八上数学1.4线段、角的轴对称性(2)
八上 线段、角的轴对称性 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
两点，EC=4,ABC∆的周长为的垂直平分线分别交AC，AD，的对称点，线段MN分⊥，延长AE，BE，BE AE8.如图，D是ABC∆的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，垂足为E，EF 与AB的延长线交于点F，点O在AD上，AO COBC EF.=，//求证：（1）AB AC= ;（2）点O是ABC∆三边垂直平分线的交点.【知识点4】最值问题1.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10 B．15 C．20 D．303.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是．4.如图，在△ABC 中，∠C=90°,AB=4，∠A 的平分线交BC 于点D ，若点P 、Q 分别是AC 和AD 上的动点，则CQ+PQ 的最小值是 ．5.如图，已知等边△ABC ，点D 为AC 的中点，BD=4，点E 为BC 的中点，点P 为BD 上一动点，则PE+PC 的最小值为角平分线的性质知识点1 角平分线的性质1. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，有下列结论:①CD ED =;②AC BE AB +=;③BDE BAC ∠=∠; ④DA 平分CDE ∠.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 若△ABC 的周长为41 cm ，边BC ＝17 cm ．AB<AC ，角平分线AD 将△ABC 的面积分成3：5的两部分，则AB ＝______cm ．3.如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上一动点，若3PA =，则PQ 的最小值为( )A.32B. 2C. 3D.不能确定的平分线BE，CD，平分BAC=;∠;③AP PC2.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺的一边与射线OB重合，另一把直尺的一边与射线OA重合并且与第一把直尺交于点P，小明说:“射线OP就是BOA∠的平分线.”他这样做的依据是( )A.角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到角两边的距离相等C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.以上均不正确3.如图，已知点P到,,AE AD BC的距离相等，下列说法:①点P在BAC∠的平分线上;②点P 在CBE∠，BCD∠，CBE∠的平分∠的平分线上;④点P是BAC∠的平分线上;③点P在BCD线的交点.其中所有正确的序号是( )A.①②③④B.①②③C.④D.②③4.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55.如图，已知射线OC上的任意一点到AOBD E F分别在边∠的两边的距离相等，点,,OC OA OB上，如果想要证明OE OF,,=，只需要添加以下四个条件中的某一个即可，请写出所有可能条件的序号 .①ODE ODF⊥.∠=∠;②OED OFD∠=∠; ③ED FD=;④EF OC6.如图，已知CE AB=.⊥，垂足分别为点,E F，BF交CE于点D，BD CD⊥，BF AC（1）求证：点D在BAC∠的平分线上;（2）若将条件“BD CD∠的平分线上”互换，成立吗?试说明=”与结论“点D在BAC理由.知识点3 角平分线的性质在生活中的应用1.如图，△ABC中，∠C＝90°，(1)在BC上找一点D，使点D到AB的距离等于DC的长度；(2)连接AD，画一个三角形与△ABC关于直线AD对称．3. 如图，直线123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到4. 三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有( )A.一处B.二处C.三处D.四处3.如图，两条公路OA 和OB 相交于点O ，在AOB ∠的内部有两个工厂C ，D ，现要在AOB ∠内部修建一个货站P ，使货站P 到两条公路的距离相等，且到两个工厂C ，D 的距离也相等，用尺规作出货站尸的位置.(要求:保留作图痕迹，不写作法)4.如图，三家公司A 、B 、C 准备共建一个污水处理站M ，使得该站到B 、C 两公司的距离相等，且使A 公司到污水处理站M 的管线最短，试确定污水处理站M 的位置．5.已知直线l及其两侧两点A、B，如图．(1)在直线l上求一点P，使PA＝PB：(2)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．。
八上 1.4 线段、角是轴对称性(2)
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一、情境创设： 张庄、李庄和马庄的位置如图，每两个村庄之 间都有笔直的道路相连，他们计划共同打一眼机井. 希望机井到三条道路的距离相等，你能设计出机井 的位置吗？
张庄 李庄 马庄
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二、探索思考： 1、请同学们将事先准备的薄纸拿出来，在上面任意画一个 角（∠AOB），折纸使两边OA、OB重合，你发现折痕与 ∠AOB有什么关系？ 你有什么结论： 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2、在∠AOB的内部任意取折痕上的一点P，分别作点P 到OA和OB的垂线段PD、PE，再沿原折痕折纸。 你又有什么结论？
角平分线上的点到角的两边距离相等.
