华罗庚学校数学教材(六年级上)第13讲 棋盘中的数学(四)
本系列共14讲第十三讲棋盘中的数学（四）
——棋盘格的计数问题.文档贡献者：与你的缘
与棋盘有关的另一大类数学问题是计数问题．我们只能就一些简
单的例题进行解说，并随之介绍解题的思想方法．
例1如下左图，在中国象棋盘上，乙方一只边卒已经过河，它
可以向前移一步到B，也可以横行一步到A，要使这个小卒沿最短路
线走到对方帅所在的位置（假定前进路上没任何阻难），问有多少种
不同的走法？
解：为了解这个问题，可以从简单的情形开始，逐步进行．上右
图中，小卒沿最短路线走到A、B、C、D、E、F、G、H的走法都只有
一种，走到K，则有两种：先走到A再走到K，或者先走到B，再走
到K．走到M，则有1＋2＝3种：先走到C再到M有一种，先走到K
再到M有2种（因为走到K有2种走法）．把走法的种数标在各点上，
每个数等于它前面的两个数（下图中左方一个，下方一个）的和．走到帅的位置有70种不走法．
说明：利用标数法可以很快求出从一个点到棋盘上另一点最短的
不同路线数，这是一种很直观有用的计数方法．
例2围棋盘上横竖各有19条线（如下图），在棋盘上组成许多
大小不同的正方形，问其中有多少个和图中右侧小正方形大小一样的正方形（小正方形面积是这个围棋盘的）？14
解法1：我们把小正方形放在大正方形的左上角，则小正方形的
右边线与大正方形的第10条竖线重合．将小正方形向右平行移动一
格（如下图）则又可出现一个小正方形，顺次向右移动9次后，小正
方形的右边线与大正方形的右边线重合．这样前后共得到10个小正
方形．同样，将左上角小正方形再每次向下移动一格，也可得到10
个小正方形．所以共有10×10＝100个小正方形．
解法2：将大正方形左上角的小正方形沿大正方形的对角线AC
移动，第1次移动（如下图）可视为是右移一格和下移一格的合成，
也可视为是下移一格和右移一格的合成．再加上初始位置的小正方
形，这时就有1＋3个小正方形．继续将小正方形沿对角线移动，共
移动9次，小正方形就移动到大正方形的右下角．这时共包含小正方
形（1＋3＋5…＋19）个，我们可按小高斯计算1＋2＋3＋…＋100的方法求出1＋3＋5＋…＋19==100个。(191)102+×
解法3：我们先在下右图小正方形中找一个代表点，例如右下角
的代表点E，然后将小正方形按题意放在围棋盘上，仔细观察点E应
在什么地方，通过观察，不难发现：
①点E只能在棋盘右下角的正方形ABCD（包括边界）的格子点
上。子点个数”了，很容易看出正方形ABCD中的格子点为10×10＝
100个．
说明：以上三种解法都有一定代表性．其中解法3既巧妙又迅速，
它利用了“一一对应就一样多”的配对原理．配对原理在计数中是非
常重要的。
例3从8×8的方格棋盘（下图）中取出一个由三个小方格组
成的“”形（可旋转），问有多少种不同的取法？
分析如果从2×2的方格中取“L”形，则有4种不同的取法，
因此，我们只要知道从8×8的方格棋盘上总共可以取出多少个“田”
字形就可以了，又由于每个“田”字形的中心点是棋盘内横线与竖线
的交叉点（但不包括边界上的点），反过来每一个这样的交叉点都有
一个以它为中心的“田”字形，于是问题就转化为求横线与竖线一共
有多少个不在边界上的交叉点．解：设S是从棋盘上所能取出的所有“田”字形组成的集合，S
′是棋盘内所有横线和竖线的交叉点（不包括边界上的点）组成的集
合．
由于每个“田”字形的中心点是棋盘内横线与竖线的一个交叉点
且不在边界上，反过来，位于棋盘内横线与竖线交叉点四周的四个小
方格恰好组成一个“田”字形，因此集合S与S′的元素能一一配对．由
配对原理，这两个集合的元素一样多．
而棋盘内横线与竖线的交叉点有：
（9－2）×（9－2）＝49（个）．
所以棋盘上可以取出“田”字形的个数为49个．又由于从一个
“田”字形中可以取出4个“”形，并且，从不同的“田”字形
中取出的“”形是不同的，所以可知，从棋盘上共可以取出49
×4＝196个“”形，即题中“”形的不同取法共196种．
②反过来，右下角正方形ABCD中的每一个格子点都可以作为小
正方形的点E，也只能作为一个小正方形的点E．
这样一来，就将“小正方形的个数”化为“正方形ABCD中的格
例4如下图在5×5棋盘格中，共有多少个正方形？
解：在5×5的棋盘格中：包含1×1的正方形共25个；
包含2×2的正方形共16个；
包含3×3的正方形共9个；
包含4×4的正方形共4个；
包含5×5的正方形共1个；
总计包含各种正方形共有：
25＋16＋9＋4＋1＝55个．
说明：本题解法是先将正方形分成五类：1×1，2×2，3×3，4
×4，5×5，对每一类都仿例3中第3种解法去解是非常迅速的．
