勾股定理单元测试题(有答案)
勾股定理单元测试题(内含答案)
勾股定理测试题一、相信你的选择1、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为（）．A．16πB．12πC．10πD．8π2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）．A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m4、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm二、试试你的身手5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且2a ＝3b ，c ＝213，则a ＝_____，b ＝_____．6、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）．7、如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______．8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元．三、挑战你的技能如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A 的仰角为30°，已知侧角仪高DC ＝， BC ＝30米，请帮助小明计算出树高AB ．（3取，结果保留 三个有效数字）参考答案与提示一、相信你的选择 150o 20米30米1、D （提示：在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2－BC 2＝172－152＝82，∴AB ＝8．∴S 半圆＝21πR 2＝21π×（28）2＝8π．故选D ）；2、C （提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7，故选C ）；3、A （提示：移动前后梯子的长度不变，即Rt △AOB 和Rt △A ′OB ′的斜边相等．由勾股定理，得32＋B ′O 2＝22＋72，B ′O ＝44，6＜B ′O ＜7，则O ＜BB ′＜1．故应选A ）；4、D （提示：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17cm ，最短长度为8cm ，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h ≤24－8，即7cm≤h ≤16cm ，故选D ）．二、试试你的身手5．a ＝b ，b ＝4（提示：设a ＝3k ，b ＝2k ，由勾股定理，有 （3k ）2＋（2k ）2＝（213）2，解得a ＝b ，b ＝4．）；6．43（提示：做矩形两边的垂线，构造Rt △ABC ，利用勾股定理，AB 2＝AC 2＋BC 2＝192＋392＝1882，AB ≈43）；7．（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC 中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝．故AD ＝226.36-＝）；8、150a ．三、挑战你的技能10、解析：构造直角三角形，利用勾股定理建立方程可求得．过点D作DE⊥AB于点E，则ED＝BC＝30米，EB＝DC＝米．设AE＝x 米，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，则AD＝2x．由勾股定理得：AE2＋ED2＝AD2，即x2＋302＝（2x）2，解得x＝103≈．∴AB＝AE＋EB≈＋≈（米）．答：树高AB约为米．。
第十七章 勾股定理单元检测试题（含解析）
第十七章勾股定理检测试题（含解析）（考试时间60分钟，总分100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（）A．3cm，4cm，5cm B．2cm，2cm，2cm C．2cm，5cm，6cm D．5cm，12cm，13cm2.已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（）A．该命题为假命题B．该命题为真命题C．该命题的逆命题为真命题D．该命题没有逆命题3. 在△ABC中，AC2﹣AB2＝BC2，那么（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．不能确定4. 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121 B．120 C．90 D．不能确定5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝，则BC的长等于（）A．B．2 C．1 D．第5题图第6题图第7题图6.如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝64，S3＝289，则S2为（）A．15 B．225 C．81 D．257. 如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c8.如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m9. 已知钝角三角形的三边为2、3、4，该三角形的面积为（）A．B．C．D．10.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF第8题图第10题图第14题图二、填空题（每小题4分，共24分）11. 如果三角形的三边分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为．12. 下列各组数：①1、2、3；②6、8、10；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41；其中是勾股数的有（填序号）．13.在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0）与点B（0，2）的距离是．14.如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．15. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈＝10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为．16. 如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得PP1＝1；连接OP1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，连接OP2，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，连接OP3，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2019＝．第15题图第16题图三、解答题（17-19每题8分，20每题10分，21题12分，共46分）17. 将Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的三条边．（1）已知a＝，b＝3，求c的长．（2）已知c＝13，b＝12，求a的长．18.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝5，BD＝4，CD＝．（1）求AD的长．（2）求△ABC的周长．19. 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm，AB＝13cm，BC＝12cm，求这个四边形的面积？20.如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC＝0.4米），则梯脚B将外移（即BD长）多少米？21.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB 上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？22.在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．参考答案：一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（）A．3cm，4cm，5cm B．2cm，2cm，2cm C．2cm，5cm，6cm D．5cm，12cm，13cm【分析】欲判断是否为直角三角形，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，不符合题意；B、22+22＝（2）2，能构成直角三角形，不符合题意；C、22+52≠62，不能构成直角三角形，符合题意；D、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．2.已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（）A．该命题为假命题B．该命题为真命题C．该命题的逆命题为真命题D．该命题没有逆命题【考点】命题与定理．【分析】首先判断该命题的正误，然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选项．【解答】解：等边三角形是等腰三角形，正确，为真命题；其逆命题为等腰三角形是等边三角形，错误，为假命题，故选B．3. 在△ABC中，AC2﹣AB2＝BC2，那么（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．不能确定【分析】先把AC2﹣AB2＝BC2转化为AC2＝AB2+BC2的形式，再由勾股定理的逆定理可判断出△ABC 是直角三角形，再根据大边对大角的性质即可作出判断．【解答】解：∵AC2﹣AB2＝BC2，∴AC2＝AB2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠B＝90°．故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4. 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121 B．120 C．90 D．不能确定【解答】解：设另一直角边为a，斜边为a+1．根据勾股定理可得，（a+1）2﹣a2=92．解之得a=40．则a+1=41，则直角三角形的周长为9+40+41=90．故选C．5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝，则BC的长等于（）A．B．2 C．1 D．【分析】根据含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可知BC＝AB，再根据勾股定理即可求出BC的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB，∵AC＝，∴AC2+BC2＝AB2，∴（）2+BC2＝4BC2，解得：BC＝，故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．