动量守恒之弹簧及圆弧模型

相互作用的两个物体在很多情况下运动特征与碰撞问题类似，可以运用动量、能量守恒来分析，物块弹簧模型是一类典型的问题。

我们首先结合下面的例子，说明如何分析物块弹簧模型的运动情景。

【问题】如图所示，物块B 左端固定一轻弹簧，静止在光滑的水平面上，A 物体以速度0v 向B 运动，假设A 与弹簧接触之后立即与弹簧粘连在一起不再分开，那么此后A 、B 与弹簧相互作用的过程中，运动情景如何呢？【分析】A 、B 的运动涉及追及相遇问题，重点要把握住：两物体距离最近（弹簧最短）或最远（弹簧最长）时二者的速度相等。

⑴ 弹簧刚开始被压缩的过程中，B 受到弹簧的弹力向右做加速运动，A 受到弹力做减速运动，开始时A 的速度大于B 的速度，弹簧一直被压缩；⑵ 当A B 、的速度相等时，弹簧缩短到最短，此时弹簧的弹性势能最大；⑶ 此后由于A 继续减速，B 继续加速，B 的速度开始大于A 的速度，弹簧压缩量逐渐减小；⑷ 当弹簧恢复至原长时，弹性势能为零，A 的速度减至最小，B 的速度增至最大；⑸ 此后弹簧开始伸长，A 做加速运动，B 做减速运动；⑹ 当弹簧伸长至最长时，A B 、的速度再次相等，弹簧的弹性势能最大；⑺ 此后A 继续加速，B 继续减速，弹簧逐渐缩短至原长；⑻ 当弹簧再恢复至原长时，弹性势能为零，A 的速度增至最大，B 的速度减至最小。

此后将重复上述过程。

上面我们从受力和运动的角度，分析了弹簧的运动情景。

如果两物体是在光滑水平面上运动，系统的动量守恒；在这个过程中只有两物体的动能和弹簧弹性势能的相互转化；因此，我们可以从动量和能量的角度来分析问题。

设任意时刻A 、B 的速度分别为A v 、B v ，弹簧的弹性势能为p E 。

由动量守恒可得：0A A A B B m v m v m v =+；由能量守恒可得：2220p 111222A A AB B m v m v m v E =++；由此可以求解整个运动过程中各种速度及弹性势能的极值问题，具体结果请同学们自己分析。

**************************************************************************************** 例题说明：例1、例2侧重对运动过程的分析，可以利用碰撞模型的结论对结果进行分析；例3结合图象分析运动过程并进行简单计算，此题只要求会读取有用信息即可，不要求学生明白为什么图象是这样的，因此不涉及简谐振动内容；例4计算速度及弹性势能等的极值；例5是简单变式，但本质仍是动量能量双守恒；例6、例7是涉及多物体多过程的问题。

挑战极限部分的两道题难度较大，例8设问比较特别，需要通过假设进行推理；例9是竖直方向的弹簧模型，运动情景比较复杂，需要分析清楚动量——弹簧与圆弧轨道问题知识点睛例题精讲对比碰撞模型，我们会发现：从初始到弹簧压缩到最短的过程，实际上是一个完全非弹性碰撞的过程；从初始到弹簧第一次恢复原长过程，实际上是一个弹性碰撞的过程；两个模型所列出的动量、能量守恒方程类似（只是非弹性碰撞过程中损失的能量表现为弹性势能），因此我们可以直接套用上一讲碰撞问题中得出的结果。

运动过程才能正确求解。

**************************************************************************************** 【例1】如图所示，a 、b 两物体质量相等，b 上连有一轻质弹簧，且静止在光滑的水平面上，当a 以速度v 通过弹簧与b 正碰，则 A ．当弹簧压缩量最大时，a 的动能恰好为零B ．当弹簧压缩量最大时，弹簧具有的弹性势能等于物体a 碰前动能的一半C ．碰后a 离开弹簧，a 被弹回向左运动，b 向右运动D ．碰后a 离开弹簧，a 、b 都以2v的速度向右运动【答案】 B【例2】 在足够大的光滑水平面上放有两物块A 和B ，已知A B m >m ，A 物块连接一个轻弹簧并处于静止状态，B 物体以初速度0v 向着A 物块运动，在B 物块与弹簧作用过程中（B 与弹簧接触后不再分开），两物块在同一条直线上运动，下列判断正确的是 A ．弹簧恢复原长时，B 物块的速度为零B ．弹簧恢复原长时，B 物块的速度不为零，且方向向右C ．在弹簧压缩过程中，B 物块动能先减小后增大D ．在与弹簧相互作用的整个过程中，B 物块的动能先减小后增大【答案】 D【例3】 如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为1m 和2m 的两物块A 、B 相连接，并静止在光滑的水平面上。

