吉林省东北师范大学附属中学高三理科数学一轮复习教案空间向量及应用
适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：空间向量及其运算课件北师大版
4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判
断向量的共线与垂直.
5.理解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
强基础 固本增分
抓住空间向量的两个主要元素:大小与方向
1.空间向量的有关概念
名称
概念
零向量
模 (长度)为
单位向量 模 (长度)为
相等向量 方向
相反向量 方向
共线向量
相同
相反
关内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果.
2.空间向量中的有关定理
定理
语言描述
共线向量 空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得
基本定理 a=λb
空间向量
基本定理
{a,b,c}叫作空间的一组基
如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,
那么存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc
12 + 22 + 32 12 +22 +32
垂直问题一般通过向量的数量积运算来解决
常用结论
1.证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P,A,B,可通过证明下列结论成立来证明三点共线:
①=λ(λ∈R);
②对空间任意一点 O, = +t (t∈R);
③对空间任意一点 O,=x+y(x+y=1).
第八章
第五节 空间向量及其运算
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.掌握空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;会
推导空间两点间的距离公式.
2.理解空间向量的概念,理解空间向量的基本定理及其意义,掌
高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.5 空间向量及其应用教学案 理
§8.5空间向量及其应用2.(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b 的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b).②交换律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．5.(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．(3)位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm α⊥βn⊥m⇔n·m＝0概念方法微思考1．共线向量与共面向量相同吗？提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( √)(2)在向量的数量积运算中(a·b)c＝a(b·c)．( ×)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( ×)(4)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( √ )题组二 教材改编2.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →) ＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________． 答案2解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°) ＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2. 题组三 易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3，2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案 B解析 由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD . 5．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______.答案 18解析 ∵P ，A ，B ，C 四点共面， ∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18. 6．设μ，v 分别是两个不同平面α，β的法向量，μ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________． 答案 α⊥β α∥β解析 当v ＝(3，－2,2)时，μ·v ＝－2×3＋2×(－2)＋5×2＝0，μ⊥v ，所以α⊥β；当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2μ，μ∥v ，所以α∥β.空间向量的线性运算例1 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →； (2)A 1N →； (3)MP →＋NC1→. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1——→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋12b ＋c .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b＝12a ＋12b ＋c ， 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c . 思维升华 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________. 答案 12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 ∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. (2)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于( ) A.12(－a ＋b ＋c ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(－a －b ＋c )答案 B解析 NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB →＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC →＝12(a ＋b －c )． 共线定理、共面定理的应用例2 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH . 证明 (1)连接BG ， 则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH→，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE → ＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .思维升华 证明三点共线和空间四点共面的方法比较111在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？ 解 (1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB → ＝k (C 1A →＋B 1C 1——→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→ ＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA1→， ∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面． (2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内， 又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面，∴MN ∥平面ABB 1A 1.综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内； 当0<k ≤1时，MN ∥平面ABB 1A 1.空间向量数量积及其应用例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点． (1)求证：EG ⊥AB ； (2)求EG 的长；(3)求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值． (1)证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，由题意知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a )，所以EG →·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0.故EG →⊥AB→，即EG ⊥AB .(2)解 由题意知EG →＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22，即EG 的长为22.(3)解 AG →＝12(AC →＋AD →)＝12b ＋12c ， CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE→|AG →||CE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b 2＝－1232×32＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角． (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练3 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值．解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴|AC1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC→|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.向量法证明平行、垂直例4 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．求证：(1)CM ∥平面PAD ； (2)平面PAB ⊥平面PAD .证明 以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，0，32， ∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，32. (1)设n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的一个法向量，则⎩⎨⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， ∴n ⊥CM→.又CM ⊄平面PAD ， ∴CM ∥平面PAD .(2)方法一 由(1)知，BA →＝(0,4,0)，PB →＝(23，0，－2)， 设平面PAB 的一个法向量m ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎨⎧BA →·m ＝0，PB →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y 0＝0，23x 0－2z 0＝0，令x 0＝1，得m ＝(1,0，3)，又∵平面PAD的一个法向量n＝(－3，2,1)，∴m·n＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，∴m⊥n，∴平面PAB⊥平面PAD.方法二如图，取AP的中点E，连接BE，则E(3，2,1)，BE→＝(－3，2,1)．∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵BE→·DA→＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，∴BE→⊥DA→，∴BE⊥DA.又PA∩DA＝A，PA，DA⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD.又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.思维升华(1)用向量证明平行的方法①线线平行，只需证明两直线的方向向量是共线向量．②线面平行，证明直线的方向向量能用平面的两个基底表示，或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．③面面平行，证明两平面的法向量是共线向量．(2)用向量证明垂直的方法①线线垂直，只需证明两直线的方向向量互相垂直．②线面垂直，证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量．③面面垂直，证明两平面的法向量互相垂直．跟踪训练4 如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝2AB，B1C1∥BC且B1C1＝12BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求证： (1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C .证明 由二面角A 1－AB －C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形，可得AA 1⊥平面BAC .又∵AB ＝AC ，BC ＝2AB ，∴AB 2＋AC 2＝BC 2， ∴∠CAB ＝90°且CA ⊥AB ， ∴AB ，AC ，AA 1两两互相垂直．以A 为坐标原点，AC ，AB ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .设AB ＝2，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，A 1(0,0,2)，C (2,0,0)，C 1(1,1,2)，B 1(0，2,2)．(1)A 1B 1——→＝(0,2,0)，A 1A →＝(0,0，－2)，AC →＝(2,0,0)， 设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·A 1A →＝0，n ·AC→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0.取y ＝1，则n ＝(0,1,0)．∴A 1B 1——→＝2n ，即A 1B 1——→∥n ， ∴A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)易知AB 1→＝(0,2,2)，A 1C 1——→＝(1,1,0)，A 1C →＝(2,0，－2)， 设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧m ·A 1C 1——→＝0，m ·A 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1,1)． ∴AB1→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，∴AB 1→⊥m .又AB 1⊄平面A 1C 1C ，∴AB 1∥平面A 1C 1C .1．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6) D ．(6,6，－6)答案 B解析 由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．2．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－143C.145D ．2答案 D解析 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.3．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( )A.5π6B.2π3C.π3D.π6答案 D解析 ∵a·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1,1,2)，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝32×6＝32，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π6，故选D.4．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 A解析 a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.5．已知空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a ，b 的夹角为π3，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA →＝2a ＋b ，OB →＝3a －b ，则△OAB 的面积为( )A.523B.543C.743D.114 答案 B 解析 |OA →|＝2a ＋b2＝4|a |2＋|b |2＋4a ·b ＝7，同理|OB →|＝7，则cos∠AOB ＝OA →·OB→|OA →||OB →|＝6|a |2－|b |2＋a ·b 7＝1114，从而有sin∠AOB ＝5314，∴△OAB 的面积S ＝12×7×7×5314＝534，故选B.6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( ) A.3B.2C ．1D.3－2 答案 D解析 ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2， 故|BD →|＝3－ 2.7．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝________.答案 －9解析 由题意知c ＝x a ＋y b ，即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.8．已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，则c ＝________.答案 (3，－2,2)解析 因为a ∥b ，所以x－2＝4y ＝1－1(y ≠0)，解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)， 又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．9．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________． 答案 平行解析 如图，设VA →＝a ，VB →＝b ， VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b ， 由题意知PM →＝23b －13c ，PN →＝23VD →－13VC → ＝23a －23b ＋13c . 因此VA →＝32PM →＋32PN →，∴VA →，PM →，PN →共面．又VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN . 10．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1——→＋A 1B 1——→)2＝3A 1B 1——→2； ②A 1C →·(A 1B 1——→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确的序号是________． 答案 ①②解析 ①中，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1——→)2＝A 1A →2＋A 1D 1——→2＋A 1B 1——→2＝3A 1B 1——→2，故①正确；②中，A 1B 1——→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确． 11.如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点． (1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． 方法一 ∵CC ′⊥平面ABC 且CA ⊥CB ，∴以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC ′所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)．令AC ＝BC ＝AA ′＝2，则A (2,0,0)，B (0,2,0)，C ′(0,0,2)，A ′(2,0,2)，B ′(0,2,2)，E (0,2,1)，D (1,1,0)，(1)证明 ∴CE →＝(0,2,1)，A ′D →＝(－1,1，－2)，∵CE →·A ′D →＝0＋2－2＝0，∴CE →⊥A ′D →，∴CE ⊥A ′D . (2)解 AC ′→＝(－2,0,2)， ∴cos〈CE →，AC ′→〉＝CE →·AC ′→|CE →||AC ′→|＝25·8＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.方法二 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |， 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)证明 CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ， ∴CE →·A ′D →＝－b ·c －12c 2＋12b 2＋14b ·c －12a ·b －14a ·c ＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos〈AC ′→，CE →〉＝AC ′→·CE→|AC ′→||CE →|＝12|a |22×52|a |2＝1010， 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.12.如图，正方形ABCD 的边长为22，四边形BDEF 是平行四边形，BD 与AC 交于点G ，O 为GC 的中点，FO ＝3，且FO ⊥平面ABCD .(1)求证：AE ∥平面BCF ； (2)求证：CF ⊥平面AEF .证明 取BC 中点H ，连接OH ，则OH ∥BD ， 又四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∴OH ⊥AC ， 故以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则A (3,0,0)，C (－1,0,0)，D (1，－2，0)，F (0,0，3)，B (1,2,0)． BC →＝(－2，－2,0)，CF→＝(1,0，3)，BF →＝(－1，－2，3)． (1)设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·CF→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，x ＋3z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－3，3，1)． 又四边形BDEF 为平行四边形， ∴DE →＝BF→＝(－1，－2，3)，∴AE →＝AD →＋DE →＝BC →＋BF→ ＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，3) ＝(－3，－4，3)，∴AE →·n ＝33－43＋3＝0，∴AE →⊥n ， 又AE ⊄平面BCF ，∴AE ∥平面BCF . (2)AF →＝(－3,0，3)，∴CF →·AF →＝－3＋3＝0，CF →·AE →＝－3＋3＝0， ∴CF →⊥AF →，CF →⊥AE →，即CF ⊥AF ，CF ⊥AE ， 又AE ∩AF ＝A ，AE ，AF ⊂平面AEF ，∴CF ⊥平面AEF .13．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定答案 C解析 ∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD → ＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．