%在ZkABP 和4CBP 中,XV PB=PB AAABP^ACBP (SAS) , ,PA=PC, VPA=PE>:.PC=PE；⑵、由(1)知,A ABP^ACBP,.\ZBAP=ZBCP, JNDAP=NDCP,VPA=PE, .\ZDAP=ZE> /. ZDCP=ZE. VZCFP=ZEFD (对顶角相等), A180° - ZPFC - ZPCF=1800 - ZDFE - NE, BPZCPF=ZEDF=90<>：⑶、AP = CE理由是：在菱形ABCD 中,AB=BC, NABP二NCBP,在2\ABP ^lACBP 中,XV PB=PB /.△ABP^ACBP (SAS),,PA二PC, NBAP=NDCP,VPA=PE,,PC=PE,,NDAP=NDCP, V PA=PC,/DAP=NE, A ZDCP=ZE V ZCFP=ZEFD (对顶角相等),A180°- ZPFC - ZPCF=180° - ZDFE - NE, RPZCPF=ZEDF=180° - ZADC=180° - 120°=60°, AAEPC 是等边三角形,,PC=CE, AAP=CE考点：三角形全等的证实3.如图,在AA8C中,NAC8为锐角,点£＞为射线8C上一动点,连接AO.以AO为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.图①图②图③〔1〕假设A3 = AC, ABAC = 90°①当点.在线段BC上时〔与点3不重合〕,试探讨CF与8.的数量关系和位置关系：②当点O在线段C的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,请在图2中而出相应的图形并说明理由；〔2〕如图3,假设ABwAC, ABAC90° , ZBC4 = 45°,点.在线段8C上运动,试探究CF与8.的位置关系.【答案】〔1〕①CF_LBD,证实见解析：②成立,理由见解析：〔2〕 CF1BD,证实见解析.【解析】【分析】〔1〕①根据同角的余角相等求出NCAF=NBAD,然后利用"边角边"证实4ACF和4ABD全等,②先求出NCAF=NBAD,然后与①的思路相同求解即可：〔2〕过点A作AE_LAC交BC于E,可得4ACE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE, NAED=45.,再根据同角的余角相等求出NCAF=NEAD,然后利用“边角边〞证实4ACF 和4AED全等,根据全等三角形对应角相等可得NACF=NAED,然后求出ZBCF=90°,从而得到CFJ_BD.【详解】解：〔1〕①•••NBAC=90°, 4ADF是等腰直角三角形,.\ZCAF+ZCAD=90% ZBAD+ZACD=90°,.\ZCAF=ZBAD,在4ACF和4ABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF,.,.△ACF^AABD〔SAS〕,.・.CF=BD, ZACF=ZABD=45",ZACB=45",AZFCB=90°,.-.CF±BD：②成立,理由如下：如图2：VZCAB=ZDAF=90%,ZCAB+ ZCAD= ZDAF+ ZCAD, 即NCAF=NBAD,在aACF和AABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF, AAACF^AABD(SAS), ACF=BD, NACF=NB,VAB=AC, ZBAC=90%AZB=ZACB=45%/. Z BCF= ZACF+ ZACB=45o+45o=90°,ACF1BD：(2)如图3,过点A作AE_LAC交BC于E,•/ ZBCA=45",••.△ACE是等腰直角三角形,,AC=AE, NAED=45°, VZCAF+ZCAD=90°, ZEAD+ZCAD=90%,NCAF=NEAD,在4ACF和4AED中,VAC=AE, NCAF=NEAD, AD=AF,.•.△ACF^AAED(SAS), /. ZACF=ZAED=45\,ZBCF= ZACF+ ZBCA=45o+45°=90°, ACF1BD.【点睛】此题考查全等三角形的动点问题,综合性较强,有一定难度,需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.4.如图〔1〕,在△A3C中,ZA = 90°, A3 = AC,点.是斜边8C的中点,点E, 产分别在线段A3, 4c上,且NEDF = 90..〔1〕求证：△.所为等腰直角三角形：〔2〕假设△ABC的面积为7,求四边形AEDF•的面积：〔3〕如图〔2〕,如果点E运动到A8的延长线上时,点尸在射线C4上且保持ZEDF = 90°,△.石尸还是等腰直角三角形吗.请说明理由.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕 3.5：〔3〕是,理由见解析.【解析】【分析】〔1〕由题意连接AD,并利用全等三角形的判定判定△ BD年△ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.瓦'为等腰直角三角形；〔2〕由题意分析可得S网边形AEDF=S MDF+S AADE=S ABDE+S ACDF,以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；〔3〕根据题意连接AD,运用全等三角形的判定判定△ BDE^ △ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.所为等腰直角三角形.【详解】解：〔1〕证实：如图①,连接AD.「N BAC=90°,AB=AC,点D是斜边BC的中点,/. AD±BC , AD=BD,・•, Z 1=Z B=45°,Z EDF=90% Z 2+Z 3=90%又,Z 3+Z 4=90°,/. Z 2=Z 4,在^ BDE 和^ ADF 中,Z 1=Z B, AD=BD,Z 2=Z 4,/. △ BDE合 , ADF(ASA),・•, DE二DF,又；Z EDF=90\・•・ ADEF为等腰直角三角形.(2)由(1)可知DE=DF, NON 6=45., 又「N 2+N 3=90°, Z 2+Z 5=90%J Z 3=Z 5,A ADE级△ CDF,・' S N边H,AEDF=S AADF+S CADE二S ABDE+S^CDF,S MBC=2 S 网边毛AEDF,S wijn；AEDF=3.5.(3)是,如图②,连接AD.•/ Z BAC=90\ AB=AC, D 是斜边BC 的中点,/. AD±BC Z AD=BD ,「・Z 1=45°,Z DAF=180°-Z l=180°-45°=135% Z DBE=180°-Z ABC=180°-45°=135%/. Z DAF=Z DBE,「Z EDF=90\/. Z 3+Z 4=90%又；Z 2+Z 3=90°,「・Z 2=Z 4,在仆BDE 和a ADF 中,Z DAF=Z DBE, AD=BD,N 2=Z 4,△ BDE合△ ADF(ASA),・•.DE=DB又：Z EDF=90\.•.A DEF为等腰直角三角形.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.5.如图,在MBC中,ZC = 90°, AC = 3, BC = 7,点.是8c边上的动点,连接AD,以AO为斜边在A.的下方作等腰直角三角形AO石.(1)填空：AABC的面积等于—；(2)连接CE,求证：CE是NAC3的平分线；(3)点.在6C边上,且CO = 1,当.从点.出发运动至点3停止时,求点E相应的运动路程.王O 1 _【答案】〔I〕—：〔2〕证实见解析：〔3〕 3点【解析】【分析】〔1〕根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得：〔2〕如下图作出辅助线,证实△AEM名ADEN 〔AAS〕,得至I] ME=NE,即可利用角平分线的判定证实：〔3〕由〔2〕可知点E在NACB的平分线上,当点D向点B运动时,点E的路径为一条直线,再根据全等三角形的性质得出CN=!〔AC + C.〕,根据CD的长度计算出CE的长度即可.【详解】解：〔1〕 ZC = 90°, AC = \ BC = 7= -ACxBC = -x3x7 = — ,故答案为：—2〔2〕连接CE,过点E作EMLAC于点M,作EN_LBC于点N,AZEMA=Z END=90°,XVZACB=90SAZMEN=90%AZMED+Z DEN=90°,•••△ADE是等腰直角三角形AZAED=90\ AE=DEA ZAEM+Z MED=90%, ZAEM=Z DEN,在△AEM 与ZkDEN 中,ZEMA=Z END=90% ZAEM=Z DEN, AE=DEAAAEM^ADEN 〔AAS〕/. ME=NE,点E 在NACB 的平分线上, 即CE 是NAC3的平分线工(3)由(2)可知,点E 在NACB 的平分线上,・•・当点D 向点B 运动时,点E 的路径为一条直线,VAAEM^ADEN,AM=DN,即 AC-CM=CN-CD在 RtZiCME 与 RtZkCNE 中,CE=CE, ME=NE,ARtACME^RtACNE (HL)ACM=CN.,.CN=；(AC + CO),又YNMCE 二NNCE=45°, ZCME=90\・,. CE= y/2CN = —(AC + CD).2当 AC=3, CD=CO=1 时,CE=](3 + 1) = 2&当 AC=3, CD=CB=7 时,5CE=r (3 + 7) = 5 虚,点E 的运动路程为：50-20 = 30,£【点睛】此题考查了全等三角形的综合证实题,涉及角平分线的判定,几何中动点问题,全等三角 形的性质与判定,解题的关键是综合运用上述知识点.6.如图1,在长方形ABCD 中,AB=CD=5 cm, BC=12 cm,点P 从点B 出发,以2cm/s 的 速度沿BC 向点C 运动,设点P 的运动时间为ts.(1) PC=—cm ：(用含t 的式子表示)■I) I)(2)当t 为何值时,△ABPg^DCP?.(3)如图2,当点P从点B开始运动,此时点Q从点C出发,以vcm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样的v值,使得某时刻4ABP与以P, Q, C为顶点的直角三角形全等？假设存在,请求出v的值：假设不存在,请说明理由.【答案】(1) (12-2/)； (2)1 = 3;(3)存在,P = 2或忏1【解析】【分析】(1)根据P点的运动速度可得BP的长,再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长：(2)先根据三角形全等的条件得出当BP=CP,列方程求解即得；(3)先分两种情况：当BP=CQ, AB=PC 时,△ABPgZ\PCQ：或当BA=CQ, PB=PC 时,△ABPgaQCP,然后分别列方程计算出t的值,进而计算出v的值.【详解】解：(1)当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时3P = 2/57•・• BC = \2cin：.PC = BC-BP = (n-2i)cm故答案为：(12—27)(2) MBP = ^DCP・•. BP = CP・•・ 2/= 12-2/解得1 = 3.(3)存在,理由如下：①当BP=CQ, AB=PC 时,ZiABP名△PCQ,1. PC=AB=5.•.BP=BC-PC=12-5=7•・• BP = Item：.2t=7解得t=3.5.\CQ=BP=7,那么 3.5v=7解得y = 2.②当B4 = C.,PB = PC 时,MBP = \QCP,: BC = ncm,BP = CP = -BC = 6c7〃 2V BP = Item:.2t = 6解得/ = 3CQ = 3vcm,: AB = CQ = 5cm, 3v = 5解得U3综上所述,当u = 2或i,=,时,A48尸与以P, Q,C为顶点的直角三角形全等.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质,解题关键是将动态情况化为某一状态情况,并以这一状态为等量关系建立方程求解.7.：在MBC中,AB = AC,ZBAC = 90° ,尸Q为过点4的一条直线,分别过B、C两点作8M_LP0,CN_L尸.,垂足分别为M、N.(1)如图①所示,当P.与BC边有交点时,求证：MN = CN — BM ；(2)如图②所示,当与6C边不相交时,请写出线段8M、CN和MN之间的数量关系,并说明理由. 【答案】(1)见解析：(2) MN = BM + CN (或BM = MN — CN或CN = MN-BM ),理由见解析【解析】【分析】(1)根据条件先证AAA/i运ACN4,得到AM = CN,BM = AN,即可证得MN = CN — BM： (2)由(1)知AAMBYACNA,得到4M =CN,8M = AN,即可确定MN = BM + CN.【详解】证实：・・・BM_LPQ,CN_LP0,・•. ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,AZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NMM)・•. ZBAM = ZACN,在AAMB和ACN4中,'ZAMB = 4CNA・.• ZBAM = AACN , AB = CA:.AAM“ACN4(A4S),.・.AM =CN,BM =AN,,: MN = AM-AN,:.MN = CN — BM.(2) MN = BM + CN (或BM=MN-CN或CN = MN-BM) .理由：•.・BM_LPQ,CN_LP.,・•・ ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,.\ZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NBAM ),:.ZBAM = ZACN,在AAMB和ACNA中,'AAMB = ZCNAZ.B\M = ZACN , AB = CA：.AAM*ACNA( AAS),.・.AM =CN,BM =AN,:.MN = AN + AM = BM+CN.【点睛】此题考察三角形全等的应用,正确确定全等三角形是解题关键,由此得到对应相等的线段,确定它们之间的和差关系得到80、CN和MN之间的关系式.8.操作发现：如图,己知"配和"DE均为等腰三角形,AB=AC, AD=AE,将这两个三角形放置在一起,使点8, D, E在同一直线上,连接CE.(1)如图1, ZABC= ZACB= ZADE= ZAED=55Q,求证：△BADgZkCAE；(2)在(1)的条件下,求N8EC的度数：拓广探索：(3)如图2,假设NC48=NEAD=120.,8D=4, CF为aBCE中8E边上的高,请直接写出讦的长度.【答案】(1)见解析：(2) 70°； (3) 2【解析】【分析】(1)根据SAS证实△BADg/kCAE即可.(2)利用全等三角形的性质解决问题即可.(3)同法可证4BAD丝ZkCAE,推出EC=BD=4,由NBEC=NBAC=12O0,推出NFCE=30°即可解决问题.(1)证实：如图1中,图1Z ABC=^ ACB = Z ADE=N AED, /. Z EAD=Z CAB,：.Z EAC=A DAB,AE=AD. AC=AB9：.△ BAD^ & CAE (SAS).(2)解：如图1中,设AC交8E于O. •「N A8C=N4C8 = 55°,/. Z 84c=180° - 110° = 70°,BAD^△ CAE,Z ABO=Z ECO,Z EOC=ZAOB,・•, Z CEO = Z 840=70°,即 N BEC= 70°.(3)解：如图2中,A图2Z C48 = N EAD=120\•. Z BAD=A CAE,：AB=AC, AD=AE.△ BAD^ 4 CAE 〔SAS〕,•. Z BAD=A ACE. 8D=EC=4,同理可证N BEC- 8AC=120°,Z F£C=60%CFLEF,Z F=90",•. Z FCE=30\1•. EF=-EC=2. 2此题属于三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.9.在等边aABC中,点.是边8C上一点.作射线AO,点3关于射线AO的对称点为点E.连接CE并延长,交射线AO于点〔1〕如图,连接AE,①AE与AC的数量关系是；②设NBA尸=a,用.表示NBCF的大小；〔2〕如图,用等式表示线段A尸,CF.所之间的数量关系,并证实.【答案】⑴①AB二AE；②NBCF=.：(2)AF-EF=CF,理由见详解.【解析】【分析】(1)①根据轴对称性,即可得到答案；②由釉对称性,得：AE二AB, NBAF=NEAF=.,由△A3C是等边三角形,得AB=AC, ZBAC=ZACB=60° ,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°,即可求解：(2)作NFCG=60°交AD于点G,连接BF,易证AFCG是等边三角形,得GF=FC,再证△ACG会ABCF(SAS),从而得AG=BF,进而可得至lj结论.【详解】(1)①•・•点4关于射线的对称点为点E , AAB和AE关于射线AD的对称,AAB=AE.故答案是:AB=AE;②•.