圆的对称性练习1
3.2 圆的对称性(练习)(解析版)
第三章圆第二节圆的对称性精选练习一、单选题1．（2021·全国九年级课时练习）下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【答案】B【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．【详解】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；B中，等弧所对应的弦相等，故选BC中，圆心角相等所对应的弦可能互补；D中，弦相等，圆心角可能互补；故选B【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握．2．（2021·全国九年级课时练习）下列说法中，不正确的是（）A．圆是轴对称图形B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念并结合圆的特点判断各选项，然后求解即可．【详解】A 、圆是轴对称图形，正确；B 、圆的任意一条直径所在得直线都是圆的对称轴，正确；C 、圆的任一直径所在的直线都是圆的对称轴，错误；D 、经过圆心的任意直线都是圆的对称轴，正确，故选：C ．【点睛】本题主要是考查圆的特征、轴对称图形的特征，注意，语言要严密，不能说成圆的直径就是圆的对称轴，因为对称轴是一条直线，直径是线段．3．（2021·全国九年级课时练习）下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③圆是中心对称图形；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中说法正确的有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据圆的性质依次判断即可得到答案.【详解】①直径是圆中最长的弦，故正确；②在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧，故②错误；③圆是中心对称图形，故正确；④任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故④错误，正确的有2个，故选：B.【点睛】此题考查圆的性质，正确掌握弦、等弧的定义，圆的对称性是解题的关键.4．（2020·杭州市建兰中学九年级月考）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是半圆O 上不同于,A B 的一点，点D 为弧AC 的中点，连结,,OD BD AC ，设,CAB BDO b a Ð=Ð=，则（ ）．A ．a b=B ．290a b °+=C ．290a b °+=D ．45a b °+=【答案】C利用等腰三角形边角关系表示出∠AOD ，再根据同圆中平分弧平分弦垂直弦求出关系即可．【详解】解析 如图，设AC 与DO 交点为E ，连接BC ，OD OB = ，OBD BDO a \Ð=Ð=，2DOA OBD BDO a \Ð=Ð+Ð=，又D Q 为 AC 中点，AB 为O e 直径，,OD AC BC AC \^^，90AED ACB °\Ð=Ð=，90EAO EOA °\Ð+Ð=，即：290a b °+=．故选C ．【点睛】此题考查了垂径定理中同圆中平分弧平分弦垂直弦,等边对等角等有关知识点,难度一般．5．（2020·西安益新中学九年级期末）如图，AB 是O e 的直径，弧BC 、弧CD 与弧DE 相等，36COD Ð=°，则AOE Ð的度数是（ ）A ．30°B ．36°C ．54°D ．72°【答案】D【分析】由弧BC 、弧CD 与弧DE 相等，得36COB COD EOD Ð=Ð=Ð=°，即可求AOE Ð．解：∵弧BC 、弧CD 与弧DE 相等，∴36COB COD EOD Ð=Ð=Ð=°，18036372AOE Ð=°-°´=°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系，解题关键是熟知在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．6．（2021·全国九年级课时练习）如图，已知：AB 是O e 的直径，C 、D 是 BE上的三等分点，60AOE Ð=o ，则COE Ð是（ ）A ．40oB ．60oC ．80oD ．120o【答案】C【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．【详解】∵∠AOE=60°，∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，∴»BE的度数是120°，∵C 、D 是»BE上的三等分点，∴弧CD 与弧ED 的度数都是40度，∴∠COE=80°，故选C.【点睛】本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．熟练掌握圆周角定理是解题关键.7．（2021·全国九年级课时练习）如图，⊙O 中，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，F 为 CBD的中点，连接AF 、BF 、AC ，A F 交CD 于M ，过F 作FH ⊥AC ，垂足为G ，以下结论：① CFDF =；②HC ＝BF ：③MF ＝FC ：④ DF AH BF AF +=+，其中成立的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．【详解】解：∵F为CBD的中点，∴CF DF=，故①正确，∴∠FCM＝∠FAC，∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴=，CF BF∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴+＝180°，AH CF∴+＝180°，CH AF∴+=+=+=+，故④正确，AH CF AH DF CH AF AF BF故选：C．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．8．（2019·武汉市梅苑学校九年级月考）如图AB 为⊙O 的定直径，过圆上一点C 作弦CD AB ^，OCD Ð的平分线交⊙O 于点P ，当点C （不包括A ，B 两点）在⊙O 上移动时，点P （ ）A ．到CD 的距离保持不变B ．位置不变C ．等分弧DBD ．随C 点移动而移动【答案】B【分析】连OP ，由CP 平分∠OCD ，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，可得2=3,ÐÐ所以有//OP CD ，则OP ⊥AB ，即可得到OP 平分半圆APB ．从而可得答案．【详解】解：连OP ，如图，∵CP 平分∠OCD ，∴∠1=∠2，OC=OP ，\ ∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴//OP CD ，又∵弦CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴OP 平分半圆APB ，即点P 是半圆的中点．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，圆的对称性，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题9．（2021·全国九年级课时练习）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB=BC，连结OB、OC，延长CO 交弦AB于D，若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为______________．【答案】【分析】如图1，当∠DOB=90°时，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到=；如图2，当∠ODB=90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC=AB=．