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3、上节课我们已经学习了：若点P在线段AB的垂直平分线上， 那么PA=PB，如果QA=QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上. 今天我们又学了若点P在∠AOB的平分线上，那么点P到OA、 OB的距离相等；反过来，你能提出什么猜想吗？ 先做如下操作：
3、如图，如果M点在∠ANB的角平分线上，那么 AM＝___________.
4.到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ） A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
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5、用直尺和量角器在图中的直线MN上找一点P， 使点P到射线OA和OB的距离相等.
a
b c
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四、课后作业 1、如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分 ∠BAC，且CD = 5，则点D到AB的距离为
初中数学青年教师教学基本功比赛试题
初中数学青年教师教学基本功比赛试题基础知识测试题（南京下关）一、填空题（共6小题，每空0.5分，计10分）1．数学是研究________________________的科学，这一观点是由____________首先提出的．2．通过义务教育阶段的学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的____________、____________、____________、____________．3．维果斯基的“最近发展区理论”认为学生的发展有两种水平：一种是学生的___________发展水平；另一种是学生_________________发展水平，两者之间的差异就是最近发展区．4．从数学史上看，有理数的概念传入我国存在着翻译上的错误，其原意是_________数，包括______________小数和______________小数，______________的发现，引发了第一次数学危机．5．_________是概率论发展史上首先被人们研究的概率模型，它具有两个特征：一是_________、二是_______________．6．波利亚在其名著《怎样解题》中提出的解数学题的四个步骤是：_________________、_________________、_________________、_________________；他认为“怎样解题表”有两个特点，即普遍性和_____________性．二、简答题（共3小题，每小题5分，计15分）7．大约在公元前6世纪至4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三大尺规作图问题，这就是著名的古代几何学作图三大难题．请你简述这三大难题分别是什么？8．《义务教育数学课程标准》（2011年版）从知识与技能等四个方面对总目标进行了阐述．（1）请写出其他三个方面目标的名称；（2）请简述总目标的这四个方面之间的关系．9．“角平分线上的一点到角的两边距离相等”这一结论在苏教版义务教育数学教材八上的《1.4线段、角的轴对称性》以及九上的《1.2直角三角形全等的判定》中都有所出现．请你结合教学实际，简述课本上八上和九上分别是如何引导学生得到这一结论的，说说它们之间的区别、联系和这样安排的意义．参考答案：1．数量关系和空间形式．2．基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验．3．现有，可能的．4．成比例的数，有限，无限循环，无理数．5．古典概型，（试验结果的）有限性，（每个结果的）等可能性．6．弄清问题、拟定计划、实施计划、回顾反思；常识．7．三等分角问题：将任一个给定的角三等分．立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍．化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等．8．（1）数学思考、问题解决、情感态度；（2）四个方面是一个有机的整体；教学要兼顾这四个目标，这些目标的实现，是学生受到良好数学教育的标志；后三个目标的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现．9．八上《1.4线段、角的轴对称性》中是通过学生动手操作，采取折纸的方法折出角的平分线，再过角平分线上一点折出角的两边垂线段，然后度量这两条线段的长度得出结论的；九上《1.2直角三角形全等的判定》是通过严格的推理论证，采用自己画图、写已知、求证并证明得出结论的．它们的区别是，一个是通过动手操作，一个是通过严格证明．联系是，前面的学习为后面的学习作铺垫，在进行严格的证明之前，学生已经熟练地掌握了这一结论的运用．意义是，符合学生的认知发展规律，使学生的认知从感性上升到理性，既培养了学生的动手能力，又培养了学生的推理论证能力．符带说明：1．专业技能比赛包括基础知识测试和解题能力测试两部分．基础知识测试内容包括数学文化（数学史）常识和数学教育基础知识（教材、课程标准、教育学、心理学、教学论、教学法等）．解题能力测试内容包括基础题（教材中的基本定理、公式的证明，教材例题、习题、复习题）与综合题（与中考中档题难度相当）．2．第1、2、8题考查对《课标》学习和理解情况（称为课标板块）；第4、5、7题结合苏教版初中数学教科书的教学内容对数学史进行简单的考查（称为数学史板块）；第3、6、9题是对心理学、数学教育学、教材和教学法等相关知识的考查（称为综合板块）．2012年雨花台区小学数学青年教师教学基本功比赛教育教学知识常识比赛试卷（满分100分，时间60分钟）姓名成绩一、填空题：本大题共8个小题，共22个空，每空1分，共22分。
苏科版数学八年级上册线段、角的轴对称性精品课件PPT
苏科版数学八年级上册 2.4 线段、角的轴对称性（4） 课件
变式：课时作业P45-题11
苏科版数学八年级上册 2.4 线段、角的轴对称性（4） 课件 苏科版数学八年级上册 2.4 线段、角的轴对称性（4） 课件
苏科版数学八年级上册 2.4 线段、角的轴对称性（4） 课件
3．如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N 是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站， 使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N 的距离也相等，用尺规作出货物中转站的位置．