•点3关于射线的对称点为点E , ,AE二AB, NBAF=NEAF=.,•二△A3c是等边三角形,AAB=AC, ZBAC=ZACB=60" ,：.ZEAC=60° -2a, AE=AC,ZACE=1[180 - (60 - 2a)] = 60 +6?,A ZBCF=ZACE-ZACB=60 +a-60°=a .(2) AF-EF=CF,理由如下：作NFCG=60.交AD于点G,连接BF,•••NBAF=NBCF=a , NADB=NCDF,A ZABC=ZAFC=60c ,••.△FCG是等边三角形,AGF=FC,•二△A3c是等边三角形,ABC=AC, ZACB=60° , AZACG=ZBCF=« .在AACG和ABCF中,CA = CBZACG = ABCF , CG = CF,AACG 仝ABCF(SAS),.,.AG=BF,•・•点4关于射线AO的对称点为点E , .\AG=BF=EF,VAF-AG=GF,.\AF-EF=CE【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.10.如图,AA8C是等边三角形,点.在边4c上〔“点D不与A,C重合〕,点石是射线5c上的一个动点〔点E不与点8,C重合〕,连接OE,以OE为边作作等边三角形hDEF,连接CF.〔1〕如图1,当.石的延长线与A3的延长线相交,且CF在直线OE的同侧时,过点D 作DG//AB, DG 交BC 于点、G ,求证：CF = EG ；〔2〕如图2,当.石反向延长线与A8的反向延长线相交,且.,尸在直线OE的同侧时,求证：CD = CE+CF；〔3〕如图3,当OE反向延长线与线段A8相交,且.,厂在直线O石的异侧时,猜测CD、CE、CP之间的等量关系,并说明理由.【答案】〔1〕证实见详解；〔2〕证实见详解：〔3〕 CF = CO-CE,理由见详解.【解析】【分析】(1)由AABC 是等边三角形,DG//AB,得NCDG=NA=60° , NACB=60.,ACDG 是等边三角形,易证AGDE仝ACDF(SAS),即可得到结论：(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝△ CDF(SAS),即可得到结论；(3)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝A CDF(SAS),即可得到结论.【详解】(1)•・• AA3C是等边三角形,DG//AB, ：.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60° , ・•. ACQG是等边三角形,.\DG=DC.是等边三角形, .,.DE=DF, ZEDF=60° , A ZCDG-ZGDF=ZEDF-ZGDF,即：ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和八CDF中,DE = DFNGDE = NCDF ,DG = DC.,.△GDE^A CDF(SAS),：.CF = EG ；(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,如图2,•・• AABC是等边三角形,DG//AB、：.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,••・ACDG是等边三角形,:.DG=DC.•••ADE/是等边三角形,,DE=DF, ZEDF=60c ,A ZCDG-ZCDE=ZEDF-ZCDE> 即：ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和^ CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF ,DG = DC.,.△GDE^ACDF(SAS),:・CF = GE,••. CD = CG = CE+GE = CE+CF(3)CF = CD + CE,理由如下：过点D作DG〃AB交BC于点G,如图3,•・・AA8C是等边三角形,DGUAB, .,.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,,ACDG是等边三角形, ADG=DC=GC.•・• ADEF是等边三角形, ,DE=DF, ZEDF=60° ,A ZCDG+ZCDE=ZEDF+ZCDE,即：NGDE=NCDF, 在A GDE和4 CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF , DG = DCAAGDE^ACDF(SAS),,CF = G£=GC+CE=CD+CE.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.。
全等三角形题库(精品)(70题)-含答案
全等三角形题库（70题）一、解答题（本大题共70小题，共560.0分）1.如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD.AG．(1)求证：AD=AG；(2)AD与AG的位置关系如何．【答案】解：(1)∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，∴∠AFC=∠BFC=∠BEC=∠BEA=90°∴∠BAC+∠ACF=90°，∠BAC+∠ABE=90°，∠G+∠GAF=90°，∴∠ABE=∠ACF．在△ABD和△GCA中，{BD=AC∠ABE=∠ACF AB=CG，∴△ABD≌△GCA(SAS)，∴AD=GA，(2)结论：AG⊥AD．理由：∵△ABD≌△GCA(SAS)，∴∠BAD=∠G，∴∠BAD+∠GAF=90°，∴AG⊥AD．【解析】(1)先由条件可以得出∠ABE=∠ACF，就可以得出△ABD≌△GCA，就有AD= GA，∠BAD=∠G；(2)结论：AG⊥AD.由(1)可以得出∠GAD=90°，进而得出AG⊥AD．本题考查了全等三角形的判定及性质的运用、直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用等量代换证明垂直，属于中考常考题型．2.如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点；【答案】解：作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，∵BC⊥AF，∴∠BFA=∠AMD=90°，∵∠BAD=90°，∴∠1+∠2=∠1+∠B=90°，∴∠B=∠2，在△ABF与△DAM中，{∠BFA=∠AMD ∠B=∠2AB=AD,∴△ABF≌△DAM(AAS)，∴AF=DM，同理，△ACF≌△EAN(AAS)，AF=EN，∴EN=DM，∵DM⊥AF，EN⊥AF，∴∠GMD=∠GNE=90°，在△DMG与△ENG中，{∠DMG =∠ENG ∠DGM =∠EGN DM =EN, ∴△DMG≌△ENG(AAS)，∴DG =EG ，即点G 是DE 的中点．【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．作DM ⊥AF 于M ，EN ⊥AF 于N ，根据余角的性质得到∠B =∠2，根据全等三角形的性质得到AF =DM ，同理AF =EN ，求得EN =DM ，由全等三角形的性质得到DG =EG ，于是得到点G 是DE 的中点．3. 如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =12∠DAB.试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．【答案】解：猜想：DE +BF =EF.证明：延长CF ，作∠4=∠1，如图：∵将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF = 12∠DAB ，∴∠1+∠2=∠3+∠5，∠2+∠3=∠1+∠5，∵∠4=∠1，∴∠2+∠3=∠4+∠5，∴∠GAF =∠FAE ，在△AGB 和△AED 中，{∠4=∠1AB =AD ∠ABG =∠ADE, ∴△AGB≌△AED(ASA)，∴AG =AE ，BG =DE ，在△AGF 和△AEF 中，{AG =AE ∠GAF =∠EAF AF =AF, ∴△AGF≌△AEF(SAS)，∴GF =EF ，∴DE +BF =EF ．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助角，将DE 和BF 放在一起，便于数量关系的猜想和证明．通过延长CF ，将DE 和BF 放在一起，便于寻找等量关系，通过两次三角形全等证明，得出结论．4. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，点C 重合).以AD 为边作等边三角形ADE ，连接CE ．(1)如图1，当点D 在边BC 上时．①求证：△ABD≌△ACE ；②直接判断结论BC =DC +CE 是否成立(不需证明)；(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，请写出BC ，DC ，CE 之间存在的数量关系，并写出证明过程．【答案】解：(1)①∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴∠BAC =∠DAE =60°，AB =BC =AC ，AD =DE =AE ．∴∠BAC −∠DAC =∠DAE −∠DAC ，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中{AB=AC∠BAD=∠EAC AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．②∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE．∵BC=BD+CD，∴BC=CE+CD．(2)BC+CD=CE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中{AB=AC∠BAD=∠EAC AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD=CE．∵BD=BC+CD，∴CE=BC+CD；【解析】(1)①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE；②由△ABD≌△ACE就可以得出BC= DC+CE；(2)由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE= AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD=CE．本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．5.已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°.过点C作CE⊥AB，垂足为E．(1)如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；(2)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；(3)如图3，在(2)的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G.若BG=1，DF=2，求线段DB的长．【答案】(1)证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵∠CBE+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△BCE和△DCF中，{∠CBE=∠CDF∠CEB=∠CFD=90°CE=CF，∴△BCE≌△DCF(AAS)∴BC=DC；(2)解：AD−AB=2BE，理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，AE=AF，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠CDF=∠CBE，在△BCE和△DCF中，{∠CBE=∠CDF∠CEB=∠CFD=90°CE=CF，∴△BCE≌△DCF(AAS)，∴DF=BE，∴AD=AF+DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE，∴AD−AB=2BE；(3)解：如图3，在BD上截取BH=BG，连接OH，∵BH=BG，∠OBH=∠OBG，OB=OB在△OBH和△OBG中，{BH=BG∠OBH=∠OBG OB=OB，∴△OBH≌△OBG(SAS)∴∠OHB=∠OGB，∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴∠ODH=∠ODF，∵∠OHB=∠ODH+∠DOH，∠OGB=∠ODF+∠DAB，∴∠DOH=∠DAB=60°，∴∠GOH=120°，∴∠BOG=∠BOH=60°，∴∠DOF=∠BOG=60°，∴∠DOH=∠DOF，在△ODH和△ODF中，{∠DOH=∠DOF OD=OD∠ODH=∠ODF，∴△ODH≌△ODF(ASA)，∴DH=DF，∴DB=DH+BH=DF+BG=2+1=3．【解析】(1)过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE=CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论；(2)过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE=CF，AE=AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF=BE，结合图形解答即可；(3)在BD上截取BH=BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB=∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH=∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH=DF，计算即可．本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2．(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)找出图中与∠1、∠2相等的角(直接写出结论，不需证明)．【答案】(1)证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中{AB=AD∠BAC=∠DAE AC=AE，∴△ABC≌△ADE(SAS)；(2)解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D，∵∠AMB=∠DMF，∴∠1=∠MFD，∵∠MFD=∠NFC，∴∠1=∠NFC，∴与∠1、∠2相等的角有∠NFC，∠MFD．【解析】(1)根据等式的性质可得∠BAC=∠DAE，然后利用SAS判定△ABC≌△ADE；(2)利用三角形内角和定理可得∠1=∠MFD，再由对顶角相等可得∠1=∠NFC．此题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．7.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时，求证：①△ADC≌△CEB.②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，求证：DE=AD−BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时，请写出DE，AD，BE之间的等量关系．【答案】解：(1)①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠ACB=90°=∠CEB，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，{∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠CEB AC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)；②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE+CD=AD+BE；(2)证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠CAD=∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，{∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠CEB AC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)；∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE−CD=AD−BE；(3)当MN旋转到题图(3)的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE=BE−AD．