节点电压法
节点电压法
节点电压法1. 介绍节点电压法是电路分析中常用的一种方法，通过对电路中每个节点的电压进行分析，可以得到电路中各个元件的电流及节点之间的关系。
这种方法主要基于基尔霍夫电流定律，即电路中进入节点的电流等于出节点的电流之和，利用此定律可以建立节点电压方程组，通过求解方程组可以得到电路中各个节点的电压。
2. 节点电压法的步骤节点电压法的分析步骤如下：2.1 确定参考节点首先，在电路中选择一个节点作为参考节点，将其电压设为0V。
通常选择接地节点作为参考节点。
2.2 标记其他节点的电压对于除参考节点外的每一个节点，都用一个未知变量来表示其电压值，并用标号或符号标记。
2.3 列节点电流方程基于基尔霍夫电流定律，对于每个节点，列出关于该节点的电流方程。
电流方程是根据所连接的元件和电压源的电流关系得到的。
2.4 列电压方程对于每一个节点，利用电压源的正负端的电位差与该节点电压的关系，列出电压方程。
2.5 解方程组将所得到的所有电流方程和电压方程组成一个方程组，通过求解这个方程组可以得到各个节点的电压值。
3. 举例说明下面以一个简单的电路进行举例，说明节点电压法的应用：电路图电路图首先，我们选择节点A作为参考节点。
然后，我们标记节点B和节点C的电压分别为Vb和Vc。
根据基尔霍夫电流定律，我们可以得到以下电流方程：•I1 = I2 + I3•I2 = I4 + I5根据电压源的正负端的电位差与该节点电压的关系，我们可以得到以下电压方程：•Vb = 5 - 10I2•Vc = 15 - 10I4将得到的电流方程和电压方程组成方程组：•I1 = I2 + I3•I2 = I4 + I5•Vb = 5 - 10I2•Vc = 15 - 10I4通过求解这个方程组，我们可以得到节点B和节点C的电压值。
进而可以计算出电路中各个元件的电流值。
4. 节点电压法的优势节点电压法具有以下优势：4.1 适用于复杂电路节点电压法可以用于分析复杂电路，无论电路中是否存在电流源或电压源，都可以通过建立方程组来求解节点电压。
节点电压法
④联立求解节点电压，继而求出其余量。
当电路中含有无伴电压源的处理: 一、 ①把无伴电压源的电流作为附加变量列入 KCL方程。 ②增加一个节点电压与无伴电压源电压之间 的约束关系。 二、 ①将连接无伴电压源的两个节点的节点电压 方程合为一个。 ②增加一个节点电压与无伴电压源的约束关 系。
在电路中（具有n个结点）任意选择某一 结点为参考点，其他结点（(n-1)个结点） 为独立结点，此参考结点之间的电压称为结 点电压。
节点电压的符号用Un1或Una等表示。
结点电压的参考极性是已参考结点为负， 其余独立结点为正。
结点电压法： ①如果每一个支路电流都可以由支路电压来表示 ，那么它一定也可以用结点电压来表示。 ②在具有n个结点的电路中写出其中（n-1）个独 立结点的KCL方程，就得到变量为（n-1）个结点 电压的共（n-1）个独立方程（结点电压方程） 。 ③求解这些方程，得到结点电压，从而求出所需 的电压、电流。
从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路 的节点方程，其系数很有规律，可以用观察电路图 的方法直接写出结点方程。
由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的
电路，其节点方程的一般形式为：
G11un1 G21un1
+G12un2 +G22un2
+…+G1(n-1)u(n-1) +…+G2(n-1)u(n-1)
2
3 2
＋
－
110V
＋
V1=100V － V2=100+110=210V
100V (1/2+1/2)V3-1/2V2-1/2V1=20 解得：
1
电路分析方法介绍及应用-节点电压法
指针式万用表的设计 电路分析方法介绍及应用
《电路分析与实践项目化教程》
目录
CONTENTS
1 什么是节点电压法 2 节点电压法的推倒 3 节点电压法的应用
一、什么是节点电压法
节点电压法的定义
在具有n个节点的电路中，任选其中一个节点作为参考点， 其余个各节点相对参考点的电压叫做该节点的节点电压，以电路 的（n-1)个节点电压为未知数，按KCL列（n-1）个节点电流方 程联立求出节点电压，再求出其它各支路电压或电流的方法称为 节点电压法。
………………………………
G u (n1)1 10 G u (n1)2 20 G u (n1)(n1) (n1)0 iS (n1)(n1)
三、节点电压法的应用
例： 用节点电压法求图中各电阻支路电流。
三、节点电压法的应用
1、列出节点方程，整理得
节点 (11)u1 1u2 5
2u1 u2 5
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节点电压法