14.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 56解析 连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ，OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN → ＝12a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c .又OG →＝xOA→＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16，y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.15．已知O (0,0,0)，A (1,2,1)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________． 答案 (1,1,2)解析 由题意，设OQ →＝λOP →，则OQ →＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q 点坐标为(1,1,2)．16.如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，平面PBC ⊥底面ABCD .求证： (1)PA ⊥BD ；(2)平面PAD ⊥平面PAB .证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ， ∵△PBC 为等边三角形，∴PO ⊥BC ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，平面PBC ∩底面ABCD ＝BC ，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝3，∴A (1，－2,0)，B (1,0,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0，3)， ∴BD →＝(－2，－1,0)，PA →＝(1，－2，－3)，∵BD →·PA→＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴PA →⊥BD→，∴PA ⊥BD . (2)取PA 的中点M ，连接DM ，则M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，－1，32. ∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，32，PB →＝(1,0，－3)， ∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0.∴DM →⊥PB→，即DM ⊥PB .∵DM →·PA→＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0， ∴DM →⊥PA→，即DM ⊥PA .又∵PA ∩PB ＝P ，PA ⊂平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， ∴DM ⊥平面PAB .∵DM ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PAB .。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：空间向量的概念与运算
§7.6空间向量的概念与运算考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．知识梳理1．空间向量的有关概念名称定义空间向量空间中既有大小又有方向的量相等的向量方向相同且大小相等的向量相反向量大小相等而方向相反的向量共线向量(或平行向量)两个非零向量的方向相同或者相反共面向量空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一个平面内2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一实数λ，使得b＝λa.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫做空间的一组基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·b a1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|a21＋a22＋a23夹角余弦值cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b234.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称向量v为直线l的一个方向向量．(2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量．(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R) l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0常用结论1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA→＝xOB→＋yOC→(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(√)(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(×)(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.(√)(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(×)教材改编题1.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为点M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则下列向量中与C 1M —→相等的向量是()A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b －cD ．－12a －12b ＋c答案C解析C 1M —→＝C 1C —→＋CM →＝C 1C —→＋12(CB →＋CD →)＝A 1A —→＋12DA →＋12BA →＝－12a －12b －c .2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是()A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案B解析分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为A 1M ＝AN ＝2a 3，所以，23a ，23a ，MN →－a 3，0，23a又C 1(0,0,0)，D 1(0，a ,0)，所以C 1D 1—→＝(0，a ,0)，所以MN →·C 1D 1—→＝0，所以MN →⊥C 1D 1—→.因为C 1D 1—→是平面BB 1C 1C 的一个法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .3．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________.答案10解析∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－6－4＋m ＝0，∴m ＝10.题型一空间向量的线性运算例1(1)在空间四边形ABCD 中，AB →＝(－3,5,2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为()A ．(2,3,3)B ．(－2，－3，－3)C ．(5，－2,1)D ．(－5,2，－1)答案B解析因为点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，设O 为坐标原点，所以EF →＝OF →－OE →，OF →＝12(OA →＋OD →)，OE →＝12(OB →＋OC →)．所以EF →＝12(OA →＋OD →)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →)＝12×[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝12×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．(2)(2023·北京日坛中学模拟)在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D 是四边形BB 1C 1C 的中心，且AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，则A 1D —→等于()A.12a ＋12b ＋12cB.12a －12b ＋12cC.12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12c答案D解析A 1D —→＝A 1A —→＋AB →＋BD→＝－AA 1—→＋AB →＋12(BB 1—→＋BC →)＝－AA 1—→＋AB →＋12AA 1—→＋12(AC →－AB →)＝－12AA 1—→＋12AB →＋12AC→＝－12a ＋12b ＋12c .思维升华用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．跟踪训练1(1)已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于()A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)答案B解析由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．(2)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．①化简A 1O —→－12AB →－12AD →＝________；②用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→＝________.答案①A 1A—→②12AB →＋12AD →＋AA 1—→解析①A 1O —→－12AB →－12AD →＝A 1O —→－12(AB →＋AD →)＝A 1O —→－AO →＝A 1O —→＋OA →＝A 1A —→.②因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)．所以OC 1—→＝OC →＋CC 1—→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1—→＝12AB →＋12AD →＋AA 1—→.题型二空间向量基本定理及其应用例2(1)下列命题正确的是()A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若空间向量a ，b ，c 不共面，则a ，b ，c 都不为0D ．若a ，b ，c 共面，则存在唯一的实数对(x ，y )，使得a ＝x b ＋y c 答案C解析若b ＝0，则满足a 与b 共线，b 与c 共线，但是a 与c 不一定共线，故A 错误；因为向量是可以移动的量，所以向量a ，b ，c 共面，但它们所在的直线不一定共面，故B 错误；假设a ，b ，c 至少有一个为0，则空间向量a ，b ，c 共面，故假设不成立，故C 正确；假设b ＝0，若a ,c 共线，则存在无数个实数对(x ，y )，使得a ＝x b ＋y c ，若a ,c 不共线，则不存在实数对(x ，y )，使得a ＝x b ＋y c ，故D 错误．(2)(多选)下列说法中正确的是()A ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件B ．若AB →，CD →共线，则AB ∥CDC ．A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18→＋18OC →，则P ，A ，B ，C四点共面D ．