10.1-10.3级数的敛散性判别习题课
正项级数的敛散性判别法(二)
柯西根值判别法
定理2设乌为正项级数，极限= 2存在，则
71 ~OO
(1)^/1 < 1,级数收敛;
(2)若义> 1 (包括4 = 8)
级数发散;
⑶若义=1,
不能由此断定级数的敛散也
例4判别下列级数的敛散性
00
(2)
n=lnn
00
n
3n-l
(1) limVu^ =lim- = 0 < 1
由根值判别法，级数
”"+1
(n+l)"〉 1 n
解
lint—- Um
n-^oo ht8
= lim (n+l)n+2 n—8
=Um (—)n+2 =1
n-»oo \n+17 e
由比较判别法的极限形式,
级数2 00
n=l
m?l+l
^发散
：♦例3判别级数2二亨!（. 其中* ＞ 0）的敛散性
带, 解这是一个正项级数，Un
(2) lim\/u^=liTn
由根值判别法,
例5判断级数
的敛散性（。＞ 0）.
当0=1时，原级数为
,显然是发散的.
当 0 < a < 1时，Um
当 口 ＞ 1时，lim
故当a ＞。且a尹1时，原级数收敛.
例1判别下列级数的敛散性
°°1 n=l ST)!
(2) > \i00
解(1) lim un+l
n n—>00
(2) Um 由比值判别法, (3) lim
(n+1)!
(n+l)n+1 3nn\
(n+1)! 10n
《高等数学》(北大第二版 )第11章习题课
（习题课） 习题课） 10.1 敛散性判定的方法 10.1.1 直接判定法
∞
设级数
∑ a 的部分和数列 S = ∑ a
n =1 n n k =1
∞
n
k
. 为判定
∑a
n =1
∞
的敛
n
散性，只要直接讨论数列Sn 的敛散性即可。
1 例 1 判定级数∑ 的敛散性. n =1 (2n - 1)(2n + 1)
∞
∑u
n =1
n
= u1 + u2 + ⋅ ⋅ ⋅
(1)
∑v
n =1
∞
n
= v1 + v2 + ⋅ ⋅ ⋅ (2)
如果级数（2）收敛，并且当 n ≥ N时，un ≤ vn , 则级（1 ）收敛. 如果级数（1）发散，并且当 n ≥ N时，u n ≤ vn , 则级（2）发散.
例2 判定下列级数的敛散性 :
10.1.5 任意项级数收敛准则
判定任意项级数的敛散性，通常把它转化为相应的绝对值组成 的级数，即一正项级数而加以考虑，这时如果收敛，原级数也收 敛，称为绝对收敛。对于绝对收敛的任意项级数，正项级数的判敛 法都能直接用上.一般地，有关于级数收敛的Cauchy准则：级数
∑u
n
收敛的充要条件为，对于任意给定的ε>0,总存在N,使对任何
∞
1 . p n 1
比值判敛法
对于正项级数
∑ u , 如果
n =1 n
∞
un +1 lim = ρ, n →∞ u n
则当ρ < 1时级数收敛;当ρ > 1时级数发散.