理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠CAD=∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，{∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠CEB AC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CD−CE=BE−AD．【解析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论．(1)①根据AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90°，得出∠CAD=∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE=AD，CD=BE，进而得到DE=CE+CD=AD+BE；(2)先根据AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，进而得出∠CAD=∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB，进而得到CE=AD，CD=BE，最后得出DE=CE−CD=AD−BE；(3)DE=BE−AD，与(2)同理，即可证明：DE=BE−AD．8.如图，已知∠AOB=∠COD=90°，AB=CD，OA=OC．求证：(1)△AOB≌△COD(2)DE=BF．【答案】证明：(1)∵∠AOB=∠COD=90°，∴在Rt△AOB和Rt△COD中，{AB=CDOA=OC，∴Rt△AOB≌Rt△COD(HL)，即△AOB≌△COD；(2)∵△AOB≌△COD∴OD=OB，∠A=∠C，∵∠AOB=∠COD=90°∴∠AOB−∠EOF=∠COD−∠EOF，即∠AOE=∠COF在△AOE和△COF中，{∠AOE=∠COF OA=OF∠A=∠C，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE=OF，∵OD=OB，∴OD−OE=OB−OF，即DE=BF．【解析】(1)根据题意，利用HL定理可以证明结论成立；(2)根据(1)中的结论，再根据三角形全等的性质和判定，可以证明结论成立．本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求结论需要的条件，利用数形结合的思想解答．9. 以点A 为顶点作两个等腰直角三角形(△ABC,△ADE)，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD ，CE ．(1)试说明：BD =CE ；(2)延长BD 交CE 于点F ，求∠BFC 的度数；(3)若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．【答案】解：(1)∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形，∴AB =AC ，∠BAD =∠EAC =90°，AD =AE ，∵在△ADB 和△AEC 中，{AD =AE ∠DAB =∠EAC AB =AC，∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴BD =CE ．(2)∵△ADB≌△AEC ，∴∠ACE =∠ABD ，而在△CDF 中，∠BFC =180°−∠ACE −∠CDF ，又∵∠CDF =∠BDA ，∴∠BFC =180°−∠DBA −∠BDA =∠DAB =90°.(3)BD =CE 成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC =90°．理由如下：∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠EAD =90°，∵∠BAC +∠CAD =∠EAD +∠CAD ，∴∠BAD =∠CAE ，∵在△ADB 和△AEC 中，{AD =AE ∠DAB =∠EAC AB =AC，∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴BD =CE ，∠ACE =∠DBA ，【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰直角三角形的性质．(1)根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可证明△ADB≌△AEC，则BD=CE；(2)由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理可以得到∠BFC= 180°−∠ACE−∠CDF=180°−∠DBA−∠BDA=∠DAB=90°；(3)与(1)一样可证明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理得到∠BFC=∠CAB=90°．10.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：(1)EC=BF；(2)EC⊥BF．【答案】证明：(1)∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵{AE=AB∠EAC=∠BAF AF=AC，∴△ABF≌△AEC(SAS)，∴EC=BF；(2)如图，根据(1)，△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等)，∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°−∠ABF−∠BDM=180°−90°=90°，所以EC⊥BF．【解析】(1)先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD=90°，从而得证．本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件找出两组对应边的夹角∠EAC=∠BAF 是证明的关键，也是解答本题的难点．11.如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)求∠FAE的度数；(3)求证：CD=2BF+DE．【答案】证明：(1)∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，{AB=AD∠BAC=∠DAE AC=AE，(2)∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由(1)知△BAC≌△DAE，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；(3)延长BF到G，使得FG=FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中，{BF=GF∠AFB=∠AFG AF=AF，∴△AFB≌△AFG(SAS)，∴AB=AG，∠ABF=∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，∴∠G=∠CDA，∵∠GCA=∠DCA=45°，在△CGA和△CDA中，{∠GCA=∠DCA ∠CGA=∠CDA AG=AD，∴△CGA≌△CDA(AAS)，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，∴CD=2BF+DE．【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．(1)根据题意和题目中的条件可以找出△BAC≌△DAE的条件；(2)根据(1)中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；(3)根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．12.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的动点(不与B，C重合)，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，EF、AF分别与CD交于点M、N，作FG⊥BC于点G；(1)求证：BE=CG(2)探究线段BE、EN、DN间的等量关系，并说明理由；(3)如图2，当点E运动到BC的中点时，若AB=6，求MN的长．【答案】(1)证明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°，又∵∠AEB+∠BAE=90°∴∠GEF=∠BAE，又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°，在△ABE与△EGF中，{∠ABE=∠EGF ∠BAE=∠GEF AE=EF，∴△ABE≌△EGF(AAS)，∴AB=EG，∴BE=CG．(2)解：结论：EN=BE+DN．理由：如图1中，延长EB到K，使得BK=DN．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠D=∠ABC=∠ABK=90°，∵DN=BK，∴△ADN≌△ABK(SAS)，∴AK=AN，∠BAK=∠DAN，∵EA=EF，∠AEF=90°，∴∠EAF=45°，∴∠KAE=∠BAK+∠BAE=∠DAN+∠BAE=45°，∴∠EAK=∠EAN=45°，∵AE=AE，∴△EAK≌△EAN(SAS)，∴EN=EK，∵EK=BK+BE=DN+BE，∴EN=BE+DN．(3)解：如图2中，作FK⊥AB于K，交CD于J．∵BE=CE=3，∴FG=BE=CG=3，∵AB//CD，∴∠FKB=∠FJC=90°，∵∠G=∠JCG=90°，∴四边形FGCJ是矩形，∵CG=FG，∴四边形FGCJ是正方形，CG=FG=3，∵EC=CG，CM//FG，∴CM=12FG=32，∴JM=CJ−CM=32，∵四边形BGFK是矩形，∴FK=BG=9，BK=FG=AK=3，∵JN//AK，∴NJAK =FJFK，∴NJ3=39，∴NJ=1，∴MN=NJ+JM=1+32=52．【解析】(1)根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等即可解决问题．(2)结论：EN=BE+DN.如图1中，延长EB到K，使得BK=DN.构造全等三角形解决问题即可．(3)如图2中，作FK⊥AB于K，交CD于J.分别求出NJ，JM即可解决问题．此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．13.已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，(1)如图1，若∠ACD=60゜，则∠AFB=________；(2)如图2，若∠ACD=α，则∠AFB=_____________(用含α的式子表示)；(3)将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上)，如图3.试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明．【答案】解：(1)120°；(2)180°−α；(3)∠AFB=180°−α，证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中{AC=DC∠ACE=∠DCB CE=CB，∴△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∴∠AFB=∠AEC+∠CEB+∠EBD=∠DBC+∠CEB+∠EBC=∠CEB+∠EBC=180°−∠ECB=180°−α，即∠AFB=180°−α．【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，三角形的内角和定理(1)求出∠ACE=∠DCB，证△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CDA+∠DAC，根据三角形内角和定理求出即可；(2)求出∠ACE=∠DCB，证△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CDA+∠DAC，根据三角形内角和定理求出即可；(3)求出∠ACE=∠DCB，证△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CEB+∠CBE，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中{AC=DC∠ACE=∠DCB CE=CB∴△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB，∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE=∠CDA+∠DAE+∠BAE=∠CDA+∠DAC=180°−60°=120°，故答案为：120°；(2)解：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中{AC=DC∠ACE=∠DCB CE=CB∴△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB，∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE=∠CDA+∠DAE+∠BAE=180°−∠ACD=180°−α，故答案为：180°−α；(3)见答案．14.(1)问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________；(2)深入探究：在(1)的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．【答案】解：(1)AE=BD，AE⊥BD；(2)结论：AD=2CM+BD，理由：如图2中，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°．∴∠ADB=∠BDC−∠CDE=135°−45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM．∴AD=DE+AE=2CM+BD．【解析】【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．(1)结论：AE=BD，AE⊥BD.如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O.只要证明△ACE≌△BCD(SAS)，即可解决问题；(2)结论：AD=2CM+BD，只要证明△ACE≌△BCD(SAS)，即可解决问题．【解答】解：(1)结论：AE=BD，AE⊥BD．理由：如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°∴∠AHB=90°，∴AE⊥BD．故答案为AE=BD，AE⊥BD．(2)见答案．15.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，D在线段BC上，E是线段AD上一点．现以CE为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF，连接BF．(1)如图1，求证：∠CAE=∠CBF；(2)当A、E、F三点共线时，取AF的中点G，连接CG，求证：AE2+EF2=4CG2；(3)如图3，若AC=BC=3√3，∠BAD=15°，连接DF，当E运动到使得∠ACE=30°时，求△DEF的面积．【答案】(1)证明：∵△ABC，△ECF都是等腰直角三角形，∴CA=CB，CE=CF，∠ACB=∠ECF=90°，∴∠ACE=∠BCF，∴△ACE≌△BCF(SAS)，∴∠CAE=∠CBF；(2)解：延长AC至点H，使CH=AC，连接HF，BE．由(1)得：△ACE≌△BCF，∴AE=BF，且∠CAD=∠DBF，∵∠ADB=∠CAD+∠ACD=∠DBF+∠DFB，∴∠DFB=∠ACD=90°，∴BF2+EF2=BE2，易证△CEB≌△CFH，∴BE=HF=2CG，∴BF2+EF2=BE2=4CG2；(3)解：过点F作FH⊥BC于H，如图3所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠BAD=15°，∴∠CAE=45°−15°=30°，∴∠ACE=∠CAE=30°，∴AE=CE=CF，同(1)得：△ACE≌△BCF(SAS)，∴BF=AE，∠ACE=∠BCF=30°，∴CF=BF，∴∠BCF=∠CBF=30°，∵FC=FB，FH⊥BC，∴CH=BH=12BC=3√32，FH=√33CH=32，CF=BF=2FH=3，∵∠CED=∠CAE+∠ACE=60°，∠ECD=90°−30°=60°，∴△ECD是等边三角形，∴EC=CF=CD=3，∴S△DEF=S△ECD+S△CDF−S△ECF=√34×32+12×3×32−12×3×3=9√3−94．