【详解】如图1，当∠DOB =90°时，∴∠BOC=90°∴△BOC是等腰直角三角形∴=^如图2，当∠ODB=90°时，即CD AB∴ AD=BD∴ AC=BC∵ AB=BC∴△ABC是等边三角形∴∠DBO=30°∵ OB=5∴BD==∴ BC=AB=．综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．10．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，AD DE=，AB=5，BD=4，则cos∠ECB=__．【答案】3 5【分析】连接AD，BE，根据直径所对的圆周角是直角，构建两个直角三角形，再利用等弧所对的圆周角相等得：∠ABD=∠CBE，根据等角的余角相等得：∠ECB=∠DAB，最后利用等角的三角函数得出结论．【详解】解：连接AD， BE，AD DE=，∴EBC DBAÐ=Ð，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°，∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECB =∠DAB ．AB =5，BD =4 ，3AD \==， ∴3cos cos 5ECB DAB Ð=Ð=．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，余角的性质，以及勾股定理等知识．掌握圆周角的两个定理：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．这两个性质在圆的证明题中经常运用，要熟练掌握．11．（2021·全国九年级课时练习）如图，A 、D 是⊙O 上的两点，BC 是直径，若∠D ＝32°，则∠OAC ＝_______度．【答案】58【分析】根据∠D 的度数，可以得到∠ABC 的度数，然后根据BC 是直径，从而可以得到∠BAC 的度数，然后可以得到∠OCA 的度数，再根据OA=OC ，从而可以得到∠OAC 的度数．【详解】解：∵∠D=32°，∠D=∠ABC∴∠ABC=32°∵BC 是直径∴∠BAC=90°∴∠BCA=90°-∠ABC=90°-32°=58°∴∠OCA=58°∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠OAC=58°故答案为58．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．（2021·上海九年级专题练习）一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为__________米．【答案】0.8或0.2.【分析】构造垂径定理，分两种情形求得弦心距，从而得到水深.【详解】如图所示，作AB 的垂直平分线，垂足为E ，根据题意，得 AO=0.5，AE=0.4，根据勾股定理，得，∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米）或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米），∴水深为0.2米或0.8米.故答案为：0.2米或0.8.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解答时，构造垂径定理，活用分类思想是解题的关键.三、解答题13．（2021·全国九年级课时练习）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：AB CD=．【答案】证明见解析【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．【详解】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，∵PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，∵∠PAC12=∠BOC，∠PCA12=∠AOD，∴∠BOC＝∠AOD，∴AD BC=n n，∴AD BD BC BD-=-，即AB CD=．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．14．（2021·全国九年级课时练习）如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．求证：（1）AB＝CD；（2）AE ＝CE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）欲证明AB=CD ，只需证得 AB ＝ CD ；（2）连接AC ，由 AB ＝ CD得出∠ACB=∠CAD ，再由等角对等边即可证的AE ＝CE.【详解】证明：（1）∵AD ＝BC∴ AD ＝ BC∴ AD －AC ＝ BC － AC 即 AB ＝ CD∴AB ＝CD（2）连接AC∵ AB ＝ CD∴∠ACB ＝∠DAC∴AE ＝CE【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，注意（2）中辅助线的作法是求解（2）的关键.15．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学九年级期中）如图，在O e 中， AC CB=，CD OA ^于点D ，CE OB ^于点E ．（1）求证：CD CE =；（2）若120AOB Ð=°，2OA =，求四边形DOEC 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）如图，连接OC ，先证明,AOC BOC Ð=Ð再证明：,CDO CEO V V ≌从而可得结论；（2）由120AOB Ð=°，2OA =，求解60AOC Ð=°，再利用三角函数求解,OD CD ， 利用,CDO CEO V V ≌从而可得四边形的面积．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，AC BC= ， ,AOC BOC \Ð=Ð,,CD OA CE OB ^^90CDO CEO \Ð=Ð=°，,OC OC =(),CDO CEO AAS \V V ≌.CD CE \=（2）120,AOB Ð=60AOC BOC \Ð=Ð=°，2OA OC == ，1cos 6021,sin 6022OD OC CD OC \=°=´==°==g g ,CDO CEO V V ≌12212CDO CDOE S S \==´´=V 四边形【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，圆的基本性质，两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系定理，解直角三角形的应用，四边形的面积，掌握以上知识是解题的关键．。
圆的对称性
圆的对称性温故知新：1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD1、圆的对称性(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，DE的度数．CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒AD、⌒【例3】如图，在同圆中，若⌒AB＝2⌒CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ．A. AB＞2CDB. AB＜2CDC. AB＝2CDD. 不能确定【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？课堂练习1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( )A ．122°B ．120°C ．61°D ．58°2．下列结论中，正确的是( )A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B ．等弧所对的圆心角相等C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．