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，则λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件答案CD解析由|a |－|b |＝|a ＋b |，可知向量a ，b 的方向相反，此时向量a ，b 共线，反之，当向量a ，b 同向时，不能得到|a |－|b |＝|a ＋b |，所以A 不正确；若AB →，CD →共线，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，所以B 不正确；由A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，因为34＋18＋18＝1，可得P ，A ，B ，C 四点共面，所以C 正确；若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA →－PC →＝λ(PB →－PC →)，即CA →＝λCB →，所以A ，B ，C 三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件，所以D 正确．思维升华应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA →＝λPB→MP →＝xMA →＋yMB→对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB→对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB→跟踪训练2(1)已知空间中A ，B ，C ，D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若BD →＝6PA →－4PB →＋λPC →，则λ等于()A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案B解析BD →＝6PA →－4PB →＋λPC →，即PD →－PB →＝6PA →－4PB →＋λPC →，整理得PD →＝6PA →－3PB →＋λPC →，由A ，B ，C ，D 四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.(2)(2023·金华模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，且满足DE →＝xDA →＋yDC →＋(1－x －y )DD 1—→，则|DE →|的最小值是()A.13B.23C.33D.23答案C解析因为DE →＝xDA →＋yDC →＋(1－x －y )DD 1—→，由空间向量的共面定理可知，点E ，A ，C ，D 1四点共面，即点E 在平面ACD 1上，所以|DE →|的最小值即为点D 到平面ACD 1的距离d ，由正方体的棱长为1，可得△ACD 1是边长为2的等边三角形，则1ACD S △＝12×(2)2×sin π3＝32，S △ACD ＝12×1×1＝12，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=，所以13×32×d ＝13×12×1，解得d ＝33，所以|DE →|的最小值为33.题型三空间向量数量积及其应用例3(1)已知点O 为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是______．答案，43，解析∵OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，又∵OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，∴QA →＝OA →－OQ →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝OB →－OQ →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10，当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值，此时OQ →，43，(2)如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.①求线段AC 1的长；②求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值；③求证：AA 1⊥BD .①解设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2，a ·b ＝0，c ·a ＝c ·b ＝2×1×cos 120°＝－1.因为AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→＝a ＋b ＋c ，所以|AC 1—→|＝|a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋4＋0－2－2＝2，所以线段AC 1的长为2.②解因为AC 1—→＝a ＋b ＋c ，A 1D —→＝b －c ，所以AC 1—→·A 1D —→＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋1－4＝－2，|A 1D —→|＝|b －c |＝(b －c )2＝|b |2＋|c |2－2b ·c＝1＋4＋2＝7，设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AC 1—→，A 1D —→〉|＝|AC 1—→·A 1D —→||AC 1—→||A 1D —→|＝|－2|2×7＝147，即异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147.③证明由①知AA 1—→＝c ，BD →＝b －a ，所以AA 1—→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝－1＋1＝0，即AA 1—→·BD →＝0，所以AA 1⊥BD .思维升华空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．跟踪训练3(1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P －ABC 中，O 是△ABC 的中心，PA ＝AB ＝2，则PO →·PA →等于()A.59B.63C.423D.83答案D解析∵P －ABC 为正三棱锥，O 为△ABC 的中心，∴PO ⊥平面ABC ，∴PO ⊥AO ，∴PO →·OA →＝0，|AO →|＝23·|AB →|·sin 60°＝233，故PO →·PA →＝PO →·(PO →＋OA →)＝|PO →|2＝|AP →|2－|AO →|2＝4－43＝83.(2)(2022·营口模拟)已知A (－1,2,1)，B (－1,5,4)，C (1,3,4)．①求〈AB →，BC →〉；②求AC →在AB →上的投影的数量．解①因为A (－1,2,1)，B (－1,5,4)，C (1,3,4)，所以AB →＝(0,3,3)，BC →＝(2，－2,0)．因为AB →·BC →＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，|AB →|＝32，|BC →|＝22，所以cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝－632×22＝－12，故〈AB →，BC →〉＝2π3.②因为AC →＝(2,1,3)，AB →＝(0,3,3)，所以AC →·AB →＝0＋1×3＋3×3＝12.因为|AB →|＝32，|AC →|＝14，所以cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝1214×32＝277，所以AC →在AB →上的投影的数量为|AC →|cos 〈AC →，AB →〉＝14×277＝22．题型四向量法证明平行、垂直例4如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(1)证明以A 为原点，AB →，AD →，AA 1—→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，1，B 1(a ,0,1)．故AD 1—→＝(0,1,1)，B 1E —→－a2，1，－因为B 1E —→·AD 1—→＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以B 1E —→⊥AD 1—→，即B 1E ⊥AD 1.(2)解存在满足要求的点P ，假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)，设平面B 1AE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．AB 1→＝(a ,0,1)，AE →1，因为n ⊥平面B 1AE ，所以n ⊥AB 1—→，n ⊥AE →，z ＝0，y ＝0，取x ＝1，则y ＝－a2，z ＝－a ，故n ，－a2，－要使DP ∥平面B 1AE ，只需n ⊥DP →，则a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.所以存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.思维升华(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．跟踪训练4如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．(1)求证：平面A 1B 1D ⊥平面ABD ；(2)求证：平面EGF ∥平面AB D.证明以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，E (0,0,3)，F (0,1,4)．设BA ＝a ，则A (a ,0,0)，1，(1)因为BA →＝(a ,0,0)，BD →＝(0,2,2)，B 1D —→＝(0,2，－2)，所以B 1D —→·BA →＝0，B 1D —→·BD →＝0.所以B 1D —→⊥BA →，B 1D —→⊥BD →，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，BA ，BD ⊂平面ABD ，所以B 1D ⊥平面ABD .因为B 1D ⊂平面A 1B 1D ，所以平面A 1B 1D ⊥平面AB D.(2)方法一因为EG →1，EF →＝(0,1,1)，B 1D —→＝(0,2，－2)，所以B 1D —→·EG →＝0，B 1D —→·EF →＝0.所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .因为EG ∩EF ＝E ，EG ，EF ⊂平面EGF ，所以B 1D ⊥平面EGF .又由(1)知B 1D ⊥平面ABD ，所以平面EGF ∥平面AB D.方法二因为GF →－a2，0，所以GF →＝－12BA →，∴GF ∥BA ，又GF ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，所以GF ∥平面ABD ，同理EF ∥平面ABD ，又GF ∩EF ＝F ，GF ，EF ⊂平面EGF ，所以平面EGF ∥平面ABD .课时精练1．已知直线l 的一个方向向量为m ＝(x ,2，－5)，平面α的一个法向量为n ＝(3，－1,2)，若l ∥α，则x 等于()A ．－6B ．6C ．－4D ．4答案D解析若l ∥α，则m ⊥n ，从而m ·n ＝0，即3x －2－10＝0，解得x ＝4.2．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有()A ．若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则a ∥bB ．若非零向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则有a ∥cC ．若OA →，OB →，OC →是空间的一组基底，且OD →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则A ，B ，C ，D 四点共面D ．