【解析】(1)证明△ACE≌△BCF(SAS)，即可解决问题；(2)延长AC至点H，使CH=AC，连接HF，BE，由(1)得△ACE≌△BCF，进而得到BF2+ EF2=BE2，易证△CEB≌△CFH，即可解决问题；(3)过点F作FH⊥BC于H，如图3所示，同(1)得△ACE≌△BCF，再证明△BCF是底角为30°的等腰三角形，再求出CH，FB，CF的长，然后根据S△DEF=S△ECD+S△CDF−S△ECF 计算即可．本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．16.平面直角坐标系中，A(a,0)，B(b,b)，C(0,c)，且满足：√a−4+(2b−a−c)2+|b−c|=0，E、D分别为x轴和y轴上动点，满足∠DBE=45°．(1)求A、B、C三点坐标；(2)如图1，若D为线段OC中点，求E点坐标；(3)当E，D在x轴和y轴上运动时，试探究CD、DE和AE之间的关系．【答案】解：(1)∵√a−4+(2b−a−c)2+|b−c|=0，∴a=4，b=c，2b−a−c=0，∴b=4，c=4，∴点A(4,0)，点B(4,4)，点C(0,4)；(2)如图1，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∵点A(4,0)，点B(4,4)，点C(0,4)，∴OA=OC=BC=AB=4，∵D为线段OC中点，∴CD=DO=2，∵将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∴BD=BH，∠CBD=∠HBA，CD=AH=2，∵∠DBE=45°，∴∠CBD+∠EBA=45°，∴∠EBA+∠ABH=45°=∠HBE=∠DBE，且BD=BH，BE=BE，∴△DBE≌△HBE(SAS)∴DE=EH，∵OH=OA+AH=4+2=6，∴DE=EH=6−OE，∵DE2=OD2+OE2，∴(6−OE)2=4+OE2，∴OE=8，3,0)；∴点E坐标为(83(3)如图1，若点E在x轴正半轴，点D在y轴正半轴上，由(2)可知：DE=EH，AH=CD，∴DE=AE+AH=AE+CD，如图2，点E在x轴负半轴，点D在y轴正半轴，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∠DBH=90°，∴BD=BH，∠CBD=∠HBA，CD=AH，∵∠DBE=45°，∴∠DBE=45°=∠HBE，且BD=BH，BE=BE，∴△DBE≌△HBE(SAS)∴DE=EH，∴AE=AH+EH=CD+DE；如图3，点E在x轴正半轴，点D在y轴负半轴，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∠DBH=90°，∴BD=BH，∠CBD=∠HBA，CD=AH，∵∠DBE=45°，∴∠DBE=45°=∠HBE，且BD=BH，BE=BE，∴△DBE≌△HBE(SAS)∴DE=EH，∴CD=AH=AE+EH=AE+DE．【解析】(1)由非负性可求a，b，c的值，即可求解；(2)将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，可得BD=BH，∠CBD=∠HBA，CD= AH=2，由“SAS”可证△DBE≌△HBE，可得DE=EH，由勾股定理可求OE的长，即可求E点坐标；(3)分三种情况讨论，由旋转的性质，全等三角形的性质可求解．本题是四边形综合题，考查了非负性，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．17.如图，在锐角三角形AOB中，分别以OA、OB为腰在△AOB外作等腰直角三角形OAE和等腰直角三角形OBD．(1)如图1，连接BE、AD，求证：BE=AD．(2)如图2，以O为原点、AB边上的高OC所在的直线为y轴．建立平面直角坐标系，连接ED与y轴交于点F．①若A点坐标为(n,m)，请用n、m表示；E点的坐标(________，________)及D点的横坐标为________．②△AOB的面积S△AOB与△EOD的面积S△EOD有什么数量关系？请写出你的结果，并给出证明．【答案】解：(1)∵△OAE、△OBD均为等腰直角三角形，∴OD=OB，OA=OE，∠DOB=∠AOE=90°．∴∠EOA+∠AOB=∠BOD+∠AOB，即∠EOB=∠AOD．在Rt△EOB和Rt△AOD中，∴Rt△EOB≌Rt△AOD．∴BE=AD．(2)①m；−n；−m．②S△AOB=S△EOD,证明如下：如图所示：过点B作BN⊥OA，垂足为N，过点D作DM⊥OE，垂足为M．∵∠EOD+∠DOM=180°，∠EOD+∠NOB=180°，∴∠DOM=∠NOB．在△OBN和△ODM中，∴△OBN≌△ODM．∴MD=BN．又∵AO=OE，∴12AO⋅BN=12OE⋅DM，即S△AOB=S△EOD．【解析】【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，点的坐标的确定等知识的综合运用．(1)依据等腰直角三角形的性质可得到OD=OB，OA=OE，∠DOB=∠AOE=90°，然后依据等式的性质可证明∠EOB=∠AOD，接下来，依据SAS可证明Rt△EOB≌Rt△AOD，最后，依据全等三角形的性质可得到BE=AD．(2)①过点E作EG⊥y轴，垂足为G，过点D作DH⊥x轴，垂足为H.先证明∠OEG=∠AOC，然后再证明△OEG≌△AOC，依据全等三角形的性质可得到OG=AC，EG=OC，从而可得到点E的坐标，接下来再证明△ODH≌△OBC.从而可得到OH=OC，故此可得到点D的横坐标；②过点B作BN⊥OA，垂足为N，过点D作DM⊥OE，垂足为M，先证明△OBN≌△ODM，从而可得到MD=BN，最后，依据三角形的面积公式求解即可．【解答】(1)见答案；(2)①如图所示：过点E作EG⊥y轴，垂足为G，过点D作DH⊥x轴，垂足为H．∵∠EOA=90°，∴∠EOG+∠AOC=90°．又∵∠EOG+∠OEG=90°，∴∠OEG=∠AOC．在△OEG和△AOC中，∴△OEG≌△AOC．∴OG=AC，EG=OC．∵A(n,m)∴E(m,−n)．∵∠DOH+∠HOB=90°，∠HOB+∠BOC=90°，∴∠DOH=∠BOC．在△ODH和△OBC中，∴△ODH≌△OBC．∴OH=OC．∴点D的横坐标为−m．故答案为：m；−n；−m；②见答案．18.已知，△ABC是等边三角形，D是直线BC上一点，以D为顶点做∠ADE=60°.DE交过C且平行于AB的直线于E，求证：AD=DE；当D为BC的中点时，(如图1)小明同学很快就证明了结论：他的做法是：取AB的中点F，连结DF，然后证明△AFD≌△DCE.从而得到AD=DE，我们继续来研究：(1)如图2、当D是BC上的任意一点时，求证：AD=DE(2)如图3、当D在BC的延长线上时，求证：AD=DE(3)当D在CB的延长线上时，请利用图4画出图形，并说明上面的结论是否成立(不必证明)．【答案】(1)证明：在AB上截取AF=DC，连接FD，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=60°，又∵AF=DC，∴BF=BD，∴△BDF是等边三角形，∴∠BFD=60°，∴∠AFD=120°，又∵AB//CE，∴∠DCE=120°=∠AFD，而∠EDC+∠ADE=∠ADC=∠FAD+∠B∠ADE=∠B=60°，∴∠FAD=∠CDE，在△AFD和△DCE中{∠FAD=∠CDE AF=CD∠AFD=∠DCE，∴△AFD≌△DCE(ASA)，∴AD=DE；(2)证明：在BA的延长线上截取AF=DC，连接FD，如图3所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=60°，又∵AF=DC，∴BF=BD，∴△BDF是等边三角形，∴∠F=60°，又∵AB//CE，∴∠DCE=60°=∠F，而∠FAD=∠B+∠ADB，∠CDE=∠ADE+∠ADB，又∵∠ADE=∠B=60°，∴∠FAD=∠CDE，在△AFD和△DCE中，{∠FAD=∠CDEAF=CD∠F=∠DCE，∴△AFD≌△DCE(ASA)，∴AD=DE；(3)解：AD=DE仍成立．理由如下：在AB的延长线上截取AF=DC，连接FD，如图4所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴∠FAD+∠ADB=60°，又∵AF=DC，∴BF=BD，∵∠DBF=∠ABC=60°，∴△BDF是等边三角形，∴∠AFD=60°，又∵AB//CE，∴∠DCE=∠ABC=60°，∴∠AFD=∠DCE，∵∠ADE=∠CDE+∠ADB=60°，∴∠FAD=∠CDE，在△AFD和△DCE中，{∠FAD=∠CDE AF=CD∠AFD=∠DCE，∴△AFD≌△DCE(ASA)，∴AD=DE．【解析】(1)在AB上截取AF=DC，连接FD，证明△BDF是等边三角形，得出∠BFD=60°，证出∠FAD=∠CDE，由ASA证明△AFD≌△DCE，即可得出结论；(2)在BA的延长线上截取AF=DC，连接FD，证明△BDF是等边三角形得出∠F=60°，证出∠FAD=∠CDE，由ASA证明△AFD≌△DCE，即可得出结论；(3)在AB的延长线上截取AF=DC，连接FD，证明△BDF是等边三角形，得出∠BFD= 60°，证出∠FAD=∠CDE，由ASA证明△AFD≌△DCE，即可得出结论．本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．19.如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，AD=AE．(1)如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为______，数量关系为______；②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；(2)如图3，如果AB≠AC∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB多少度时，CE ⊥BC ？小明通过(1)的探究，猜想∠ACB =45°时，CE ⊥BC.他想过点A 做AC 的垂线，与CB 的延长线相交，构建图2的基本图案，寻找解决此问题的方法．小明的想法对吗？如不对写出你的结论；如对按此方法解决问题并写出理由．【答案】垂直 相等【解析】解：(1)CE 与BD 位置关系是CE ⊥BD ，数量关系是CE =BD ．理由：如图1，∵∠BAD =90°−∠DAC ，∠CAE =90°−∠DAC ，∴∠BAD =∠CAE ．又BA =CA ，AD =AE ，∴△ABD≌△ACE (SAS)∴∠ACE =∠B =45°且CE =BD ．∵∠ACB =∠B =45°，∴∠ECB =45°+45°=90°，即CE ⊥BD ．故答案为：垂直，相等；②都成立∵∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAC +∠DAC =∠DAE +∠DAC ，∴∠BAD =∠CAE在△DAB 与△EAC 中，{AD =AE ∠BAD =∠CAE AB =AC∴△DAB≌△EAC(SAS)，∴CE =BD ，∠B =∠ACE ，∴∠ACB +∠ACE =90°，即CE ⊥BD(2)小明的想法对的当∠ACB =45°时，CE ⊥BD理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 的延长线于点G ，则∠GAC =90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°−∠ACB，∴∠AGC=90°−45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，在△GAD与△CAE中，{AC=AG∠DAG=∠EAC AD=AE∴△GAD≌△CAE(SAS)，∴∠ACE=∠AGC=45°，∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，即CE⊥BC(1)①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；(2)先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．本题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解．20.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足为D、E．求证：(1)△ABD≌△CAE；(2)DE=BD+CE．【答案】证明：(1)∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠D=∠E=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠DBA=∠DAB+∠EAC，∴∠DBA=∠EAC；在△ABD与△CAE中，∵{∠DBA=∠EAC ∠BDA=∠AEC AB=AC，∴△ABD≌△CAE(AAS)，(2)由(1)得：△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AD+AE=BD+CE．【解析】证明∠DBA=∠EAC，这是解决该题的关键性结论；证明△ABD≌△CAE，得到BD=AE，AD=CE，即可解决问题．该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出命题中隐含的等量关系，是证明全等三角形的关键．21.(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE．(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE= BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】证明：(1)∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；(2)∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；得出∠CAE=∠ABD是解题关键．(1)根据BD⊥直线l，CE⊥直线l得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD= CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；(2)利用∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．22.如图①，已知CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=ɑ，AD、BE相交于点M，连接CM．(1)求证：BE=AD;(2)用含ɑ的式子表示∠AMB的度数(3)当ɑ=90°时，AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图②，判断△CPQ的形状，并加以证明．【答案】解：(1)如图①，∵∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{CA=CB;∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE=AD；(2)如图①，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°−α，∴∠BAM+∠ABM=180°−α，∴△ABM中，∠AMB=180°−(180°−α)=α；(3)△CPQ为等腰直角三角形．证明：如图②，由(1)可得，BE=AD，∵AD，BE的中点分别为点P、Q，∴AP=BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP=∠CBQ，在△ACP和△BCQ中，{CA=CB∠CAP=∠CBQ AP=BQ，∴△ACP≌△BCQ(SAS)，∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，又∵∠ACP+∠PCB=90°，∴∠BCQ+∠PCB=90°，∴∠PCQ=90°，∴△CPQ为等腰直角三角形．【解析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理的综合应用.等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．解题时注意掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等的运用．(1)由CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；(2)根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，即可得到∠AMB=∠ACB=α；(3)先根据SAS判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，最后根据∠ACB=90°即可得到∠PCQ=90°，进而得到△PCQ为等腰直角三角形．23.据图回答问题(1)如图①，已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE=BD+CE；(2)拓展：如图②，将(1)中的条件改为：△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE= BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD>∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．【答案】(1)证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC，。
