条件概率, 乘法公式
条件概率和乘法公式
机器学习算法
朴素贝叶斯分类器
01
朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理的分类算法，它利用
条件概率和乘法公式来计算给定特征下类别的概率。
隐马尔可夫模型
02
隐马尔可夫模型是一种用于序列标注和预测的模型，它利用条
件概率和乘法公式来计算状态转移和观测的概率。
条件随机场
03
条件随机场是一种用于自然语言处理的模型，它利用条件概率
03
在学习和应用概率论的过程中，我们需要注重培养自己的逻辑思维和分析能力 。通过深入思考和探究概率论中的问题，我们可以提高自己的数学素养和解决 问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
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• 在学习条件概率和乘法公式的过程中，我们需要掌握相关的概念和公式，并能 够灵活运用它们解决实际问题。同时，我们还需要了解条件概率和乘法公式的 局限性和假设条件，以避免在实际应用中出现错误。
• 除了条件概率和乘法公式，概率论中还有许多其他重要的概念和公式，例如全 概率公式、贝叶斯公式、独立性等。这些概念和公式之间有着密切的联系和相 互影响，我们需要系统地学习和理解它们，以建立完整的概率论知识体系。
02
乘法公式及其应用
乘法公式的推导
01
定义
乘法公式描述了两个事件A和B同时发生的概率与事件A发生的概率和事
件B发生的概率之间的关系。
02 03
推导
乘法公式基于概率的独立性假设，即事件A的发生不影响事件B的发生， 反之亦然。因此，事件A和事件B同时发生的概率等于各自发生的概率 的乘积。
公式
$P(A cap B) = P(A) times P(B)$
展望Βιβλιοθήκη 01随着科技的不断发展，概率论在各个领域的应用越来越广泛。未来，条件概率 和乘法公式等概率论知识将更加受到重视和应用。
条件概率公式推导
条件概率公式推导
条件概率是指在已知某一事件的前提下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算需要用到条件概率公式。
下面就来推导一下条件概率公式。
假设有两个事件A和B，且B的概率不为0。
则，在已知B发生的前提下，A发生的概率为：
P(A|B) = P(AB) / P(B)
其中，P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，即交集的概率。
P(B)表示事件B发生的概率，即B的概率。
由乘法公式可得：
P(AB) = P(A) * P(B|A)
其中，P(B|A)表示在已知事件A发生的前提下，事件B发生的概率。
即，B在A发生的条件下的概率。
将P(AB)代入条件概率公式中得：
P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B)
这就是条件概率公式的推导过程。
通过条件概率公式，我们可以计算在已知某事件发生的前提下，另一事件发生的概率。
这对于概率论和统计学都有着重要的应用。
- 1 -。
概率：乘法公式及其应用
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 P ( AB) (1) P ( A | B) P ( B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
B
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
C={囚犯丙被处决} 依题意，P(A)=1/3, P(A| B)=P(A)／[1-P(B)]=1/2, 甲 P(A|C )=1/2, 看守说得对.
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
概率：乘法公式及其应用
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
1000 个
求的是 P(A|B) .
B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现 年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概 率是多少？
解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求为P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
概率公式条件概率的乘法公式
概率公式条件概率的乘法公式概率公式——条件概率的乘法公式概率是概率论中的基本概念，在许多实际问题中具有广泛的应用。
了解和掌握概率公式对于解决概率问题至关重要。
其中，条件概率的乘法公式是一个核心概念，帮助我们计算复杂的概率事件。
本文将详细介绍条件概率的乘法公式及其应用。
概率公式是通过计算事件发生的频率，来确定事件发生的可能性大小的一种数学工具。
概率公式有多种形式，而条件概率的乘法公式是其中一种重要形式。
条件概率表示在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
设两个事件A、B，且事件B的概率非零。
事件A在事件B发生的条件下发生的概率可以用P(A|B)表示，读作“A在B发生的条件下发生的概率”。
条件概率的乘法公式可以表达为：P(A∩B) = P(A|B) * P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的乘法公式可以通过一个具体例子来进一步理解。
假设有一包含许多球的袋子，袋子里有红球和蓝球。
袋子中有6个红球和4个蓝球。
现在，我们从袋子中随机抽出一个球，并将抽出的球放回袋子中。
接着，我们再抽出一个球。
现在，我们来计算两次抽球均为红球的概率。
首先，我们设事件A为第一次抽球为红球，事件B为第二次抽球为红球。
根据条件概率的乘法公式，我们可以得到：P(A∩B) = P(A|B) * P(B)现在来计算概率。
事件A：第一次抽球为红球的概率为P(A) = 6/10 = 0.6事件B：在第一次抽球为红球的条件下，第二次抽球为红球的概率为P(B|A) = 5/10 = 0.5事件A与事件B同时发生的概率为P(A∩B) = P(A|B) * P(B) = 0.6 * 0.5 = 0.3所以，两次抽球均为红球的概率为0.3。
通过这个例子，我们可以看到条件概率的乘法公式的应用。
通过将一个复杂问题分解为多个条件概率的乘法，我们可以更方便地计算概率。
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
第五章5.2条件概率,乘法公式,全概率
i 1 n
Bn -1 A
B2
Bn
B3
全概率公式的证明
n i 1
显然 A = A A B i ( AB i )
i 1
n
A= AB1 AB2
AB1 AB2 …... …...