6.如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝64，S3＝289，则S2为（）A．15 B．225 C．81 D．25【分析】根据正方形的面积公式求出BC、AB，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵S1＝64，S3＝289，∴BC＝8，AB＝17，由勾股定理得，AC＝＝15，∴S2＝152＝225，故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．7. 如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c【分析】先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．【解答】解：根据勾股定理，得a＝＝；b＝＝；c＝＝．∵5＜10＜13，∴b＜a＜c．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理及比较无理数的大小，属中学阶段的基础题目．8.如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m∴AB＝＝＝8（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）．故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系9. 已知钝角三角形的三边为2、3、4，该三角形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：过点B作BD⊥AC于点D，设BD=x，CD=y，则AD=4﹣y，故在Rt△BDC中，x2+y2=32，故在Rt△ABD中，x2+（4﹣y）2=22，故9+16﹣8y=4，解得：y=，∴x2+（）2=9，解得：x=，故三角形的面积为：×4×=．故选：D．10.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB2＝22+22＝8，CD2＝22+42＝20，EF2＝12+22＝5，GH2＝22+32＝13．因为AB2+EF2＝GH2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．故选：B．【点评】考查了勾股定理逆定理的应用．二、填空题（每小题4分，共24分）11. 如果三角形的三边分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为90°．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得答案．【解答】解：∵（）2+22=（）2，∴此三角形是直角三角形，∴这个三角形的最大角的度数为90°，故答案为：90°．12. 下列各组数：①1、2、3；②6、8、10；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41；其中是勾股数的有②④（填序号）．【分析】勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．【解答】解：①1、2、3不属于勾股数；②6、8、10属于勾股数；③0.3、0.4、0.5不属于勾股数；④9、40、41属于勾股数；∴勾股数只有2组．故答案为：②④【点评】本题考查了勾股数的定义，注意：作为勾股数的三个数必须是正整数，一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．13.在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0）与点B（0，2）的距离是．【解答】解：点A（﹣1，0）与点B（0，2）的距离是：=．故答案填：．14.如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．【分析】本题关键是求出路长，即三角形的斜边长．求两直角边的和与斜边的差．【解答】解：根据勾股定理可得斜边长是＝5m．则少走的距离是3+4﹣5＝2m，∵2步为1米，∴少走了4步，故答案为：4．【点评】本题就是一个简单的勾股定理的应用问题．15. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈＝10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为．【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52＝（x+1）2，再解即可．【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，则x+1＝13，答：水深12尺，芦苇长13尺，故答案为：x2+52＝（x+1）2．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．16. 如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得PP1＝1；连接OP1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，连接OP2，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，连接OP3，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2019＝．【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．【解答】解：∵OP1＝，由勾股定理得：OP2＝＝，OP3＝＝，…OP2019＝2020，故答案为：2020．【点评】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．三、解答题（17-19每题8分，20每题10分，21题12分，共46分）17. 将Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的三条边．（1）已知a＝，b＝3，求c的长．（2）已知c＝13，b＝12，求a的长．【分析】（1）利用勾股定理计算c边的长；（2）利用勾股定理计算a边的长；【解答】解：（1）∵∠C＝90°，a＝，b＝3．∴c＝＝4（2））∵∠C＝90°，c＝13，b＝12，∴a＝＝5【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，属于基础题．18.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝5，BD＝4，CD＝．（1）求AD的长．（2）求△ABC的周长．【分析】（1）根据勾股定理求出AD；（2）根据勾股定理求出AC，计算即可．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD＝＝3；（2）在Rt△ACD中，AC＝＝2，则△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5+4++2＝9+3．【点评】本题考查的是勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．19. 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm，AB＝13cm，BC＝12cm，求这个四边形的面积？【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，在△ABC中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD的面积．【解答】解：连接AC，∵AD＝4cm，CD＝3cm，∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5（cm）∴S△ACD＝CD•AD＝6（cm2）．在△ABC中，∵52+122＝132即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即∠ACB＝90°，∴S△ABC＝AC•BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝30﹣6＝24（cm2）．答：四边形ABCD的面积为24cm2．【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式．掌握勾股定理及其逆定理，连接AC，说明△ABC是直角三角形是解决本题的关键．20.如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC＝0.4米），则梯脚B将外移（即BD长）多少米？【分析】直接利用勾股定理得出AE，DE的长，再利用BD＝DE﹣BE求出答案．【解答】解：由题意得：AB＝2.5米，BE＝0.7米，∵在Rt△ABE中∠AEB＝90°，AE2＝AB2﹣BE2，∴AE＝＝2.4（m）；由题意得：EC＝2.4﹣0.4＝2（米），∵在Rt△CDE中∠CED＝90°，DE2＝CD2﹣CE2，∴DE＝＝1.5（米），∴BD＝DE﹣BE＝1.5﹣0.7＝0.8（米），答：梯脚B将外移（即BD长）0.8米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．21.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB 上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解答】解：（1）海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB∴300×400＝500×CD∴CD＝＝240（km）∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响．（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，∵ED＝＝70（km），∴EF＝140km∵台风的速度为20km/h，∴140÷20＝7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7小时．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．22.在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．【考点】勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质．【分析】根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．【解答】解：∵AC=4，BC=2，AB=，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．分三种情况：如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．