长度相等的两条弧是等弧3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠COD 的度数是________．5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝________°.6．在⊙O 中，若弦AB 的长恰好等于半径，则弦AB 所对的圆心角的度数为________．7．如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，弦CE ∥AB ，EC ︵的度数是40°，求∠BOD的度数．8．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3.(1)求⊙O 的半径；(2)若P 是AB 上的一动点，试求OP 的最大值和最小值．9．如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．10．如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为D.要使四边形OACB 为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )A ．AD ＝BDB ．OD ＝CDC ．∠CAD ＝∠CBDD ．∠OCA ＝∠OCB11．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．13．已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3 cm，BC＝10 cm，以BC 为直径作⊙O交射线AQ于E，F两点，求：(1)圆心O到AQ的距离；(2)线段EF的长．14．如图，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，则此货船能否顺利通过这座拱桥？15．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，试求PA＋PC的最小值．课后练习1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴．2．如图，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论中不一定正确的是( )A ．CE ＝DEB ．AE ＝OEC.BC ︵＝BD ︵ D ．△OCE ≌△ODE3．在⊙O 中，非直径的弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则AC 的长为( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点．若BC ＝6，AB ＝10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为________．7．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为________．8．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A ，B ，外圆半径OC ⊥AB 于点D 交外圆于点C.测得CD ＝10 cm ，AB ＝60 cm ，则这个车轮的外圆半径是________cm .。
3.2 圆的对称性(第一课时)
①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤
②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
①②④ ①②③
练习：在⊙O中，OC垂直于弦AB， AB = 8，OA = 5， 则AC = 4 ，OC = 3 。
O
5 3 4 ┏
A
C
8
B
例2、如图，AB是⊙O的一条弦，点C为弦AB 的中点，OC = 3，AB = 8，求OA的长。
●
想一想P88 2
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 圆也是中心对称图形.
●
O
它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可解决这个 问题.
读一读P88 3
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧 AB AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
●
O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
D
⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.
⌒
想一想 P90 6
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
B
独立作业P91 16
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
P94:习题3.2
2题祝你成功!试一试P93 15挑战自我画一画
圆的对称性练习题
OA2＋OB′2＝ 2，即 PA＋PB 的最小值为 2.
A．到 CD 的距离保持不变 B．位置不变 C．平分B︵D D，半径为 5 的⊙A 中，弦 BC，ED 所对的圆心角分别是
∠BAC，∠EAD.已知 DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦 BC 的弦心
距等于( D )
A.
41 2
B.
34 2
C．4
D．3
9．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，BG＝8 cm， AG＝1 cm，DE＝2 cm，则EF＝__6__c_m___.
1．如图，在⊙O 中，A︵B＝A︵C，∠A＝30°，则∠B＝( B ) A．150° B．75° C．60° D．15°
2．下列判断正确的是( C ) A．平分弦的直径垂直于弦 B．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
3．如图，在⊙O 中，A，C，D，B 是⊙O 上四点，OC，OD 交 AB 于 点 E，F，且 AE＝FB，下列结论中不正确的是( C )
(2)设他在不弯腰的情况下向 CD 左侧活动时他的头顶与A︵C的接触点 为点 E，向 CD 右侧活动时他的头顶与B︵C的接触点为点 F，连结 EF，则 EF⊥OC.设垂足为点 G，连结 OE.由题意，得 OG＝3－2.3＋1.7＝2.4(m)．在 Rt△OEG 中，EG＝ OE2－OG2＝ 32－2.42＝1.8(m)，∵OC⊥EF，∴EF＝ 2EG＝3.6 m，∴该菜农在不弯腰的情况下，横向活动的范围有 3.6 m.
4.1圆的对称性(1)
D
想一想
9
A
C M └
●
B
垂径定理及逆定理
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ 结论 命题
O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
1.下列说法不正确的是（ A 平分弦的直径垂直于弦 B C D
）
平分弦的直径也平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
2.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24米，拱的半径为13米，则拱高为_______米
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4. ⊙O的直径为10，弦AB=8，P为弦AB上的一动 点，那么OP长的取值范围是______________.
D
③⑤
④⑤
垂径定理的推论（知二推三）
1.直径 2.垂直于弦 4.平分弦所对的劣弧 5.平分弦所对的优弧 3.平分弦
如果把上面的五个量中的任意两个作为条件， 那么就可以推出其余三个结论.