例5下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16
个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的三个点为顶
点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
分析解决这个问题，主要是运用两个结论：
①同底等高的两个三角形的面积相等．
②平行的两条直线间的距离处处相等．
解：设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角
形的面积是：×2×3=312所求的三角形可分两种情形：
①三角形的一边长为2，这边上的高是3．这时，长为2的边只能在原正方形的边上．这样的三角形有：
2×4×4＝32（个）．
②三角形的一边长为3，这边上的高是2．这时，长为3的边是
原正方形的一边或平行于一边的分割线（其中，与①重复的三角形不
再算入）．这样的三角形有：
8×2＝16（个）．
答：所求的三角形共48个（包括上页图中给出的三角形）．
说明：解本题，容易出现两种错误，一是“少”，如忽略了底是3，
高是2的三角形，这样就少算了16个；二是“多”：在计算底是3，
高是2的三角形时，没有考虑其中有16个在情形①中已经计算过了，
于是会得出错误结果64个．
棋盘格计数问题，本质上是一种数数问题．其一要注意会把对象
分类．其二，在每类数数时要做到不重，不漏．这样才能得到正确的
结果。习题十三
1．下图是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上，问：共有多少种不同的放法？
2．下图中的象棋盘上一只小卒过河后沿最短的路走到对方“帅”处，试问这小卒有多少种不同的走法？
3．下图表示某城市的街道图，若从A走到B（只能由北往南，
由西向东），问共有多少种不同的走法？
4．下图是一个道路图，A处有一大群孩子，这群孩子向东或向
北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，
如果最后有60个孩子到过路口B，问：先后共有多少孩子到过路口C？
5．如下图，在5×5的棋盘上放了二十枚棋子，问：以这些棋子
为顶点的正方形共有多少个？
小学六年级数学毕业考试难题：最优化问题(一、二)答案
1
数学思维策略培训——最优化问题（一）
姓名 评价
例如我们家里做饭时，通常有以下步骤，择菜，洗菜，切菜，炒菜，洗米，煮饭等.如果一个人做这些事时，若能比较合理地安排前后顺序，就会在最短的时间内做好饭。再比如同学们的父母为家人做衣服.在裁剪衣料时，如果能够精打细算，就可以在衣料一定量的前提下裁剪出更多或更好的衣服。又比如我们上街购物时，如果事先计划好路线，就可以少走冤枉路，节省时间。这样的事例可以举出很多.这种问题大致可以分为两类：一类是确定一项任务后，精打细算，使用最少的人力、物力去完成它；另一类是已有一定数量的人力、物力，合理调配，使之发挥最大效力，从而多、快、好省地完成任务。
华罗庚爷爷非常重视数学在科学技术和工农业生产中的应用，他生前曾积极推广、普及了“统筹方法”和“优选法”。在这一讲，我们通过几个简单的“最优化”问题，使大家对统筹和优化的方法有个初步了解。
【例1】一只平底锅上只能煎两只饼，用它煎1只饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。问煎三只饼需几分钟？怎样煎？
【例2】6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？
【例3】工地上有手推车20辆，其中10辆从A1到B1运垃圾，要60车次运完。另外10辆从A2到B2运砖头，要40车次运完。工地上的可行道路及路程如右图24-1（单位：米）。有人说上面的安排不合理，因为跑空车的路程还可以更少些。那么，怎样安排才算合理呢？
【例4】40名师生参加义务植树活动，他们的任务是挖树坑和运树苗.经过上午的劳动实践，40名师生大致可分成甲、乙、丙三类人员.每类人员的劳动效率见表.下午给他们分配的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，如何安排人员能使树苗运得最多？
华罗庚学校数学课本（6年级下册）第07讲整数的分拆
华罗庚学校数学课本（6年级下册）第07讲整数的分拆
第七讲整数的分拆