ABn
ABn
B i B j ( AB i )( A B j ) ,
某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求 该球是取自1号箱的概率. 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B).
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
P ( A1 ) P ( B | A1 )
P ( A ) P ( B｜A )
这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为0.4825。
例 2 三个罐子分别编号为 1, 2, 3，1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球， 3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球， 求取得红球的概率. 解 记 A ={ 取得红球 } 1 2 3 Bi ={ 球取自 i 号罐 } i=1, 2, 3; 则 A 发生总是伴随着 B1，B2，B3 之一同时发生， 即 A = AB1 + AB2 + AB3， 且AB1、AB2、AB3两两互斥，利用有限可加性 P(A) = P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)
解：（1）第一次取得一等品后，剩下的9件产品中 还有6件一等品，即
6 2 P ( B A) . 9 3
（2）第一次取得二等品后，剩下的9件产品中 还有7件一等品，即
条件概率与概率的乘法公式
B {活到25岁}
显然， B A {现龄为 20岁的这种动物活到 25岁} 因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
C ( A B)
AB
PC P( A B) P A PB 0.85
例3Байду номын сангаас
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设： Ai 恰好第 i次打开门
B 三次内把门打开
B A1 A2 A3
则
且
有 ：
A1 , A2 , A3
两两互不相容
1 p( A1 ) 5 4 1 1 p( A2 ) 5 4 5
4 3 1 1 p( A3 ) 5 4 3 5
P(B) P( A1 A2 A3 ) PA1 PA2 PA3 0.6
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设
A {甲市为雨天 }
B {乙市为雨天 }
P( A) 0.12
固A 包含的基本事件数为:P P P 16 P( A) 125
1 1 1 4 4 1
16
由加法公式推论2可知:
16 109 P A 1 P( A) 1 125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
线性代数第一章条件概率、乘法公式
$P(AB) = P(A)P(B|A)$ 或 $P(AB) = P(B)P(A|B)$，表示两个事件同时发生的概 率等于其中一个事件发生的概率与另一个事件在该事件发生的条件下的概率的 乘积。
推导过程详解
根据条件概率的定义，我们有 $P(B|A) = frac{P(AB)}{P(A)}$，两边同时乘以 $P(A)$，得到 $P(AB) = P(A)P(B|A)$。
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乘法公式简化条件概率计 算
乘法公式可以将复杂的条件概率计算简化为 一系列简单概率的乘积，从而降低了计算的 难度。
乘法公式揭示条件概率与 独立性的关系
当两个事件相互独立时，它们的条件概率等 于各自的概率，乘法公式在此时可以简化为
普通概率的乘积。
二者关系总结
条件概率是乘法公式的基础
01
条件概率的定义和性质为乘法公式的推导和应用提供了基础。
VS
解析
根据概率的定义，事件A发生的概率 $P(A)$等于事件A包含的基本事件数与全 部基本事件数之比。因此，抽到红球的概 率为$P(A) = frac{4}{10} = 0.4$。
多个事件联合概率计算
例题2
一个盒子里有10个球，其中4个是红球，6 个是白球。随机抽取两个球，求同时抽到两 个红球的概率。
线性代数第一章条件 概率、乘法公式
目录
CONTENTS
• 条件概率基本概念 • 乘法公式及其推导 • 条件概率与乘法公式关系 • 典型例题解析 • 生活中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
条件概率基本概念
定义与性质
条件概率的定义
设A和B是两个事件，且P(B)>0，称 P(A|B)=P(AB)/P(B)为在事件B发生的 条件下事件A发生的条件概率。
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(1)第一次取到奇数卡片的概率;
(2)已知第一次取到偶数,求第二次取到奇数卡片 的概率; (3)第二次才取到奇数卡片的概率.
解 设A, B分别表示第一次和第二次取到奇数 卡片这两个事件, 则
3 3 (2) P( B A) (3) P( AB) (1)P(A)= 5 4 23
3 54 10
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率. 解 以Ai ( i 1,2,3)表示事件"透镜第 i 次落下打破",
以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”. 所以 P B P A1 A2 A3 P A1 P A2 | A1 P A3 | A1 A2 1 7 9 3 1 1 1 . 2 10 10 200
前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率.
计算条件概率P(B|A)有两种方法： 方法1 在样本空间S的缩减样本空间SA中计 算B发生的概率, 得到P(B|A).
方法2 在样本空间S中, 计算P(AB),P(A), 然后利用定义表达式求出P(B|A).
例1 在标有1,2,3,4,5这5个数字的卡片里,无放回 地抽取两次,一次一张,求
二. 乘法公式
由条件概率的定义：
P ( AB) P ( A | B) P ( B) 若已知P(B), P(A|B)时, 可反求P(AB).