如图，MN所在的直线垂直平分AB， 利用这样的工具，最少两次就可以找 到圆形工件的圆心，你能说出理论依 据吗？
（垂直平分弦的直线必过圆心）
出示例题：课本109页例1
圆的对称性练习题
圆的对称性（一）练习题1．下列说法中正确的是()A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等，所对的圆心角相等2．在e O中，圆心角∠AOB＝80°，圆心角∠COD＝40°，那么下列说法中正确的是()A．»»2AB CD=B．»»2AB CD>C．»»2AB CD<D．AB＝2CD3．如图，C，D为半圆上的三等分点，则下列说法正确的有()①AD=CD=BC②∠AOD=∠DOC=∠BOC③AD=CD=OC④△AOD沿OD翻折与△C OD重合A．1个B．2个C．3个D．4个4．若e O内一条弦把圆周分为3∶1的两段弧，且e O的半径为R，那么这条弦的长为()A．R B．2RC．2R D．3R5．如图，O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆与该角的两边所在直线分别交于点A，B和C，D，则AB与CD的关系是()A．AB＝CD B．AB＞CDC．AB＜CD D．无法确定6．如图，AB，CD是e O的直径，若弦DE∥AB，则弦AC与AE的大小关系为__________．7．如图，在e O中弦AB=AC，AD是e O的直径，试判断弦BD与CD是否相等，并说明理由．8．如图，在ABCD中，以A为圆心，以AB为半径作圆交A D于点F，交BC于点G，BA的延长线交e A于点E，求证：»»EF FC=.9．如图，AB，CD是eO的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且OE＝OF，请你来猜想一下，»»AC BD=吗？请加以说明．圆的对称性（二）练习题1．下列说法中正确的是( )A ．直径是圆的对称轴B ．经过圆心的直线是圆的对称轴C ．与圆相交的直线是圆的对称轴D ．与半径垂直的直线是圆的对称轴2．如图，AB 是e O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ， 则下列结论中不一定成立的是( ) A ．∠COE =∠DOE B ．CE =DEC ．OE =BED ．»»BDBC 3．如图所示，e O 的弦AB 垂直平分半径OC ， 则四边形OACB 是( )A ．正方形B ．长方形C ．菱形D ．以上答案都不对4．如图，AB 是e O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝6cm ， OD ＝4cm ，则DC 的长为( )A ．5cmB ．2.5cmC ．2cmD ．1cm 5．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为( )A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm6．右图是一个单心圆隧道的截面，若路面AB 宽为10m ， 拱高CD 为7m ，则此隧道单心圆的半径OA 是( )A ．5mB ．377mC ．375m D ．7m7．如图，AB ，AC 分别是e O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ，连接BC ，若BC ＝12，则OD ＝__________ 8．如图，在e O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ， AM ＝18，BM ＝8，则CD 的长为_________． 9．如图，已知e O 的半径为5，弦AB =6，M是AB上任意一点，则线段OM 的长可能是( ) A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.510．在半径为5cm 的圆内有两条平行弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则两弦之间的距离为__________．11．在直径为650mm 的圆柱形油桶内装进一些油后，其截面如图所示，若油面宽为600mm ，求油的最大深度．12．有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m ，拱顶高出水面2.4m ，现有一艘宽3m ，船舱顶部为长方形并高出水面2m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗？。
圆的对称性专项练习1
圆的对称性专项练习1. 若圆的半径为3，圆中一条弦为，则此弦中点到弦所对劣弧的中点的距离为．2. 若AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，16AE =，4BE =，则CD = ，AC = ．3. 已知CD 为O 直径，AB 是弦，AB CD ⊥于M ，15cm CD =，若:3:5OM OC =，则AB = ．4. 一条弦AB 分圆的直径为3cm 和7cm 两部分，弦和直径相交成60角，则AB =．5. 如图，在半径为6cm 的O 中，弦AB CD ⊥，垂足为E ，若3cm CE =，7cm DE =，则AB = ．6. 如图，O 的直径为10，弦8AB =，P 是弦AB 上的一个动点，那么OP 的取值范围是．7. 在O 中，已知5AB CD =，那么下列结论正确的是（）Ａ．5AB CD > Ｂ．5AB CD = Ｃ．5AB CD < Ｄ．不确定 8. 弓形弦长为24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（ ）Ａ．10 Ｂ．26 Ｃ．13 Ｄ．59. 如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，10cm AB =，6cm CD =，那么AC 的长为（ ）Ａ．0.5cm Ｂ．1cm Ｃ．1.5cm Ｄ．2cm10. EF 是O 的直径，5cm OE =，弦8cm MN =，则E 、两点到直线MN 距离的和等于（ ）Ｂ．6cm Ｃ．8cmＤ．3cm11. 如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于M 点，AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，若4CM =，3MD =，:1:3BF AE =，则O 的半径是（） Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．