华罗庚学校数学教材(五年级上)第07讲 行程问题
本系列共15讲第七讲行程问题.文档贡献者：与你的缘
在这一讲中，我们将要研究的是行程问题中一些综合性较强的
题目。为此，我们需要先回顾一下已学过的基本数量关系：
路程=速度×时间
总路程=速度和×时间
路程差=速度差×追击时间
例1：小华在8点到9点之间开始解一道题，当时时针、分针正好
成一直线，解完题时两针正好第一次重合。问：小华解这道题用了
多长时间？
分析：这道题实际上是一个行程问题。开始时两针成一直线，
最后两针第一次重合。因此，在我们所考察的这段时间内，两针的路程差为30分格，又因为时针每小时走5分格，即它的速度为121
分格/分钟，而分针的速度为1分格/分钟，所以，当它们第一次重
合时，一定是分针从后面追上时针。这是一个追击问题追及时间就是小明的解题时间。解：30÷（1－）=30÷=32（分钟）1211211118
例2：甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，
甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇。求A、B两地间的距离。画图如下：
分析：结合上图，如果我们设甲、乙在点C相遇时，丙在D点，
则因为过15分钟后甲、丙在点E相遇，所以C、D之间的距离就等
于（40＋60）×15=1500米。
又因为乙和丙是同时从点B出发的，在相同的时间内，乙走到
C点，丙才走到D点，即在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而
乙与丙的速度差为50－40=10（米/分），这样可求出乙从B到C的
时间为1500÷10=150分钟，也就是甲、乙二人分别从A、B出发到
C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。
解：（1）甲和乙15分钟的相遇路程：
（40＋60）×15=1500米
（2）乙和丙的速度差：
50－40=10（米/分）（3）甲和乙的相遇时间：
1500÷10=150分钟
（4）A、B两地间的距离：
（50＋60）×150=16500米=16.5千米。
答：A、B两地间的距离是16.5千米。
例3：甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距
离相等。小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经
过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站
立即返回，经过乙站300米时又追上小明。问：甲、乙两站的距离
是多少米？先画图如下：
分析：结合上图，我们可以把上述运动分为两个阶段来考察：
1，第一阶段：从出发到二人相遇；小强走的路程=一个甲、乙距离＋100米
小明走的路程=一个甲、乙距离－100米
2，第二阶段：从他们相遇到小强追上小明；
小强走的路程=2个甲、乙距离－100米＋300米
=2个甲、乙距离＋200米
小明走的路程=100＋300=400米
从小强在两个阶段所走的路程可以看出：小强在第二阶段所走
的路程是第一阶段的2倍，所以，小明第二阶段所走的路程也是第
一阶段的2倍，即第一阶段应走400÷2=200米，从而可求出甲、
乙之间的距离为200＋100=300米。
例4：甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到终点时，乙离终点
还有20米，丙离终点还有25米；如果甲、乙、丙赛跑的速度都不
变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？
分析：在相同的时间内，乙行了（200－20）=180米，丙行了200－25=175米，则丙的速度是乙的速度的175÷180=，那么，3635
在乙走20米的时间内，丙只能走：20×=米，因此，当乙到36359419达终点时，丙离终点还有25－=米。9419955例5：甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，
甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇。又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。先画图如下：
分析：若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，
则由题意可知甲从A到C用6分钟，而从A到D则用26分钟。因
此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：26－6=20分。
同时，由上图可知，C、D之间的路程等于BC加BD，即等于B
在6分钟钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×