∵DE⊥CB（已知）∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定义），∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余），∵△ABD为等腰直角三角形（已知），∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定义），∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定义），∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），在△ACB与△BED中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已证），∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形对应边相等），∴CE=6（等量代换）根据勾股定理得：CD=2；如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．∵BC⊥CA（已知）∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定义）∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余）∵△ABD为等腰直角三角形（已知）∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定义）∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定义）∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）在△ACB与△DEA中，∵∠ACB=∠DEA（已证）∠CAB=∠EDA（已证）AB=DA（已证）∴△ACB≌△DEA（AAS）∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形对应边相等）∴CE=6（等量代换）根据勾股定理得：CD=2；如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°，∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF，∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，∴△AFD≌△DEB，则ED=AF，由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，则四边形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4，设DF=x，则BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF﹣DF=4﹣x，则2+x=4﹣x，解得：x=1，故EC=DE=3，则CD=3．。
第十七章《勾股定理》单元同步检测试题及答案
第十七章《勾股定理》单元检测题题号 一 二 三总分 19 20 21 22 23 24分数一、选择题(每小题3分，共30分)1.分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；⑤321，421，521.其中能构成直角三角形的有（ ）组 A.2B.3C.4D.52.已知△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则它的三条边之比为（ ） A.1∶1∶2 B.1∶3∶2 C.1∶2∶3 D.1∶4∶1 3．如图所示，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是( )A .5＋1B ．－5＋1C .5－1D . 54.已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个内角度数之比为3∶4∶5；③三边长分别为7，24，25；④三边长之比为5∶12:13.其中直角三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ）A.600米B.800米C.1000米D.不能确定6.如图1所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1＝5.2米，L 2＝6.2米，L 3＝7.8米，L 4＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ） A.L 1 B.L 2 C.L 3 D.L 47．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m 的B 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 的A 处，则旗杆折断部分AB 的高度是（ ） A ．5mB ．12mC ．13mD ．18m7题图 8题图8．如图，P 为等腰△ABC 内一点，过点P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，已知AB=AC =10，BC =12，且PD ︰PE ︰PF =1︰3︰3，则AP 的长为（ ） A ．43B ．203C ．7D ．89．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝40，CB ＝9，M ，N 在AB 上且AM ＝AC ，BN ＝BC ，则MN 的长为( )[来源:]A ．6B ．7C ．8D ．910．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距( )A ．25海里B ．30海里C ．35海里D ．40海里二、填空题(每小题4分，共24分)5m BCAD图111．如果梯子的底端离建筑物，那么长的梯子可以到达建筑物的高度是．12.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为____________ m.13．如图，三个正方形的面积分别为S1＝3，S2＝2，S3＝1，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，∠1＋∠2＝____________度．14．一个直角三角形的两边长分别为5 cm，12 cm，则这个直角三角形的第三边长为____________．15．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为____________．16．如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20，3，2，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是____________．17．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm 的木棍________放入(填“能”或“不能”)．18．如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为_______.三、解答题(共46分)19．(6分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5.(1)求△ABC的周长；(2)判断△ABC是否是直角三角形．20．(8分)如图，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向行了100 3 km到达B点，然后再沿北偏西30°方向行了100 km到达目的地C点，求出A，C两点之间的距离．21.(8分)如图，△ABC中，AB＝AC，D是AC边上的一点，CD＝1，BC＝5，BD ＝2.（1）求证：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面积．22．(8分)甲、乙两位探险者今年到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不至于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为12千米．如图，早晨8：00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进．上午10：00，甲步行到A，乙步行到B，问甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？23．(8分)如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m.若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？24．(8分)如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？参考答案一.选择题:题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C C B C B C C二.填空题:11．12.480 13.90 14.13 cm或119 cm9216.25 17.能 1841三.解答题:19.解：(1)∵AD⊥BC，∴△ABD和△ACD均为直角三角形．∴AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2.又∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，∴AB＝20，AC＝13.∴△ABC的周长为20＋13＋16＋5＝54.(2)由(1)知AB＝20，AC＝13，BC＝21，∵AB2＋AC2＝202＋132＝569，BC2＝212＝441，∴AB2＋AC2≠BC2.∴△ABC不是直角三角形．20．解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝60°.又∵∠CBF＝30°，∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△ABC中，AB＝1003km，BC＝100 km，∴AC＝AB2＋BC2＝（1003）2＋1002＝200(km)，∴A，C两点之间的距离为200 km.21．（1）证明：∵CD＝1，BC＝5，BD＝2，∴CD2＋BD2＝BC2.∴△BDC是直角三角形．（2）设AB＝AC＝x，在Rt△ADB中，∵AB2＝AD2＋BD2，∴x2＝（x－1）2＋22.解得x＝52.∴AC＝52.∴S△ABC＝12AC·BD＝12×52×2＝52.22．解：∵早晨8：00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进，∴上午10：00时，OA＝8千米，OB＝6千米，(3分)∴AB＝82＋62＝10(千米)＜12千米，(6分)∴甲、乙二人相距10千米，还能保持联系．(8分)23．解：如图，连接BD.(1分)∵∠A＝90°，AB＝3m，AD＝4m，∴在Rt△ABD 中，由勾股定理得BD2＝AB2＋AD2＝32＋42＝52，即BD＝5m.在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，BD2＝52，∵122＋52＝132，即BC2＋BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°.(5分)故S四边形ABCD ＝S△BAD＋S△DBC＝12·AD·AB＋12DB·BC＝12×4×3＋12×5×12＝36(m2)．(7分)∴学校需投入的资金为36×200＝7200(元)．(9分)答：学校需要投入7200元购买草皮．(10分)24．解：根据题意，得PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），QR＝30（海里），∵242+182＝302，即PQ2+PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°．由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，则∠SPR＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．。