812. 如图，O 的两弦AB ，CD 互相垂直于H ，4AH =，6BH =，3CH =，8DH =，求O 的半径． 13. 如图，O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知6cm AE =，2cm EB =，30CEA ∠=，求CD 的长．14. 如图，ABCD 是直角梯形，以斜腰AB 为直径作圆，交CD 于点E ，F ，交BC 于点G ．求证：（1）DE CF =；（2）AE GF =．15. 如图，已知AB ，在AB 上作点C ，D ，E ，使AC CD DE EB ===．8AB =，弦16. 在O 中，弦AB 的垂直平分线交O 于C ，D 两点，5AC =，求O 的直径．17. 如图，O 中，AB BC ⊥，OM BC ⊥，ON AB ⊥，垂足分别为M ，N ，若16cm AB =，12cm BC =，则ON =cm，OM =cm ，O 的半径= cm ．18. 如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，25B ∠=，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于D ，交BC 于E ，则DE 的度数为 ．19．如图，已知O 中，弦12cm AB =，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，则AOB ∠的度数为，圆的半径为 ．Ｄ20. 如图，已知O 的半径为10cm ，AB 是120，那么弦AB 的弦心距是（ ）Ａ．5cmＢ．Ｃ．21. 如图，AB是O 的弦，从圆上任意一点作弦CD AB ⊥，作OC D ∠的平分线交O 于点P ，若5AP =，则BP 的值为（ ）Ａ．4 Ｂ．5Ｃ．5.5Ｄ．622. 如图，如果AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，那么下面结论中，错误的是（ ） Ａ．CE DE = Ｂ．BC BD = Ｃ．BAC BAD ∠=∠ Ｄ．AC AD >23 在半径为5cm 的O 内有一点P ，若4OP =，过点P 的最大弦长是 cm ，过点P 的最短弦的长是 cm ．24 O 的半径为5cm ，点P 到圆的最小距离与最大距离之比为2:3，求OP 的长．25. 已知：如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，AE CD ⊥，垂足是E ，BF CD ⊥，垂足是F ，求证：CE DF =．26．在O 中，弦AB 的长恰好等于半径，则弦AB 所对的圆心角为 度，弦AB 所对的圆周角为度．27． 圆的一条弦分圆为4:5两部分，其中优弧的度数为 ．28. 同圆中的两条弦长为1m 和2m ，圆心到两条弦的距离分别为1d 和2d ，且12d d >，那么1m ，2m 的大小关系是（ ）Ａ．12m m > Ｂ．12m m < Ｃ．12m m = Ｄ．12m m ≤ 29．如图，在O 中，AB AC =，70B ∠=．求C ∠度数．Ｐ30. 如图，AB 是O 的直径，BC ，CD ，DA 是O 的弦，且BC CD DA ==，求BOD ∠的度数．31. 如图，点O 是EPF ∠的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A ，B 和C ，D ， （1）AB 和CD 相等吗？为什么？（2）若角的顶点P 在圆上，或在圆内，本题的结论是否成立？请说明理由．32. 如图，将半径为2cm 的O 分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点O 对称，EF 、GH 关于点O 对称，连结PM ，则图中阴影部分的面积是 cm 233. 如图，AB 是的直径，弦CD 垂直平分OB ，则BDC ∠的度数为（ ） Ａ．15 Ｂ．20 Ｃ．30 Ｄ．4534.O 中AB 是直径，AC 是弦，点B ，C 间的距离是2cm ，那么圆心到弦AC 的距离是 cm ．35. 半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦长度分别为6cm 和8cm ，则这两弦间的距离为 cm ．36. 如图，AB 是O 的直径，AC ，CD ，DE ，EF ，FB 都是O 的弦，且AC CD DE EF FB ====，求AOC ∠与COF ∠的度数．37．圆是以 为对称中心的中心对称图形，又是以 为对称轴的轴对称图形．38．O 的半径为6cm ，P 是O 内一点，2OP =cm ，那么过P 的最短的弦长等于 cm ，过P 的最长的弦长为 cm ．39. 下列命题：①三点确定一个圆，②弦的平分线过圆心，③弦所对的两条弧的中点的连线是圆的直径，④平分弦的直线平分弦所对的弧，其中正确的命题有（ ）Ａ．3个 Ｂ．2个 Ｃ．1个 Ｄ．0个ＡＰ40. 如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，AB ，CD 相交于点E ，100COD ∠=，求COE ∠，DOE ∠的度数．41. 如图，有一座石拱桥的桥拱是以O 为圆心，OA 为半径的一段圆弧．（1）请你确定弧AB 的中点；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）若120AOB ∠=，4OA =m ，请求出石拱桥的高度． 42. 在半径为1）Ａ．30 Ｂ．45Ｃ．60Ｄ．9043.O 的半径为R ，弦AB 的长也是R ，则AOB ∠的度数是 ．44. 如图，有一圆弧形拱桥，桥的跨度16m AB =，拱高4m CD =，则拱桥的半径是．45. 如图，已知O ，线段CD 与O交于A ，B 两点，且OC OD =．试比较线段AC 和BD的大小，并说明理由．46. 如图，在△AOB 中，AO AB =，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于D ，交AO 于点E ，AD BO =．试说明BD DE =，并求A ∠的度数．47．在直径为1m 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽0.6m AB =，则油的最大深度为 m ．ＯＰ48. 