B
C
D
苏科版数学八年级上册 2.4 线段、角的轴对称性（4） 课件
例3．如图，C为线段AB上任意一点（不与A、B重合） 分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰三角形ACD和 等腰三角形BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都 是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接 BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC． 试说明： (1)△ACE≌△DCB． (2)∠APC＝∠BPC．
判定定理
12
A
OB
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
∵PA＝PB ，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
苏科版数学八年级上册 2.4 线段、角的轴对称性（4） 课件
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角的平分线
性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等．
∵点P在角平分线OC上， PD⊥OA，PE ⊥OB，
【课堂小结 】
说说你本节课你有什么收获？
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•
1、在困境中时刻把握好的机遇的才能 。我在 想，假 如这个 打算是 我往履 行那结 果必定 失败， 由于我 在作决 策以前 会把患 上失的 因素斟 酌患上 太多。
苏教科版初中数学八年级上册1.4 线段、角的轴对称性(2) PPT(共12张)PPT课件
• 如图，已知ΔABC。分别作出 AB,AC的垂直平分线m,n，交于 点O。
• （1）测量一下，OA=OB=OC吗 ？为什么？
• （2）如果三角形的形状变化了， 上述结论是否仍然成立？由此， 你可以得出什么结论？
• （3）点O在BC的垂直平分线上 吗？
1.4线段、角的轴对称性（2）
教学目标
• 1、掌握线段垂直平分线的判定定理； • 2、能从集合的角度来理解线段垂直平分
线； • 3、会用线段垂直平分线的性质与判定解
决有关问题；
观察与思考
• 观看动画； • 可以得到什么结论？
线段垂直平分线的 判定定理
• 内容：到线段两端距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上；
推进一步
• 如图， AM=AN,BM=BN.
怎么证明？
怎么证明？
如果开始作的是中线PO,那么要 证明PO是垂直平分线，只要再 证明什么？
尺规作线段的垂直平分线
• 1、如何作线段的垂直平分线？ • 2、看动画； • 3、步骤：画弧，作直线；
从集合的角度来看线段
线段的垂直平分线是到线段 两端距离相等的点的集合。
苏科版初中数学八年级上册精品教案第一章 轴对称图形
义务教育基础课程初中教学资料第一章轴对称图形1．1 轴对称和轴对称图形教学目标：1、经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念；2、能够认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴；3、知道轴对称和轴对称图形的区别和联系；4、欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富的文化价值。
教学重点：正确辨认轴对称图形，画出它们的对称轴；教学难点：设计简单轴对称图案；教学过程：一、创设情境：动手操作：用一张正方形的纸片，二、新课讲解：1、观察、思考：（投影片）P4 4幅图，观察下列四幅图形，你能发现它们有什么共同特征，说出来与同学交流。
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2、动手试一试：观察课本第4页几幅图中，画出它们对称轴。
3、探索思考：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
动手画出第5页几幅图片的对称轴。
说说你所熟悉的图形是否是轴对称图形，对称轴是什么？与同学讨论、交流，同小组互相补充。
轴对称图形：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯级、等腰三角形、角、线段等。
学生口述对称轴的位置。
4、讨论、交流：轴对称与轴对称图形的区别与联系。
区别：轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分能完全重合。
联系：两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
5、观察、思考：镜像特征：哪些字母在镜中的像与原字母一样？哪些发生了改变？说说它们的对称轴；手在镜中的像有什么变化？说说生活中的轴对称和轴对称图形。
6、欣赏大自然风景（倒影）并说说它们的对称轴的位置。
三、课堂练习：1、P1 22、动手制作一轴对称标志（校运会）四、本节课的收获：1、什么是轴对称和轴对称图形；2、如何画出对称轴、如何找对称点？3、生活中的轴对称和轴对称图形。
2.4线段、角的轴对称性(第1课时)(同步课件)八年级数学上册同步精品课堂(苏科版)
∵∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=2α-180°
思维拓展
在△ABC中，∠BAC=α，边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平
分线交BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为______________．
P
● 2
●
●
A●
●
P3
O
●
B(A)
新知归纳
线段的垂直平分线的性质定理：
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
符号语言：
l
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
●
A●
∴ PA=PB
（线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
用途：
相等的线段
P
●
O
B
操作与思考
思考4 线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离相等吗？
B
理由： 在l上另取一点P，连接PA、PB、PA'.