八年级数学下册《勾股定理》单元测试卷(带答案解析)
八年级数学下册《勾股定理》单元测试卷(带答案解析)一、单选题1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=√10，则BC的长为()A. 3√3B. √5+1C. √10−1D. √10+12.下列长度的线段中，能组成直角三角形的一组是()A. 1，√3，2B. 2，3，4C. 4，5，6D. 5，6，73.如图，在ΔABC中，三边a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<a<c4.下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是()A. 3，5，7B. 5，7，8C. 4，6，7D. 1，√3，2，则AC的长为()5.如图，点A，B都在格点上，点C在线段AB上，每个小格长度为1，若BC=2√133A. √13B. 4√13C. 2√13D. 3√1336.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=√2，则线段BN的长为()B. √2C. 1D. 2−√2A. √227.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，则原点到直线AB的距离是()A. 2B. 2.4C. 2.5D. 38.等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是()A. 3√7B. 8√2C. 6√7D. 3√7或8√29.如图，一只蚂蚁从长宽高分别是3，2，6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是()A. √61B. 11C. 7D. 810.若一个三角形的三边长分别为a，b，c，满足(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，则这个三角形的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定二、填空题11.如图，直角三角形的两直角边长分别为6 cm和8 cm，分别以三边为直径作半圆，则阴影部分的面积为_______________.12.已知直角三角形的三边长分别为6，7，x，则x2=_______________.13.△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=6，则AC的长是 ______.14.如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，已知：AB =15，AD =12，AC =13，CD =5，则BC 的长为 ______.15.如图，学校有一块长方形花圈，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草，则他们仅仅少走了 ______步路．(假设2步为1米)16.ΔABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =3.以BC 为边作等边ΔBCD ，连接AD ，则AD 的长为____．17.如图，P 是∠AOB 的平分线OC 上一点，PD ⊥OB ，PE ⊥OA ，垂足分别为D ，E ，若PD =3，则PE 的长是 ______.18.如图，等腰ΔABC 的底边BC =20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF =3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则ΔCDF 周长的最小值为______．三 、解答题19.在数轴上表示下列各数，并用“<”连接.−12，0，√3，√−83，(−1)2.20.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”．(1)如图，在△ABC中，AB=AC=2√5，BC=4，求证：△ABC是“奇妙三角形”；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2√3，若△ABC是“奇妙三角形”，求BC的长．21.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．(1)线段AB的长是______；(2)在图中画出一条线段EF，使EF的长为√13，并判断AB、CD、EF三条线段的长能否成为一个直角三角形三边的长？说明理由．22.如图，某工人在两墙AB，CD之间施工(两墙与地面垂直)，架了一架长为2.5m的梯子DE，此时梯子底端E距离墙角C点O.7m，由于E点没有固定好，向后滑动到墙角B处，使梯子顶端D沿墙下滑了0.4m到F处，求梯子底端E向后滑动的距离BE的长．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6.BE平分∠ABC交AC于点E.求CE的长．24.如图，矩形ABCD是一个底部直径BC为12cm的杯子的示意图，在它的正中间竖直放一根筷子EG，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时(筷子底端E不动)，筷子顶端正好触到杯口，求筷子EG的长度．25.请阅读下列材料：已知：如图(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE= 45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图(2)，其它条件不变，(1)中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图(3)，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．参考答案与解析1.【答案】D;【解析】解：在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=√AD2−AC2=√10−9=1，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD，∵∠ADC=2∠B，∴∠B=∠BAD，∴BD=AD=√10，∴BC=√10+1.故选：D.由勾股定理求出CD=1，再根据∠ADC是△ABD的外角，证出∠B=∠BAD，从而有BD=AD，即可求出BC的长．此题主要考查了勾股定理、三角形外角的性质等知识，利用外角证出∠B=∠BAD是解答该题的关键．2.【答案】A;【解析】解：A、∵12+(√3)2=22，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；B、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵52+62≠72，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：A.由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．此题主要考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答该题的关键．3.【答案】D;【解析】解：根据勾股定理，得a=√1+9=√10；b=√1+4=√5；c=√4+9=√13.∵5<10<13，∴b<a<c.故选：D.先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．此题主要考查了勾股定理及比较无理数的大小，属中学阶段的基础题目．4.【答案】D;【解析】解：A、因为32+52≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；B、因为52+72≠82，所以不能构成直角三角形，此选项错误；C、因为42+62≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；D、因为12+(√3)2=22，能构成直角三角形，此选项正确．故选D.分别计算每一组中，较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就是直角三角形，否则就不是直角三角形．此题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．5.【答案】B;【解析】解：∵点A，B都在格点上，点C在线段AB上，每个小格长度为1，∴AB=√62+42=2√13，∵BC=2√133，∴AC=AB−BC=2√13−2√133=4√133，即AC的长为4√133，故选：B.由勾股定理求出AB的长，即可得出结论．此题主要考查了勾股定理，由勾股定理求出AB的长是解答该题的关键．6.【答案】C;【解析】解：过M点作MH⊥AC于H点，∵四边形ABCD是正方形，∴∠HAM=45°．∴ΔHAM是等腰直角三角形，∴HM=√22AM=1．∵CM平分∠ACB，MH⊥AC，MB⊥CB，∴BM=HM=1，∠ACM=∠BCN．∵∠BMN=45°+∠ACM，∠BNM=45°+∠BCM，∴∠BMN=∠BNM．∴BN=BM=1．故选：C．过M点作MH⊥AC于H点，在等腰直角ΔHAM中可求HM=√22AM=1，根据角平分线的性质可得BM=MH=1，再证明BN=BM即可．这道题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质，解决这类问题一般会利用到正方形对角线平分90°得到等腰直角三角形，涉及角平分线时作角两边的垂线段是常见辅助线．7.【答案】B;【解析】解：∵点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，∴OA=3，OB=4，∴AB=5，ΔAOB是直角三角形，∴O到AB的距离为3×45=125；故选：B．由ΔAOB是直角三角形，利用直角三角形面积相等，将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高求解；该题考查坐标平面内点的特征；将将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高是解答该题的关键；8.