总结
一、 指定电路中任一节点为参考节点，用接 地符号表示，标出各独立节点的编号；
二点 i2 i5 i6 0
u6 u20 u30 V2 V3
对节点 i3 i4 i6 iS2
（6）PTC起动器
图3-22 用PTC起动的单相异步电动机
PTC起动器又称半导体起动器，具有正温度系数的热敏电阻器 件，具有在陶瓷原料中掺入微量稀土元素烧结后制成的半导体晶 体结构。它具有随温度的升高而电阻值增大的特点，有着无触点 开关的作用。
结点电压法内容
结点电压法内容
结点电压法是一种电路分析方法，用于解决包含多个电压源、电流源和电阻的电路的问题。
结点电压法的基本思想是，将电路中的每个节点都作为一个未知量，通过节点的电压来表示。
然后利用基尔霍夫定律和欧姆定律，建立节点电压之间的各种关系式，最终求解节点电压。
使用结点电压法的步骤如下：
1. 选择一个节点作为参考节点，通常选取地（ground）作为参考节点。
2. 对于电路中的每个节点，用一个未知量表示节点电压，并定义一个相对于参考节点的电压参考方向。
3. 根据基尔霍夫电流定律，在每个节点处建立节点电流方程。
节点电流等于进入节点的电流和离开节点的电流之和。
4. 根据欧姆定律，在每个电阻元件处建立电压-电流关系式。
根据电压参考方向的选择，可以根据欧姆定律写出电流等于电压差除以电阻的关系式。
5. 解这些方程组，得到所有节点电压的值。
结点电压法在解决电路问题时具有许多优点，如可以处理复杂的电路，可以得到电路中各个节点的电压值，可以得出各个元件的电流值等。
但是，结点电压法也存在一些限制，如需要建立大量的方程并进行复杂的代数运算，对于大型电路可能耗时较长。
总之，结点电压法是一种适用于各种电路的分析方法，可以快速求解电路中各个
节点的电压值，并得到电路中各个元件的电流值。
节点电压法
G i j ( ij )称为节点 i 和 j 的互电导,是节点i 和j 间电导总和的负
值。此例中G12= G21=-G5, G13= G31=-G4 , G23= G32=- G6。 iS11、iS22、iS33是流入该节点全部电流源电流的代数和。此例
中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。
补充方程
u2u3 8V
代入u1=14V，整理得到：
1.5u2 1.5u3 24V u2 u3 8V
解得：
u 2 1V 2u 34 Vi 1A
四、弥尔曼定理：
对只含有两个节点的电路，如图所示，用观察法可列出一个独立 节点的电压方程：
(
1 R1
1 R2
1 R3
1 R4
)U
n1
U S1 R1
U S2 R2
U S3 R3
整理得
U S1 U S 2 U S3
U n1 (
R1 1
R2 11
R3 1
)
R1 R 2 R3 R 4
对只含有两个节点的电
路, 其节点电压可表示为
U S
U n1
R或 1
R
U n1 ( G U S ) G
上式称为弥尔曼定理。分子表示电流源电流或等效电流 源电流代数和。分母表示独立节点连接的各支路的电 导之和。电流源电流或等效电流源电流参考方向指向 独立节点取+，反之取-。
解得各节点电压为：
u11V u2 3V
选定各电阻支路电流参考方向如图所示，可求得：
i1 (1S)u1 1A i2 (2S)u2 6A i3 (1S)(u1 u2) 4A
例2.用节点电压法求图示电路各支路电压。
解: 参考节点和节点电压如图所示。列出三个结点方程：
节点电压法
09379090 葛佳音一、节点电压：指独立节点对非独立节点的电压。
二、基本指导思想用未知的节点电压代替未知的支路电压来建立电路方程，以减少联立方程的元数。
三、步骤应用基尔霍夫电流定律建立节点电流方程，然后用节点电压去表示支路电流，最后求解节点电压。
具体如下：1、选择参考节点，设独立节点电位选定参考节点和各支路电流的参考方向，并对独立节点分别应用基尔霍夫电流定律列出电流方程2、根据基尔霍夫电压定律和欧姆定律，建立用节点电位和已知的支路电阻表示支路电流的支路方程3、将支路方程和节点方程相结合，消去节点方程中的支路电流变量，代之以节点电位变量，经移项整理后，获得以两节点电位为变量的节点方程4、解方程得节点电位5、由节点电位求支路电压，进而求支路电流四、P74 例3.1应注意的细节：1、假设参考节点的原因：电压是指电路中两点A、B之间的电位差。
所以，由选取节点的电位可以表示支路电压。
2、不用考虑V1、V2谁大谁小。
可任意设一个电流方向。
但为减少出错，R2上的电流若写成（V1-V2）/R2，则默认R2上的电流朝向节点2。
3、不用考虑串并联。
这也是节点电压法的一大优势。
4、电路图中是电流源（不是电流表）。