由作图可知，l是AA'的垂直平分线，
A
∴ AP=A'P，AM=A'M，
l
M
A'
∴ AM+BM=A'M+BM=A'B，
P
AP+BP=A'P+BP，
由“两点之间线段最短”可得:
A'B＜A'P+BP.
即AM+BM最短.
课堂小结
线
段
垂
直
平
分
线
的
性
质
内容
八上 1.4 线段、角是轴对称性(2)
1.4 线段、角是轴对称性（2）--- ( 教案)班级姓名学号教学目标：1、使学生掌握角是轴对称图形，角平分线的性质.2、使学生通过类比的思想和方法掌握本节课的内容，培养学生主动探索学习的能力通过让学生在原有的知识基础上.3、通过类比方法，掌握了新的知识，可以提高学生自学的兴趣和信心.教学重点：角平分线的性质：Array教学难点：角平分线的性质应用教学过程：一、情境创设：张庄、李庄和马庄的位置如图，每两个村庄之间都有笔直的道路相连，他们计划共同打一眼机井.希望机井到三条道路的距离相等，你能设计出机井的位置吗？通过本课的学习，我相信大家将不难解决这个问题.今天，我们来学习角的轴对称性.（二）新授1、请同学们将事先准备的薄纸拿出来，在上面任意画一个角（∠AOB），折纸使两边OA、OB 重合，你发现折痕与∠AOB有什么关系？学生通过动手和讨论得到结论：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.2、在∠AOB的内部任意取折痕上的一点P，分别作点P到OA和OB的垂线段PD、PE，再沿学生作图探究，可得到很多结论，如PC=PD，PC、PD关于折痕对称等等，点评学生的各种结论并强调重点：角平分线上的点到角的两边距离相等.在上面第二个结论中，有两个条件（1）OC 是∠AOB 的平分线；（2）点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，才能得出PD ＝PE ，两者缺一不可.下图中PD ＝PE 吗？各缺少了什么条件？3、上节课我们已经学习了：若点P 在线段AB 的垂直平分线上，那么PA=PB ，如果QA=QB ，那么点Q 在线段AB 的垂直平分线上.今天我们又学了若点P 在∠AOB 的平分线上，那么点P 到OA 、OB 的距离相等；反过来，你能提出什么猜想吗部分学生能猜想出来：若点P 到OA 、OB 的距离相等，则点P 在∠AOB 的平分线上.让学生完成P24图1-19的相关问题，学生通过作图、测量、观察得到：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.4、上节课我们学习了线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.那么角平分线就是……？部分学生会回答出：角平分线是到角两边距离相等的点的集合.二、例题示范：例1、任意画∠O ，在∠O 的两边上分别截取OA 、OB ，使OA=OB ，过点A 画OA 的垂线，过P ，点O 在∠APB 的平分线上吗？为什么？ 例2、如下图（1）所示，在△ABC 中，∠C ＝ 90°，BD 是角平分线，交AC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，AD ＝3DE.AD 和3DC 是什么关系?为什么?三、课堂小结：角平分线的作法及性质A OB CD E P P E D C B O A O四、课后作业：P22 4,5五、教学后记：。
苏科版初中八年级数学上册1.4 线段、角的轴对称性(1) PPT课件
例题2
如图，已知ΔABC。分别作出
AB,AC的垂直平分线m,n，交于
点O。
B
（1）测量一下，OA=OB=OC吗？
为什么？
（2）如果三角形的形状变化了， 上述结论是否仍然成立？由此， 你可以得出什么结论？
A C
练习
如图，在 ABC中，AB=AC=5,BC=4, AB的垂直平分线DE分别交AB、AC 于点E,D.求 BCD的周长。
A
B
结论
线段是________图形，____________ 是它的对称轴；
线段垂直平分线的性质
由定义得到的性质： 线段的垂直平分线垂直于这条线段，并且平分这条线段；
l
12
A O A'
性质： 直线l是AA '的 垂直平分线
AO A'O 1 2 900
动手试试
1、画线段AB; 2、取中点O; 3、过点O作AB的垂线L; 4、在L上任取一点P； 5、连接PA,PB; 6、度量PA,PB； 你发现了什么？
线段垂直平分线的性质
如何 证明
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段 两端的距离相等。
L是AB的垂直平分线 （点P在L上） PA PB
如何证明线段垂直平分线的性质定理
L是AB的垂直平分线
AO BO
AOP BOP 900 （理由：____________)
在AOP和BOP中
1.4线段、角的轴对称性
教学目标
1、经历探索线段的轴对称性的过程，进一步 体验轴对称的特征，发展空间观念；
2、探索并掌握线段的垂直平分线的性质；
回忆与思考
轴对称图形的定义：把一个图形沿着_____, 如果_____________,那么这个图形叫做轴对 称图形；
苏教版八年级上数学期中复习知识点