【答案】D;【解析】该题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解答该题的关键．因为已知长度为4和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解：①当4为底时，其它两边都为6，4、6、6可以构成三角形，底边上的高为√62−22=4√2，∴等腰三角形的面积=12×4×4√2=8√2；②当4为腰时，其它两边为4和6，∵4+4>6，∴4、4、6能构成三角形．∴底边上的高为=√42−32=√7，∴等腰三角形的面积=1×√7×6=3√7．2故选D．9.【答案】A;【解析】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．(1)展开前面右面由勾股定理得AB2=(3+2)2+62=61；(2)展开前面上面由勾股定理得AB2=(2+6)2+32=73；(3)展开左面上面由勾股定理得AB2=(3+6)2+22=85.所以最短路径的长为AB=√61(cm).故选：A.把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．此题主要考查了平面展开−最短路径问题及勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．10.【答案】B;【解析】解：∵(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，∴a−3=0，b−4=0，c−5=0，解得：a=3，b=4，c=5，则a2+b2=c2，故这个三角形的形状是直角三角形；故选：B.利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可．此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形．11.【答案】24cm2;【解析】略12.【答案】85或13;【解析】略13.【答案】2√7;【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=6，则AC=√AB2−BC2=√82−62=2√7，故答案为：2√7.根据勾股定理计算即可．此题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.14.【答案】14;【解析】解：∵AD=12，AC=13，CD=5，∴AC2=169，AD2+CD2=144+25=169，即AD2+CD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，且∠ADC=90°，∴∠ADB=90°，∵AB=15，AD=12，∴BD=√AB2−AD2=√152−122=9，∴BC=BD+CD=9+5=14.故答案为：14.在△ADC中，由三边长，利用勾股定理的逆定理判断出△ADC为直角三角形，可得出AD与BC垂直，在直角三角形ABD中，由勾股定理求出BD，再根据线段的和差关系即可求解．此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．15.【答案】4;【解析】解：由勾股定理，得路长=√32+42=5(m)，少走(3+4−5)×2=4步，故答案为：4.根据勾股定理，可得答案．此题主要考查了勾股定理，利用勾股定理得出路的长是解题关键．16.【答案】3或3√7;【解析】该题考查了勾股定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质是解答的关键.本题分两种情况，①D在AB边上，由直角三角形的性质解答即可；②D在三角形外面，由等边三角形的性质得出三角形ΔBCE和ΔDCA全等的条件，得出ΔBCE≌ΔDCA，推出BE=AD，由勾股定理得出BE，也就得出AD 了．解：分两种情况：①如图所示：D在AB边上，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，∴AD=CD=BC=3；②D在三角形外面，以AC为边做等边ΔACE，连接BE，如图所示：∵ΔBCD和ΔACE是等边三角形，∴BC=DC，CE=CA，∠BCD=∠ACE=60°，∴∠BCE=∠DCA=60°+90°=150°，∴ΔBCE≌ΔDCA，∴BE=AD，∵在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，∴AB=2BC=6，AC=√AB2−BC2=3√3，∵ΔACE为等边三角形，∴∠CAE=60°，AE=3√3，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，∴BE=√AB2+AE2=√62+(3√3)2=3√7，∴AD=BE=3√7，综上所述，AD=3或3√7．故答案为3或3√7．17.【答案】3;【解析】解：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD，∵PD=3，∴PE=3.故答案为：3.根据角平分线的性质定理可得答案．此题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．18.【答案】18;【解析】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵1⋅BC⋅AH=120，2∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF=√AH2+HF2=√122+52=13，∴DF+DC的最小值为13．∴ΔCDF周长的最小值为13+5=18；故答案为18．如图作AH⊥BC于H，连接AD.由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；该题考查轴对称−最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解答该题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：√3≈1.73，√−83=-2，（-1）2=1，在数轴上表示如下：∴√−83＜-12＜0＜（-1）2＜√3．; 【解析】根据实数的符号和绝对值，在数轴上表示即可；依据数轴表示数的特征，右边的数总比左边的大，比较大小．此题主要考查数轴表示数的意义和方法，理解符号和绝对值是确定实数的两个必要条件．20.【答案】（1）证明：过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=12BC=2，由勾股定理得，AD=√AB 2−BD 2=4，∴AD=BC ，即△ABC 是“奇妙三角形”；（2）解：当AC 边上的中线BD 等于AC 时，BC=√BD 2−CD 2=3，当BC 边上的中线AE 等于BC 时，AC 2=AE 2-CE 2，即BC 2-（12BC ）2=（2√3）2， 解得BC=4．综上所述，BC 的长是3或4．;【解析】(1)过点A 作AD ⊥BC 于D ，根据等腰三角形的性质求出BD ，根据勾股定理求出AD ，根据“奇妙三角形”的定义证明；(2)分AC 边上的中线BD 等于AC ，BC 边上的中线AE 等于BC 两种情况，根据勾股定理计算．此题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.21.【答案】null;【解析】解：(1)线段AB的长是：√12+22=√5；故答案为：√5；(2)如图所示：EF即为所求，AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长理由：∵AB2=(√5)2=5，DC2=8，EF2=13，∴AB2+DC2=EF2，∴AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长．(1)直接利用勾股定理得出AB的长；(2)直接利用勾股定理以及勾股定理逆定理分析得出答案．此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确结合网格分析是解题关键．22.【答案】解：由题意得：∠DCE=90°，BF=DE=2.5m，CE=0.7m，DF=0.4m，在Rt△DCE中，由勾股定理得：DC=√DE2−CE2=√2．52−0．72=2.4（m），∴CF=DC-DF=2.4-0.4=2（m）在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF=√BF2−CF2=√2．52−22=1.5（m），∴BE=BC-CE=1.5-0.7=0.8（m），答：梯子底端E向后滑动的距离BE的长为0.8m．;【解析】由勾股定理得DC=2.4m，再由勾股定理得BC=1.5m，即可得出结论．此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理．23.【答案】解：如图，过E作ED⊥AB于D，∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴EC⊥BC，AC=√AB2−BC2=√102−62=8，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∴CE=DE，在Rt△BDE和Rt△BCE中，{DE=CEBE=BE，∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），∴BD=BC=6，∴AD=AB-BD=10-6=4，设CE=DE=x，则AE=AC-CE=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：42+x2=（8-x）2，解得：x=3，即CE的长为3．;【解析】过E作ED⊥AB于D，由勾股定理得AC=8，再证Rt△BDE≌Rt△BCE(HL)，得BD=BC=6，则AD= AB−BD=10−6=4，设CE=DE=x，则AE=AC−CE=8−x，然后在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．此题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解答该题的关键．24.【答案】解：设杯子的高度是x cm，则筷子的高度为（x+2）cm，∵杯子的直径为12cm，∴DF=6cm，在Rt△DEF中，由勾股定理得：x2+62=（x+2）2，解得x=8，∴筷子EG=8+2=10cm．;【解析】设杯子的高度是xcm，则筷子的高度为(x+2)cm，在RtΔDEF中，利用勾股定理列出方程：x2+62=(x+ 2)2，解方程即可．此题主要考查了勾股定理的应用，运用方程思想是解答该题的关键，属于常考题．25.【答案】解：（1）DE2=BD2+EC2；（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，又∵AB=AC，∴AF=AC，∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠EAC，又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，即DE2=BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT=∠C=45°，AT=AE，∠TAE=90°，∵∠ABC=45°，∴∠TBC=∠TBD=90°，∵∠DAE=45°，∴∠DAT=∠DAE，∵AD=AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT=DE，∵DT2=DB2+EC2，∴DE2=BD2+EC2；（3）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD=DF，EF=BE．∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．;【解析】(1)DE2=BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；(2)根据(1)的思路一样可以解决问题；(3)当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与(1)类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD=DF，EF=BE.由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°，这样就可以解决问题．此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．。