***电流源（符号如下图）：R→∞电流源的内阻相对负载阻抗很大，负载阻抗波动不会改变电流大小。
在电流源回路中串联电阻无意义，因为它不会改变负载的电流，也不会改变负载上的电压。
在原理图上这类电阻应简化掉。
负载阻抗只有并联在电流源上才有意义，与内阻是分流关系。
***电压源（如下图）：R→0稳博电压源电压源就是给定的电压，随着你的负载增大，电流增大，理想状态下电压不变，实际会在传送路径上消耗，你的负载增大，消耗增多。
电压源的内阻相对负载阻抗很小，负载阻抗波动不会改变电压高低。
在电压源回路中串联电阻才有意义，并联在电压源的电阻因为它不能改变负载的电流，也不能改变负载上的电压，这个电阻在原理图上是多余的，应删去。
负载阻抗只有串联在电压源回路中才有意义，与内阻是分压关系。
节点电压法
二节点电压法
以独立节点的节点电压作为独立变量，根据KCL列出关于节点电压的电路方程，进行求解的过程。
建立方程的过程（如图3-7）
图3-7
第一步，适当选取参考点。
第二步，根据KCL列出关于节点电压的电路方程。
节点1：
节点2：
节点3：
第三步，具有三个独立节点的电路的节点电压方程的一般形式
第二类情况：含理想电压源。
①仅含一条理想电压源支路，如图3-8。
图3-8
ａ.取电压源负极性端为参考点：则
ｂ.对不含有电压源支路的节点利用直接观察法列方程：
ｃ.求解
②含多条不具有公共端点的理想电压源支路，如图3-9。
图3- 9
ａ.适当选取参考点：令 ，则 。
ｂ.虚设电压源电流为I，利用直接观察法形成方程ห้องสมุดไป่ตู้
式中， 称为自由导，为连接到第 个节点各支路电导之和，值恒正。
称为互电导，为连接于节点 与 之间支路上的电导之和，值恒为负。
流入第 个节点的各支路电流源电流值代数和，流入取正，流出取负。
三仅含电流源时的节点法
第一步，适当选取参考点；
第二步，利用直接观察法形成方程；
第三步，求解。
四含电压源的节点法
第一类情况：含实际电压源：作一次等效变换。
如下图3-12，用网孔电流法和节点电压法列方程。
图3-3-6
网孔电流方程：
约束方程：
补充方程： ；
节点电压方程：
约束方程：
补充方程： ；
上述电路也可以列写回路电流方程，如下：
回路电流方程：
补充方程： ；
ｃ.添加约束方程：
ｄ.求解
1.10.111节点电压法
IS2 I2R3
(3) 求各电源元件的功率
b
PE1= -E1I1 = -50 13 = -650W （P<0，所以发出功率） PE2= -E2 I2 = -30 18 = -540 W （发出功率）
PI1= -UI1 IS1 = -Uab IS1 = -24 7 =-168 W （发出功率）
PI2= UI2 IS2 = (Uab– IS2 R3) IS2 = 14 2 = 28 W （P>0，所以取用功率）
I1
R1 1Ω + E1 6V －
R2 6Ω I2 －
E2 8V +
+ I3 0.4A
R3 10Ω IS
U
－
I1
E1 U
R1
64 1
2A
I2
E
2 U R2
8 4 6
2A
U4
I3
R3
10
0.4A
例3用节点电压法求图示电路各支路电流。
a
c
+ 42V–
I2 6 7A
12 I1
I3 3
b
d
节点电压的概念： 任选电路中某两个节点a和b之间的电压，称为节点
电压。节点电压的参考方向从a指向b。 节点电压法：以节点电压为未知量，
在求出节点电压后，可应用基尔霍夫定律或欧姆定律 求出各支路的电流或电压的方法。
节点电压法适用于适用于支路数和网孔数都较多，而 节点数较少的电路。对于这样的电路，采用节点电压 法会使计算更简便。
整理后得：
UAB (G1 G2 G3 G4 ) E1G1 E2G2 E3G3
即：
U AB
E1G1 E2G2－E3G3 G1 G2 G3 G4
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节点电压法的计算机编程实现学院：专业：班级：学号：目录1.问题与假设 (2)1.1课题研究价值 (2)1.2问题的简化与假设 (2)1.3节点电压法求解过程 (2)2.建模过程 (2)2.1节点电压法的简介 (2)2.2模型的建立 (3)2.3节点电压法线性方程组的原理与求解 (3)3.算法实现 (4)3.1MATLAB源代码 (4)3.2实例演示 (6)4.心得体会 (7)5.参考文献 (8)1.问题与假设1.1课题研究价值节点电压是一种求解对象的电路计算方法。
节点电压是在为电路任选一个节点作为参考点（此点通常编号为“0”），并令其电位为零后，其余节点对该参考点的电位。
在一个拥有多个电子元器件且物理拓扑结构确定的电路中，当电路中各处的电压电流均处于稳定状态时，如何求出加载在各个元器件上的电压？实际生活中，比较复杂的电路运用电脑程序求解为解决问题提供了方便。