根值判敛法 对于正项级数
第35讲：《同号（正项）级数敛散性判定法》内容小结、课件与典型例题与练习
第35讲：《同号（正项）级数敛散性判定法》内容小结、课件与典型例题与练习适用于正项(同号)常数项级数的判别法以下常值级数(数项级数)敛散性的判别法适用于正项级数，也适用于全部项都小于的级数，只要提出一个负号即转换为正项级数，而级数的项乘以负，级数的敛散性不发生变化.另外，由于不对级数的敛散性与和产生影响，因此，一般正项级数仅仅考虑大于的项.1、比较判别法用比较判别法判定级数的敛散性需要有比较收敛或发散的级数，因此，对于常见级数，尤其是之前列出的几何级数、调和级数、p-级数以及和为e的阶乘级数的敛散性要记牢.比较判别法有不等式形式和极限形式，具体结论参见下面列出的课件.【注1】一般依据通项结构寻找比较级数，比如通项中包含有次方项，考虑几何级数比较；包好有的幂级数结构或者n的有理式结构考虑级数（一般值的选取为分母的最高次幂减去分子的最高次幂），有阶乘项可以考虑的阶乘级数比较。
【注2】对于已知了级数收敛、发散或数列收敛、发散条件的抽象级数敛散性的判定与证明一般使用的方法过为比较法的不等式形式，或者拆项的部分和数列判定方法。
2、比值、根值判别法比值、根值判别法只与级数本身的通项有关！当通项中包含有阶乘项一般考虑比值判别法，包含有次方项考虑根值判别法，具体结论参见下面列出的课件.【注1】当两种方法求出的极限都存在时，则极限值相等；当比值判别法极限不存在时，可以考虑根值判别法. 并且有比值法极限存在，则根值法极限一定存在并且相等；但根值法极限存在，比值法极限不一定存在！【注2】特别注意：极限值等于时，敛散性不确定！3、积分判别法积分判别法包括两个方面的处理方式，一种是将级数项转换为积分区间端点为正整数，长度为的积分描述形式，一般再借助比较法，或者部分和数列方法来讨论；一种是将级数通项的替换为，转换为积分区间为上单调递减的非负函数的反常积分来判定其敛散性.一般判定思路如下图所示：参考课件【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“无穷级数内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！相关推荐●高等数学、线性代数、概率统计、数学分析、高等代数等课程完整推送内容参见公众号底部菜单下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！●历届考研真题及详细参考解答浏览菜单中选项●全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部下选项。
高等数学 数项级数的敛散性判别法 课件
定理4 定理 . 比值判别法
un+1 设 为正项级数, 且 lim = ρ, 则 n→∞ un (1) 当 ρ < 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 或 ρ = ∞ 时, 级数发散 .
证: (1) 当ρ < 1时,
un+1 知存在 N ∈Z , 当n > N 时, < ρ + ε <1 un
un = 2 vn − un
n=1
n=1
∑ un , ∑2vn 收敛
n=1
∞
∞
n=1
∑un 也收敛
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∞
例7. 证明下列级数绝对收敛 : 2 ∞ ∞ sin nα nn (1) ∑ ; (2) ∑(−1) . n4 en n=1 n=1
sin nα 1 证: (1) Q ≤ 4,而 4 n n
S2n = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) −L− (u2n−2 − u2n−1)
− u2n
是单调递增有界数列, 故 又
n→∞
lim S2n+1 = lim( S2n + u2n+1)
n→∞
故级数收敛于S, 且 S ≤ u1,
= ±(un+1 − un+2 +L)
∴ rn = un+1 − un+2 + L ≤ un+1
1) un ≥ un+1 ( n = 1, 2, L);
2)
∞
n→∞
lim un = 0,
n−1 则级数 ∑(−1) un收敛 , 且其和 S ≤ u1, 其余项满足 n=1
数项级数敛散性习题课
limn2
n
1 n2
1.
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
2020/6/10
6
例3 判定 级n 数 1(1coπ)s的收.敛性
n1
n
解 因为
ln i n m 2 3u nln i n m 2 3 n1(1co n π)s
lim n2 n11(π)2 1 π 2 . n n 2n 2
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
根值审敛法 nl im nun 用它法判别
1
1
部分和极限 比较审敛法 积分判别法
收敛
发散
2020/6/10
3
3. 任意项级数审敛法
概念: u n 为收敛级数
n1
若 u n 收敛 , 称 u n 绝对收敛
n 1
n1
若
n1
un
发散 ,
称 un
n1
条件收敛
Leibniz判别法: 若 u nu n 10, 且 nl i mun0,
2020/6/10
7
例4 若级数 an与 bn 均收敛 , 且 ancnbn
n1
n1
(n1,2,),证明级数 c n 收敛 .
n1
证 0 c n a n b n a n(n1,2,),则由题设
(bn a n ) 收敛
(c n a n ) 收敛
n1
n1
c n [(cnan)an]
则交错级数 (1)nun 收敛 , 且余项 rn un1.
