小学奥数专题最小公倍数
小学五年级奥数第27讲 最小公倍数(二)后附答案
第27讲最小公倍数（二）一、专题简析：最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。
当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。
二、精讲精练例题1 有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。
这个自然数最小是多少？练习一1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。
六年级最少多少人？2、一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。
这个数最小是多少？例题2 有一批水果，总数在1000个以内。
如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。
这批水果共有多少个？练习二1、一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？2、有一批乒乓球，总数在1000个以内。
4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。
这批乒乓球到底有多少个？例题3 一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？练习三1、有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。
这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。
2、五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。
请你算一算，五（1）班有多少位同学？例题4 从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？练习四1、插一排红旗共26面。
原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。
如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？2、一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。
原来每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。
小学奥数：最大公约数最小公倍数
最大公约数与最小公倍数1：求2520、14850、819的最大公约数和最小公倍数。
（用因数分解法）2：求35、98、112的最大公约数和最小公倍数。
（用因数分解法）3：求36、108、126的最大公约数和最小公倍数。
（用短除法）4：求403、527、713的最大公约数和最小公倍数。
（用短除法）5：有一位男同学要整理三种厚度分别为30毫米、24毫米和18毫米的一堆书，他只能将厚度相同的书叠在一起，叠成高度一样的三叠，使书得高度尽可能小。
这样的整理共用了多少本书？6：甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是月日。
7：设a=36，b=54，证明（a，b）×[a，b]=a×b。
8：设a=108，b=720，证明（a，b）×[a，b]=a×b。
9：现有4个自然数，它们的和是1111,。
如果要使这4个数的公约数尽可能大，那么，这4个数的公约数最大是。
10：有很多方法可以将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不相同）的和。
对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数最大值是。
11：某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？12：把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要使每一组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分成组。
13 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。
现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？14、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。
三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？15、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。
小学奥数-最大公约数与最小公倍数完整
例5、一次会餐有三种饮料，餐后统 计，三种饮料共用了65瓶；已知，平 均每2人饮用一瓶A饮料，每3人饮用 一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料。 问参加会餐的人数是多少人？
分析：由题意知参加会餐的人数应当 是2、3、4的公倍数。试一下看看
解：∵ [2，3，4] ＝12 ∴参加会餐的人数应当是12 的倍数， 又∵每12人用 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3＝13 （个饮料瓶） 65÷13＝5 ∴ 参加会餐的人数是12×5＝60 （人） 答：参加会餐的人数是60人。
2 18 39
3
2 30 3 15
5
公有的质因 数的积就是 最大公约数
18= 2 × 3 ×3 （18，30）＝2×3＝6 30= 2 × 3 ×5
（3）短除法
例如：求18和30的最大公约数。
2 18 30 18和30的最大公约数:
39
15
（18，30）＝2 × 3 =6
35
5、怎样求最小公倍数
三、最大公约数与最小公倍数的关系
例9、两个数的最大公约数是4，最小公 倍数是252，其中一个是28，另一个数 是多少？
分析：最大公约数与最小公倍数的乘积 等于这两个数的乘积 即：（a，b）× [a，b] ＝a×b 利用这个关系可以迅速 地解答此类问题。如果不理解这 28
应用举例（3）不同长度的拆分
例3、有三段铁丝，长度分别是120厘 米、180厘米和300厘米，现在要将它 们截成长度相等的小段，每根都不能 有剩余，每小段最长多少厘米？一共 可以截成多少段？
分析：要截成相等的小段，每段长度 应当是120、180、300的公约数；最 长，长度应当是120、180、300的最 大公约数
五年级奥数5最小公倍数
5、最小公倍数姓名：几个自然数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。
几个自然数的公倍数是无限的，其中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。
a,b的最小公倍数一般用[a,b]表示。
求最小公倍数的一般方法包括枚举法、分解质因数法、短除法，以及利用最大公因数求最小公倍数等。
求多个数的最小公倍数采用短除法时，达到两两互质即可。
最小公倍数的性质如下：①如果a,b互质，则a和b的最小公倍数为a×b,即ab。
②如果a是b的整数倍，则a和b的最小公倍数为a。
③两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。
④两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
在实际应用中，解最小公倍数类问题的关键是，理解问题的含义，找出题中隐含的倍数关系。
特别是有些题目所求的数并不正好是已知数的最小公倍数，这时，我们可通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。