1.2问题的简化与假设假设电路属于集总电路,即电路中电压电流的效应不受电路线度的影响并且在接通瞬间完成。
同时电路中的电子元器件仪限于电阻，电容，电感以及容性和感性器件。
电路中只有独立的稳定电压源，不含受控电压源或电流源。
1.3节点电压法求解过程第一步：把电压源与阻抗的串联形式化为电流源与阻抗的并联形式第二步：标出结点，并把其中一个结点选为参考结点（一般为0电位点）第三步：列出结点电压方程。
列方程方法：自电导乘以该结点电压+∑与该结点相邻的互电导乘以相邻结点的电压=流入该结点的电流源的电流-流出该结点电流源的电流[注：这里的“+”是考虑了互导纳是电导的相反数，如果不考虑相反数的话，这个“+”就得写为“-”]第四步：联立求解出上面所有的结点电压方程。
2.建模过程2.1节点电压法的简介电路中各个器件两端接入电路并且与其他器件相连接，相连接处构成了节点,因此加载在电路元件上的电压即为元器件两端的电势差，因此我们可以将把求器件上的电势差的问题化为求元器件两端的电势。
这种方法称为节点电压法，是电路分析中最常用的方法。
使用节点电压法首先选择一个结点作为参考结点，其余结点与参考结点之间的电压称为结点电压。
结点电压的方向均由结点指向参考结点。
2.2模型的建立图2—1节点电压法示例图如图2—1所示，图中R1、R2、R3、R4、R5、R6均为电阻，Us6、Us3为电压源，is5为电流源。
①、②、③为电路的三个节点，0为零点势的节点。
电路中各个节点都有导线连接，构成一个连通图。
由于电压源和二极管这样的元器件是有正负极之分的，因此所构成的图也是一个有向图。
由于两个节点之间的边是带有权值的，该权值即为元器件的阻抗在集总电路中，每个节点均满足基尔霍夫电流定律(KCL ):流出该节点的所有支路电流之和为零，如公式2-1所示。
1021()n k i i ==-∑2.3节点电压法线性方程组的原理与求解若电路中有N 个节点，因此具有N 个电势值,在假设1个节点接地作为零电势参考节点之后，剩下N-1个未知的电势，需要有N-1个方程解出所有的未知量。
除去M 个电源的端点,根据KCL 可以列出N-2M 个节点方程。
对于节点n,与其余各个节点m 都相连(不相连的可以设其阻抗为无穷大)可列出节点电压方程。
而由电源两端的电势差等于电源电动势这一条件，可得出类似的方程M 个，由于在电源两端有非电场力对电子做功因此在这样的节点处有外部的能量输入，因此在这样的两个节点之间的权值不再只是消耗电能的阻抗，因此在这两个节点处就无法利用KCL 解决如果把整个电压源看做一个大的节点，则电源两端流出的电流之和为0,同样满足KCL 这个条件约束。
由于电路中存在M 个电压源，因此同样可以列出M 个形如YU=I 的节点方程组。
于此，可以列出N-M 个YU=I 方程，M 个电势差方程，联立求解。
3.算法实现利用矩阵，将节点之间各支路的阻抗和电势差储存起来。
对于电压源，两个方向的权值互为相反数。
初始时阻抗值均为无穷大，各节点之问的电压差均为零。
生成矩阵时，对图各节点进行遍历，生成电导，电流增广矩阵，最后化简求解。
3.1MATLAB源代码NUM=4;%节点数R=ones(NUM,NUM);%储存电阻的矩阵I=zeros(NUM,1);%储存电流源的矩阵for a=1:NUMfor b=1:NUMR(a,b)=realmax;%矩阵中的值大于浮点数endendpara=1;while para==1%输入选择Type=menu('输入选择','电阻','电流源','结束');Switch typecase1node1=input('enter the first node of the element:');node2=input('enter the second node of the element:');parameter=input('input resistance');R(node1,node2)=parameter;R(node2,node1)=parameter;case2node1=input('the first node of the element:');node2=input('the second node of the element:');parameter=input('current source');I(node1,1)=parameter;I(node2,1)=-parameter;case3Para=0;%exit endendendA=zeros(NUM,NUM);%电导矩阵B=zeros(NUM,1);%电流源矩阵tracer=1;for a=1:NUMfor B=1:NUMif a~=bA(a,a)=A(a,a)+1/R(a,b);%节点总跨导if b~=aA(a,b)=-1/R(a,b);%互导endendendfor