全等三角形提高32题(含答案)
全等三角形提高32题（含答案）（一）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
C D B AB C D EF 21 AD B CAB ACDF2E7. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C8．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．9．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA10．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP于D ．求证：AD +BC =AB ．11．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B12．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． D C B A F E PED C B AD C B A13．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：14．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ． 15、如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。
(必考题)初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典练习题(答案解析)
一、选择题1．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒D解析：D【分析】 根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩， 即3634t t vt =-⎧⎨=⎩， 解之得：14t v =⎧⎨=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．2．如图，在ABC 中，ABC 的面积为10，4AB =，BD 平分ABC ∠，E 、F 分别为BC 、BD 上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5D解析：D【分析】 过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，则CM 即为CF EF +的最小值，再根据三角形的面积公式求出CM 的长，即为CF EF +的最小值．【详解】解：过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，BD 平分ABC ∠，'MF AB ⊥于点M ，''F E BC ⊥于'E ，'''MF F E ∴=，'''''CM CF MF CF E F ∴=+=+的最小值．三角形ABC 的面积为10，4AB =， ∴14102CM ⨯⋅=，21054CM ⨯∴==． 即CF EF +的最小值为5，故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解题的关键．3．如图，若DEF ABC ≅，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2.5D ．3B解析：B【分析】 根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF ，计算即可．【详解】解：∵△DEF ≌△ABC ，∴BC=EF ，∴BE+EC=CF+EC ，∴BE=CF ，又∵BF=BE+EC+CF=9，EC=5∵CF=12(BF-EC)=12(9-5)=2． 故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．4．如图，AB 是线段CD 的垂直平分线，则图中全等三角形的对数有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对B解析：B【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，然后根据”HL”可判断Rt △AOC ≌Rt △AOD ，Rt △BOC ≌Rt △BOD ；根据“SSS”可判断△ABC ≌△ABD ．【详解】解：∵AB 是线段CD 的垂直平分线，∴AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，∴Rt △AOC ≌Rt △AOD （HL ），Rt △BOC ≌Rt △BOD （HL ），△ABC ≌△ABD （SSS ）． 故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”“HL”；全等三角形的对应边相等．也考查了线段垂直平分线的性质．5．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm B解析：B【分析】 过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，证明MN ⊥CD ，则MN 的长度是AB 和CD 之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM 、ON 的长度，再把它们求和即可．【详解】如图，过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，交CD 于N ，∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ，∵AO 是∠BAC 的平分线，OM ⊥AB ，OE ⊥AC ，OE ＝3cm ，∴OM ＝OE ＝3cm ，∵CO 是∠ACD 的平分线，OE ⊥AC ，ON ⊥CD ，∴ON ＝OE ＝3cm ，∴MN ＝OM ＋ON ＝6cm ，即AB 与CD 之间的距离是6cm ，故选B【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．6．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．9D解析：D【分析】 求出DE 的值，代入面积公式得出关于AB 的方程，求出即可．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF=2，∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴12=12×AB×DE+12×AC×DF ， ∴24=AB×2+3×2，∴AB=9，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．如图，ABC 和DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F ，要使ABC DEF ≅，还需增加的条件是（ ）A ．AB=EFB ．AC=DFC ．∠B=∠ED ．CB=DE B解析：B【分析】 根据AAS 定理或ASA 定理即可得．【详解】在ABC 和DEF 中，,A C F D ∠∠∠=∠=，∴要使ABC DEF ≅，只需增加一组对应边相等即可，即需增加的条件是AB DE =或AC DF =或BC EF =，观察四个选项可知，只有选项B 符合，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 8．到ABC 的三条边距离相等的点是ABC 的( )A．三条中线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点D解析：D【分析】由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到ABC的三条边距离相等，那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择.【详解】解:∵到ABC的三条边距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等，∴这点在这个三角形三条角平分线上，即这点是三条角平分线的交点，故选：D.【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线的性质：三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等.9．如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，EA=3，D为OM上的一个动点，C 是DA延长线与BC的交点，BC//OM，则CD的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．12A解析：A【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD⊥OM时，CD取最小值，先利用角平分线的性质得出AD=AE=3，利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3，进而解答即可．【详解】解：由题意得，当CD⊥OM时，CD取最小值，∵OB平分∠MON，AE⊥ON于点E，CD⊥OM，∴AD=AE=3，∵BC∥OM，∴∠DOA=∠B，∵A为OB中点，∴AB=AO，在△ADO与△ABC中B DOAAB AOBAC DAO∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADO ≌△ABC (SAS ),∴AC =AD =3，∴336CD AC AD =+=+=，故选A ．【点睛】此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3．10．如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别是AB 、AC 上一点，AD ＝AE ，BE 、CD 相交于点M ．若∠BAC ＝70°，∠C ＝30°，则∠BMD 的大小为( )A ．50°B ．65°C ．70°D ．80°A解析：A【分析】 根据题意可证明ABE ACD ≅，即得到B C ∠=∠．再利用三角形外角的性质，可求出DME ∠，继而求出BMD ∠．【详解】根据题意ABE ACD ≅（SAS ），∴30B C ∠=∠=︒∵DME B BDC ∠=∠+∠，BDC C A ∠=∠+∠∴307030130DME B A C ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴180********BMD DME ∠=︒-∠=︒-︒=︒故选A ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．利用三角形外角的性质求出DME B A C ∠=∠+∠+∠是解答本题的关键．二、填空题11．如图，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AC 平分DAB ∠，CM AB ⊥于点M ，若4cm AM =， 2.5cm BC =，则四边形ABCD 的周长为______cm ．13【分析】过点C 作CN ⊥AD 交AD 延长线于点N 由角平分线的性质得到CN=CM 然后证明△CDN ≌△CBM 得到DN=BMCD=CB=25然后求出AN=AM=4则AD=4DN 即可求出四边形的周长【详解】解析：13【分析】过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，由角平分线的性质，得到CN=CM ，然后证明△CDN ≌△CBM ，得到DN=BM ，CD=CB=2.5，然后求出AN=AM=4，则AD=4-DN ，即可求出四边形的周长．【详解】解：根据题意，过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，如图：∵CM AB ⊥，CN ⊥AD ，∴∠N=∠CMB=90°，∵180B ADC ∠+∠=︒，180CDN ADC ∠+∠=︒，∴B CDN ∠=∠，∵AC 平分DAB ∠，∴CN=CM ，∴△CDN ≌△CBM ，∴DN=BM ，CD=CB=2.5，∵AC=AC ，∠N=∠CMA=90°，∴△ACN ≌△ACM （HL ），∴AN=AM=4，∴AD=4-DN ，∴AB=4+BM=4+DN ，∴四边形ABCD 的周长为：4 2.5 2.5413AD DC CB AB DN DN +++=-++++=；故答案为：13．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用所学的知识，正确得到AD=4-DN ，AB=4+DN ．12．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB上一点，那么CE 长度的最小值是___________．2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时CE 的长度最小∵点C 在∠AOB 的平分线上CD ⊥OA ∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目解析：2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解 ．【详解】解：如图，由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时，CE 的长度最小，∵点C 在 ∠AOB 的平分线上，CD ⊥OA ，∴CE=CD=2，故答案为2 ．【点睛】本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．13．如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC ∠的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC ∠的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；……，依此规律，第7个图形中有全等三角形的对数是________．28【分析】设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全等三角形根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律an=（n 为正整数）再代入n=7即可求出结论【详解】解：设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全解析：28【分析】设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形，根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”，再代入n=7即可求出结论． 【详解】解：设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形．∵点E 在∠BAC 的平分线上∴∠BAD=∠CAD 在△ABD 和△ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SAS ），∴a 1=1；同理，可得：a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，…，∴a n =1+2+3+…+n=(1)2n n +（n 为正整数）， ∴a 7=7(71)282⨯+=． 故答案为：28．