第二十二章阶段核心归类专训课件：二次函数的图象和性质的九种常见类型

12．【2018·资阳】已知：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与 坐标轴分别交于点A(0，6)，B(6，0)，C(－2，0)，点 P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式． 解：∵抛物线过点 B(6，0)，C(－2，0)， ∴抛物线的解析式为 y＝a(x－6)(x＋2)， 将点 A(0，6)的坐标代入，得－12a＝6，解得 a＝－12， ∴抛物线的解析式为 y＝－12(x－6)(x＋2)＝－12x2＋2x＋6.
(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
解：如图①，过点 P 作 PM⊥OB 于点 M，交 AB 于点 N，作 AG⊥PM 于点 G，设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋m， 将点 A(0，6)，B(6，0)的坐标代入， 得m6k＝＋6m，＝0，解得km＝＝－6，1，则直线 AB 的解析式为 y＝－x＋6，设 Pt，－12t2＋2t＋6，其中 0＜t＜6，
(1)求抛物线的解析式； 解：设y＝a(x－x1)(x－x2)， ∵A(－1，0)，C(6，0)， ∴y＝a(x＋1)(x－6)，把点B(5，－6)的坐标代入， 得－6＝a(5＋1)(5－6)，解得a＝1. ∴y＝(x＋1)(x－6)＝x2－5x－6.
(2)如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形 PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不 存在，请说明理由．
(2)若抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，且y1＞y2，求k的取值范围； 解：把点(2k，y1)的坐标代入 y＝x2－2(k－1)x＋k2－52k，得 y1＝(2k)2－2(k－1)·2k＋k2－52k＝k2＋32k. 把点(2，y2)的坐标代入 y＝x2－2(k－1)x＋k2－52k，得 y2＝22－2(k－1)×2＋k2－52k＝k2－123k＋8. ∵y1＞y2，∴k2＋32k＞k2－123k＋8，解得 k＞1.
(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求 证：a＞0. 证明：当x＝2时，y＝m， ∴m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＞0①， ∵a＋b＜0.∴－a－b＞0②，①②相加得2a＞0， ∴a＞0.
9 ． 【2018·牡 丹 江 】 如 图 ， 抛 物 线 y ＝ － x2 ＋ bx ＋ c 经 过 A(－1，0)，B(3，0)两点，点D为抛物线的顶点，连接 BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：
则 N(t，－t＋6)，∴PN＝PM－MN＝－12t2＋2t＋6－(－t＋6) ＝－12t2＋2t＋6＋t－6＝－12t2＋3t，∴S△ PAB＝S△ PAN＋S△ PBN ＝12PN·AG＋12PN·BM＝12PN·(AG＋BM)＝12PN·OB ＝12×－12t2＋3t×6＝－32t2＋9t＝－32(t－3)2＋227，
7 ． 【2018·河 北 】 对 于 题 目 “ 一 段 抛 物 线 L ： y ＝ － x(x － 3) ＋ c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点，若c为整数，确 定所有c的值．”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4， 则( ) A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确
A．y＝12(x－2)2－2 C．y＝12(x－2)2－5
B．y＝12(x－2)2＋7 D．y＝12(x－2)2＋4
【答案】D
6．已知抛物线 y＝－12x2＋bx＋c 经过点(1，0)，0，32.
(1)求该抛物线的函数解析式； 解：把点(1，0)和0，32的坐标分别代入
y＝－12x2＋bx＋c，得c－＝1232＋，b＋c＝0，解得bc＝＝23－，1，
解：存在．
如图②，若△ PDE 为等腰直角三角形，则 PD＝PE， 设点 P 的横坐标为 n(0＜n＜6)， ∴PD＝－12n2＋2n＋6－(－n＋6)＝－12n2＋3n，PE＝2|2－n|， ∴－12n2＋3n＝2|2－n|，解得 n＝4 或 n＝5－ 17， ∴P(4，6)或 P(5－ 17，3 17－5)．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； 解：∵抛物线 y＝－x2＋bx＋c 经过点 A(－1，0)，B(3，0)， ∴－－19－＋b3＋b＋c＝c＝0，0，解得bc＝＝32，， ∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3. y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.∴D(1，4)．
(2)在y轴上找一点P，使PD＋PH的值最小，则PD＋PH的 最小值为____1_3___． 【点拨】∵B(3，0)，D(1，4)，∴BD 的中点 H 的坐标 为(2，2)，其关于 y 轴的对称点 H′的坐标为(－2，2)． 连接 H′D 与 y 轴交于点 P，则 PD＋PH 最小，且最小值 为 （1＋2）2＋（4－2）2＝ 13.
(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个 点中的两个，求该二次函数的解析式； 解：当 x＝1 时，y＝a＋b－(a＋b)＝0.∴抛物线不经过点 C.
把 A( － 1 ， 4) ， B(0 ， － 1) 的 坐 标 分 别 代 入 ， 得 4－＝1a＝－－b（－a（＋a＋b）b），，解得ab＝＝3－，2， ∴该二次函数的解析式为 y＝3x2－2x－1.