若向量a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是空间的一组基底，则a ，b ，c 也是空间的一组基底答案ACD解析对于A ，若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则a ，b 为共线向量，即a ∥b ，故A 正确；对于B ，若非零向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则a 与c 不一定共线，故B 错误；对于C ，若OA →，OB →，OC →是空间的一组基底，且OD →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则OD →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)，即AD →＝13AB →＋13AC →，可得A ，B ，C ，D 四点共面，故C 正确；对于D ，若向量a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是空间的一组基底，则空间任意一个向量d 存在唯一实数组(x ，y ，z ),使d ＝x (a ＋b )＋y (b ＋c )＋z (c ＋a )＝(x ＋z )a ＋(x ＋y )b ＋(y ＋z )c ，则a ，b ，c 也是空间的一组基底．3.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝1，则BD 1—→·AD →等于()A ．1B ．2C ．3 D.63答案A解析由长方体的性质可知AD ⊥AB ，AD ⊥BB 1，AD ∥BC ，AD ＝BC ＝1，BD 1—→＝BA →＋BC →＋BB 1—→，所以BD 1—→·AD →＝(BA →＋BC →＋BB 1—→)·AD →＝BA →·AD →＋BC →·AD →＋BB 1—→·AD →＝0＋BC →2＋0＝1.4．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是()A ．(1，－1,1)，3，－31，3答案B解析对于选项A ，PA →＝(1,0,1)，PA →·n ＝5，所以PA →与n 不垂直，排除A ；同理可排除C ，D ；对于选项B ，有PA →，－4PA →·n ＝0，因此B 项正确．5.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若AB ＝2，AC ＝1，BD ＝2，则CD 的长为()A ．2B ．3C ．23D ．4答案B解析∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →，∵CA →⊥AB →，BD →⊥AB →，∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，CA →·BD →＝|CA →||BD →|cos(180°－120°)＝12×1×2＝1.∴CD →2＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴|CD →|＝3.6．(多选)(2023·浙江省文成中学模拟)已知空间向量a ＝(2，－2,1)，b ＝(3,0,4)，则下列说法正确的是()A ．向量c ＝(－8,5,6)与a ，b 垂直B ．向量d ＝(1，－4，－2)与a ，b 共面C ．若a 与b 分别是异面直线l 1与l 2的方向向量，则其所成角的余弦值为23D ．向量a 在向量b 上的投影的数量为3答案BC解析对于A ，a ·c ＝－16－10＋6≠0，b ·c ＝－24＋24＝0，故a ，c 不垂直，故A 错；对于B ，设d ＝m a ＋n b ，则m (2，－2,1)＋n (3,0,4)＝(1，－4，－2)，m ＋3n ＝1，2m ＝－4，＋4n ＝－2，＝2，＝－1，即2a －b ＝d ，故B 对；对于C ，因为cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝103×5＝23，所以异面直线l 1与l 2所成角的余弦值为23，故C 对；对于D ，向量a 在向量b 上的投影的数量为|a |cos 〈a ，b 〉＝3×23＝2，故D 错．7．已知直线l 的方向向量是m ＝(1，a ＋2b ，a －1)(a ，b ∈R )，平面α的一个法向量是n ＝(2,3,3)．若l ⊥α，则a ＋b ＝________.答案2解析∵m ＝(1，a ＋2b ，a －1)(a ，b ∈R )是直线l 的方向向量，n ＝(2,3,3)是平面α的一个法向量，l ⊥α，∴m ∥n ，∴12＝a ＋2b 3＝a －13，解得a ＝52，b ＝－12，∴a ＋b ＝2.8．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN→＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________．答案VA ∥平面PMN解析如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b ，由题意知PM →＝23b －13c ，PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c .因此VA →＝32PM →＋32PN →，∴VA →，PM →，PN →共面．又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .9．已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)解(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)令AE →＝tAB →(t ∈R )，AB →＝(1，－1，－2)，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t ,4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时点E －65，－145，10.如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段PA ，PD ，AB 的中点．求证：(1)PB ∥平面EFH ；(2)PD ⊥平面AHF .证明(1)∵E ，H 分别是线段AP ，AB 的中点，∴PB ∥EH .∵PB ⊄平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，∴PB ∥平面EFH .(2)建立如图所示的空间直角坐标系．则A (0,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)，H (1,0,0)．PD →＝(0,2，－2)，AH →＝(1,0,0)，AF →＝(0,1,1)，∴PD →·AF →＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD →·AH →＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.∴PD →⊥AF →，PD →⊥AH →，∴PD ⊥AF ，PD ⊥AH .∵AH ∩AF ＝A ，且AH ，AF ⊂平面AHF ，∴PD ⊥平面AHF .11.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论不正确的是()A ．当A 1C —→＝2A 1P —→时，B 1，P ，D 三点共线B ．当AP →⊥A 1C —→时，AP →⊥D 1P—→C ．当A 1C —→＝3A 1P —→时，D 1P ∥平面BDC 1D ．当A 1C —→＝5A 1P —→时，A 1C ⊥平面D 1AP 答案B解析如图，建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，C (0，3，0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，B 1(1，3，1)，D (0,0,0)，B (1，3，0)，C 1(0，3，1)，当A 1C —→＝2A 1P —→时，A 1P —→－12，32，－DP →＝DA 1—→＋A 1P —→，32，而DB 1—→＝(1，3，1)，∴DP →＝12DB 1—→，∴B 1，P ，D 三点共线，A 正确；设A 1P —→＝λA 1C —→，A 1C —→＝(－1，3，－1)，则AP →＝AA 1—→＋A 1P —→＝AA 1—→＋λA 1C —→＝(－λ，3λ，1－λ)．当AP →⊥A 1C —→时，有AP →·A 1C —→＝5λ－1＝0，∴λ＝15，∴AP →·D 1P —→－15，35，，35，－＝－15≠0，∴AP →与D 1P —→不垂直，B 不正确；当A 1C —→＝3A 1P —→时，A 1P —→－13，33，－D 1P —→＝A 1P —→－A 1D 1—→，33，－又DB →＝(1，3，0)，DC 1—→＝(0，3，1)，∴D 1P —→＝23DB →－13DC 1—→，∴D 1P —→，DB →，DC 1→共面，又D 1P ⊄平面BDC 1，∴D 1P ∥平面BDC 1，C 正确；当A 1C —→＝5A 1P —→时，A 1P —→－15，35，－AP →－15，35，又AD 1—→·A 1C —→＝(－1,0,1)·(－1，3，－1)＝0，∴A 1C ⊥AD 1，AP →·A 1C —→－15，35，－1，3，－1)＝0，∴A 1C ⊥AP ，∵AD 1∩AP ＝A ，AD 1，AP ⊂平面D 1AP ，∴A 1C ⊥平面D 1AP ，D 正确．12．(多选)(2023·梅州模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3，点M ，N 分别在棱AB 和BB 1上运动(不含端点)．若D 1M ⊥MN ，则下列命题正确的是()A ．MN ⊥A 1MB ．MN ⊥平面D 1MCC ．线段BN 长度的最大值为34D ．三棱锥C 1－A 1D 1M 体积不变答案ACD解析在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以点D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则A 1(3,0,3)，D 1(0,0,3)，C (0,3,0)，B (3,3,0)，设M (3，y ,0)，N (3,3，z )，y ，z ∈(0,3)，D 1M —→＝(3，y ，－3)，MN →＝(0,3－y ，z )，而D 1M ⊥MN ，则D 1M —→·MN →＝y (3－y )－3z ＝0，即z ＝13y (3－y )．对于A 选项，连接A 1M ，A 1M —→＝(0，y ，－3)，则A 1M —→·MN →＝y (3－y )－3z ＝0，则A 1M —→⊥MN →，MN ⊥A 1M ，A 正确；对于B 选项，CM →＝(3，y －3,0)，CM →·MN →＝(y －3)(3－y )＝－(3－y )2<0，即CM 与MN 不垂直，从而MN 与平面D 1MC 不垂直，B 不正确；对于C 选项，BN →＝(0,0，z )，则线段BN 长度|BN →|＝z ＝13－y －32＋94≤34，当且仅当y ＝32时等号成立，C 正确；对于D 选项，连接D 1M ，A 1C 1，MC 1，不论点M 如何移动，点M 到平面A 1D 1C 1的距离均为3，而111111111133C AD M M A D C A D C V V S --==⋅⋅△＝92，所以三棱锥C 1－A 1D 1M 体积为定值，即D 正确．13．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，M 为BC 的中点，C 1N →＝λNC →，且AB 1⊥MN ，则λ的值为________．答案15解析如图所示，取B 1C 1的中点P ，连接MP ，以MC →，MA →，MP →的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为底面边长为1，侧棱长为2，则A0，32，0，B 1－12，0，2，C 12，0，0，C 112，0，2M (0,0,0)，设因为C 1N —→＝λNC →，所以所以AB 1—→－12，－32，MN →又因为AB 1⊥MN ，所以AB 1—→·MN →＝0，所以－14＋41＋λ＝0，解得λ＝15.14．(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1D 1，BB 1的中点，则cos ∠EAF ＝________，EF ＝________.答案2562解析如图，以A 为坐标原点，AB ，AD，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵正方体的棱长为1，则，12，，0∴AE →，12，AF →，0EF →，－12，－cos 〈AE →，AF →〉＝AE →·AF →|AE →||AF →|＝1252×52＝25，∴cos ∠EAF ＝25，EF ＝|EF →|＝62.15．