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及规律型：图形的变化类，根据各图形中全等三角形对数的变化，找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”是解题的关键． 14．如图，在ABC 中，C 90∠=，A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ．若AC 3=，BC 4=，AB 5=，则AD =________．【分析】根据三角形角平分线的交点到边的距离相等再利用三角形面积公式解答即可【详解】解：过作于于∵的平分线交于于∴∵∴四边形是正方形∴∵的面积即解得：∴∴在与中∴∴故答案为：【点睛】本题考查了角平分线解析：2【分析】根据三角形角平分线的交点到边的距离相等，再利用三角形面积公式解答即可．【详解】解：过O 作OE AC ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，∵A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ，∴OD OE OF ==．∵C 90∠=，∴四边形ECFO 是正方形，∴OE OF CE CF ===．∵ABC 的面积1111AC BC AB OD AC OE BC OF 2222=⋅=⋅+⋅+⋅， 即()1134OE 34522⨯⨯=⨯++，解得：1OE =，∴CE OE 1==，∴AE AC CE 2=-=．在Rt AEO 与Rt ADO 中，AO AO OE OD =⎧⎨=⎩，∴Rt AEO Rt ADO ≅，∴AD AE 2==．故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 15．如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO=BO ，添加一个条件， 能使AOC BOD ≅，所添加的条件的是___________________________．或或或【分析】先根据对顶角相等可得再根据三角形全等的判定定理即可得【详解】由对顶角相等得：当时由定理可证当时由定理可证当时由定理可证当时则由定理可证故答案为：或或或【点睛】本题考查了对顶角相等三角形解析：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD【分析】先根据对顶角相等可得AOC BOD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得．【详解】由对顶角相等得：AOC BOD ∠=∠，AO BO =，∴当CO DO =时，由SAS 定理可证AOC BOD ≅，当A B ∠=∠时，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，当C D ∠=∠时，由AAS 定理可证AOC BOD ≅，当//AC BD 时，则A B ∠=∠，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，故答案为：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD ．【点睛】本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．16．在ABC 中，48ABC ︒∠=，点D 在BC 边上，且满足18,BAD DC AB ︒∠==，则CAD ∠=________度．66【分析】在线段CD 上取点E 使CE=BD 再证明△ADB ≅△AEC 即可求出【详解】在线段DC 取点ECE=BD 连接AE ∵CE=BD ∴BE=CD ∵AB=CD ∴AB=BE ∠BAE=∠BEA=（180°-4解析：66【分析】在线段CD 上取点E 使CE =BD ，再证明△ADB ≅△AEC 即可求出． 【详解】在线段DC 取点E ，CE =BD ，连接AE ，∵CE =BD ，∴BE =CD ，∵AB =CD ，∴AB =BE ，∠BAE =∠BEA =（180°-48°）÷2=66°，∴∠DAE =48° ，∠AED =66°，∴△ADB ≅△AEC ，∴∠BAD =∠CAE =18°，∴∠CAD =∠DAE +∠CAE =66°．故答案为：66．【点睛】本题考察了全等三角形的证明和三角形内角和定理，解题的关键是做出辅助线找到全等三角形．17．如图，ABC 的面积为215cm ，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，过点C 作CD AP ⊥于点D ，连接DB ，则DAB 的面积是______2cm ．【分析】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP平分∠CAB 证明△ADC ≌△ADE 得到CD=DE 由此得到推出即可得到答案【详解】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP 平分∠CAB ∴∠CAD=∠EAD ∵CD ⊥A 解析：152【分析】如图，延长CD 交AB 于E ，由题意得AP 平分∠CAB ，证明△ADC ≌△ADE ，得到CD=DE ，由此得到,ACD ADE BCD BED SS S S ==，推出ACD BCD ADE BED S S S S +=+，即可得到答案．【详解】如图，延长CD 交AB 于E ，由题意得AP 平分∠CAB ，∴∠CAD=∠EAD,∵CD ⊥AD ，∴∠ADC=∠ADE ，∵AD=AD ，∴△ADC ≌△ADE ，∴CD=DE ，∴,ACD ADE BCD BED SS S S ==， ∴ACD BCD ADE BED SS S S +=+， ∴12ABD ADE BED ABC S S S S =+==152， 故答案为：152． ．【点睛】此题考查三角形角平分线的作图方法，全等三角形的判定及性质，证出CD=DE 得到,ACD ADE BCD BED S S S S ==是解此题的关键．18．如图所示，己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ∆的面积是__________．【分析】连接OA 过O 作OE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到ABACBC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ）从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3代入求出即 解析：33【分析】连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ），从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【详解】解：如图，连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D∴OE＝OF＝OD＝3，∵△ABC的周长是22，∴S△ABC＝12×AB×OE＋12×BC×OD＋12×AC×OF＝12×（AB＋BC＋AC）×3＝12×22×3＝33．故答案为：33．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积求法，熟知角平分线的性质，并根据题意合理添加辅助线是解题关键．19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，垂足为A，B，S△AOM=8cm2，OA=4cm，则MB=___．4cm【分析】根据求得AM的长度利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解【详解】解：解得∵OM平分∠POQ∴故答案为：4cm 【点睛】本题考查角平分线的性质掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解解析：4cm【分析】根据12AOMS OA AM=⋅求得AM的长度，利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解．【详解】解：114822AOMS OA AM AM=⋅=⨯=，解得4cmAM=，∵OM平分∠POQ，∴4cm MB AM==，故答案为：4cm ．【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 20．如图，//AD BC ，ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ．若9PE =，则两平行线AD 与BC 间的距离为_______．；【分析】过点P 作MN ⊥AD 根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2PE=PN=2即可得出答案【详解】过点P 作MN ⊥AD ∵AD ∥BC ∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交解析：18；【分析】过点P 作MN ⊥AD ，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE =2，PE=PN =2，即可得出答案．【详解】过点P 作MN ⊥AD∵AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，PE ⊥AB 于点E ∴AP ⊥BP ，PN ⊥B C∴PM=PE =9，PE=PN =9∴MN =9+9=18故答案为18．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键．三、解答题21．作图题：已知∠α，线段m 、n ，请按下列步骤完成作图（不需要写作法，保留作图痕迹）（1）作∠MON ＝∠α（2）在边OM上截取OA＝m，在边ON上截取OB＝n．（3）作直线AB．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先画一条射线ON，以∠α的顶点为圆心，任意长度为半径画弧，交∠α的两个边于两个点，这两个点的距离记为a，接着以点O为圆心，同样的长度为半径画弧，交ON于一个点，以这个点为圆心，a为半径画弧，与刚刚画的弧有一个交点，连接这个点和点O，得到射线OM，即可得到∠MON＝∠α；（2）以点O为圆心，m为半径画弧，交OM于点A，以点O为圆心，n为半径画弧，交ON于点B；（3）连接AB，线段AB所在的直线即直线AB．【详解】解：（1）如图所示，（2）如图所示，（3）如图所示，【点睛】本题考查尺规作图，解题的关键是掌握作已知角度的方法，截取线段和画直线的方法． 22．（阅读理解）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC ≌EDB △的理由是______．（2）求得AD 的取值范围是______．（感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．（问题解决）（3）如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，若DM DN ⊥，求证：BM CN MN +>．解析：（1）SAS ；（2）17AD <<；（3）见解析【分析】（1）根据AD=DE ，∠ADC=∠BDE ，BD=DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可；（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD ，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD ＜8+6，求出即可；（3）延长ND 至点E ，使DE DN =，连接BE 、ME ，证明BED ≌()SAS CND △，得到BE CN =，根据三角形三边关系解答即可．【详解】（1）解：∵在△ADC 和△EDB 中，AD DE ADC BDE BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），故答案为：SAS ；（2）解：∵由（1）知：△ADC ≌△EDB ，∴BE=AC=6，AE=2AD ，∵在△ABE 中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD ＜8+6，∴1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7．（3）证明：延长ND 至点E ，使DE DN =，连接BE 、ME ，如图所示：∵点D 是BC 的中点，∴BD CD =．在BED 和CND △中，DE DN BDE CDN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BED ≌()SAS CND △，∴BE CN =，∵DM DN ⊥，DE DN =，∴ME MN =，在BEM △中，由三角形的三边关系得：BM BE ME +>，∴BM CN MN +>．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．23．如图，在ABC 和BCD △中，90BAC BCD ︒∠=∠=，AB AC =，CB CD =；延长CA 至点E ，使AE AC =；延长CB 至点F ，使BF BC =．连接AD ，AF ，DF ，EF ．延长DB 交EF 于点N ．（1）求证：AD AF =；（2）求证：BD EF =．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）结合题意得：ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，推导得ABF ACD ∠=∠；通过证明ABF ACD △≌△，即可完成证明；（2）根据（1）的结论ABF ACD △≌△得：BAF CAD ∠=∠；根据题意得90BAE ∠=；再通过证明AEF ABD △≌△，即可完成证明．【详解】（1） ∵ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，90BAC BCD ︒∠=∠=∴ABF ACD ∠=∠∵BF BC =，CB CD =∴BF BC CD ==即AB AC ABF ACD BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABF ACD △≌△∴AF AD =；（2）∵90BAC ︒∠=∴18090BAE BAC ∠=-∠=结合（1）的结论ABF ACD △≌△∴BAF CAD ∠=∠∵90EAF BAE BAF BAF ∠=∠-∠=-∠，90BAD BAC CAD CAD ∠=∠-∠=-∠ ∴EAF BAD ∠=∠∵AE AC =，AB AC =∴AE AC AB ==即AF AD EAF BAD AE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ABD △≌△∴BD EF =．【点睛】本题考查了三角形外角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、全等三角形的性质，从而完成求解．24．如图，已知在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，别过B 、C 两点向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．求证：EF BE CF =+．解析：见解析【分析】证明△BEA ≌△AFC ，得到AE=CF ，BE=AF ，即可得到结论．【详解】证明：BE EA ⊥，CF AF ⊥，90BAC BEA AFC ∴∠=∠=∠=︒，90EAB CAF ∴∠+∠=︒，90EBA EAB ∠+∠=︒，CAF EBA ∴∠=∠，在ABE △和AFC △中，BEA AFC EBA CAF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BEA AFC ∴△≌△．AE CF ∴=，BE AF =．EF AF AE BE CF ∴=+=+．．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．25．如图，,AD BF 相交于点,//,O AB DF AB DF =，点E 与点C 在BF 上，且BE CF =．（1）求证：ABC DFE ∆≅∆；（2）求证：点О为BF 的中点．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由已知可证∠B=∠F ，BC=EF ，然后根据SAS 可以得到结论；（2）同（1）有∠B=∠F ，再结合已知条件和对顶角相等可以证得ΔABO ≅ΔDFO ，从而得到OB=OF ，所以点O 为BF 中点 ．