（26＋6）=1600米，所以甲的速度为1600÷20=80（米/分），由此
可求出A、B间的距离。
例6：一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步
行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10
分钟有一辆公共汽车超过骑车人。如果公共汽车始发车的时间间隔
保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？
分析：要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻
两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？
由题可知：相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不
变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步
行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行
人，这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用6分钟
才能追上步行人，汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距
离。
对于骑车人可作同样的分析。因此，如果我们把汽车的速度记
作V汽，骑车人的速度为V自，步行人的速度为V人（单位都是米/分
钟），则：
间隔距离=（V汽－V人）×6（米）
间隔距离=（V汽－V自）×10（米）
V自=3V人综合上面的三个式子，可得：V汽=6V人，即V人=V汽，则：61
间隔距离=（V汽－V汽）×6=5V汽（米）61
所以，汽车的发车时间间隔就等于：
间隔距离÷V汽=5V汽（米）÷V汽（米/分钟）=5（分钟）
例7：甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边
开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟。问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇？
分析：要求过几分钟甲、乙二人相遇，就必须求出甲、乙二人
这时的距离与他们速度的关系，而与此相关联的是火车的运动，只
有通过火车的运动才能求出甲、乙二人的距离。火车的运行时间是
乙知的，因此必须求出其速度，至少应求出它和甲、乙二人的速度
的比例关系。由于本问题较难，故分步详解如下：
1，出火车速度V车与甲、乙二人速度V人的关系，设火车车长为l，
则：
（1）火车开过甲身边用8秒钟，这个过程为追及问题，故：
l=（V车－V人）×8；
（2）火车开过乙身边用7秒钟，这个过程为相遇问题，故：
l=（V车＋V人）×7
由（1）、（2）可得：8（V车－V人）=7（V车＋V人）
所以，V车=15V人2，火车头遇到甲处与火车头遇到乙处之间的距离是：
（8＋5×60）×V车=308V车=308×15V人=4620V人3，求火车头遇到乙时甲、乙二人之间的距离。
火车头遇甲后，又经过（8＋5×60）秒后，火车头才遇乙，所
以，火车头遇到乙时，甲、乙二人之间的距离为：4620V人－2（8＋5×60）V人=4004V人4，求甲、乙二人过几分钟相遇？4004V人÷2V人=2002秒=分钟301133答：再过分钟甲、乙二人相遇。301133习题七
1．晶晶每天早上步行上学，如果每分钟走60米，则要迟到5分
钟；如果每分钟走75米，则可提前2分钟到校。求晶晶到校
的路程。
2．甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5
米，丙每分钟走75米。甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东
镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇。
求东西两镇间的路程有多少米？
3．A、B两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次在距
甲站32公里处相遇，相遇后两车继续行驶，各自到达乙、甲
两站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站64公里处相遇。
甲、乙两站间相距多少公里？
4．周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A、B两点，甲、
乙两人分别从A、B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转
身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B。如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么追上乙时，甲共跑了多