已知梯形CEPD 如图(1)所示，其中PD ＝8，CE ＝6，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F 满足AF →＝λAB →(0＜λ＜1)时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为()A.12 B.23 C.35 D.45答案C 解析由题意，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D (0,4,0)，E (4,0,2)，C (4,4,0)，P (0,0,4)，A (0,0,0)，B (4,0,0)，设F (t ,0,0)，0<t <4，AF →＝λAB →(0＜λ＜1)，则(t ,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t ＝4λ，∴F (4λ，0,0)，DE →＝(4，－4,2)，DF →＝(4λ，－4,0)，PC →＝(4,4，－4)，PE →＝(4,0，－2)，设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·DE →＝4x －4y ＋2z ＝0，n ·DF →＝4λx －4y ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，λ，2λ－2)，设平面PCE 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，m ·PC →＝4a ＋4b －4c ＝0，m ·PE →＝4a －2c ＝0，取a ＝1，得m ＝(1,1,2)，∵平面DEF ⊥平面PCE ，∴m ·n ＝1＋λ＋2(2λ－2)＝0，解得λ＝35.16.如图，在三棱锥P －ABC 中，PA →·AB →＝PA →·AC →＝AB →·AC →＝0，|PA →|2＝|AC →|2＝4|AB →|2.(1)求证：AB ⊥平面PAC ；(2)若M 为线段PC 上的点，设|PM →||PC →|＝λ，当λ为何值时，直线PC ⊥平面MAB ?(1)证明因为PA →·AB →＝PA →·AC →＝AB →·AC →＝0，所以PA ⊥AB ，AB ⊥AC ，因为PA ∩AC ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC .(2)解当M 为PC 的中点，即λ＝12时，直线PC ⊥平面MAB .如图，以A 为坐标原点，射线AC ，AB ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴，建立空间直角坐标系Axyz .由|PA →|2＝|AC →|2＝4|AB →|2可得PA ＝AC ＝2AB .设AP ＝2，则P (0,0,2)，A (0,0,0)，C (2,0,0)，B (0,1,0)，M (1,0,1)．PC →＝(2,0，－2)，AM →＝(1,0,1)，MB →＝(－1,1，－1)．PC →·AM →＝2×1＋0×0＋(－2)×1＝0，所以PC →⊥AM →，即PC ⊥AM .PC →·MB →＝2×(－1)＋0×1＋(－2)×(－1)＝0，所以PC →⊥MB →，即PC ⊥BM .又因为AM ∩BM ＝M ，AM ，BM ⊂平面MAB ，所以PC ⊥平面MAB .1故当λ＝2时，PC⊥平面MAB.。
2025届高中数学一轮复习课件《空间向量及其应用》ppt
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四 直线的方向向量和平面的法向量 1．直线的方向向量 就是指所在的直线和这条直线 平行或重合 的向量，显然一条直线的方向向量可以有 无数 个． 2．平面的法向量 (1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量 也有 无数个 ，它们是 共线 向量． (2)在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过点 A 的平面 是 唯一 确定的．
坐标表示 a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
夹角余 弦值
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb| (a≠0，b≠0)
a12＋a22＋a32
cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3
a21＋a22＋a23· b12＋b22＋b23
＝32a＋12b＋32c.
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用已知向量表示某一向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形． (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示出来．向量线性运算 一定要结合图形特点.
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1．判断下列结论是否正确． (1)若直线 a 的方向向量和平面 α 的法向量平行，则 a∥α.( ) (2)在空间直角坐标系中，在 Oyz 平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．( √ ) (3)若 a·b<0，则〈a，b〉是钝角．( ) (4)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
若 α1⊥α2，则 u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
吉林省东北师范大学附属中学高三理科数学一轮复习教案空间位置关系垂直
一、知识梳理１．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。
注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
２．线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
３．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
aPαOA两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
二、题型探究 ：线线垂直问题例１．如图１所示，已知正方体ABCD —A １B １C １D １中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A １D １，A １B１，BC ，CD ，DA ，DE ，CL的中点，求证：EF ⊥GF 。
变式１：如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形。
60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥ 底面ABCD ，证明：PA BD ⊥：线面垂直问题例２．如图，ABCD —A １B １C １D １是正四棱柱，求证：BD ⊥平面ACC １A １。
高三数学一轮复习精品教案1：空间向量及其运算(理)教学设计
第6节空间向量及其运算和空间位置关系1．空间向量及其有关概念 语言描述共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一平面的向量共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b≠0)，a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb 共面向量定理若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝xa ＋yb空间向量 基本定理定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }使得p ＝x a ＋y b ＋z c推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对平面ABC 内任一点P 都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC 且x ＋y ＋z ＝12．数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉；②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)向量的坐标运算：a＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线 a ∥b ⇒a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ，b ≠0)垂直 a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 夹角 公式cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 231．共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb 易忽视b ≠0. 2．共面向量定理中，注意有序实数对(x ，y )是唯一存在的．3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量． 『试一试』1．有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ―→，OB ―→，OC ―→不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底．其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．『解析』对于①，“如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系一定是共线”，所以①错误．②③正确．『答案』②③ 2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝xa ＋yb ＋zc .其中正确命题的个数是________．『解析』a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；据空间向量的意义知，a ，b 所在直线异面，则a ，b 必共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ，故④不正确．综上可知四个命题中正确的个数为0.『答案』01．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB ―→为直线l 的方向向量，与AB ―→平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.2．建立空间直角坐标系的原则：(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上．3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法：用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．『练一练』1．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标是(x,0，y )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标是________．『解析』PA ＝(－x,1，－y )，AB ＝(－1，－1，－1)，AC ＝(2,0,1)，∵P A ⊥平面ABC ， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，即PA ·AB ＝x ＋y －1＝0，PA ·AC ＝2x ＋y ＝0， ∴x ＝－1，y ＝2，故P 点的坐标是(－1,0,2)． 『答案』(－1,0,2)2．已知a ＝(cos θ，1，sin θ)，b ＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 『解析』∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2θ＋1＋sin 2θ)－(sin 2θ＋1＋cos 2θ)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )，即向量a ＋b 与a －b 的夹角为90°. 『答案』90°3．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是________．