【详解】证明：（1）∵AB//DF ，∴∠B=∠F ，∵BE=CF ，∴BE+CE=CF+CE ，即BC=EF ，∴在ΔABC 和ΔDFE 中，AB DF B F BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔABC ≅ΔDFE （SAS ）；（2）与（1）同理有∠B=∠F ，∴在ΔABO 和ΔDFO 中，AOB DOF B F AB DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔABO ≅ΔDFO （AAS ），∴OB=OF ，∴点O 为BF 中点 ．【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质并灵活应用是解题关键． 26．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________． 解析：（1）(0,3)E ；（2）见解析；（3）30OBC ∠=︒．【分析】（1）先根据AAS 判定△AOE ≌△BOC ，得出OE=OC ，再根据点C 的坐标为（3，0），得到OC=OE=3，进而得到点E 的坐标；（2）先过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，根据△AOE ≌△BOC ，得到S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，再根据OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，得出OM=ON ，进而得到OD 平分∠ADC ；（3）在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，根据SAS 判定△OPD ≌△OCD ，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OBC=30°．【详解】证明：（1）AD BC ⊥，AO BO ⊥，90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．又AEO BED ∠=∠，OAE OBC ∴∠=∠．(5,0)A -，(0,5)B ， 5OA OB ∴==．在AOE △和BOC 中OAE OBC OA OBAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)AOE BOC ∴≌，OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，3OE OC ∴==，(0,3)E ∴．（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，AE BC =， 1122AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，OM AD ⊥，ON BC ⊥，DO ∴平分ADC ∠．（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∵OAP OBC ∠=∠∴∠OBC=∠PAO =30°．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．27．已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 绕点C 旋转，过点A 作AD l ⊥于D ，过点B 作BE l ⊥于E ，若6AD =，3BE =，画图并直接写出DE 的长． 解析：图见解析，9DE =或3DE =【分析】分直线l 不经过线段AB 和直线l 经过线段AB 两种情况画图，证明△ACD ≌△CBE 即可求出DE 的长．【详解】解：如图1∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=DC+CE=9；如图2，∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=CE-CD=3；∴9DE =或3DE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意分类画图证明全等三角形是解题关键． 28．已知：AB BD ⊥，ED BD ⊥，AC CE =，BC DE =．（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．解析：（1）AC CE ⊥，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）先用HL 判断出Rt Rt ABC CDE ≌△△，得出A DCE ∠=∠，进而判断出90DCE ACB ∠+∠=︒，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．【详解】解：（1）AC CE ⊥理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒在Rt ABC △和Rt CDE △中AC CE BC DE =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ABC CDE △△≌， ∴A DCE ∠=∠∵90B ∠=︒，∴90A ACB ∠+∠=︒，∴()18090ACE DCE ACB ∠=︒-∠+∠=︒， ∴AC CE ⊥；（2）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△， ∴2A C E D ∠=∠，∵90B ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，∴2190DC E AC B ∠+∠=︒，在12C FC 中，()122118090C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠=︒， ∴12AC C E ⊥；（3）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴190ABC D ∠=∠=︒在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△， ∴2A C E D ∠=∠，∵190ABC ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，在12C FC 中，()2112180=90C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠︒， ∴12AC C E ⊥．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出12Rt Rt ABC C DE ≌△△是解本题的关键．。
各类型中高难度全等三角形125题(答案版)
1.已知：如图，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE =CF ．求证：AB =DE ．A DB EC F 【答案】∵ AB ∥ DE ，∴ ∠B =∠DEF∵AC ∥DF ，∴∠F =∠ACB∵ BE =CF ，∴ BE +EC =CF +EC 即 BC =EF∴∆ABC ≌∆DEF ，∴AB =DE ．2.图中是一副三角板，45︒的三角板Rt ∆DEF 的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ∆ABC 斜边AB 的中点处，∠A = 30︒，∠E = 45︒，∠EDF =∠ACB = 90︒，DE 交AC 于点G ，GM ⊥AB 于M ．（1）如图1，当DF 经过点C 时，作CN ⊥AB 于N ，求证：AM =DN ．（2）如图2，当DF ∥AC 时，DF 交BC 于H ，作HN ⊥AB 于N ，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．FCEGAM D N B图1ECFG HA B图2【答案】⑴ ∵ ∠A = 30︒，∠ACB = 90︒， D 是 AB 的中点，∴ BC =BD ， ∠B = 60︒ ∴△BCD 是等边三角形．又∵CN ⊥DB ，∴DN =1DB ，2∵∠EDF = 90︒，∆BCD 是等边三角形．∴∠ADG = 30︒，而∠A = 30︒，∴GA =GD ．∵ GM ⊥AB ，∴AM =1 AD 2又∵AD =DB ，∴AM =DN ．⑵∵DF ∥AC ，∴∠BDF =∠A = 30︒，∠AGD =∠GDH = 90︒，∴∠ADG = 60︒．∵∠B = 60︒，AD =DB ，∴∆ADG ≌∆DBH ，∴AG =DH ，又∵∠BDF =∠A ，GM ⊥AB ，HN ⊥AB ，∴∆AMG ≌∆DNH ．∴AM =DN ．3.在正方形ABCD 中，AB 、BC 、CD 三边上分别有点E 、G 、F ，且EF ⊥DG ．求证：EF =DG ．⎨ ⎩ADA DEEM FFB G CBGC【答案】过点C 作 EF 的平行线，交 AB 于 M ．易知CM = EF ．从而证的∆BCM ≌ ∆CDG ，从而有 DG = CM ，故 EF = DG ．4.在正方形 ABCD 中， E 、 F 、G 、 H 分别是 AB 、 BC 、CD 、 DA 边上的点，且 EG ⊥ FH ，求证： EG = FH ．A HD A H N DGGEEMBF CBF C【答案】过点 E 作 EM ⊥ CD ，过点 F 作 FN ⊥ AD ，垂足分别为 M 、N ． 由 EM ⊥ CD ， FN ⊥ AD ， EG ⊥ FH ，易得∠MEG = ∠NFH 因为 EM = BC ， BC = CD ， CD = NF ，所以 EM = NF 故∆EMG ≌ ∆NFH ，所以 EG = FH ．5.∆ABC 中， ∠B = 90︒ ， M 为 AB 上一点，使得 AM = BC ， N 为 BC 上一点，使得CN = BM ，连 AN 、CM 交于 P 点．试求∠APM 的度数，并写出你的推理证明的过程．AMBN C【答案】∠APM 的度数为45︒证明过程如下：如图过点 M 作 AB 的垂线 MD ，使 MD = CN ，连接 DA 、 DN ， 于是因为 MD ∥ CN 且 MD = CN ，所以四边形 MDNC 是平行四边形． 从而∠MDN = ∠MCN ，又因为CN = BM ，得到 DM = BM ，进而在∆MDA 与∆MBC 中， ⎧DM = BM ⎪∠DMA = ∠MBC = 90︒ ， ⎪MA = BC PFP⎨ ⎩所以∆DMA ≌ ∆MBC ，这样 DA = MC ，而 MC = DN ， 所以 DN = DA ．又因为∠ADN = ∠ADM + ∠MDN= ∠ADM + ∠DAM = 90︒ ， 所以得到∆ADN 是一个等腰直角三角形，所以∠AND = 45︒ ，利用 MC ∥ DN ，从而得到∠APM = ∠AND = 45︒ ．ADB NC6.如图，在Rt ∆ABC 中， AB = AC ，AD ⊥ BC ，垂足为 D ． E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE = AF ．如果∠AED = 62︒ ，那么∠DBF = ．A【答案】28︒BDE7.E 、F 分别是正方形 ABCD 的 BC 、CD 边上的点，且 BE = CF ．求证：AE ⊥ BF ．ADF【答案】在∆ABE 和∆BCF 中⎧ AB = BC ⎪∠ABE = ∠BCF⎪BE = CF∴ ∆ABE ≌ ∆BCF BEC∴ ∠BAE = ∠CBF ∵ ∠BAE + ∠AEB = 90︒ ∴ ∠CBF + ∠AEB = 90︒ ∴ AE ⊥ BF8.E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 的 BC 、CD 、AB 边上的点，GE ⊥ EF ，GE = EF ．求证： BG + CF = BC ．AD【答案】显然， ∆BEG ≌ ∆CFE ，GFBECM PC∴ BG = CE ， BE = CF ∴ BG + CF = BC9.如图，矩形 ABCD 中， E 是 AD 上一点， CE ⊥ EF 交 AB 于 F 点，若 DE = 2 ，矩形周长为16 ，且CE = EF ，求 AE 的长．AEDFBC【答案】∵ FE ⊥ EC ，∴ ∠AEF + ∠DEC = 90︒ ．∵ ∠AEF + ∠AFE = 90︒ ， ∴ ∠AFE = ∠DEC ．在三角形 AFE 与∆DEC 中， FE = CE ， ∠A = ∠D = 90︒ ， ∠AFE = ∠DEC ， ∴ ∆AFE ≌ ∆DEC ． ∴ AE = DC ． ∵矩形周长为16 ， ∴ AD + DC = 8 ． ∵ AD = AE + DE ，∴且 DE = 2 ．∴ 2 AE = 8 - DE ． 即 AE = 3 ．10.如图，已知∆ABC 中，∠ABC = 90︒，AB = BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1 ，l 2 ，l 3 上，且l 1 ，l 2 之间的距离为2 ，l 2 ，l 3 之间的距离为3 ，则 AC 的长是 ．Al 1 l 2【答案】2 Bl 311.两个全等的30︒ 、60︒ 的三角板 ADE 、 BAC ，如右下图所示摆放， E 、 A 、C 在一条直线上，连结 BD ．取 BD 的中点 M ，连结 ME 、MC ，试判断∆EMC 的形状， 并说明理由．BMDEA C【解析】判断∆EMC 是等腰直角三角形．理由：如图，连结 AM ．17MBA C∵ ∠DAE = 30︒ ， ∠BAC = 60︒ ，∴ ∠DAB = 90︒ ∵ ∆ADE ≌ ∆BAC ，∴ AD = AB又∵ M 是 BD 的中点，∴ AM = DM = BM ∴ ∠ADM = ∠MAB = 45︒ ∴ ∠EDM = ∠EDA + ∠ADM = 60︒ + 45︒ = 105︒ ∴ ∠MAC = ∠MAB + ∠BAC = 45︒ + 60︒ = 105︒ ∴ ∠EDM = ∠MAC ∵ ED = CA ，∴ ∆EDM ≌ ∆CAM ∴ EM = CM ， ∠DME = ∠AMC而∠DME + ∠EMA = 90︒ ，∴ ∠AMC + ∠EMA = 90︒ 即∠EMC = 90︒ ，∴ ∆EMC 是等腰直角三角形．12.已知等腰直角三角形 ABC ， ∠C 为直角， M 为 BC 的中点． CD ⊥ AM ．求证： ∠AMC = ∠DMB ．求证： ∠AMC = ∠DMB ．CA DB【答案】法一：如图，过 B 作 EB ⊥ BC ，交CD 延长线于 E ．CE∵ ∠3 + ∠1 = 90︒ ， ∠4 + ∠1 = 90︒ ，∴ ∠3 = ∠4 ．又 AC = CB ，∴ Rt ∆CBE ≌ Rt ∆AMC ，∴ BE = CM ， ∠5 = ∠1 ． 又 BM = CM ，∴ BE = BM ．∴ ∠MBD + ∠EBD = 90︒ ，而∠MBD = 45︒ ，∴ ∠EBD =∠MBD ． 又 BD 为公共边，∴ ∆BED ≌ ∆BMD ．∴ ∠5 = ∠2 ．解法二：如图，作底边 AB 的高CE 交 AM 于 F ，则CE 亦为中线和角平分线，3 1 M4 2 ADB5 MDC ∴AE =CE =BE ．又∠3 +∠CDE =∠4 +∠CDE = 90︒．∴∠3 =∠4 ，∴Rt∆DCE = Rt∆FAE ，∴AMA E D B=CE=2，∴∠EDF = 45︒=∠B ，故CM AC 1DF ∥BC ．又 E 、M 为AB 、BC 的中点，∴连接EM ，则EM ∥AC ．∴AC ⊥BC ，∴EM ⊥BC ，故EM ⊥DF ．∴EM 为DF 的中垂线．∴∠FME =∠DME ．而∠FME +∠1 =∠DME +∠2 = 90︒，∴∠1 =∠2 ．解法三：如图，作CG =AG 的平分线CF 交AM 于F ，CA DB 则∠ACF =∠MCF = 45︒，即ACF =∠CBD = 45︒．∵AC ⊥BC ，C D ⊥AM ，∴∠CAF +∠CMF =∠BCD +∠CMF = 90︒．∴BM=1．AC 2又∠B =∠CAD ，∴∆ACF ≌∆CBD ．∴CF =BD ．又CM =BM ，∠MCF =∠MBD ．∴∆CFM ≌∆BDM ．∴∠FMC =∠DMB ．解法四：如图，过D 作DG ⊥CB ．CA∵∠B = 45︒，∴DG =BG ．∵∠DCG +∠AMC =∠FAC +∠AMC = 90︒，∴∠DCG =∠FAC ．∴∆DCG ∽∆MAC ．∴DG∶CG =CM∶AC = 1∶2 ，则BG∶CG = 1∶2 ．∵DG ∥AC ，∴BD∶AD = 1∶2 ，而BM∶AC = 1∶2 ， B =∠CAD ．∴∆BMD ∽∆ACD ，∴∠BMD =∠ACD ．而∠ACD =MGM F3 1FM24AMC ，解法五：如图，延长CB 到 E ，使 BE = BC ．连接 AE ，延长CD 交 AE 于G ，则 AC = BC = BE ，CE∴AM = CE = 2 ．CM AC 1 ∴ Rt ∆ACM ∽ Rt ∆ECA ．∴ ∠CAM = ∠E ． ∵ ∠CAM + ∠ACF = 90︒ ， ∠GCE + ∠ACF = 90︒ ， ∴ ∠CAM = ∠GCE ．即∠GCE = ∠E ．∴ CG = GE ． ∵ ∠CAE + ∠E = 90︒ ， ∠ACG + ∠GCE = 90︒ ，∴ ∠CAE = ∠ACG ，∴ CG = AG ，从而 AG = GE ．又∵ BC = BE ，所以 D 为∆AEC 的重心，∴ BD = 1．