10．【中考·郴州】设a，b是任意两个实数，用max{a，b} 表示a，b两数中较大者，例如：max{－1，－1}＝－1， max{1，2}＝2，max{4，3}＝4.参照上面的材料，解答 下列问题：
(1)max{5，2}＝____5____，max{0，3}＝_____3___； (2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求2x2－x＋32.
(2)将抛物线 y＝－12x2＋bx＋c 平移，使其顶点恰好落在原点， 请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式．
解：∵y＝－12x2－x＋32＝－12(x＋1)2＋2， ∴顶点坐标为(－1，2)．∴将抛物线 y＝－12x2－x＋32平移， 使其顶点恰好落在原点的一种平移方法：先向右平移 1 个单 位长度，再向下平移 2 个单位长度．(平移方法不唯一) 平移后的函数解析式为 y＝－12x2.
解：存在．分别过点 P，B 作 PM⊥x 轴，BN⊥x 轴，垂足为 M，N， 设 P(m，m2－5m－6)，四边形 PACB 的面积是 S，则 PM＝－m2＋ 5m＋6，AM＝1＋m，MN＝5－m，CN＝6－5＝1，BN＝6. ∴S＝S△ AMP＋S 梯形 PMNB＋S△ BNC＝ 12(－m2＋5m＋6)(m＋1)＋12(6－m2＋5m＋6)(5－m)＋12×1×6＝－3m2＋ 12m＋36＝－3(m－2)2＋48. ∴当 m＝2 时，S 有最大值为 48.∴P(2，－12)，即当 P 点的坐标是 (2，－12)时，四边形 PACB 的面积最大．
②如图②，抛物线与直线不相切，且当 0≤x≤3 时只有一个 交点，∴－ －03××（ （03－ －33） ）＋ ＋cc＞ ≤30＋＋22，，∴2＜c≤5. 又∵c 为整数．∴c＝3，4，5.综上，c＝1，3，4，5. 故选 D.
【答案】D
8．【2018·杭州】设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)． (1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由； 解：设y＝0，则0＝ax2＋bx－(a＋b)， ∵Δ＝b2－4a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0， ∴方程有两个不相等的实根或两个相等的实根． ∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个．
解：∵max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1， ∴3x＋1≤－x＋1，解得x≤0.
(3) 求 函 数 y ＝ x2 － 2x － 4 与 y ＝ － x ＋ 2 的 图 象 的 交 点 坐 标．函数y＝x2－2x－4的图象如图所示，请你在图中作 出函数y＝－x＋2的图象，并根据图象直接写出max{－ x＋2，x2－2x－4}的最小值．
【点拨】∵一段抛物线 L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线 l：y＝x＋2 有唯一公共点，∴分两种情况： ①如图①，抛物线与直线相切，由方程组yy＝ ＝－ x＋x（ 2，x－3）＋c， 得 x2－2x＋2－c＝0，则 Δ＝(－2)2－4(2－c)＝0， 解得 c＝1，此时公共点为(1，3)，符合题意；
解：联立方程组yy＝ ＝x－2－x＋2x2－，4，解得xy11＝＝4－，2，xy22＝＝－3，1. ∴交点坐标为(－2，4)和(3，－1)． 画出直线 y＝－x＋2，如图所示， 观察函数图象可知，当 x＝3 时， max{－x＋2，x2－2x－4}取得最小值－1.
11．【中考·娄底节选】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)经过点A(－1，0)，B(5，－6)，C(6，0)．
(3)若将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线，当 1≤x≤2 时，新抛物线对应的函数有最小值－32，求 k 的值． 解：∵y＝x2－2(k－1)x＋k2－52k＝(x－k＋1)2－12k－1. ∴将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线 y＝(x－k)2－12k－1.
当 k＜1 时，1≤x≤2 对应的新抛物线部分位于对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大，∴x＝1 时，y 最小＝(1－k)2－12k－1＝k2－ 52k＝－32，解得 k1＝1，k2＝32，都不符合题意，舍去； 当 1≤k≤2 时，y 最小＝－12k－1，∴－12k－1＝－32，解得 k＝1；
当 k＞2 时，1≤x≤2 对应的新抛物线部分位于对称轴的左侧， y 随 x 的增大而减小，∴x＝2 时，y 最小＝(2－k)2－12k－ 1＝k2－92k＋3＝－32，解得 k1＝3，k2＝32(舍去)，综上， k＝1 或 k＝3.
5．【中考·盐城】如图，将函数 y＝12(x－2)2＋1 的图象沿 y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点 A(1，m)， B(4，n)平移后的对应点分别为点 A′，B′， 若曲线段 AB 扫过的面积为 9(图中的阴 影部分)，则新图象的函数解析式是( )
3．如图，二次函数y＝ax2＋bx和一次函数y＝ax＋b在同一 坐标系内的图象可能是( D )