n1
2020/6/10
4
例1 判 断 级 数 敛 散 性:
n
n1 n
;
n1(n1)n
n
1
1
解
数项级数的敛散性的练习题及解析
数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1nn U∞=∑（ D ）A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n∞=∑收敛 选D2．设1nn U∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A ．1nn U∞=∑ B.()12008nn U ∞=∑C ．()10.001n n U ∞=+∑ D ．11n uU ∞=∑解：()12008nn U ∞=∑＝20081nn U∞=∑1nn U ∞=∑收敛∴由性质()12008nn U ∞=∑收敛3．下列级数中一定收敛的是…( A )A ．21014n n ∞=-∑ B ．10244n n nn ∞=-∑ C ．101nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ D+… 解：214n U n =-0n ≥21n=lim 1n n nU V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）A ．11n n n ∞=+∑n（－1） B ．()211nn n ∞=-∑C ．1nn ∞=- D ．()1312nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（2）11nn ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C5．级数()111cos nn k n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ （k>0）…（ B ）A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos nn n k k n n ∞∞-=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑∑1cos n kU n=-222k n =lim 1n n nU V →∞=且1n n V ∞=∑收敛，故选B 6．设正项极数!1lim n nn n nU U p U∞+→∞==∑若则（D ）A..当0<p<+∞时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。
正项级数的敛散性习题+小测+详解(精)
6．解：∵ ，∴原级数发散。
7．解：∵ ，而 发散，∴由比较判别法知原级数发散。
8．解：∵ ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
9．解：∵ ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
10．解：∵ ，而 ，故 ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
Part B
用定义判断下列级数的敛散性
解：分两种情形说明：
（1）当 时， （ ），级数 发散，由比较判别法知 发散。
（2）当 时，任取一 ， ，由于
级数 收敛（ ），由比较判别法的极限形式知 收敛。
8.求 。
解：令 ，考察级数 ， ，且
由比值判别法知 收敛，故由级数收敛的必要条件知 ，亦即 。
9.设 （ ）， ，试判别级数 的敛散性。
解：令 ，由 知数列 严格单调递增，亦即 ，且 ，故有
PartC
1．用定义判断下列级数的敛散性
2．设 ， ，判断级数
的敛散性。
判断下列正项级数的敛散性
3． ；4． ；5． ；
6．判断级数 的敛散性。
1．解：
,
故原级数收敛，且和为 。
2．证： ，由比较判别法知原正项级数收敛。
3．解：∵ ， ，∴由比值判别法知，原级数发散。
4．解：考虑函数 ， ， ，由 得 ，易知 时 的最大值，所以当 地， ，∴ ，但 为收敛的几何级数，∴原级数也收敛。
与 的敛散性相同。（ 时， ）
3.
解：由于
（ 时， ）
收敛，由比较判别法的极限形式知 收敛。
4.设 为常数，讨论级数 的敛散性。
解：分三种情形说明：
（1）当 时，
由级数收敛的必要条件知 发散。
（2）当 时， ，由级数收敛的必要条件知 发散。
10.3数项级数的收敛性判别法(1)
1+ n 由比较判别法知，级数∑ un = ∑ 发散. 2 n =1 n =1 1 + n
12
∞
∞
n! 例5 判断级数 ∑ n 的敛散性. n =1 n
但
p ≤ 1, 级数发散 .
21
∞
例12 讨论级数
∑n x
n =1
n −1
( x > 0 ) 的敛散性 .
u n +1 (n + 1) x n = lim =x 解: ∵ lim n − 1 n →∞ u n n →∞ n x
根据定理4可知:
当0 < x < 1 时, 级数收 敛 ; 当 x > 1时, 级数发散 ;
n− N
u N +1
k ( ρ + ε ) 收敛 , 由比较判别法可知 ∑
∑ un 收敛 .
20
(2) 当ρ > 1 或 ρ = ∞ 时,必存在 N ∈ Z + , u N ≠ 0, 当n ≥ N
u n +1 > 1, 从而 时 un u n +1 > u n > u n −1 > ⋯ > u N
(1) 当0 < l <∞时, 取 ε < l , 由定理 2 可知
∑ u n 与 ∑ vn
n =1 n =1
∞
∞
(2) 当l = 0时, 利用 u n < ( l + ε ) vn (n > N ), 由定理2 知 若 ∑ vn 收敛 , 则 ∑ u n 也收敛 ;
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n
x
x x
exp{lim 1 } e0 1; x x
lim n
un
1
0,
根据级数收敛的必要条件，原级数收敛．
ncos2 n
(2)
n1
2n 3 ;
解
un
n cos 2 2n
n 3
n 2n
,
令
n vn 2n ,
lim vn1 v n
n
n 1 2n lim 2 n n n1
n1 lim 2n n
称s( x)为函数项级数的和函数.