八年级数学下册《第十七章-勾股定理》单元测试卷及答案(人教版)
八年级数学下册《第十七章-勾股定理》单元测试卷及答案(人教版)一 选择题(每小题3分 共30分)1. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A. √2 √3 √5B. 1.5C. 32 42 52D. 1 22. 点A(−3,−4)到原点的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 73. 有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )A. 5B. √7C. √5D. 5或√74．如果直角三角形两直角边的比为5∶12， 则斜边上的高与斜边的比为（ ） A 60∶13B 5∶12C 12∶13D 60∶1695. 若一直角三角形两边长分别为12和5 则第三边长为（ ） A ．13 B ．13或C ．13或15D ．156．一个圆桶底面直径为24cm ，高32cm ，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）A ．20cmB ．50cmC ．40cmD ．45cm7．如图 小明准备测量一段水渠的深度 他把一根竹竿AB 竖直插到水底 此时竹竿AB 离岸边点C 处的距离米．竹竿高出水面的部分AD 长0.5米 如果把竹竿的顶端A 拉向岸边点C 处 竿顶和岸边的水面刚好相齐 则水渠的深度BD 为（ ）A ．2米B ．2.5米C ．2.25米D ．3米1.5CD8.如图， “赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形 已知大正方形面积为25 (x +y)2=49 用x y 表示直角三角形的两直角边(x >y) 下列选项中正确的是( )A. 小正方形面积为4B. x 2+y 2=5C. x 2−y 2=7D. xy =249.如图，在△ABC 中 ∠C =90° AC =4 BC =2.以AB 为一条边向三角形外部作正方形 则正方形的面积是( )A. 8B. 12C. 18D. 2010.如图 在Rt △ABC 中 ∠ACB =90° AC =3 BC =4 BE 平分∠ABC CD ⊥AB 于D BE 与CD 相交于F 则CF 的长是( )A. 1B. 43C. 53D. 2二 填空题（每题3分 共24分）11．若一个三角形的三边之比为5：12：13 且周长为60cm 则它的面积为_____cm 2． 12．如图所示 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中最大的正方形的边长为7cm 正方形A B C 的面积分别是28cm 210cm 214cm 则正方形D 的面积是___________2cm ．13．在ABC中90C∠=︒AB=5 则222AB AC BC++=______．14.如图在△ABC中∠ABC=90° 分别以BC AB AC为边向外作正方形面积分别记为S1S2,S3若S2=4 S3=6则S1=__________.15.方程思想如图在Rt△ABC中∠C=90° BC=6cm AC=8cm 按图中所示方法将△BCD沿BD折叠使点C落在AB边的点C’处那么△ADC’的面积是_____cm2. 16．如图一架秋千静止时踏板离地的垂直高度DE＝0.5m将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m秋千的绳索始终拉直则绳索AD的长是m．17．如图小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC的高度他发现绳子刚好比旗杆长11米若把绳子往外拉直绳子接触地面A点并与地面形成30°角时绳子末端D距A点还有1米那么旗杆BC的高度为米．18．在△ABC中AB＝AC＝5 BC＝6．若点P在边AC上移动则BP的最小值是．三、解答题(满分46分,19题6分20 21 22 23 24题每题8分)19.小明将一副三角板如图所示摆放在一起发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长若已知CD=2求AC的长．20.如图折叠长方形的一边AD使点D落在边BC的点F处已知AB=8cm BC=10cm求(1)FC的长．(2)EF的长．21 (8分)如图已知∠ADC=90°AD=8 CD=6 AB=26 BC=24．（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．22．如图 在长方形中 点在边上 把长方形沿直线折叠 点落在边上的点处。
第3章《勾股定理》单元测试（含答案）
第3章《勾股定理》单元测试（含答案）第3章《勾股定理》单元测试（满分100分时间90分钟）⼀、单选题（共8题；共24分）1.要登上某建筑物，靠墙有⼀架梯⼦，底端离建筑物3m，顶端离地⾯4m，则梯⼦的长度为（）A.2mB.3mC.4mD.5m2.若直⾓三⾓形的两边长分别为a，b，且满⾜a2-6a+9+|b﹣4|=0，则该直⾓三⾓形的第三边长为（）A.5B.7C.4D.5或73.在△ABC中，AB=15，AC=13，⾼AD=12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或32D．37或334.⼀直⾓三⾓形两边分别为3和5，则第三边为（）A、4B、C、4或D、25.两只⼩鼹⿏在地下从同⼀处开始打洞，⼀只朝北⾯挖，每分钟挖8cm，另⼀只朝东⾯挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只⼩鼹⿏相距（）A.100cmB.50cmC.140cmD.80cm6.如图，阴影部分是⼀个长⽅形，它的⾯积是（）A、3cm2B、4cm2C、5cm2D、6cm27. 已知，如图长⽅形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长⽅形折叠，使点B 与点D重合，折痕为EF，则△ABE的⾯积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm28.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，⾯积分别记为S1、S2，则S1+S2等于________．A.3πB.2πC.6πD.4π⼆、填空题(每题3分，共30分)9. 如果三⾓形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长为.10.若⼀个三⾓形的三边长之⽐为5：12：13，且周长为60 cm，则它的⾯积为cm2.11.⼀根旗杆在离底部4.5⽶的地⽅折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6⽶处，则旗杆折断前⾼为______12.如图中阴影部分是⼀个正⽅形，如果正⽅形的⾯积为64厘⽶2，则x的长为___厘⽶．13.⼀个直⾓三⾓形，两直⾓边长分别为3和2，则三⾓形的周长为________．14.在RT△ABC中，∠ACB=90°，且c+a=9,c-a=4，则b=。
第17章《勾股定理》单元测试卷含答案解析
第17章《勾股定理》单元测试卷含答案解析参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A． 4 B．8 C．10 D．12分析：利用勾股定理即可解答．解答：解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，依照勾股定理列出方程：62+（x﹣2）2=x2，解得x=10，故选C．点评：本题考查了利用勾股定明白得直角三角形的能力．2．（3分）小丰的妈妈买了一部29英寸（74cm）的电视机，下列对29英寸的说法中正确的是（）A．小丰认为指的是屏幕的长度B．小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度C．小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长D．售货员认为指的是屏幕对角线的长度考点：勾股定理的应用．分析：依照电视机的适应表示方法解答．解答：解：依照29英寸指的是荧屏对角线的长度可知售货员的说法是正确的．故选D．点评：本题考查了勾股定理的应用，解题时了解一个常识：通常所说的电视机的英寸指的是荧屏对角线的长度．3．（3分）如图中字母A所代表的正方形的面积为（）A． 4 B．8 C．16 D．64考点：勾股定理．分析：依照勾股定理的几何意义解答．解答：解：依照勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，因此A=289﹣225=64．故选D．点评：能够运用勾股定理发觉并证明结论：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．运用结论能够迅速解题，节约时刻．4．（3分）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形考点：相似三角形的性质．分析：依照三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就能够求解．解答：解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．故选C．点评：本题要紧考查相似三角形的判定以及性质．5．（3分）一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D． 25cm考点：勾股定理．分析：设另一条直角边是a，斜边是c．依照另一条直角边与斜边长的和是49cm，以及勾股定理就能够列出方程组，即可求解．解答：解：设另一条直角边是a，斜边是c．依照题意，得，联立解方程组，得．故选D．点评：注意依照已知条件结合勾股定理列方程求解．解方程组的方法能够把①方程代入②方程得到c﹣a=1，再联立解方程组．6．（3分）适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4A．2个B．3个C．4个D． 