设A,B为两个事件
若P(B)>0,则
P(AB)=P(B)P(A|B) 若P(A)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A) (2) (1)
何时用？
例1 m个产品中有n个一等品，m-n个二等品，按 不放回抽样，依次抽取两个产品，计算两次都取 到一等品的概率。 解法1：设Ai={第i次取到一等品} 则
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b bc r rc b r b r c b r 2c b r 3c
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率.
这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病 患者,都会增加再传染的概率.
依次类推,
前两个人没有摸到 票时，第三个人摸 到票的概率为1/3
每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.
波里亚罐子模型
b个白球, r个红球 例3 一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随 机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再 加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手 续进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、 四次取到红球的概率.
4 1 1 P ( A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) 5 4 5
P ( A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )
＝（4/5） （3/4） （1/3） =1/5
( 3) 可列可加性: 设 B1 , B2 , 是两两不相容的事 件 , 则有
P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1
(4) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B);
(5) P ( A B) 1 P ( A B).
§1.4 条件概率和乘法公式
一、条件概率 二、乘法定理
三、小结
一. 条件概率
在自然界及人类的活动中, 存在着许多互 相联系、互相影响的事件. 除了要分析随 机事件B发生的概率P(B)外, 有时我们还要 提出附加的限制条件, 也就是要分析“在 事件A已经发生的前提下”事件B发生的概 率. 记为P(B|A). 这就是条件概率问题.
例 一批产品有5件，其中有3件正品，2件次品，
从中取两次，做不放回抽样，
A=“第一次取到的是正品”
B=“第二次取到的是正品” 求P(B|A)?
解法一 ：在原来的样本空间S中，用条 件概率的定义计算
两次都取得正品的概 率 P ( AB) 3 2 3
5 4 10
1 P ( AB) P(B|A)= 2 P ( A)
n n1 P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P( A2 | A1 ) m m 1
解法2：设A={两次都取到一等品}
n ( n 1) P ( A) m ( m 1)
乘法公式推广
设 A1 , A2 ,, An 为n个事件,若P(A1A2…An-1)>0， 则有
3 P ( A) 5
解法2：在缩减后的样本空间A上计算
由于事件A已经发生，即第一次取到的是 正品，所以第二次取产品时，只剩下4件， 并且正品只有2件，所以
1 P(B|A)= 2源自性质(1) 非负性 : P ( B A) 0; ( 2) 规范性 : P ( S B ) 1, P ( B ) 0;
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A A A A ) 4 1 2 3
P ( An A1 A2 An1 )
Q. 何时用？
计算多个事 件同时发生 的概率
例2 一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.
他们不相等的原因:
“事件A已发生”这个新条件改变了样本空间。 Q. 公式是否具有普遍性?
条件概率的定义:
设A、B是两个事件，且 P(B)>0 ,则称
P ( AB) P ( A | B) P ( B)
为在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率.
注: 区别P(A|B), P(AB)
求法是什么？
（两种）
因为 B A1 A2 A3 ,
三、小结
P ( AB ) 1.条件概率 P ( B A) P ( A)
乘法定理
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
2. 条件概率 P ( A B ) 与积事件概率 P ( AB) 的区别.
P ( AB ) 表示在样本空间 S 中, AB 发生的 概率, 而 P ( B A) 表示在缩小的样本空间 S A 中, B 发生的概率. 用古典概率公式, 则 AB 中基本事件数 P ( B A) , S A 中基本事件数 AB 中基本事件数 P ( AB ) , S 中基本事件数 一般来说, P ( B A) 比 P ( AB ) 大 .
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出 的球具有相同颜色的球. b个白球, r个红球 解 设 Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4 于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、 第二个是白球，第三、四个是红球. ”
(2)的答案是12/20=0.6. 但是, 这两个问题的提法是有区别的. 第二个问 题是一种新的提法. 记A={选中男生}, B={选中 1.70米以上同学}, 则第二问是“在A发生的条件 下事件B发生的概率”问题, 即P(B|A).
注意到P(A)=20/30, P(AB)=12/30, 从而有
上例中， P(B|A) ≠ P(B)
12
例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, P ( AB ) P ( B A) . 则有 P ( A) 因为 P ( A) 0.8, P ( B ) 0.4, P ( AB) P ( B ), P ( AB ) 0.4 1 所以 P ( B A) . P ( A) 0.8 2
“先抽的人当然 要比后抽的人
抽到的机会大. ” “大家不必争先恐后， 一个一个按次序来， 谁抽到‘入场券’的 机会都一样大.”
解：Ai={第i个人抽到入场券} 则 Ai ={第i个人未抽到入场券}, i＝1,…,5. P(A1)=1/5，P(A1)＝4/5
第一个人没有摸到票时，第 二个人摸到票的概率为1/4
例 某班有30名学生, 其中20名男生, 10名女生; 这30名学生中身高在1.70米以上的有15名, 其中 12名男生, 3名女生. (1) 任选一名学生, 问该学生的身高在1.70米以 上的概率是多少? (1)的答案是15/30=0.5
(2) 任选一名学生, 选出来后发现是位男生,问该同学的身 高在1.70米以上的概率又是多少?