二、典型例题
例1
nn
n1 (n 1 )n ;
n
1
1
解
un
nn (n
nn 1 )n
(1
nn 1
)n
,
n
n2
lim(1 n
1 )n n2
lim[(1
n
1
1
)n2 ]n
n2
e0
1;
1
lim nn
1
lim x x
exp{lim 1 ln x}
n1
(2) 比较审敛法的极限形式
设
n1
un
与
n1
v
n
都是正项级数,如果lim n
un vn
l,
则(1) 当0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当l 0 时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
(3) 极限审敛法
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性.
性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
级数收敛的必要条件:
lim
n
un
0.
常数项级数审敛法
一般项级数 正 项 级 数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散; 3.按基本性质;
第十一章 无穷级数
习 题 课一 主要内容 典型例题
1、常数项级数
定义
un u1 u2 u3 un
n1
n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
级数的收敛与发散
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在).
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
故 1 当 n 1时单减, n ln n
1
1
un n ln n (n 1) ln(n 1) un1 (n 1),
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
问题:
交 错 级 数 (1)n1 un , 如 果 它 不 满 足 n1
,
原级数也发散．
n
例２
判断级数
n1
(1)n n ln n
是否收敛？如果收敛，
是条件收敛还是绝对收敛？
解
1 1, n ln n n
而 1 发散, n n1
(1)n
1 发散,
n1 n ln n n1 n ln n
即原级数非绝对收敛．
(1)n 是交错级数, 由莱布尼茨定理：
n1 n ln n
n1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.
(2) 收敛点与收敛域
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称x0 为级数 un ( x)的收敛点,否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
所有发散点的全体称为发散域.
(3) 和函数
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s( x) ,
4.绝对收敛
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
2、正项级数及其审敛法
定义
un , un 0
n1
审敛法 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
(1) 比较审敛法
若 un 收敛(发散)且vn un (un vn ),
n1
则 vn 收敛(发散).
n1
n1
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n0
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
5、函数项级数
(1) 定义
设 u1( x), u2 ( x),, un ( x), 是 定 义在 I R 上
的函数,则 u1( x) u2 ( x) un ( x)
由于 lim n n 1, n
lim n ln(n 2) 1,
n
lim n
n
un
1. a
当 a 0 即 0 1 1时, 原级数收敛； a
当 0 a 1即 1 1时, 原级数发散； a
当 a 1时,
原级数为
n1
ln(n (1
1
2), )n
n
lim
n
ln(n (1
2) 1 )n
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
( ⅰ )un
un1
(n
1,2,3,);(
ⅱ
)lim n
un
0, 则
级 数 收 敛 , 且 其 和 s u1, 其 余 项 rn 的 绝 对 值
rn un1.
4、任意项级数及其审敛法
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
设 un 为正项级数,
n1
如果lim n
nun
l
0
(或lim n
nun
),
则级数 un 发散;
n1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛.
n1
(4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)
设
n1
un
是正项级数,如果lim n
un1 un
(数或 )
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
(5) 根值审敛法 (柯西判别法)
设 un 是正项级数,
n1
如果lim n n
un
(为数或 ),
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
lim ln n lim ln x lim 1 0,
n n
x x
x x
1
lim n n
1 ln n
lim
n
1
n ln n
0,
n
f ( x) x ln x ( x 0),
f ( x) 1 1 0 ( x 1), x
在 (1,) 上单增, 即 1 单减, x ln x
1 1, 2
n 收敛, 根据比较判别法， 原级数收敛．
2n
n1
(3)
ln(n 2) n1 (a 1 )n
(a 0).
n
解
lim n
n
un
n
lim
n
ln(n 2) a1
1 lim n
a n
ln( n 2),
n
n 2 时, n 2 en , 从而有
1 n ln(n 2) n n,