如图，弦DC ，FE 的延长线交于圆外一点P ，PAB 经过圆心，试结合现有图形，添加一个适当的条件 ，使12∠=∠． 49. 如图，在O AB O OC AB O C 圆中，弦等于圆的半径，⊥交圆于， 则ABC ∠= 度．50. 如图，A B O 是的直径，C 、E 是圆周上关于AB 对称的两个不同点，CD AB EF BC AD M AF BE N ∥∥，与交于，与交于．（1）在A 、B 、C 、D 、E 、F 六点中，能构成矩形的四个点有哪些？请一一列出（不要求证明）；（2）求证：四边形AMBN 是菱形．51. 平面直角坐标系中，点(29)A ，、(23)B ，、(32)C ，、(92)D ，在P 上． （1）在图中清晰标出点P 的位置；（2）点P 的坐标是 ．52. 如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A B C 、、．（１） 用尺规作图法找出BAC 所在圆的圆心．（保留作图痕迹，不写作法）（２） 设ABC △是等腰三角形，底边8BC =cm ，腰5AB =cm ．求圆片的半径R ．垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5AB★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A． B． C． D．图 4★★6．下列命题中，正确的是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米★★★8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( ) A ． 1 cm B ． 7cm C ． 3 cm 或4 cm D ． 1cm 或7cm ★★★9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( ) A ．2 B ．8 C ．2或8 D ．3 二.填空题★1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm ★2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 ★★4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm★★5．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米 ★★6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm.★★7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm ★★8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________★★9．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD ＝l ，则弦AB 的长是★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为m★★11．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是★★12．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm★★13．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD=★★14．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30º,则AB= cmPBAO★★★15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是 Cm ★★★16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为 ★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是 厘米★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个 隧道所在圆的半径OA 是___________米 ★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。
北京课改版九年级数学上册 《圆的对称性》 同步练习(含答案)
北京课改版九年级上册圆的对称性同步练习一．选择题（共10小题，3*10=30）1．如图，直径AB 平分弦CD ，交CD 于点E ，则下列结论错误的是( ) A.AC ︵＝AD ︵ B.BC ︵＝BD ︵C ．AB ⊥CD D ．OE ＝BE2．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是( )A ．AC ＝AB B ．∠C ＝12∠BODC ．∠C ＝∠BD ．∠A ＝∠BOD3．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为() A ．2 B ．4C ．6D ．84．下列命题中正确的是( )A ．弦的垂线平分弦所对的弧B ．平分弦的直线垂直于这条弦C ．过弦的中点的直线必经过圆心D ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分这条弦且过圆心5．如图，AB 是半圆O 的直径，半径OM 垂直于弦AC ，垂足为E ，MN ⊥AB 于N ，下列结论：①AM ︵＝CM ︵；②∠OMN ＝∠OAE ；③BC ︵＝MC ︵；④MN ＝12AC.其中正确的是( ) A ．①②③ B ．①②④C ．①③④D ．②③④6. 如图，AB 是⊙O 的直径，点M 在弦CD 上，CM ＝DM ，下列结论不成立的是( )A ．AB ⊥CD B ．CB ＝DBC ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MD7. 如图，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为( )A ．10 cmB ．16 cmC ．24 cmD ．26 cm8. 已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，则AB ＝8 cm ，则AC 的长为( )A ．