八年级上册期中知识点第一章轴对称图形1.1轴对称与轴对称图形1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠;如果它能够与另外一个图形重合;称这两个图形关于这条直线对称..这条直线叫做对称轴;两个图形中的对应点叫做对称点..对称轴是直线;所在的直线等2.轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠;如果直线两旁的部分能够互相重合..3.二者的区别和联系轴对称是2个分开图形整体叫做轴对称图形;轴对称图形是1个图形看成对称轴左右两个图形..4.正多边形：1.有几条边就有几条对称轴..偶数边的正多边形既是轴对称又是中心对称图形2.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称..1.2轴对称的性质1.垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线..高线;中线;角平分线都是线段2.成轴对称的两个图形全等;且其中一个图形沿某条直线翻折后能与另一个图形重合..如果两个图形成轴对称;那么对称轴是对称点连线的垂直平分线..1.4线段、角的轴对称线段的轴对称性：1.线段是轴对称图形;对称轴是线段垂直平分线所在的直线；2.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；3.到线段两端距离相等的点;在这条线段的垂直平分线上..结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合角的轴对称性：1.角是轴对称图形;对称轴是角平分线所在的直线..2.角平分线上的点到角的两边距离相等..3.到角的两边距离相等的点;在这个角的平分线上..结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合1.51.1.等腰三角形为轴对称图形;对称轴为顶角平分线所在的直线2.两个底角相等等边对等角3.三线合一顶角平分线;底边中线;底边的高判定：1.如果一个三角形两角相等那么两角所对的边也相等2.两边相等的三角形是等腰三角形2.等边三角形性质和判定：性质：1.等边三角形是轴对称图形;有三条对称轴2.三个边相等3.每个角都是60度判定：1.三个边相等的三角形是等边三角形2.三个角都相等的三角形3.有一个角等于60度的等腰三角形1.6等腰梯形的轴对称等腰梯形的定义：1.梯形的定义：一组对边平行;另一组对边不平行的四边形为梯形..梯形中;平行的一组对边称为底;不平行的一组对边称为腰..2.等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形..等腰梯形的性质： 1.等腰梯形是轴对称图形;2.等腰梯形同一底上两底角相等..3.等腰梯形的对角线相等..等腰梯形的判定：1.在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形..补充：对角线相等的梯形是等腰梯形..第二章 勾股定理与平方根2.1勾股定理1.勾股定理直角三角形两直角边a;b 的平方和等于斜边c 的平方;即222c b a =+2．勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a;b;c 有关系222c b a =+;那么这个三角形是直角CB2.2神秘的数组勾股数：满足222c b a =+的三个正整数;称为勾股数..2.3平方根1.平方根1.平方根：一般地;如果一个数x 的平方等于a;即x 2=a;那么这个数x 就叫做a 的平方根或二次方根..表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”;读作“正、负根号a ”..性质：一个正数有两个平方根;它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根..开平方：求一个数a 的平方根的运算;叫做开平方.. 注意a 的双重非负性：a ≥02.算术平方根：一般地;如果一个正数x 的平方等于a;即x 2=a;那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根..特别地;0的算术平方根是0.. 表示方法：记作“a ”;读作根号a..性质：正数和零的算术平方根都只有一个;零的算术平方根是零..2.4平方根立方根：一般地;如果一个数x 的立方等于a;即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根或三次方根.. 表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立注意：33a a -=-;这说明三次根号内的负号可以移到根号外面..2.5实数1.实数的概念及分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数1实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理数分数整数有理数实数 3⎪⎩⎪⎨⎧负数正数实数0 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之;数轴上的每一个点都表示一个实数;实数与数轴上的点一一对应..2.无理数：无限不循环小数叫做无理数..在理解无理数时;要抓住“无限不循环”这一时之;归纳起来有四类： 1开方开不尽的数;如32,7等；2有特定意义的数;如圆周率π;或化简后含有π的数;如3π+8等； …等；3.实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数零的相反数是零;从数轴上看;互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称;如果a与b互为相反数;则有a+b=0;a=—b;反之亦成立..2、绝对值在数轴上;一个数所对应的点与原点的距离;叫做该数的绝对值..|a|≥0..零的绝对值是它本身;也可看成它的相反数;若|a|=a;则a≥0；若|a|=-a;则a≤0..3、倒数如果a与b互为倒数;则有ab=1;反之亦成立..倒数等于本身的数是1和-1..