5个考点：勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．分析：运算出三角形的角利用定义判定或在明白边的情形下利用勾股定理的逆定理判定则可．解答：解：①，依照勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是；②a=6，∠A=45不是成为直角三角形的必要条件，故不是；③∠A=32°，∠B=58°则第三个角度数是90°，故是；④72+242=252，依照勾股定理的逆定理是直角三角形，故是；⑤22+22≠42，依照勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是．故选A．点评：本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判定．7．（3分）在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形考点：勾股定理的逆定理；完全平方公式．分析：依照勾股定理的逆定理：假如三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么那个是直角三角形判定则可．假如有这种关系，那个确实是直角三角形．解答：解：∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，故选D．点评：本题利用了勾股定理的逆定理判定直角三角形，即已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．8．（3分）直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，那个三角形有一个锐角是（）A．15° B．30° C．45°D．60°考点：勾股定理．分析：依照斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，以及勾股定理能够列出两个关系式，直截了当解答即可．解答：解：设直角三角形的两直角边是a、b，斜边是c．依照斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到：2ab=c2，依照勾股定理得到：a2+b2=c2，因而a2+b2=2ab，即：a2+b2﹣2ab=0，（a﹣b）2=0∴a=b，则那个三角形是等腰直角三角形，因而那个三角形的锐角是45°．故选C．点评：已知直角三角形的边长问题，不要不记得三边的长，满足勾股定理．9．（3分）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D． 12cm2考点：勾股定理；翻折变换（折叠问题）．分析：依照折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就能够求解．解答：解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．∴BE=9﹣AE，依照勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．点评：本题考查了利用勾股定明白得直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．10．（3分）已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A动身向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A动身向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．35海里D． 40海里考点：勾股定理的应用；方向角．分析：依照方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后依照路程=速度×时刻，得两条船分别走了32，24．再依照勾股定理，即可求得两条船之间的距离．解答：解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里，依照勾股定理得：=40（海里）．故选D．点评：熟练运用勾股定理进行运算，基础知识，比较简单．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）（2008•湖州）利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分闻名的定理，那个定理称为勾股定理，该定理的结论其数学表达式是a2+b2=c2．考点：勾股定理的证明．专题：证明题．分析：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．解答：解：用图（2）较简单，如图正方形的面积=（a+b）2，用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．那个定理称为勾股定理．故答案为：勾股定理、a2+b2=c2．点评：本题是用数形结合来证明勾股定理，锤炼了同学们的数形结合的思想方法．12．（3分）如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为10．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．分析：依照等腰三角形的三线合一得BD=8，再依照勾股定理即可求出AB的长．解答：解：∵等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，∴BD=8，AB===10．点评：注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．13．（3分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的阻碍，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为480m．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定明白得答．解答：解：依照图中数据，运用勾股定理求得AB===480米．点评：考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．14．（3分）小华和小红都从同一点O动身，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB为15米．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：依照题意画出图形依照勾股定明白得答．解答：解：如图，在Rt△AOB中，∠O=90°，AO=9m，OB=12m，依照勾股定理得AB====15m．点评：本题专门简单，只要依照题意画出图形即可解答，表达了数形结合的思想．15．（3分）一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则那个三角形是直角三角形．考点：勾股定理的逆定理．分析：化简等式，可得a2+b2=c2，由勾股定理逆定理，进而可得其为直角三角形．解答：解：（a+b）2﹣c2=2ab，即a2+b2+2ab﹣c2=2ab，因此a2+b2=c2，则那个三角形为直角三角形．故答案为：直角．点评：考查了勾股定理逆定理的运用，是基础知识比较简单．16．（3分）木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，那个桌面合格（填”合格”或”不合格”）．考点：勾股定理的应用．分析：只要算出桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm是否符合勾股定理即可，依照勾股定理直截了当解答．解答：解：==68cm，故那个桌面合格．点评：本题考查的是勾股定理在实际中的应用，需要同学们结合实际把握勾股定理．17．（3分）直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为30cm2．考点：勾股定理．分析：依照勾股定理求得其另一直角边的长，再依照面积公式即可求得其面积．解答：解：∵直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，∴另一直角边==5cm，∴面积=×5×12=30cm2．点评：解决本题的关键是依照勾股定理求得另一直角边的长．18．（3分）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是那个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25．考点：平面展开-最短路径问题．分析：先将图形平面展开，再用勾股定理依照两点之间线段最短进行解答．解答：解：如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．故答案为25．点评：本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要依照题意判定出长方形的长和宽即可解答．三、解答题（共46分）19．（6分）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：依照题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．解答：解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E∵AB=13，CD=8又∵BE=CD，DE=BC∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5∴在Rt△ADE中，DE=BC=12∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169∴AD=13（负值舍去）答：小鸟飞行的最短路程为13m．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观看题目的信息是解题以及学好数学的关键．20．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC2的值．考点：勾股定理．分析：∵AD⊥BC于D，∴可得到两个直角三角形△ABD和△ADC，可利用勾股定理求得AD长，进而求得AC2的值．解答：解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°∵AB=3，BD=2∴AD2=AB2﹣BD2=5∵DC=1，∴AC2=AD2+DC2=5+1=6．点评：本题需注意最后求的是AC2，因此在运算过程中都保持线段的平方即可．21．（8分）小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要运算那个矩形鱼池的周长，你能关心小明算一算吗？考点：勾股定理的应用；二元一次方程组的应用；矩形的性质．专题：运算题．分析：依照矩形的面积公式得到长与宽的积，再依照勾股定理得到长与宽的平方和．联立解方程组求得长与宽的和可．解答：解：设矩形的长是a，宽是b，依照题意，得：，（2）+（1）×2，得（a+b）2=196，即a+b=14，因此矩形的周长是14×2=28m．点评：注意依照题意结合勾股定理联立解方程组，只需求得长与宽的和即可．22．