现使A 瞬时获得水平向右的速度3m/s ，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图象信息可得A ．在1t 、3t 时刻两物块达到共同速度1m/s ，且弹簧都是处于压缩状态B ．从3t 到4t 时刻弹簧由压缩状态恢复到原长C ．两物体的质量之比为12:1:2m m =D ．在2t 时刻A 与B 的动能之比为k1k2:1:8E E =【答案】 C D**************************************************************************************** 例题说明：例3只要求会读取有用信息即可，不要求学生理解为什么图象是这样的。

如果有的学生理解能力较强，老师可以再补充一道物块弹簧模型的v t -图象的题，此题完全讲白有难度，老师根据情况选用。

【补充1】如图所示，在足够大的光滑水平面上放有质量相等的物块A 和B ，其中A 物块连接一个轻弹簧并处于静止状态，物块B 以速度0v 向着物块A 运动。

当物块与弹簧作用时，两物块在同一条直线上运动。

则物块A 、B 与弹簧相互作用的过程中，两物块A 和B 的v t -图象正确的是【答案】 D****************************************************************************************【例4】 如图所示，A 车质量为m ，沿光滑水平面以速度1v 向质量为3m 的静止的B 车运动，A 车撞上B 车后面的弹簧将弹簧压缩并与弹簧连接在一起，求在此后的运动过程中： ⑴ 弹簧的最大弹性势能； ⑵ B 车的最大速度。

【答案】 ⑴2p 138E mv = ⑵ 112v**************************************************************************************** 【补充2】如图所示，在光滑的水平面上，物体B 原来静止，在物体B 上固定一个轻弹簧，物体A 以某一速度沿水平方向向右运动，通过弹簧与物体B 发生作用，若两物体的质量相等，在作用过程中弹簧获得的最大弹性势能为p E ；现将B 的质量加倍，再使物体A 以同样的速度通过弹簧与物体B 发生作用（作用前物体B 仍静止），在作用过程中弹簧获得的最大弹性势能为pE '，那么 A ．p p:2:1E E '= B ．p p :3:4E E '= C ．p p:4:3E E '= D ．p p :1:2E E '= 【答案】 B****************************************************************************************【例5】 如图所示，A 、B 两滑块的质量均为m ，分别穿在光滑的足够长的水平固定导杆上，两导杆平行，间距为d 。

用自然长度也为d 的轻弹簧连接两滑块。

开始时两滑块均处于静止状态，今给滑块B 一个向右的瞬时冲量I ，求以后滑块A 的最大速度。

【答案】 m Iv m=【例6】 如图，A 、B 、C 三个木块的质量均为m ，置于光滑的水平面上。

B 、C 之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触但不相接，将弹簧压紧到不能再压缩时，用细线把B 、C 紧连，使弹簧不能伸展，以至于B 、C 可视为一个整体。

现A 以速度0v 沿BC 的连线方向朝B 运动，与B 相碰并粘合在一起，以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C 与A 、B 分离。

已知C 离开弹簧后的速度恰为0v ，求弹簧释放的势能。

【答案】 2013mv【例7】如图所示，物块A B C 、、静止在光滑的水平面上，三者的质量均为2kg m =。

轻弹簧的左端与A 连接，右端与B 连接。

弹簧处于原长，B 和C 紧靠在一起（不粘连）。

现给物块A 方向水平向右、大小为06m/s v =的初速度，在以后的运动过程中物块A B 、没有相碰，求弹簧被拉伸最长时的弹性势能（设弹簧处于原长时的弹性势能为零）。

【答案】 18J【例8】 如图所示，滑块A 、B 的质量分别为1m 与2m ，12m m <，由轻质弹簧相连接置于水平的气垫导轨上，用一轻绳把两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态后绑紧。

两滑块一起以恒定的速率0v 向右滑动，突然轻绳断开。

当弹簧伸至本身的自然长度时，滑块A 的速度正好为0。

求： ⑴ 绳断开到第一次恢复自然长度的过程中弹簧释放的弹性势能P E ；⑵ 在以后的运动过程中，滑块B 是否会有速度为0的时刻?试通过定量分析证明你的结论【答案】 ⑴ 21120P 2()2m m m v E m += ； ⑵ 不可能出现滑块B 的速度为0的情况【例9】 质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。

平衡时，弹簧的压缩量为0x ，如图所示。

一物块从钢板正上方距离为03x 的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。

它们到达最低点后又向上运动。

已知物块质量也为m 时，它们恰能回到O 点。

若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块与钢板回到O 点时，还具有向上的速度。

求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离。

【答案】 012x**************************************************************************************** 教师版说明：下面再补充一道高考题，此题与前面讲义上的类型不太一样，知识的综合性较强，但整体难度不如挑战极限部分的两道题目，老师可以根据情况选用。

【补充3】光滑水平面上放着质量，1kg A m =的物块A 与质量2kg B m =的物块B ，A 与B 均可视为质点，A 靠在竖直墙壁上，A 、B 间夹一个被压缩的轻弹簧（弹簧与A 、B 均不拴接），用手挡住B 不动，此时弹簧弹性势能P 49J E =。

在A 、B 间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示。