整数分拆是数论中⼀个既古⽼⼜活跃的问题.把⾃然数n分成为不计顺序的若⼲个⾃然数之和n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的⼀种表⽰法，叫做n的⼀种分拆.对被加项及项数m加以⼀些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不⼩于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下⾯我们通过⼀些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.
⼀、整数分拆中的计数问题
例1有多少种⽅法可以把6表⽰为若⼲个⾃然数之和？
解：根据分拆的项数分别讨论如下：
①把6分拆成⼀个⾃然数之和只有1种⽅式；
②把6分拆成两个⾃然数之和有3种⽅式
6=5+1=4+2=3+3；
③把6分拆成3个⾃然数之和有3种⽅式
6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；
④把6分拆成4个⾃然数之和有2种⽅式
6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；
⑤把6分拆成5个⾃然数之和只有1种⽅式
6=2+1+1＋1＋1；
⑥把6分拆成6个⾃然数之和只有1种⽅式
6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若⼲个⾃然数之和共有
1+3+3＋2+1+1=11种不同的⽅法.
说明：本例是不加限制条件的分拆，称为⽆限制分拆，它是⼀类重要的分拆.
例2有多少种⽅法可以把1994表⽰为两个⾃然数之和？
解法1：采⽤有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993
=1992+2=2＋1992
=…
=998＋996=996+998
=997+997
因此，⼀共有997种⽅法可以把1994写成两个⾃然数之和.
解法2：构造加法算式：
于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定⼀个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到⼀种分拆⽅法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆⽅式.
华罗庚学校数学课本二级
华罗庚学校数学课本：二年级
上册
第一讲 速算与巧算
一、“凑整”先算
1.计算：（1）24+44+56
（2）53+36+47
解：（1）24+44+56=24+（44+56）
=24+100=124
这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.
（2）53+36+47=53+47+36
=（53+47）+36=100+36=136
这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.
2.计算：（1）96+15
（2）52+69
解：（1）96+15=96+（4+11）
=（96+4）+11=100+11=111
这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.
（2）52+69=（21+31）+69
=21+（31+69）=21+100=121
这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.
3.计算：（1）63+18+19
（2）28+28+28
解：（1）63+18+19
=60+2+1+18+19
=60+（2+18）+（1+19）
=60+20+20=100
这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.
（2）28+28+28
=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6
=30+30+30-6=90-6=84
这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.
二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变
计算：（1）45-18+19
（2）45+18-19
高斯小学奥数六年级上册含答案第04讲对应计数
第四讲对应计数
传说电尤利曲斯在界眩了独 韻的波吕輩1®塘后，离幵了 独眼巨人的丄地一血那个可 怜的戶人毎入早展都坐在詞 穴人口的附近，帚让一只博 羊从洞里出来，就从一堆卵 石中捡趾哄来一等到了黄 昏爲羊回兀的时慎.他每放 进一只羊*就放下一块卵石” 就这样・如果早晨捲起的弟 石都放完了，他就知道他所 冇的羊状回来了.