零没有倒数..4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时;要注意上述规定的三要素缺一不可..解题时要真正掌握数形结合的思想;理解实数与数轴的点是一一对应的;并能灵活运用..5、估算4.实数大小的比较1、实数比较大小：正数大于零;负数小于零;正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数;右边的总比左边的大；两个负数;绝对值大的反而小..2、实数大小比较的几种常用方法1数轴比较：在数轴上表示的两个数;右边的数总比左边的数大..2求差比较：设a、b是实数;3求商比较法：设a 、b 是两正实数;;1;1;1b a ba b a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> 4绝对值比较法：设a 、b 是两负实数;则b a b a <⇔>..5平方法：设a 、b 是两负实数;则b a b a <⇔>22..5.实数的运算1六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方2实数的运算顺序先算乘方和开方;再算乘除;最后算加减;如果有括号;就先算括号里面的..3运算律加法交换律 a b b a +=+加法结合律 )()(c b a c b a ++=++乘法交换律 ba ab =乘法结合律 )()(bc a c ab =乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(2.6近似数与有效数字近似数：测量结果都是包含误差的近似数有效数字：对一个近似数;从左边第一个不是0的数字起;到末尾数字止;所有数字称为这个近似数的有效数字..注：当保留n 位有效数字;若第n+1位数字≤4就舍掉;若第n+1位数字≥5时;则第n 位数字进1..科学记数法一般地;一个大于10的数可以表示成n⨯的形式;其中10a10≤a;n是1<正整数;这种记数方法叫做科学记数法..第三章中心对称图形一3.1图形的旋转1.旋转定义在平面内;将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度;这样的图形运动称为旋转;这个定点称为旋转中心;转动的角叫做旋转角..性质旋转前后两个图形是全等图形;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角..3.2.中心对称与中心对称图形1.中心对称：定义：在平面内;一个图形绕某个点旋转180°;如果旋转前后的图形互相重合;那么这个图形叫做中心对称图形;这个点叫做它的对称中心..性质：1关于中心对称的两个图形是全等形..2关于中心对称的两个图形;对称点连线都经过对称中心;并且被对称中心平分..3关于中心对称的两个图形;对应线段平行或在同一直线上且相等..判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点;并且被这一点平分;那么这两个图形关于这一点对称..2.中心对称图形：把一个平面图形绕着某一个点旋转180°;如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合;那么这个图形叫做中心对称图形..这个点叫做它的对称中心..3.3平行四边形1.四边形的相关概念1、四边形在同一平面内;由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形..2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°..四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°..推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于•(n180°；-)2多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°..2.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形性质：1. 两组对边分别相等 2.两组对角分别相等 3.对角线互相平分判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3.对角线互相平分的四边形是平行四边形 4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3.两条平行线的距离两条平行线中;一条直线上的任意一点到另一条直线的距离;叫做这两条平行线的距离..平行线间的距离处处相等..4.平行四边形的面积=底边长×高=ahS平行四边形3.4矩形、菱形、正方形1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形性质：1..对角线相等对角线把矩形分为四个等腰三角形2.四个角都是直角判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形 2.三个角都是直角的四边形是矩形3.对角线相等的平行四边形是矩形形矩形的面积S=长×宽=ab矩形2. 菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形性质：1.四条边都相等 2.对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角对角线把菱形分为四个全等的直角三角形面积公式S=1/2ab判定：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.四条边都相等的四边形是菱形面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半3.