2 5 cmB ．4 5 cmC ．2 5 cm 或4 5 cmD．2 3 cm或4 3 cm9. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD ＝8 cm，AE＝2 cm，则OF的长度是( )A．3 cm B. 6 cmC．2.5 cm D. 5 cm10．在半径为5 cm的⊙O中，弦AB的长为6 cm，当弦AB的两个端点A，B在⊙O上滑动时，AB的中点在滑动过程中所经过的路线为()A．圆B．直线C．正方形D．多边形二．填空题（共8小题，3*8=24）11．世界上因为有了圆的图案，万物显得更富有生机，以下图形(如图)都有圆，它们看上去是多么美丽和谐，这正是因为圆具有轴对称性．图中的三个图形是轴对称图形的有____________；(分别用三个图的序号填空)12．如图，AB，AC分别是⊙O的弦，D，E分别是AB，AC的中点，∠DOE＝120°，则∠DAC的度数为_______．13．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且AE＝3 cm，BF＝5 cm，若⊙O的半径为5 cm，求CD的长．14．如图，若⊙O 的半径为13 cm ，点P 是弦AB 上的一个动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦AB 的长为_______cm.15．如图，⊙O 的直径AB 平分CAD ︵，AB 交CD 于E ，AE 与BE 的长度之比为5∶1，CD ＝16 cm ，则⊙O 的半径为_______cm.16．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G ，B ，F ，E ，GB ＝8 cm ，AG ＝1 cm ，DE ＝2 cm ，则EF ＝________.17．如图所示，以O 为圆心的同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C ，D ，如果AB ＝3cm ，CD ＝2cm ，那么AC ＝__ __cm.18. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为_______．三．解答题（共7小题，46分）19. (6分) 如图，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，求DM 的长．20. (6分) 如图，AB 为⊙O 的直径，从圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O于P ，求证：AP ︵＝BP ︵.21. (6分)若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm 、深约为2 cm 的小坑，求该铅球的直径.22．(6分) “圆材埋壁”是我国古代著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 题目用现在的数学语言表达是：如图所示，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD 的长．23. (6分) 已知以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到AB的距离为6，求AC的长．24. (8分) 已知⊙O的弦CD与直径AB垂直于点F，点E在CD上，且AE＝CE.(1)求证：CA2＝CE·CD；(2)已知CA＝5，EA＝3，求sin∠EAF25. (8分) 已知圆的半径为5 cm，两弦AB∥CD，AB＝8 cm，CD＝6 cm，则两弦AB，CD 的距离是多少？参考答案1-5DBDDB 6-10DCCDA11. ①②③12. 60°13. 6 cm14. 2415. 245516. 6cm17. 0.518. 419. 解：连结AO ，∵OM ⊥AB ，∴AM ＝12AB ＝4. 在Rt △AOM 中，AO ＝5，AM ＝4，∴由勾股定理得OM ＝3，则DM ＝5＋3＝8.20. 解：连结OP ，∵OC ＝OP ，∴∠OCP ＝∠P ，又∠DCP ＝∠OCP ，∴∠DCP ＝∠P ，∴CD ∥OP ，∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴AP ︵＝BP ︵21. 解：如图所示，依题意，得AB ＝10 cm ，CD ＝2 cm.连结OA ，作OC ⊥AB 于点D ，交圆O 于点C ，∴AD ＝12AB ＝12×10＝5(cm)． 设铅球的半径为k cm ，则OD ＝(k －2)cm ，在Rt △AOD 中，AD 2＋OD 2＝OA 2，∴52＋(k －2)2＝k 2，解得k ＝7.25，∴2k ＝14.5.22. 解：连结OA.∵CD ⊥AB 于E ，CD 为直径，∴AE ＝12AB ＝12×10＝5(寸)． 在Rt △AEO 中，设AO ＝x ，则OE ＝(x －1)寸．由勾股定理得x 2＝52＋(x －1)2，解得x ＝13，∴OA ＝13寸，∴CD ＝2OA ＝26寸，∴直径CD 的长为26寸．23. 解：(1)作OH ⊥CD 于点H ，在小圆中，CH ＝DH ；在大圆中，AH ＝BH ，∴AH －CH ＝BH －DH ，即AC ＝BD(2)在Rt △OCH 中，CH ＝OC 2－OH 2＝82－62＝27，在Rt △OAH 中，AH ＝OA 2－OH 2＝102－62＝8，∴AC ＝8－2724. 解：(1)∵CD ⊥AB ，∴AC ︵＝AD ︵，∴∠D ＝∠C ，又∵AE ＝EC ，∴∠CAE ＝∠C ，∴∠CAE ＝∠D ，∠C 是公共角，∴△CEA ∽△CAD ，∴CA CD ＝CE CA，即CA 2＝CE·CD (2)∵CA 2＝CE·CD ，AC ＝5，EC ＝EA ＝3，∴52＝CD×3，∴CD ＝253， 又∵CF ＝FD ，∴CF ＝12CD ＝12×253＝256，∴EF ＝CF －CE ＝76， 在Rt △AFE 中，sin ∠EAF ＝EF AE ＝763＝71825. 解：如图：分2种情况。
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初中数学总复习（20）圆的有关知识
〖考试内容〗
圆.弧、弦、圆心角的关系.点与圆的位置关系.垂径定理.圆周角与圆心角的关系. 〖考试要求〗