少米（从出发时算起）？
5．老王从甲城骑自行车到乙城去办事，每小时骑15千米，回来
时改骑摩托车，每小时骑33千米，骑摩托车比骑自行车少用
1.8小时。求甲、乙两城的距离。
6．速度为快、中、慢的三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一
公路追赶前面一个骑车人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、
12分钟追上骑车人，现在知道快车每小时行24公里，中车
每小时行20公里，那么慢车每小时行多少公里？
7．在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一
次。如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每
隔4分钟相遇一次。问两人各跑一圈需要几分钟？
人教版五年级数学第七讲：行程问题3（追击问题）
人教版五年级数学第七讲：行程问题3（追击问题）
第五讲：行程问题（3） 追击问题
班级 姓名
精讲精练
1. 甲乙两艘货轮分别从相距15km 的两港同时向上游开出，甲货轮每小时行24km ，乙货轮每小时行21km ，甲货轮开出几小时可以追上乙货轮？
试一试：甲乙两人分别从相距100米的两地同时向西出发，甲每分钟行60m ，乙每分钟行80km ，出发几分钟后乙可以追上甲？
2．学校环形跑道上400米，莎莎和姐姐同时从起点出发往同一方向练习长跑，姐姐每分钟跑300米，莎莎每分钟跑250米，经过多少时间姐姐会和莎莎相遇？
试一试：在周长为400m 的圆形跑道直径两端，甲乙两人分别以每秒6米和每秒4米的速度同时同向骑自行车，经过多长时间甲能第二次追上乙？
★★
3. 哥哥以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后弟弟从学校出发骑车追赶哥哥，结果在距离学校800m 处追上哥哥。求弟弟的骑车速度。
试一试：玲玲从学校以每分钟60米的速度回家，10分钟后老师也从学校出发，结果在距离学校900米处赶上了玲玲。求老师的速度。
4. 甲乙两车同时从A 城出发去B 城，甲车每小时行40km ，乙车每小时行35km ，途中甲车因故障修车用了2小时，结果与乙车同时到达，乙车出发到B 城需要多少时间？ 乙
试一试1：兄弟二人同时从东城到西城，哥哥每小时行6km，弟弟每小时行4km，哥哥途中有事耽误1.5小时，结果两人同时到达西城，弟弟从东城到西城用了多少时间？
独立练习
1.小王每小时行8km，小李每小时行6km，小李出发1小时后小王开始追小李，小王追上小李需几小时？
2.在周长为200m的圆形跑道同一点，甲乙两人分别以每秒4米和每秒2米的速度同时同向骑自行车，经过多长时间甲能第二次追上乙？
3.小方从学校以200米/分的速度骑车回家，3分钟后小红也从学校出发，在距离学校1000米处追到小方，求小红的速度。
4．甲乙两船同时从A港出发去B港，甲船每小时行25km，乙船每小时行20km，途中甲船临时卸货用了2小时，结果与乙船同时到达，乙船出发到B港需要多少时间？
五年级奥数学习讲义 第31讲 行程问题(四) 练习及答案
1 第31讲 行程问题（四）
一、专题简析：
通过前面对行程应用题的学习，同学们可以发现，行程问题大致分为以下三种情况：
（1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和
（2）相背而行：相背距离=速度×时间
（3）同向而行：追及时间=追及距离÷速度差
如果上述的几种情况交织在一起，组成的应用题将会丰富多彩、千变万化。解答这些问题时，我们还是要理清题中已知条件与所求问题之间的关系，同时采用“转化”、“假设”等方法，把复杂的数量关系转化为简单的数量关系，把一复杂的问题转化为几个简单的问题逐一进行解决。
二、精讲精练
例1 甲、乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开到乙地共用了8小时，途中，有一段路在整修路面，汽车行驶这段路时每小时只能行20千米，其余时间每小时行60千米。整修路面的一段路长多少千米？
2 练 习 一
1、一辆汽车从甲城到乙城共行驶395千米，用了5小时。途中一部分公路是高速公路，另一部分是普通公路。已知汽车在高速公路上每小时行105千米，在普通公路上每小时行55千米。汽车在高速公路上行驶了多少千米？
2、小明家离体育馆2300米，有一天，他以每分钟100米的速度去体育馆看球赛。出发几分钟后发现，如果以这样的速度走下去一定迟到，他马上改用每分钟180米的速度跑步前进，途中共用15分钟，准时到达了体育馆。问：小明是在离体育馆多远的地方开始跑步的？
例2 客、货两车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米。两车相遇后又以原速前进，到达对方站后立即返回，两车再次相遇时客车比货车多行21.6千米。甲、乙两站间的路程是多少千米？