（10分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范畴内是受台风阻碍的区域．（1）A城是否受到这次台风的阻碍？什么缘故？（2）若A城受到这次台风阻碍，那么A城遭受这次台风阻碍有多长时刻？考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC ＞200则A城不受阻碍，否则受阻碍；（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范畴内差不多上受台风阻碍，再依照速度与距离的关系则可求时刻．解答：解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，因此A城要受台风阻碍；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有AG=200千米．因为DA=AG，因此△ADG是等腰三角形，因为AC⊥BF，因此AC是DG的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD===120千米，则DG=2DC=240千米，遭受台风阻碍的时刻是：t=240÷40=6（小时）．点评：此题要紧考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时刻的关系等，较为复杂．四、创新探究题23．一只蚂蚁假如沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm．考点：平面展开-最短路径问题．分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直截了当的作法，确实是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．解答：解：如图：依照题意，如上图所示，最短路径有以下三种情形：（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；综上所述，最短路径应为（1）所示，因此AB′2=25，即AB′=5cm．点评：此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．。
勾股定理单元测试卷(含答案)
勾股定理单元测试卷一、选择题（每题2分，共10分）1. 勾股定理适用于哪种三角形？A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形2. 勾股定理中的两个直角边的平方和等于斜边的平方，斜边被称为：A. 勾B. 股C. 斜边D. 高3. 在直角三角形中，若直角边的长度分别为3和4，则斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 勾股定理的发现者是谁？A. 毕达哥拉斯B. 欧几里得C. 阿基米德D. 哥白尼A. a² + b² = c²B. c² = a² + b²C. a² b² = c²D. c² a² = b²二、填空题（每题2分，共10分）6. 勾股定理的公式是：__________。
7. 在直角三角形中，若直角边的长度分别为5和12，则斜边的长度是__________。
8. 勾股定理在中国被称为__________。
9. 勾股定理的发现时间大约在公元前__________年。
10. 勾股定理的发现者毕达哥拉斯是__________国人。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 已知直角三角形的两个直角边长度分别为8和15，求斜边的长度。
12. 在直角三角形中，若斜边的长度为17，且一个直角边的长度为8，求另一个直角边的长度。
13. 勾股定理的证明方法有很多种，请简述其中一种证明方法。
14. 请举例说明勾股定理在实际生活中的应用。
答案部分一、选择题答案1. B2. C3. A4. A5. C二、填空题答案6. a² + b² = c²7. 138. 勾三股四弦五9. 50010. 希腊三、解答题答案11. 斜边长度为17。
12. 另一个直角边的长度为15。
13. 勾股定理的证明方法有很多种，其中一种是通过面积证明。
将直角三角形分为两个小直角三角形和一个矩形，分别计算它们的面积，然后通过面积关系推导出勾股定理。
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(第6题)
A （第12题）
30
7米
5米
(考试时间120分钟 满分150分)
一、耐心填一填(每小题3分，共36分)
1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=___________；
2、如图,小明的爸爸在院子的门板上钉了 一个加固板,从数学的角度看, 这样做的 道理是 .
3、小明同学要做一个直角三角形小铁架，他现有4根长度分别为4cm 、6cm 、8cm 、10cm 的铁棒，可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是________________________；
4、若三角形三条边的长分别为7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度.
5、在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ∶b ＝3∶4，则ab ＝ ．
6、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则高AD=________；
7、等腰△ABC 的面积为12cm 2，底上的高AD ＝3cm ， 则它的周长为＿＿＿．
8、在Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，则AB 2+BC 2+CA 2＝＿＿＿．9、有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 ；
10、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．
11、一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是＿＿＿．
12、如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区 最大的一次台风，一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米 处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米， 则这棵大树折断前有__________ 米（保留到0.1米）。
二、精心选一选（每小题4分，共24分）
13、下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（ ） A 、 2、3、7 B 、5、4、8 C 、5、2、1 D 、2、3、
5
14、正方形ABCD 中，AC=4，则正方形ABCD 面积为（ ）
A 、 4
B 、8
C 、 16
D 、32 15、已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a,b,c ，若∠B=90○，则（ ）
A
B D C
A 、b 2= a 2+ c 2 ；
B 、c 2= a 2+ b 2；
C 、a 2+b 2=c 2；
D 、a +b =c
16、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ).
A 、钝角三角形
B 、锐角三角形
C 、直角三角形
D 、等边三角形
17、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍，得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为( )
A 、 直角三角形
B 、锐角三角形
C 、钝角三角形
D 、无法确定
18、一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端
5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是 （ ）
A 、 12米
B 、 13米
C 、 14米
D 、15米 三、决心试一试
19、（12分）如右图，等边△ABC 的边长6cm 。
①求高AD ②求△ABC 的面积
20、（12分）如图，ABC ∆中，35
90,12,,22
C C
D BD ∠=︒∠=∠=
=，求AC 的长。
d
a
b
D
C
B
A
N
O M
A
M
O
N
B
21、（12分）某菜农要修建一个塑料大棚，如图所示，若棚宽a=4m，高b=3m，长d=40m。
求覆盖在顶上（如右图阴影部分）的逆料薄膜的面积。
22、(12分)如图3-2，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD的面积.
23、（12分）如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端
距离墙ON有3米。
①求梯子顶端与地面的距离OA的长。
②若梯子顶点A下滑1米到C点，
求梯子的底端向右滑到D的距离。
图2
图3
图1
24、(15分)如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10
千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少
27、（15分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，
以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）． ⑴在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
⑵在图2、图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．(两个三角形不全等)
A
B
C
D
L
命题：刘汉勤校对：刘汉勤
命题范围：第14章：勾股定理
考试时间：120分钟分值：150分
泉州市马甲中学初三数学备课组刘汉勤6
设计理念和导向意图：试题经过本人精心挑选和修改作为勾股定理单元试题，其题目内容覆盖几乎所有的知识点，难易度适中，题目比较新颖且有较多的实际应用例题，符合课改内容。
《勾股定理》单元试卷答案
一、1. 5 2. 三角形的稳定性(意思对就可以了)
3. 6cm、8cm、10cm
4. 90
5. 48
6. 8
7. 18 8.8 cm
9. 34110. 5m
11. 120 cm212. 13.6
二、13-18 CBACAA
三、19`. ①33或②93或15.59cm2
20. AC=3
21. 200m2
22. 36
23. ①AO=52-32=4
②OD=52-(4-1)2=4 BD=OD-OB=4-3=1米
24. 作A关于CD的对称点A’，连接A’B与CD的交点为M点为所求点
可求得AM+BM=A’B=50千米,总费用为50×3=150万元
25. 仅供参考(每个5分)
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