届高三调研考试数学科质量分析

2013届高三调研考试数学科质量分析一、基本情况：1. 基本数据试题难度：理科0.５7 ，文科0.46. 文科与有预期差距（70-75）.。

文科试题略低,中挡试题略得分率不高, 理科标准差基本正常，文科标准差高，文科考生差异很大，数据与高考试题相近，说明试题有较好的区分度。

２. 高分段情况：理科１３０及以上，最高14７（北中学生），140以上７人，北江中学５人，仁化中学１人，新丰一中１人，全市130分以上有63人，其中北中３４人，市一中７人，南雄中学6人，仁化中学２人，乳源高级中学６人，曲江中学２人，翁源中学、乐昌一中、南雄一中各１人。

文科130及以上：最高分北江中学学生14６ １４０分以上４人,北江中学３人，南雄一中１人；130分以上4９人，北江中学２４人，市一中１３人，南雄中学１人，南雄一中３人，曲江中学１人，乳源高中２人，新丰一中１人，翁源中学１人，往届2人.3．成绩分布图理科总体较理想，但10-30分略偏多；文科两极分化明显，低分层10-30分人数明显偏多（40分以下人数约占24%），情况令人担忧。

目前，距离高考还有3个月，作为教师，不能放弃这部分考生，帮助考生理解好最基本的数学原理（概念，公式，法则，定理），强化双基训练（课本的例习题，高考试题中的易题），我们认为，提升的空间是很大，对提高本校成绩很有帮助. 有效转化后进生同样是教师一个重要技能.二、试题特点测试目的：较全面诊断第一轮复习的情况．并注意渗透近年广东试题的一些特点。

1.重视基础知识的考查（1）突出基础 不论文科还是理科，选择、填空题基本没有难题，有不少是容易题。

题型考生人数平均分 标准差 最高分 理科数学 9672 83.4 26.63 147 文科数学 782068.531.93146传统，多数是考生熟悉的类型，多数解答题的第（１）问同样较基本，中等生和中下生也能入手．（2）突出主干．函数方程不等式，数列，立几解几，概率与统计，三角函数，向量等构成试题的主体.（3）注重交汇考试说明明确指出，在知识网络交汇处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。

如：文理17，统计与概率整合，文7不等式与几何概型，文理20题函数导数方程不等式，文理19题圆与椭圆组合曲线。

２.注重数学思想方法的考查。

数学思想方法是数学知识的高度抽象概括，是人们对数学知识本质认识。

新课程高考主要考查的数学思想方法有：函数与方程、数形结合、化归与转化、分类与整合、特殊与一般、必然与或然。

今年试题同样重视数学思想方法。

文10理8突出考查数形结合思想（从形到数）。

此外文理16，文理19、20都体现了数形思想方法的运用. 文理20，文理21（1）考查函数与方程思想，文理19、20考查了分类讨论思想，文理17、文7题考查了必然与或然思想，文理13考查从特殊与一般思想。

我们看到，一些较为复习的问题，往往需要灵活运用多种数学思想方法解决. ３.关注数学能力. 高考试题强调以“能力立意”，就是以知识为载体，从问题入手，用统一的观点组织材料，侧重知识的理解和应用。

对能力考查的要求是全面，强调综合和应用。

考试大纲规定了考查五种能力，两种意识，即推理论证、抽象概括、运算求解、数据处理、空间想象以及创新意识和应用意识。

推理论证随处可见，文理18考查空间想象，文理17考查数据处理，理8考查阅读理解能力，数形结合思想，推理论证能力例理8：设()f x 在区间I 上有定义, 若12,x x ∀I ∈, 都有1212()()()22x x f x f x f ++≥, 则称()f x 是区间I 的向上凸函数；若12,x x ∀I ∈, 都有1212()()()22x x f x f x f ++≤, 则称()f x 是区间I 的向下凸函数. 有下列四个判断: ①若()f x 是区间I 的向上凸函数，则()f x -是区间I 的向下凸函数;②若()f x 和()g x 都是区间I 的向上凸函数, 则()()f x g x +是区间I 的向上凸函数; ③若()f x 在区间I 的向下凸函数且()0f x ≠，则1()f x 是区间I 的向上凸函数; ④若()f x 是区间I 的向上凸函数，1234,,,x x x x I ∀∈, 则有1234()4x x x x f +++1234()()()()4f x f x f x f x +++≥其中正确的结论个数是( )A.1B.2C.3D.4分析：本题给出了凸（凹）函数定义，借助数形结合和所给定义，研究凸（凹）函数的一些性质. 可先从图形入手，观察得到结论，再用定义证明。