例1.求下面两组数的最小公倍数。
（1）45、60、75 （2）24、36、48随堂练习1.用短除法计算下面三个数的最小公倍数。
90、120、150 72、90、108例2.两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，其中一个数是12，另一个数是多少？（提示：两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。
（A,B）×[A,B]=A×B。
)随堂练习2.甲数是24,甲、乙两数的最小公倍数是168,最大公因数是4,求乙数。
例3.一种长方形的地板的长是56厘米，宽是16厘米，用这种地板铺成一个正方形，至少需要用多少块？随堂练习3.用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的小长方体木块叠成一个正方体，至少需要用多少块这样的小长方体？例4.小林陪爷爷去逛公园，有人问起爷爷的年龄，小林回答：“今年爷爷的年龄正好是我的6倍。
不过，我爷爷越活越年轻，再过几年，爷爷的年龄就是我的5倍。
到我上大学时，爷爷的年龄就只有我的4倍了。
六年级《最小公倍数》奥数教案
师：本题中4、6、15最小公倍数是60，第二小公倍数是多少呢？生；120师：接下来是多少？生：180、240师：第三小公倍数是180，我们可以用最小公倍数乘以自然数得出其它公倍数。
师：符合本题条件的只有180这个数字。
所以这盒围棋有多少颗？生；180、179。
师：我们在求出公倍数时，别忘记减去之前加进去的数。
板书：4、6、15最小公倍数60，第三小公倍数是180150＜180-1＜20060×3-1=179（颗）答：共有179颗。
（PPT出示)练习三：（5分）有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。
这批树苗数在150-200之间。
求共有多少棵树苗？分析：求解本题是树苗的棵数加2后能被9、10、12整除，转换成求9、10、12的公倍数。
找出符合条件的公倍数。
最后别忘记减去2。
9、10、12最小公倍数：3×3×2×5×2=180180-2=178（棵）150＜178＜200答：共有树苗178棵。
（PPT出示)师：同学们，求最小公倍数的时候频繁用到乘法，下面一起来算算，看谁最快得出答案。
（PPT出示）（二）例题四：（10分）在一根长木棍上用红黄蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。
如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？师：同学们，我们又碰到了三个量的问题，我们用画图的方式来理清题意。
我们用线段AB表示这根长木棍。
红、黄、蓝三种颜色标记。
师：同学们，锯成的总段数是不是10+12+15呢？为什么？生：不对，红、黄、蓝标记的地方会有重复，所以就重复计算了段数。
师：分析得不错，假设这根木棍长60厘米，那么分成10段，则每段6厘米，分成12段，则每段5厘米，分成15段，则每段4厘米。
师：同学们知道第一个重复点在哪呢？生：12厘米处。
师：有没有发现12是6和4的最小公倍数，红色和蓝色标记重合点。
师：木棍的两头是不需要标记的，所以它们的公倍数只能小于60。
五年级奥数举一反三专题 第27周 最小公倍数(二)
第二十七周最小公倍数（二）专题简析：最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。
当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。
例题1 有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。
这个自然数最小是多少?分析根据已知条件可知，假如把这个自然数增加3，所得的数就正好能被10、7和4这三个数整除，即10、7和4的最小公倍数，然后再减去3就能得到所求的数了。
[10，7，4]=140140－3=137即：这个自然数最小是137。
练习一1，学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。
六年级最少多少人?2，一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。
这个数最小是多少?3，一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都余下5块。
这袋糖至少有多少块?例题2 有一批水果，总数在1000个以内。
如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。
这批水果共有多少个?分析根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。
我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672，再根据“总数在1000以内”确定水果总数。
[24，28，32]=672672－2=670（个）即：这批水果共有670个。
练习二1，一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人?2，有一批乒乓球，总数在1000个以内。
4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。
这批乒乓球到底有多少个?3，食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少3千克，用乙种桶装最后一桶只装了半桶油，用丙种桶装最后一桶少7千克。
苏教版小学五年级下最小公倍数奥数应用题
最小公倍数（植树问题）1. 公路上一排电线杆共25根，每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以几根不要移动？2. 在跑到两侧每隔四米种一棵树，结果第一棵与最后一棵相距48米，现在将树移栽成每隔6米种一棵，其中有几棵树不需要移栽？3. 学校在操场的四周种树，开始时每隔4米种一棵，种到21棵后发现树苗不够了，于是决定重种，改为每隔5米种一棵，这样重种时，不必拔掉的树有多少棵？4. 公路的一边每隔45米有一块广告牌，两端之间共有53块。
现在要改成每隔60米一块，要求两端不移动，中间还有多少块不必移动？5. 六一国际儿童节那天，学校在教学楼前插一行彩旗，从第一面到最后一面的距离是90米，原来每隔3米插一面，现在改为每隔5米插一面，如果两端不移动，中间有几面旗不需要移动？6. 学校运动会即将召开，沿着长为60米的操场插彩旗，原来从一端起每隔3米插一面彩旗。
由于彩旗比较少，现在改成每隔4米插一面。
有些位置已经插好的就不需要重新插上，不需要重新插的彩旗有多少面？7. 插一排红旗共26面，原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米，如果起点一面不移动，还有几面不移动？8. 一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。
原来每隔2米植一棵树，由于小树苗长大了，必须改为每隔5米植一棵树，如果两端不移动，中间有几棵不必移动？9. 甲、乙两地原来每隔36米安装一根电线杆，现在改成每隔54米安装一根电线杆。
在安装过程中出了两端的电线杆不需要移动外，途中还有14根不需要移动。
那么甲乙两地相距多少米？10. 父子两人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米，在120米内一共留下多少个脚印？11. 一批同样的机器零件，如果每盒装24个，那么多14个，如果每盒装30个，那么多20个，这批零件至少有多少个？12. 暑假里老师到学校值班，王老师每四天到校一次，李老师每7天到校一次。