『解析』建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，1，12，则1A M ＝⎝⎛⎭⎫－1，12，－1，DN ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，所以cos 〈1A M ，DN 〉＝1A M ·DN|1A M |·|DN |＝0，所以1A M ⊥DN ，故异面直线A 1M 与DN 所成角的大小为90°.『答案』90°考点一空间向量的线性运算1．在四面体O ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．『解析』OE ＝12(OD ＋OA )＝12⎣⎡⎦⎤12OC ＋OB＋OA＝12a ＋14b ＋14c . 『答案』12a ＋14b ＋14c2.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简1A O －12AB －12AD ＝________；(2)用AB ，AD ，1AA 表示1OC ，则1OC ＝________. 『解析』(1) 1A O －12AB －12AD ＝1A O －12(AB ＋AD )＝1A O －AO ＝1A O ＋OA ＝1A A . (2)OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )，∴1OC ＝OC ＋1CC ＝12(AB ＋AD )＋1AA＝12AB ＋12AD ＋1AA . 『答案』(1)1A A (2)12AB ＋12AD ＋1AA『备课札记』2题中条件不变，结论改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE ＝231DD ，若EO ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA .试求x ，y ，z 的值. 『解』EO ＝ED ＋DO ＝－231DD ＋12(DA ＋DC )＝12AB －12AD －231AA ，由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.考点二共线、共面向量定理的应用『典例』 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . 『证明』 (1)连结BG ， 则EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH ， 由共面向量定理知： E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH ＝AH －AE＝12AD －12AB ＝12(AD －AB )＝12BD ， 因为E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .『备课札记』 『类题通法』1．将四点共面问题，转化为三个向量共面问题，利用共面向量定理来解决． 2．利用向量共线说明两线平行时注意说明四点不共线，否则不一定正确． 『针对训练』已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM ＝13(OA ＋OB＋OC )．(1)判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 『解』(1)由OA ＋OB ＋OC ＝3OM ， ∴OA －OM ＝(OM －OB )＋(OM －OC )即MA ＝BM ＋CM ＝－MB －MC ∴MA ，MB ，MC 共面． (2)由(1)知MA ，MB ，MC 共面，且共过同一点M ，∴四点M ，A ，B ，C 共面．从而点M 在平面ABC 内．考点三利用空间向量证明平行或垂直『典例』 (2014·汕头模拟)如图所示的长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C ；『证明』 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)，∴1OD ＝(－1，－1，2)． 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)，∴1OD ＝BM .又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连结OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .『备课札记』 『类题通法』利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R)．l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.『针对训练』已知在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，点E 是CC 1的中点，点F 为BD 1的中点．(1)证明AC 1∥平面BDE ； (2)证明平面BDE ⊥平面AA 1C 1C . 证明：(1)以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz ，则B (0,1,0)，D (1,0,0)，D 1(1,0,2)，F (12，12，1)， C 1(0,0,2)，E (0,0,1)，A (1,1,0)． 则BD ＝(1，－1,0)，DE ＝(－1,0,1)， 设平面EBD 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎨⎧n ·BD ＝x －y ＝0，n ·DE ＝－x ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故平面EBD 的一个法向量为n ＝(1,1,1)． 又1AC ＝(－1，－1,2)，则1AC ·n ＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝－1－1＋2＝0，所以1AC ⊥n ，即直线AC 1的方向向量与平面BDE 的一个法向量垂直， 又AC 1不在平面BDE 内，故AC 1∥平面BDE .(2)由(1)知平面BDE 的一个法向量n ＝(1,1,1)，又BD 为平面AA 1C 1C 的一个法向量且BD ＝(1，－1,0)．又BD ·n ＝(1，－1,0)·(1,1,1)＝0，所以BD ⊥n ，即两个平面的法向量互相垂直． 所以平面BDE ⊥平面AA 1C 1C .『课堂练通考点』1．在空间四边形ABCD 中，AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝________. 『解析』如图，令AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0 『答案』02．A ，B ，C ，D 是空间四点，有以下条件：①OD ＝OA ＋12OB ＋13OC ；②OD ＝12OA＋13OB ＋14OC ；③OD ＝12OA ＋13OB ＋15OC ；④OD ＝12OA ＋13OB ＋16OC .能使A ，B ，C ，D 四点一定共面的条件是________．(填序号)『解析』对于共面四点A ，B ，C ，D ，当能写成OD ＝x OA ＋y OB ＋z OC 时，应有x ＋y ＋z ＝1.经检验只有④满足．『答案』④3．(2014·上饶模拟)正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，N 为B 1B 的中点，则|MN |＝________.『解析』以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ， 则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a2.设M (x ，y ，z ) ∵点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3.∴M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32 ＝216a . 『答案』216a 4．在空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB ＋12(BD ＋BC )＝________.『解析』依题意有AB ＋12(BD ＋BC )＝AB ＋12×2BG ＝AB ＋BG ＝AG .『答案』AG5.如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值． 『解』∵BC ＝AC －AB ， ∴OA ·BC ＝OA ·(AC －AB ) ＝OA ·AC －OA ·AB＝|OA ||AC |cos 〈OA ，AC 〉－|OA ||AB |cos 〈OA ，AB 〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA ，BC 〉＝OA ·BC |OA ||BC |＝24－1628×5＝3－225.故OA 与BC 夹角的余弦值为3－225，即直线OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.。
吉林省东北师范大学附属中学高三理科数学一轮复习教案--空间角和距离
一、知识梳理1．异面直线,a b 所成的角：（1）定义：过空间上一点P （注意取图形中的特殊点）作1//a a 、1//b b ，则1a 与1b 所成的锐角或直角就叫做异面直线,a b 所成的角范围。
（2）范围：(0,]2π（3）求法： 平移法：向量法：两直线所在的向量的夹角，异面直线所成的角与夹角相等或互补。
2．直线与平面所成的角：（1）定义：若直线是平面的斜线，其求法是：找出直线PA 在平面α内的射影AO ，则锐角PAO ∠就是直线PA 与平面α所成的角。
若//a α或a α⊂，则直线a 与平面α所成的角为0；若a α⊥，则直线a 与平面α所成的角为2π； （2）范围：[0,]2π（3）求法： 定义法； 向量法：①找出射影，求线线角；②求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为θ,则|cos ,|||||||n a sin n a n a θ⋅=<>=⋅.3．二面角：（1）、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（注意二面角的五个条件）（2）、三垂线定理及逆定理法（选学内容）：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。
斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
（3）、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（4）、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。
尤其对无棱问题（5）、异面直线距离法：EF2=m2+n2+d2－2mnθcos构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角．具体情况要根据题中所成二面角的大小来确定,向量求出的二面角是一个重要的参考值.4．空间的距离（A ）点到平面的距离求法：（1）直接法：过点P 作平面α的垂线，垂足A ，则PA 是点P 到平面α的距离； （2）等体积法：利用三棱锥的体积相等，求点到平面的距离。
高中高三数学《空间向量及其应用》教案、教学设计
1.教学活动设计：将学生分成若干小组，针对空间向量相关知识，设计具有挑战性的问题，让学生进行小组讨论。
2.教学内容：
-设计问题：如空间向量的线性组合、线性相关性的判断等；
-小组讨论：学生在小组内部分享观点，共同探讨解决问题的方法。
3.教师引导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，适时给予提示和建议。
-学生自主总结：让学生用自己的语言描述空间向量的概念、坐标表示、线性运算等。
3.教师引导：引导学生从知识、方法和情感等方面进行总结，提升学生的综合素质。
4.学生参与：学生积极参与总结过程，分享自己的学习心得和感悟，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对空间向量的理解，提升学生的解题能力，特布置以下作业：
作业要求：
1.学生需认真对待每一次作业，确保作业质量；
2.提交作业前，相互检查，确保答案正确，书写规范；
3.教师将对作业进行认真批改，并及时给予反馈，学生应认真对待教师的评价和建议；
4.鼓励学生在完成作业的过程中，积极思考、探索，形成自己的解题思路和方法。
2.增强学生解决问题的信心，让学生在面对复杂问题时，能够运用所学知识进行分析、求解；