我们往其中插入两块（相同的）木板，就能够把这 9个球分成三堆，例如:
O ODO O O ODO O O O O
OQO ODO O O O OOOOOO
ODODO
可以看到，插入两块木板把9个球分成三堆的方法很多， 那么到底有多少种插入木 板的方法呢？每相邻两个小球之间有一个空隙， 一共有8个空隙.插入的两块木板要把
小球分成三堆，说明两块木板要放在两个不同的空隙之中. 8个空隙选两个，共有 OOOO OO O 有9个球排成一行: 2 Cs 28种方法.
如果要把三堆小球分别装入颜色为红、 黄、蓝的三个袋子里，又有多少种装法呢?
其实，所谓装入红、黄、蓝三个袋子，就是把球分成三堆，因此答案也是 28 •这样我
们就把“小球装袋”问题转化成“小球插板”问题来求解了，这种方法我们称之为“插
“插板法”是一种特殊的对应技巧，能够帮我们解决很多计数问题.
例1. 把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法?
第二问允许有的“小朋友没有分到苹果” ，还能不能用“插板法”呢?
练习1、龟丞相把7个顶级乌龟壳分给4只小乌龟.如果每只小乌龟至少分一 个，共有多少种分法？如果可以有的小乌龟没有分到乌龟壳，共有多少种方 法？
例2.某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在
“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择•请问：三个选项的
统计数字共有多少种不同的可能？
「分析」题目只关心三个选项的统计数字，需要具体考虑每个学生所作的选择吗？
华罗庚学校五年级数学(上册)教材(第1-8讲,共15讲)
精选文档
可修改 本系列共 15 讲
第一讲 数的整除问题
.
一． 基本概念和知识
1．整除——约数和倍数
一般地，如 a、b、c 为整数，b≠0，且 a÷b = c，即整数 a 除以整数 b（b≠0），除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余 数是 0），我们就说，a 能被 b 整除（或者说 b 能整除 a）。记作 b︱ a。否则，称为 a 不能被 b 整除（或 b 不能整除 a）。
如果整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a
的约数（或因数）。
2．数的整除性质
性质 1：如果 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 c
整除。
性质 2：如果 b 与 c 的积能整除 a，那么 b 与 c 都能整除 a。 性质 3：如果 b、c 都能整除 a，且 b 和 c 互质，那么 b 与 c 的
积能整除 a。
性质 4：如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a。
3．数的整除特征 精选文档
可修改 y y
y y ① 能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整
数。
② 能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。
③ 能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3
（或 9）整除。
④ 能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25） 整除。
⑤ 能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125） 整除。
⑥ 能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之
和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。
⑦ 能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数 与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7
（11 或 13）整除。
二． 例题
例 1：已知 45︱ 1993 x ，求所有满足条件的六位数 1993 。 x 解：∵ 45=5×9，
第十三届华罗庚杯数学竞赛小学试题
第十三届华罗庚杯数学竞赛初一试题
1、一个小数的小数点分别向右，左边移动一位所得两数之差为2.2，则这个小数用分数表示为 。 22/99
2、某种皮衣标价为1650元，若以8折降价出售仍可盈利10%（相对于进价）那么若以标价1650元出售，可盈利 元。