3 练 习 二
1、乙、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶。快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米。两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米。求甲、乙两地间的路程。
2、甲、乙两地相距216千米，客货两车同时从甲、乙两地相向而行。已知客车每小时行58千米，货车每小时行50千米，到达对方出发点后立即返回。两车第二次相遇时，客车比货车多行多少千米？
数 的整除
华罗庚学校数学教材（五年级上）目录
上册
第01讲 数的整除问题
第02讲 质数、合数和分解质因数
第03讲 最大公约数和最小公倍数
第04讲 带余数的除法
第05讲 奇数与偶数及奇偶性的应用
第06讲 能被30以下质数整除的数的特征
第07讲 行程问题
第08讲 流水行船问题
第09讲 “牛吃草”问题
第10讲 列方程解应用题
第11讲 简单的抽屉原理
第12讲 抽屉原理的一般表述
第13讲 染色中的抽屉原理
第14讲 面积计算
第15讲 综合题选讲
下册
第01讲 不规则图形面积的计算（一）
第02讲 不规则图形面积的计算（二）01
第03讲 巧求表面积
第04讲 最大公约数和最小公倍数
第05讲 同余的概念和性质
第06讲 不定方程解应用题
第07讲 从不定方程的整数解谈起
第08讲 时钟问题
第09讲 数学游戏
第10讲 逻辑推理（一）
第11讲 逻辑推理（二）
第12讲 容斥原理
第13讲 简单的统筹规划问题
第14讲 递推方法
第15讲 综合题选讲
1. 有三根绳子，第一根长24米，第二根长36米，第三根长48米，现在要把三根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截多少段？
2. 一张长方形的纸，长40厘米，宽28厘米，要把它裁成正方形纸片，正方形的边长最大可以是几厘米？一共可以裁多少块？
3. 一个班学生人数不足50人，分别按6、8和12人分组，学生都正好分完。这个班共有多少人？
4. 三个朋友每人隔不同的天数到图书馆一次，甲3天一次，乙4天一次，丙5天一次，上次三个人是星期二在图书馆相逢，至少还要过多少天才能在图书馆重逢？重逢时是星期几？
5. 有一条道路，左边每隔5米种一棵杨树，右边每隔6米种一棵柳树，两端都种上树，连两端共有5处是杨树与柳树相对。这条道路长多少米？
行程(多次相遇)问题—2022-2023学年五年级数学思维拓展 学生版
Your Text16
周二
12022-2023学年小学五年级思维拓展
专题 行程(多次相遇)问题
知识精讲
专题简析：
通过前面对行程应用题的学习，同学们可以发现，行程问题大致分为以下三种情况：
(1)相向而行：相遇时间=距离÷速度和
(2)相背而行：相背距离=速度×时间
(3)同向而行：追及时间=追及距离÷速度差
如果上述的几种情况交织在一起，组成的应用题将会丰富多彩、千变万化。解答这些问题时，我们还是
要理清题中已知条件与所求问题之间的关系，同时采用“转化”、“假设”等方法，把复杂的数量关系转化为简单
的数量关系，把一复杂的问题转化为几个简单的问题逐一进行解决。
典例分析
1.(2019•岳麓区)甲、乙两人同时从A地出发，在直道A、B两地往返跑步，甲每分钟72米，乙每分钟48米，甲乙第二次迎面相遇与甲第二次从后面追上乙，两地相距80米，求A、B两地相距多少米？
2.(2019•郑州)如图，ABCD是一个边长为6米的模拟跑道，甲玩具车从A出发顺时针行进，速度
是每秒5厘米，乙玩具车从CD的中点出发逆时针行进(乙车速度小于甲车速度)，结果两车第二次相
遇恰好是在B点，求乙车每秒走多少厘米？
Your Text16
周二
23.(2018春•江宁区期末)小欣和小鸣分别从一座桥的两端同时相向出发，往返于两端之间．小欣
每分钟走65米，小鸣每分钟走70米，经过5分钟后两人第二次相遇．这座桥长多少米？
4.(2018•广东)甲乙二人分别从A、B两地出发相向而行，到达目的地后马上掉头回到出发地，他
们第一次相遇距A地800米，第二次距B地500米，A、B两地相距多少米？
真题演练
一、选择题(共5小题，满分5分，每小题1分)
1.(1分)(2015秋•漳州期末)爸爸和儿子去2km外的公园，爸爸和儿子同时出发．儿子骑车到公园时，
爸爸只走了一半路程．儿子立刻返回，遇到爸爸后又骑向公园，到公园又返回⋯直到爸爸到达公园．
儿子从出发开始一共骑了()
A.2kmB.4kmC.6km
小学五年级数学行程问题(一)
行程问题（一）
五年级数学教案
课题三：行程问题（一）（A）
教学内容
教科书第54页准备题和例3及相应的“做一做”，练习三十五的第1～3题．
教学目的
使学生理解有关速度、时间和路程之间的关系，学会解答已知两个物体运行的速度和相遇时间，求路程的应用题．
教具准备
写好准备题和例3的小黑板两块，有条件的学校可准备演示“相遇问题”的活动教具一套．
教学过程
一、复习
教师板书题目：“张华每分钟走60米，他3分钟走多少米？”