3.培养学生良好的学习习惯，如预习、复习、总结等，提高学习效率；
4.培养学生的团队合作精神，使学生认识到团队合作的重要性，学会与他人共同解决问题。
二、学情分析
本章节面向的是高中三年级学生，他们在前两年的数学学习中，已经掌握了平面向量的基本概念与运算，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。在此基础上，学生对空间向量的学习具备以下特点：
4.学生参与：让学生观察三维坐标系，尝试用自己的语言描述空间向量的特点。在此基础上，引导学生讨论空间向量在现实生活中的应用。
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一、知识梳理 １．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
如位移、速度、力等。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明：１由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；２平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
２．向量运算和运算率b a+=+= b a-=-=)(R a ∈=λλ加法交换率：.a b b a+=+加法结合率：).()(c b a c b a ++=++ 数乘分配率：.)(b a b aλλλ+=+说明：１引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；２向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
３．平行向量（共线向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于b 记作a ∥b。
注意：当我们说a 、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。
共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa注：⑴上述定理包含两个方面：１性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa，其中λ是唯一确定的实数。
２判断定理：若存在唯一实数λ，使b＝λa （a ≠0），则有a∥b（若用此结论判断a、b所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a）上）。
⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a反向的所有向量。
⑶若直线l∥a，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。
推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式=a t+ １ 其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
在l 上取a=，则１式可化为 .)1(t t +-= ２当21=t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(21+= ３１或２叫做空间直线的向量参数表示式，３是线段AB 的中点公式。
注意：⑴表示式（﹡）、（﹡﹡）既是表示式１,２的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。
⑶结合三角形法则记忆方程。
４．向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a在α平面内，我们就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。
注意：向量a∥α与直线a ∥α的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理 如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使.b y a x p+=１ 注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。
推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,MB y MA x MP +=４或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=５在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。
１式叫做平面MAB 的向量表示式。
又∵.OM -=.,OM OB MB -=代入５，整理得 .)1(y x y x ++--= ⑥由于对于空间任意一点P ，只要满足等式４、５、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式４、５、⑥，所以等式４、５、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。
５．空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使.c z b y a x p++= 说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a 、b 、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{}R z y x c z b y a x p p ∈++=、、,| ，这个集合可看作由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0 可视为与任意非零向量共线。
与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0 。
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x 、、，使.OC z OB y OA x OP ++=6．数量积（１）夹角：已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作a=，b =，则角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〉〈b a，ababABO （1）O ababAB（2）说明：⑴规定0≤〉〈b a，≤π,因而〉〈b a ，=〉〈a b ，；⑵如果〉〈b a ，=，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b ；⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（３）、（４）中的两个向量的夹角不同， 图（３）中∠AOB=〉〈,， 图（４）中∠AOB=-π〉〈,,从而有〉〈-,=〉-〈OB OA ,=-π〉〈OB OA ,.（２）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
（３）向量的数量积：〉〈b a b a,cos 叫做向量a 、b的数量积，记作b a ⋅。
即b a ⋅=〉〈b a b a ,cos ，向量方向上的正射影在e : B A e a e a ''=〉〈=⋅,cos ||（４）性质与运算率⑴〉〈=⋅e a e a ,cos 。
⑴()()a b a b λλ⋅=⋅ ⑵a ⊥b ⇔b a ⋅=0 ⑵b a⋅=b a ⋅⑶2||.a a a =⋅ ⑶()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅ 二、题型探究：空间向量的概念及性质()A １２ ()B １３ ()C ２３ ()D １２３解析：对于１“如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系一定共线”；所以ABO（4）ABO（3）ABA 'B ' el１错误。
２３正确。
点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。
例２．下列命题正确的是（ C ）()A 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ()B 向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面；()C 零向量没有确定的方向；()D 若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=；解析：A 中向量为零向量时要注意，B 中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D 中需保证不为零向量。
答案C 。
点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。
像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。
：空间向量的基本运算例３．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
若ABa =，ADb =，1AA c =，则下列向量中与相等的向量是（A ）()A 1122a b c -++ ()B 1122a b c ++ ()C 1122a b c --+ ()D c b a +-2121解析：显然=+-=+=111)(21AA AB AD M B BB BM 1122a b c -++；答案为A 。
点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。
用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
例４．已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b ,求y x ,的值. 解： a ∥b ,,且,,0a b a λ=∴≠即.42328)1(p n m p y n m x λλλ--=+++ 又p n m ,,不共面,.8,13,422831=-=∴-=-=+∴y x yx点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。
：空间向量的坐标例５．（１）（高考课标Ⅱ卷）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。
例6．已知空间三点A （—２，0，２），B （—１，１，２），C （—３，0，４）。
设=，=，（１）求和的夹角θ；（２）若向量k +与k —２互相垂直，求k 的值.思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果. 解：∵A （—２，0，２），B （—１，１，２），C （—３，0，４），=AB ，=AC ， ∴a =（１，１，0），b =（—１，0，２）.（１）cos θ==52001⨯++-=—1010，∴和的夹角为—1010。
（２）∵k +=k （１，１，0）+（—１，0，２）＝（k —１，k ，２）， k a —２b =（k+２，k ，—４），且（k a +b ）⊥（k a —２b ），∴（k —１，k ，２）·（k+２，k ，—４）=（k —１）（k+２）+k ２—8=２k ２+k —１0=0。
则k=—25或k=２。
点拨：第（２）问在解答时也可以按运算律做。
（+）（k —２）=k ２２—k ·—２２=２k２+k —１0=0，解得k=—25，或k=２。
：数量积例7．（２000江西、山西、天津理，４）设、、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 １（·）—（·）= ２||—||<|—| ３（·）—（·）不与垂直 ４（３+２）（３—２）=9||２—４||２中，是真命题的有（ ） Ａ．１２Ｂ．２３Ｃ．３４Ｄ．２４答案：D解析：１平面向量的数量积不满足结合律.故１假；２由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a —b |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故２真；３因为［（·）—（·）］·=（·）·—（·）·=0，所以垂直.故３假； ４（３+２）（３—２）=9··—４·=9||２—４||２成立.故４真. 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。