3、求多位数111……11（2000个）222……22（2000个）333……33（2000个）被多位数333……33（2000个）除所得商的各个数上的数字的和为 。
4、计算（1/（1×2）+2/（1×2×3）＋3/（1×2×3×4）＋……＋9/（1×2×3×……×10）的值为 。
5、一只船顺流而行的航速为30千米/小时，已知顺水航行3小时和逆水航行5小时的航程相等，则此船顺水漂流1小时的航程为（ ）千米。
6、某电视机厂计划15天生产1500台，结果生产5天后，由于引进新的生产线生产效率提高25%，则这个电视机厂会提前（ ）天完成计划。
7、从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有（ ）种不同的选法。
8、某书的页码是连续的自然数1，2，3，4，…9，10…当将这些页码相加时，某人把其中一个页码错加了两次，结果和为2001，则这书共有（ ）页。
9、现有21朵鲜花分给5人，若每个人分得的鲜花数各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（ ）朵鲜花。
10、三名工人师傅张强、李辉和王充分别加工200个零件。他们同时开始工作，当李辉加工200个零件的任务全部完成时，张强才加工了160个，王充还有48个没有加工。当张强加工200个零件的任务全部完成时，王充还有__个零件没有加工。
11、有一块表在10月29日零点比标准时间慢4分半，一直到11月5日上午7时，这块表比标准时间快了3分钟，那么这块表正好指向正确的时间是在11月 日 时。
12、一个水箱中的水以等速流出箱外，观察到上午9：00时，水箱中的水是2/3满，到11点，水箱中只剩下1/6的水，那么到什么时间水箱中的水刚好流完？（ ）
华罗庚学校数学课本(一年级下) 第08讲 填图与拆数(二)
一年级共37讲
第八讲填图与拆数（二）
文档贡献者：与你的缘
本讲主要介绍在填图与拆数中找关键数的思考方法。
例1如右图所示。把三个1、三个2、三个3分别填在九个格
内，使横行、竖行、斜行三个数加起来的和都等于6。
解：找关键数先填。因为中间格的数和横行、竖行、斜行都有
关，所以它是关键数，确定了它，其他各格就容易填了。
（1）尝试法：若中间填“1”，再填其他格，如右图。结
果有一条斜线上的数都是1，其和为3，不合题目要求。
若中间格填“3”，再填其他格，如右图结果有一条斜行上
的数都是3，其和为9，不合题目要求。
若中间格填“2”，再填其他格，经检查，符合题目要求，如图。
（2）分析法：显然在每一横行、竖行和斜行只能填一个
“1”或一个“3”。因为若填两个1后，即使再填一个最大的3，
这一行的这三个数之和才是5，小于6，不符合题目要求；同样，
若填两个3后，即使再填一个最小的数1，这一行的三个数之
和就是7，大于6，也不符合题目要求。
如果在一行里填入两个“2”，即使在此行里再填一个2，
这一行的三个数之和也可等于6，符合题要求。
由此得出，中间方格必须填“2”。中间方格填好之后其他
各格中的数也就容易填出了。
例2如图。把1、2、3、4、5填入右图的圆圈中，使每条斜线
上的三个数相加之和都是8。
解：中间圆圈里的数是个关键数，应该首先确定它。如何确定
它呢？这样想：假如我们已经按题目要求把1、2、3、4、5填
入了五个圆圈中，这样每条斜线上的三个数相加都得8。那么
当我们把两条斜线上的数都加起来，它们的和应为8+8=16，
但是五个圆圈中所填数之和应为
1+2+3+4+5=15，
两个和数之差是1，即：16-15=1。
这个差是如何产生的呢？这是因为把两条斜线上的和数相
加时，中间圆圈中的数被加了两次，即多加了一次。把一个数
多加了一次和就多了1，可见此数是1。
然后，再求每条斜线两端的数。可求出两数之和应为8-1=7
把7分拆成两个数，有两种分拆方式：
把2和5填入一条斜线两端的圆圈中。
“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(口试)试题1-10届
华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题
第01届华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题
1. 这是七巧板拼成的正方形，正方形边长20厘米，问七巧板中平行四边形的一块（如右图中阴影部分）的面积是多少？
2．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数。
3．有49个小孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同，请你挑选出若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，你最多能挑选出多少个小孩子？