而 BM = 1 ， ∠B = ∠CAD ． AD 2AC 2∴ ∆BMD ∽ ∆ACD ，∴ ∠BMD =∠ACD ． 而 ∠AMC = ∠ACF ，∴ ∠BMD = ∠AMC ．解法六：如图，过 A 作 AH ⊥ AM ，与 BC 的延长交于 H ．HD B∵ ∠1 + ∠2 = 90︒ ， ∠1 + ∠AMC = 90︒ ， ∴ ∠2 = ∠AMC ， ∴ Rt ∆AHC ∽ Rt ∆MAC ，∴ HC = AC= 2 ． AC MC而 AC = BC ，∴HC= 2 ．BC∵ HA ∥ C D ，∴ AD = HC= 2 ．BD BC又∵ AC BM = 2 ， ∠CAD = ∠B ，∴ ∆ADC ∽ ∆BDM ，C MFFMAD BG而∠AMC = ∠ACD ，∴ ∠AMC = ∠BMD ．解法七：如图，过 D 作 DE ⊥ BM ，垂足为 E ．CA∵ ∠CAM + ∠CMA = 90︒ ， ∠ECD + ∠CMA = 90︒ ， ∴ ∠CAM = ∠ECD ， ∴ Rt ∆CAM ∽ Rt ECD ，∴ DE = MC = 1 ．CEAC2∵ ∠B = 45︒ ， ∠DEB = 90︒ ，∴ DE = BE ，∴ BE = 1． CE 2设 ME = x ，CM = BE = a ，∴a - x = 1 ，∴ x = a． a + x 2 3∴ DE = BE = a - a = 2a ，∴ ME = 1 = MC，3 3 ∴ Rt ∆CAM ∽ Rt ∆EDM ， ∴ ∠AMC = ∠BMD ．DE 2 AC13.如图所示，已知在等腰直角三角形 ABC 中， ∠BAC 是直角， D 是 AC 上一点， AE ⊥ BD ，AE 的延长线交 BC 于 F ，若∠ADB = ∠FDC ，求证：D 是 AC 的中点．AFC【答案】过C 作CH 垂直于 AC 交 AF 延长线于 H 点；易证∆ABD ≌∆AHC ， HC = AD ；进而证明∆FHC ≌∆FDC ，得到 HC = CD ，则 D 为 AC 中点．A14.如图所示，在等边∆ABC 中， DE ∥ BC ， O 为∆ADE 的中心， M 为 BE 的中点， 求证OM ⊥ CM ．M EDE【答案】如图所示，延长OM 至点 N ，使OM = MN ，连接OA 、OE 、OC 、 BN 、CN ．AAD OEO N D EMMBCNB C因为OM = NM ， BM = ME ， ∠OME = ∠NMB ， 故∆BMN ≌ ∆EMO ，则 BN = EO ， ∠OEM =∠NBM ． 因为 DE ∥ BC ，则∠DEB = ∠CBE ， ∠OED = ∠CBN ．因为O 为∆ADE 的中心，则OA = OE = BN ， ∠OAE = ∠OED = 30︒ = ∠CBN ． 因为 AC = BC ，故∆AOC ≌ ∆BNC ，从而OC = CN ． 因为OM = MN ，故OM ⊥ CM ．【点评】如果具备三角形相似的知识，我们就可以采取下面的解法． 如图所示，取 AE 的中点 N ，连接 MN 、OA 、ON 、OC ． 因为O 为∆ADE 的中心，故∠OAN = 30︒ ， OA =2ON ． 因为 AN = NE ， BM = EM ，故 AB = 2MN = AC ．因为ON ⊥ AC ， MN ∥ AB ，故∠MNE = 60︒ ，因为∠ONM = 30︒ ，故∆OAC ∽ ∆ONM ，∠OMN = ∠OCN ，则O 、M 、C 、N 四点共圆．因为ON ⊥ AC ，故OM ⊥ CM ．15.已知 P 为等腰直角∆ABC 的斜边 AB 上任意一点， PE 、PF 分别为 AC 、BC 之垂线，垂足为 E 、 F ． M 为 AB 之中点．则 E 、 M 、 F 组成等腰直角三角形．A ECF B【答案】解法一：如图，连接CM ，则CM 为 AB 之中线，亦为 AB 之高．P MAECFB∴ ∠CMA = 90︒ ． ∵ ∠PEC = ∠PFC = ∠ECF = 90︒ ， ∴ ECFP 为矩形，故 PE = CF ． 又∵ ∠A = 45︒ ，∴ ∆AEP 为等腰直角三角形，∴ AE = PE ．∴ AE = CF ． 又∵ CM = AM ， ∠MCF = ∠A = 45︒ ， ∴ ∆AEM ≌ ∆CFM ，∴ ∠AME = ∠CMF ， EM = FM ． ∵ ∠CME + ∠AME = 90︒ ，∴ ∠CME + ∠CMF = 90︒ ，即∠EMF = 90︒ ． ∴ ∆EMF 为等腰直角三角形． 解法二：如图，由 M 作 ME ' ⊥ AC ， MF ' ⊥ BC ，则显然由于 M 为 AB 之中点， AC = BC ， AC ⊥ BC ，AE E'CF F'B∴ ME 'CF ' 为正方形，故 ME ' = MF ' ． 又设 ME ' 交 PF 于Q ， 则∵ PE ⊥ AC ， PF ⊥ BC ，∴ ∠EPF = ∠C = 90︒ ．而∠PEE ' = ∠EE 'Q = 90︒ ． ∴ EE 'QP 为矩形，故 EE ' = PQ ． 同理 FF ' = QM ．又∵ PF ∥ AC ，∴ ∠QPM = ∠A = 45︒ ． ∴ ∆PQM 为等腰直角三角形， ∴ PQ = QM ，故 EE ' = FF ' ．又 ME ' = MF ' ， ∠EE 'M = ∠FF 'M = 90︒ ． ∴ ∆EE 'M ≌ ∆FF 'M ，∴ ∠EME ' = ∠FMF ' ， EM =FM ． 又∠E 'MF + ∠FMF ' = 90︒ ， ∴ ∠E 'MF + ∠EME ' = 90︒ ．即∠EMF = 90︒ ，故∆MEF 为等腰直角三角形．解法三：如图，延长 FM 到Q ，使 MQ = FM ，连接 AQ ．PMPMQ2 2 2 A QECFB∵ AM = BM ，∴ A 、 F 、 B 、Q 4 点组成平行四边形． ∴ AQ = FB ， AQ ∥ FB ．又∵ BC ⊥ AC ，∴ AQ ⊥ AC ， ∴ ∠QAE = ∠FCE = 90︒ ．又∵ PF ⊥ BC ， ∠B = 45︒ ，∴ FP = FB ．同理 EP = AE ． ∵ ECFP 为矩形，∴ FP = CE ， EP = CF ，故 AB ．而CM ⊥ AB ， ∴ AQ = CE ， A E = CF ． ∴ Rt ∆AEQ ≌ Rt ∆CFE ． ∴ EQ = FE ， ∠AQE = ∠CEF ， ∠QEA = ∠EFC ． ∵ ∠AQE + ∠QEA = 90︒ ，∴ ∠CEF + ∠QEA = 90︒ ．故 PF= ．QF∴ ∆FEQ 为等腰直角三角形．而 M 为底边之中点，所以∆EMF 亦为等腰直角三角形．解法四：如图，连接CM ，则因为 M 为 AB 之中点，所以CM ⊥ AB ，CM 平分∠ACB ， 即∠MCB = 45︒ ．由 F 向 MB 引垂线 FQ ，向CM 引垂线 FF ' ，显然 F 'FQM 为矩形．则 FF ' = MQ ．AECFB又∵ ∆CF 'F 为等腰直角三角形， CF = 2FF ' = 2MQ ． 又∵ PE ⊥ AC ， PF ⊥ BC ， AC ⊥ BC ， ∴ ECFP 为矩形，故 EP = CF = 2MQ ． 于是在Rt ∆EPF 和Rt ∆MQF 中， PF = FB =2QF ， PF = ， EP= ，∴ PF = EP ，QF MQQF MQ∴ ∆EPF ∽ ∆MQF ，故∠EFP =∠MFQ ． 又∵ ∠PFM + ∠MFQ = 45︒ ， ∵ ∠PFM + ∠EFP = 45︒ ，即 PF = BF ．同理∠FEM = 45︒ ， ∆EMF 为等腰直角三角形．PMPM QF'E解法五：如图，连接CP 、CM ．AECFB∵ PF = BF ， ∆ABC 为等腰直角三角形， ∴ ∠BPF = ∠BCM = 45︒ ．∴ P 、C 、 F 、 M 4 点共圆．∴ ∠CMF = ∠CPF ．又∵ ∠CPF = ∠CEF ，∴ ∠CEF = ∠CMF ，∴ E 、C 、 F 、 M 4 点共圆．∴ ∠MEF = ∠MCF = 45︒ ， ∠MFE = ∠MCE = 45︒ ，∴ iEMF 是等腰直角三角形．16.长方形 ABCD 中， AB = 4 ， BC = 7 ， ∠BAD 的角平分线交 BC 于点 E ， EF ⊥ ED 交 AB 于 F ，则 EF = ．ADFBEC【解析】由 AB = 4 ，AE 平分∠BAD 可知 BE = AB = CD = 4 ．由基本图可知∆BEF ≌∆CDE ， 故 EF = DE又 BC = 7 ， BE = 4 ，故CE = 3 ．由勾股定理可知， DE = 5 ． 从而可知 EF = 5 ．【答案】517.如图，设∆ABC 和∆CDE 都是正三角形，且∠EBD = 62︒ ，则∠AEB A ．124︒ B ．122︒ C ．120︒ D ．118︒的度数是( )ABCD【答案】分析 既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系． 解 易知∠ACE = ∠BCD ， ∆AEC ≌ ∆BDC ，于是∠EAC = ∠DBC ,从而∠EBD = ∠CBD + ∠CBE = ∠EAC + ∠CBE ,在考虑到∠EAC + ∠AEC + ∠ACE + ∠CEB + ∠ECB + ∠EBD = 360,有：∠BEC + ∠AEC = 360 - 60 - 62 = 360 - ∠AEB 从而∠AEB = 122 ，选B 。
全等三角形-提高练习(含答案)
全等三角形提高练习1. 如图所示，△AB C ≌△ADE ，BC 的延长线过点E ，∠ACB=∠AED=100°，∠CAD=15°，∠B=50°，求∠DEF 的度数。
2. 如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，若△ADB≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数是多少？3.已知，如图所示，AB=AC ，A D ⊥BC 于D ，且AB+AC+BC=60cm,而AB+BD+AD=45cm ，则AD 是多少？3. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B 、C 作过点A 的垂线BC 、CE ，垂足分别为D 、E ，若BD=12，CE=5，则求DE 的值。
4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，连接EF ，交AD 于G ，AD 与EF 垂直吗？证明你的结论。
5. 如图所示，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥AC于F ，△ABC 的面积是32cm 2,AB=24cm ，AC=6cm ，求DE 的长。
6. 已知，如图：AB=AE ，∠B=∠E ，∠BAC=∠EAD ，∠CAF=∠DAF ，求证：CA BCFCD7. 如图，AD=BD ，A D ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点H ，则BH 与AC 相等吗？为什么？8. 如图所示，已知，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD ，求证：B E ⊥AC9. △DAC 、△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，求证：（1）AE=BD （2）CM=CN （3）△CMN 为等边三角形 （4）MN ∥BC10. 如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG求证：（1）AD=AG（2）AD 与AG 的位置关系如何BBAB12．如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE=∠FAE求证：AF=AD-CF13．如图所示，已知在△AEC 中，∠E=90°，AD 平分∠EAC ，DF ⊥AC ，垂足为F ，DB=DC ，求证：BE=CF14．已知如图：AB=DE ，直线AE 、BD 相交于C ，∠B+∠D=180°，AF ∥DE ，交BD 于F ，求证：CF=CD15．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F是OC 上一点，连接DF 和EF ，求证：DF=EF16．已知：如图，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，且BD=CD ， 求证：（1）△BDE ≌△CDF （2） 点D 在∠A 的平分线上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全等三角形提高练习
1. 如图所示，△AB C ≌△ADE ，BC 的延长线过点E ，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF 的度数。
2. 如图，△AOB 中，∠B=30°，将△AOB 绕点O 顺时针旋转52°，得到△A ′OB ′，边A ′B ′与边OB 交于点C （A ′不在OB 上），则∠A ′CO 的度数为多少？
3. 如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，
则∠C 的度数是多少？
4. 如图所示，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35°，得到△A ′B ′C ，A ′B ′交AC 于点D ，若∠A ′DC=90°，则∠A=
5. 已知，如图所示，AB=AC ，A D ⊥BC 于D ，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm ，则AD 是多少？
6. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B 、C 作过点A 的垂线BC 、CE ，垂足分别为D 、E ，若BD=3，CE=2，则DE=
7. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是 E 、
， F ，连接EF ，交AD 于G ，AD 与EF
A
B'
C
A
B
8.如图所示，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的面积是28cm 2
,AB=20cm ，AC=8cm ，求DE 的长。
8. 如图，AD=BD ，A D ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点H ，则BH 与AC 相等吗？为
什么？
9. 如图所示，已知，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD ，求证：B E ⊥AC
已知：BD 、CE 是△ABC 的高，点F 在BD 上，BF=AC ，点G 在CE 的延长线上，CG=AB ，求
证：A G ⊥AF
如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上
截取CG=AB ，连结AD 、AG
求证：（1）AD=AG
（2）AD 与AG 的位置关系如何
17．如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE=∠FAE
求证：AF=AD-CF
18．如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是CB 延长线上一点，∠ADB=60°，E 是AD 上一点，且
DE=DB ，求证：AC=BE+BC
B
B
B
B
D
19．如图所示，已知在△AEC 中，∠E=90°，AD 平分∠EAC ，DF ⊥AC ，垂足为F ，DB=DC ，求证：BE=CF 20．已知如图：AB=DE ，直线AE 、BD 相交于C ，∠B+∠D=180°，AF ∥DE ，交BD 于F ，求证：CF=CD
21．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于D
连接DF 和EF ，求证：DF=EF
22．已知：如图，BF
⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，且BD=CD ，求证：（1）△
BDE ≌△CDF （2） 点
D 在∠A 的平分线上
23．如图，已知AB ∥CD ，O 是∠ACD 与∠BAC 的平分线的交点，OE ⊥
AC 于E ，且OE=2，则AB 与
CD 之间的距离是多少？
25．如图，△ABC 的三边AB 、BC
、CA 长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分为三个
三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于？
26．正方形ABCD 中，AC 、BD 交于O ，∠EOF=90°，已知AE=3，CF=4，则S △BEF 为多少？
27．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H ，交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ， 求证：BC 垂直且平分DE
B
C
C
B。