a=1:NUMif I(a,1)~=0B(a,1)=I(a,1);endendA(:,1)=0;%设第1节点为0,为接地combine=[A,B];answer=rref(combine);for a=1:NUM-1%显示节点电压screen=strcat('节点电压',num2str(a+1));disp(screen);disp(answer(a,NUM+1));endenter the first node of the element:2 enter the second node of the element:4 input resistance:3enter the first node of the element:1 enter the second node of the element:2 input resistance:1enter the first node of the element:4 enter the second node of the element:3 input resistance:0.5enter the first node of the element:1 enter the second node of the element:3 input resistance:1/3the first node of the element:4the second node of the element:1 current source:-9the first node of the element:2the second node of the element:3 current source:23.2实例演示图3-1实例演示电路图如图3-1所示，图中有4个节点，G2=1/3,G1=1,G5=1,G4=1/2,Us1=9V,Us3=2V 在MATLAB的命令NUM后输入4，然后运行MATLAB，会出现图3-2所示的对话框。
图3-2对话框对话框自上而下分别代表电阻，电流源及输入结束按钮。
再按下resistance 的按钮后，按如下方式输入。
enter the first node of the element:2enter the second node of the element:4input resistance:3代表在2，4节点之间接入3欧姆电阻the first node of the element:4the second node of the element:1Voltage source:-9代表在4，1节点之间加入-9V 电压源，说明1节点为电源负极。
依次输入，最后按“end ”结束输入，如此可得到（3-1所示式子）：()41111225453133000,()（3-1）n n S n n n n n s u U U G U G G U I G I G G u u u u ⎧==⎪-+++=⎪⎪--++=⎨⎪-=⎪⎪⎩节点4电压为0V，解得1，2，3节点电压分别为：9V，7.412V，5.412V。
4.心得体会忙碌了一个多星期,在大家的共同努力下,我们总算将此程序设计出来。
尽管不是自己独立完成,但仍然很高兴,因为在设计的过程中,让我了解到要设计一个大型程序,查找资料是至关重要的,在他人的基础上,再根据自己所学进行修改与调试,最后设计出自己想要的程序,这过程艰辛,但只要你持之以恒,成功指日可待。
另外平时扎实的基础也很关键,因为如果你平时学得就不怎么样,那么你面对这么一个比较有难度的程序,你可能会望而却步,看他人的程序都是个难点,更别说让你自己去设计。
为了解决此类问题,最好就是多向同学,老师请教,不要怕难为情。
尤其是老师,评他们多年的编写程序的经验,要解决我们的问题,对他们来说只是小小case 。
在设计这个程序时,我们刚开始是根据老师给我们提供的资料,用visio 画图以及循环将框架设计出来,但是接下去便无从下手了,计算是个关键和难点,我们也查了相应的资料,为了方便设计程序,我们选用电压源来做课程设计,这样计算问题解决了。
接下去就是程序中的按键问题,我们开始并不知道是怎么输入的,所以关于按键这个函数就只能我们自己设计,还好手头有类似的资料,经过自己的反复尝试以及与与同学的讨论,这也不难,最好还是被我们搞定了。
最后就是改进,这个设计的方法很死板,都一个类型,所以我们希望能够改进成万能的程序，虽然这很困难,但是这些只要你自己愿意去尝试,问题都可以迎刃而解的。
从这一个多星期的设计过程中,我看到了大家的拼搏与努力,也让我知道团队精神得难能可贵,尽管一年下来大家不怎么有多大接触,但是彼此之间的友谊已经在我们心里扎根生底,在遇到问题时,我们会共同进退,每个人都很慷慨不会因为是通过自己艰辛劳动设计出来的东西而不准他人剽窃了。