4．有一路公共汽车，包括起点和终点站共有15个车站，如果有一辆车，除终点到站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？
5．正方形的树林每边长1000米，里面有白杨树和榆树，小明从树林的西南角走入树林，碰见一株白杨树就往正北走，碰见一株榆树就往正东走，最后他走了东北角上，问：小明一共走了多少米的距离？
6．自然数按从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯……问拐第二十个弯的地方是哪一个数？
第02届华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题
1、如下图是一个对称的图形，黑色部分面积大还是阴影部分面积大？
2、你能不能将自然数1到9分别填入右面的方格中，使得每个横格中的三个数之和都是偶数？
3、司机开车按顺序到五个车站接学生到学校（如下图），每个站都有学生上车，第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半，车到学校时，车上最少有多少学生？
4、如图中五个正方形的边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。问：白色部分面积与阴影部分面积之比是多少？
5、用1、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中是偶数多还是奇数多？
6、
7、将右边的硬纸片沿虚线折起来，便可作成一个正方体，问：这个正方体的2号面对面是几号面？（如下图）
8、下面是一个11位数，它的每三个相邻数之和都是20，你知道打“？”的数字是几？
奥数 六年级 千份讲义 25 1[1].学而思杯考前辅导
请关注公众微信“数学王希伟老师”
获得更多资源与解答
模块一、计算
【例 1】 （2008年学而思杯6年级1试第1题）计算：11111200820092010201120121854108180270= 。
【例 2】 （2009年学而思杯6年级第6题）计算：1122426153577 ____。
【例 3】 （2008年学而思杯6年级第1题）计算：3413441344413444444441344444444412389275277527775277777777527777777775 。
【巩固】 (第五届《小数报》数学竞赛初赛计算题第3题)计算：11111123420261220420
学而思杯
考前辅导
请关注公众微信“数学王希伟老师”
获得更多资源与解答 【巩固】 计算：1111111315356399143195
【巩固】 111111212312100
【巩固】 234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)
全国中小学校大全-中小学黄页
会下册 考点汇总单元 06-13[数学] （人教新课标）四年级数学下册学案 三角形三 06-11[语文] 三年级语文下册复习资料
06-08[语文] 成语大全_四字成语 06-04[语文] 一年级下册语文期末复习 06-04[政治思品]
教科版三年级品德与社会下册复习要点
热门推荐（新世纪版）四年级英语教案2012年人教版小升初数学模拟试卷小升初典型应用题精练附详细解答11-12学年一至三年级教学质量检测模青岛版各年级数学期末测试有答案冀教版五年级英语下册课件长春版三年级语文上册课件青岛版五四制1-5年级数学下册概念测小学六年级数学课后辅导练习题集锦(小学六年级数学课后辅导练习题集锦冀教版三年级英语下册课件1989-2006小学数学奥林匹克试题和解答外研版(一起)五年级英语下册课件一年级数学下册教案三年级语文上册教案
小考复习试卷基础知识复习试卷 ·四年级英语下册期末复习题及答案 ·冀教版小学四年级数学下册60道简算 ·四年级下册数学知识点复习资料
·（人教版）六年级语文下册 词语过关 ·小学数学五年级下册应用题集（无答 ·（青岛版五四制）五年级数学下册概
·（青岛版五四制）一年级数学下册概 ·（青岛版五四制）四年级数学下册概 ·（青岛版五四制）三年级数学下册概
·（青岛版五四制）二年级数学下册概 专题资料复习试卷 ·六年级数学下册应用题练习题（无答 ·小学六年级数学下册易错题集（共9套）
·小学数学总复习归类讲解及训练（二 ·小学数学总复习归类讲解及训练（一 ·工程问题专项复深圳分类信息网 dongding习资料（无答案）
·小升初经典阅读每天练(附答案)（19 ·小升初专题：应用题经典试题汇编学 ·小升初典型应用题精练——工程问题
·小升初典型应用题精练——行程问题 ·小升初典型应用题精练——糊口中的 综合伙料复习试卷 ·小学英语语法练习题(无答案）
·外延版一年级起点二年英语第四册1- ·小学数学总复习测试卷（三） 代数初 ·小学数学总复习测试卷（四）量与计