指名学生解答，教师板书算式：
60×3＝180（米）
教师：“解答这道题时，我们用到哪种常见的数量关系？”指名学生回答，教师在算式下面板书：
速度×时间＝路程 教师：“像这样有关速度、时间和路程的应用题，通常叫做‘行程问题’．”（板书课题：行程问题）“在这道题里，运行的物体有几个？”（一个）“今天我们来学习两个物体运行的行程问题．”
二、新课
1．教学“准备题”．
教师出示写好准备题的小黑板（题目下应画出表示运行的示意图）．请一名学生读题，并解释题意．
教师：“在这道题中运行的物体有几个？他们是怎样运行的？”
请两名学生到黑板前面来表演一下（或者用教具做演示）．
教师：“你们两人代表张华和李诚．我说‘走’，你们就同时从两边向对方走．大家注意他们两个之间的距离发生了什么变化．最后怎么样了？好，现在开始──走．”（两学生走，最后碰到一起．）“这就叫做‘两人同时从家里出发，向对方走去’．也叫做‘同时出发，相对而行’，或者‘同时出发，相向而行’．大家可以看到他们每走一分钟，他们之间的距离就缩短一段．缩短的这一段，就是他们两人每分钟所走的路程的和．最后他们碰到一起，就叫做‘相遇’．”
请全班学生打开教科书第54页，根据“准备题”的条件，填题中的表．
然后，请一名学生回答表下面的问题，引导学生观察表中数据的变化．说明出发后两人所走的路程越来越多，两人之间的距离越来越短.3分钟后，两人之间的距离变成0，也就是说相遇了．这时，两人所走的路程的和恰好是张华和李诚家之间的路程390米． 教师：“由此可知，两人从两地同时出发，相对而行，最后相遇．他们所走的路程之和就是这两地之间的路程．”
【益智教育】小学三、四、五年级奥数辅导讲座（华罗庚版）
【益智教育】小学三、四、五年级奥数辅导讲座（华罗庚版）
【益智教育】
小学三、四、五年级奥数辅导讲座
（华罗庚版）
三年级上第一讲：加法和乘法
三年级上第二讲：找规律 1
三年级上第三讲：找规律 2
三年级上第四讲：填算式—数字谜 1
三年级上第五讲：巧算 1
三年级上第六讲：巧添运算符号
三年级上第七讲：幻方和数阵图 1
三年级上第八讲：数图形—计数问题 1
三年级上第九讲：和倍问题
三年级上第十讲：差倍问题
三年级上第十一讲：和差问题 三年级上第十二讲：巧求图形的周长—图形计算1
四年级上第一讲：加法原理和乘法原理—计数问题 2
四年级上第二讲：等差数列—数列 1
四年级上第三讲：最大与最小
四年级上第四讲：包含与排除 1
四年级上第五讲：尾数的规律
四年级上第六讲：数字谜 3
四年级上第七讲：利用对应差求未知数
四年级上第八讲：盈亏问题
四年级上第九讲：鸡兔同笼问题
四年级上第十讲：行程问题 1
四年级上第十一讲：新定义的运算
四年级上第十二讲：长、正方形的面积—图形计算 2
五年级上第一讲：数列规律的应用—找规律 4
五年级上第二讲：等差数列求和的应用—数列 2
五年级上第三讲：包含与排除 3
五年级上第四讲：小数的巧算—巧算4
五年级上第五讲：行程问题 4
五年级上第六讲：牛吃草的问题
五年级上第七讲：行程问题 3
五年级上第八讲：平面图形的面积 2
五年级上第九讲：图形的计算 3
五年级上第十讲：数的进位制 2
五年级上第十一讲：简单抽屉原理 1
五年级上第十二讲：简单的统筹规划问题
五年级华罗庚学校数学课本上册第八讲：流水行船问题
五年级华罗庚学校数学课本上册第八讲：流水行船问题
第八讲 流水行船问题
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。
流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速，（1）
逆水速度=船速-水速.（2）
这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。 根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：
水速=顺水速度-船速，
船速=顺水速度-水速。
由公式（2）可以得到：
水速=船速-逆水速度，
船速=逆水速度+水速。
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到： 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。
例1 甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
分析 根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。
解：
顺水速度：208÷8=26（千米/小时）
逆水速度：208÷13=16（千米/小时）
船速：（26+16）÷2=21（千米/小时）
水速：（26—16）÷2=5（千米/小时）
答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。
例2 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？