如果7月5号两位老师同时到校，下一次两位老师同时到校是哪一天？13. 暑假期间，张亮和陈明都去参加游泳训练。
小学五年级奥数举一反三第27周-最小公倍数(二)
王牌例题4： 从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来 每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距 60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？
【思路导航】从学校到少年宫的这段路长50×（37－1） =1800(米)，从路的一端开始，是50和60的公倍数处的那 一根就不必移动。因为50和60的最小公倍数是300，所以， 从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。 1800÷300=6，就是6根不必移动。去掉最后一根，中途共 有5根不必移动。
举一反三1
1.学校五年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，
7人一行余2人，11人一行也余2人。五年级最少有多少人？ 2.一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。这个数最小是 多少？ 3.一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都
余下5块。这袋糖至少有多少块？
王牌例题2： 有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后 一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每 32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？ 【思路导航】根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个 装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数，也就 是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍 数。我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672，再根据 “总数在1000以内”确定水果总数。 [24，28，32]=672 672－2=670（个） 即：这批水果共有670个。
举一反三 5
1.用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成 12等份，第二次把木棍分成15等份，第三次把木棍分成20 等份，然后沿着这些红记号把木棍锯开，一共锯成多少小 段？ 2.父子二人在雪地散步，父亲在前每步80厘米，儿子在后 每步60厘米。从儿子第一次踩进父亲的脚印开始算起，在 120米内一共留下多少个脚印？ 3.在96米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球，绿气 球每隔6米挂一个，黄气球每隔4米挂一个。如果绿气球和 黄气球重叠的地方就改挂一个红气球，那么，除两端外， 中间挂有多少个红气球？
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小学奥数专题最小公倍
数
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第27讲最小公倍数（二）一、专题简析：
最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。
当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。
二、精讲精练
例题1有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。
这个自然数最小是多少？
练习一
1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。
六年级最少多少人？
2、一个数能被
3、5、7整除，但被11除余1。
这个数最小是多少？
例题2有一批水果，总数在1000个以内。
如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。
这批水果共有多少个？
练习二
1、一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？
2、有一批乒乓球，总数在1000个以内。
4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。
这批乒乓球到底有多少个？
例题3一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？
练习三
1、有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。
这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。
2、五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。
请你算一算，五（1）班有多少位同学？
例题4从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？
练习四
1、插一排红旗共26面。
原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。
如
果起点一面不移动，还可以有几面不移动？
2、一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。
原来每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。
如果两端不算，中间有几棵不必移动？
例题5在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。
如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
练习五
1、用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成12等份，第二次把棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿着这些红记号把木棍锯开，一共锯成多少小段？
2、父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米。
在120米内一共留下多少个脚印？
三、课后作业
1、一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都余下5块。
这袋糖至少有多少块？
2、食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少3千克，用乙种桶装最后一桶只装了半桶油，用丙种桶装最后一桶少7千克。
如果甲种桶每桶能装8千克，乙种桶每桶能装10千克，丙种桶每桶能装12千克，那么，食堂至少买回多少千克油？
3、有一批水果，每箱放30个则多20个，每箱放35个则少10个。
这批水果至少有多少个？
4、学校开运动会，在400米环形跑道边每隔16米插一面彩旗，一共插了25面。
后来增加了一些彩旗，就把彩旗间隔缩短了，起点彩旗不动，重新插完后发现一共有5面彩旗没动。
问：现在彩旗的间隔是多少米？
5、在96米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球，绿气球每隔6米挂一个，黄气球每隔4米挂一个，。
如果绿气球和黄气球重叠的地方就改挂一个红气球，那么，除两端外，中间挂有多少个红气球？。