①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，了解点与圆的位置关系. ②了解圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征. ③了解垂径定理，并会运用垂径定理进行有关计算. 〖考点复习〗 1．圆周角与圆心角的关系
[例1]已知O 为△ABC 的外心，∠A ＝60°，则∠BOC 的度数是（ ） A ．30º B ．60º C ．90º D ．120º
2．弧、弦、圆心角的关系
[例2]如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。
求证：∠D=∠B
3．直径所对圆周角是直角
[例3]如图，AB 是⊙O 的直径，若AB ＝4cm ，∠D ＝30º，则∠B ＝＿＿＿＿º，AC ＝＿＿＿＿cm 。
4．垂径定理
[例4]如图，⊙O 的半径为5cm ，圆心到弦AB 的距离为3cm ，则弦AB 的长为____________cm [例5] (本小题满分7分)
如图6，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H . (1) 求证：AH AB =AC 2；
(2) 若过A 的直线与弦CD (不含端点)相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，求证：AE AF =AC 2；
(3) 若过A 的直线与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断AP AQ =AC 2是否成立(不必证明). 〖考题训练〗
1、已知：如图, ⊙O 的两条弦AE 、BC 相交于点D,连结AC 、BE.若∠ACB ＝60°,则下列结论中正确的是
A 、∠AO
B ＝60° B 、∠ADB ＝60°
C 、∠AEB ＝60°
D 、∠AEB ＝30°
2．如图，在⊙O 中，若∠BAC ＝48°，则∠BOC ＝_________。
A B
C
O
A
B
C
O
O
A
B
E D
C
B
A
O A
B
C
D
O E
F
！
3．如图，把一个量角器放置在∠BAC 的上面，请你根据量角器的读数判断∠BAC 的度数是( )。
A 、300
B 、600
C 、150
D 、200 4．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b (a >b )，则此圆的半径为
A 、
2
a b
+ B 、
2
a b
- C 、
2a b +或2
a b
- D 、a +b 或a -b 5．下列三个命题：
①园既是轴对称图形，又是中心对称图形； ②垂直于弦的直径平分这条弦； ③相等圆心角所对的弧相等；
其中是真命题的是
A 、①②
B 、②③
C 、①③
D 、①②③
6．我们知道2003年10月我国成功地发射了第一艘载人飞船.下面是关于“神舟五号载人飞船”在太空中飞行的一段报道：
15日15时57分，据航天员杨利伟报告和地面监测表明“神舟五号载人飞船”变轨．．成功.据北京航天指挥控制中心现场工作人员介绍,飞船发射升空后,进入的是绕地球飞行的椭圆轨道.实施变轨后．．．,飞船进入的是距地球表面约343千米的圆形轨道.
看完上面的这段报道,请你说出“神舟五号载人飞船”变轨后．．．的轨迹是： .(地球的半径约为6371千米) 7．如图，在⊙O 中，弦AB =1.8cm ，圆周角∠ACB =30°，则⊙O 的直径等于______cm. 8．如图, ⊙O 的半径OA=6, 以A 为圆心,OA 为半径的弧交⊙O 于B 、C 点, 则BC= ( )
A 、36
B 、26
C 、33
D 、23
10．如图，P 是⊙O 外一点，OP 垂直于弦AB 于点C ，交⌒
AB 于点D ，连结OA 、OB 、AP 、BP 。
根据以上条件，写出三个正确结论（OA=OB 除外）：
① ；② ；③ 。
11。
已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米,圆心O 到AB 的距离为3厘米,则⊙O 的半径是（ ）
A 、3厘米
B 、4厘米
C 、5厘米
D 、8厘米
12．AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。
（1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD
（2）（4分）连HB ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。
〖课后作业〗
1．如图，C 是⊙O 上一点，O 是圆心，若∠C =35°，则∠AOB 的度数为（ ）
A 、35°
B 、70°
C 、105°
D 、150°
A B C O
A
O D B
H
E C _ C
_ _ B
_ O
！
2．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠B ＝50°，则A 等…（ ） A 、80° B 、60° C 、50° D 、40°
3．如图，AB 是⊙O 的直径，若AB=4㎝，∠D=30°，则∠B= °，AC= ㎝. 4．如图，在⊙O 中，已知∠ACB=∠CDB=60°，AC=3，则△ABC 的周长是 ． 5．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，以AC 为直径的圆交AB 于D ，则AD 的长为( ) (A) 59 (B) 512(C) 5
16
(D) 4
6．已知：如图,OA 、OB 为⊙O 的半径,C 、D 分别为OA 、OB 的中点, 若AD ＝3厘米,则BC ＝ 厘米.
7．如图2，D 、E 分别是⊙O 的半径 OA 、OB 上的点，CD ⊥OA 、CE ⊥OB 、CD=CE ，则 AC 与CB 两弧长的大小关 系是： .
8．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A 、4 B 、6 C 、7 D 、8
9．如图，梯形ABCD 内接于◎○，AB//CD ，AB 为直径，DO 平分∠ADC ，则∠DAO 的度数是（ ） A 、900
B 、800
C 、700
D 、600；
10．在直径为10m 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽AB =8m ，那么油的最大深度是______m.
D
C O
B
A
D C B
A
O A B
C
D
O O
A
B
M
A
B
10 m 8m。