正方形：定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形性质：1.四边相等;邻边垂直;对边平行 2.四个角都是直角3.两对角线相等;互相垂直平分; 每条对角线平分一组对角判定：1.一组邻边相等的矩形是正方形 2.一个角是直角的菱形是正方形3.对角线互相垂直的矩形是正方形4.对角线相等的菱形是正方形3菱形的对角线互相垂直平分;并且每一条对角线平分一组对角面积：设正方形边长为a;对角线长为bS正方形=222b a3.5三角形、梯形的中位线1.三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边;且等于第三边的一半2.梯形的中位线定义：连接梯形两腰中点的线段性质：梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半。
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你的结论是： 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
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三、例题示范： 例1、任意画∠O，在∠O的两边上分别截取OA、 OB，使OA=OB，过点A画OA的垂线，过点B画OB 的垂线，设2条垂线相交于点P，点O在∠APB的平 分线上吗？为什么？
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例2、如下图（1）所示，在△ABC中，∠C＝ 90°， BD是角平分线，交AC于点D，DE⊥AB，垂足为点E， AD＝3DE. AD和3DC是什么关系?为什么?
初中数学八年级上册 （苏科版）
1.4 线段、角的轴对称性（2）
一、情境创设： 张庄、李庄和马庄的位置如图，每两个村庄之 间都有笔直的道路相连，他们计划共同打一眼机井. 希望机井到三条道路的距离相等，你能设计出机井 的位置吗？
张庄 李庄 马庄
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二、探索思考： 1、请同学们将事先准备的薄纸拿出来，在上面任意画一个 角（∠AOB），折纸使两边OA、OB重合，你发现折痕与 ∠AOB有什么关系？ 你有什么结论： 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2、在∠AOB的内部任意取折痕上的一点P，分别作点P 到OA和OB的垂线段PD、PE，再沿原折痕折渎实验中学
3、如图，如果M点在∠ANB的角平分线上，那么 AM＝___________.
4.到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ） A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
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5、用直尺和量角器在图中的直线MN上找一点P， 使点P到射线OA和OB的距离相等.
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四、课后作业 1、如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分 ∠BAC，且CD = 5，则点D到AB的距离为
.
2、 在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，下列 说法不正确的是（ ） A、BD平分AC B、AD⊥BD C、AD垂直平分BC， D、BD垂直平分AC
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6、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D， DE⊥AB，DF⊥AC，且BD = DC，问EB = FC吗？ 说明理由 A
E B D
F C
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7．已知:如图,在ΔABC中，O是∠B、∠C外角 的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上 吗？为什么？
角平分线上的点到角的两边距离相等.
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3、上节课我们已经学习了：若点P在线段AB的垂直平分线上， 那么PA=PB，如果QA=QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上. 今天我们又学了若点P在∠AOB的平分线上，那么点P到OA、 OB的距离相等；反过来，你能提出什么猜想吗？ 先做如下操作：
A
B C
O
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8、如图，AD平分∠BAC，∠C＝90°， DE⊥ AB，那么 (1)DE和DC相等吗?为什么? (2)AE和AC相等吗?为什么?
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9、如图，直线a,b,c表示三条相互交叉的公路，现 要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相 等，可供选择的地址有几处？如何选？