由定义可直接证明①、②成立。

④的证明需要运用整体思想和不等式性质。

事实上，不等式1212()()()22x x f x f x f ++≥可以推广到n 个数，即：若()f x 是区间I 的向上凸函数，12,,,n x x x I ∀⋅⋅⋅∈, 则有1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥（当且仅当12n x x x ==⋅⋅⋅=时取等号）这就是著名的琴生不等式.关于函数的凸凹性，教材没有给出定义，但在习题中有所涉及。

如人教版必修（1）P49，证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=（2）若2()f x ax bx c =++，1212()()()22x x f x f x f ++≤苏教必修1，P55习题12： 对于任意12,x x R ∈，若函数()2xf x =，试比较12()2x x f +，12()()2f x f x +的大小；苏教必修1，P71习题12：对于任意12,x x R ∈，若函数()lg f x x =，试比较12()2x x f +，12()()2f x f x +的大小；高考试题中的凸（凹）函数问题： 94全国文：若函数()log a f x x =(0,1)a a >≠，判断12()2x x f +与12()()2f x f x +的大小并加以证明.94全国理：函数(),(0,)2f x tgx x π=∈，求证：1212()()()22x x f x f x f ++<05胡北，02北京均出现过这类函数.三．答题分析（解答题） 16. 文理：函数()sin()4f x A x πω=- (0,0A ω>>)的部分图像如右所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设(,)2παπ∈，且6()285f απ+=，求tan α的值. 本题主要考查正弦函数的图象特征、正弦函数的性质，同角三角函数基本关系式，考查待定系数法和数形结合的思想.属容易题，综合性不强.抽样平均分文科8.02,理科10.6答题中存在主要问题：１.求周期出错，求ω出错；２.表达不清，由sin α直接得tan α，缺过程 ；３. 最基本运算不过关：24cos 1sin 5αα=-=-（作为高中教师，教学过程中要关注学生初中的基础）１７文：高一（1）班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求高一（1）班参加校生物竞赛人数及分数在[)80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中[)80,90 间的矩形的高；（2）若要从分数在[]80,100之间的学生中任选两人进行某项研究，求至少有一人分数在[]90,100之间的概率．分析：本题主要考查茎叶图、频率分布直方图和独立事件发生的概率等基础知识，考查必然与或然思想，考查数据处理能力.抽样平均分7.36, 得分率0.61,不够理想，还有空间. 主要存在问题：１.概念不清，不理解频数，频率分布直方图的意义，例如纵轴表示的意义，“至少”的含义理解不到位；２.审题不清，第（１）问需要求三个量：，频数、总人数、矩形，回答问题不全； ３.不会表述，没有任何文字说明。

（学会表述是考试的基本功）１７理：某校为了解高二学生A 、B 两个学科学习成绩的合格情况是否有关, 随机抽取了⨯A 学科合格人数A 学科不合格人数合计 B 学科合格人数40 20 60 B 学科不合格人数20 30 50 合计6050110（1）据此表格资料，你认为有多大把握认为“A 学科合格”与“B 学科合格”有关； （2）从“A 学科合格”的学生中任意抽取2人，记被抽取的2名学生中“B 学科合格”的人数为X ，求X 的数学期望.分析：本题主要考查独立性检验，超几何分布，数学期望等知识，考查必然与或然思想，考查数据处理能力。

抽样平均分6.53, 得分率0.54,偏低.主要存在问题：１.运算出错，如计算2k ；２.不理解公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++中字母的含义，以为4n =；３.模式判断出错，误以为二项分布；４.答题不规范 缺必要表述，没有作答。

１８文：如图，已知⊥PA ⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，4AB =，C 是⊙O 上一BE C A P 点，且PA =BC AC =，PE PFPC PBλ==． (1) 求证：ABC EF 面//；(2) 求证：EF ⊥AE ；（3）当12λ=时，求三棱锥A CEF -的体积.分析：本题主要考查线线垂直，线面垂直与平行的判断与性质，三棱锥的体积等基础知识，考查化归与转化思想方法，空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.抽样平均分8.4，得分率0.6. 存在问题(1) 推理不严谨，线面平行证没有写全三个条件 (2)表述不规范，分不清∈与⊂的意义；(3)推理论证想当然，缺依据，如面PAC ⊥面PBC ，AE ⊂面PAC ，则AE ⊥PC(4)题意理解逻辑混乱 第（３）的条件12λ=用在（１）（２） （5）几何计算能力弱，面积、体积计算出错多 18理：如图，三棱锥P ABC -中，PB ⊥底面ABC 于B ，90BCA ∠=，2PB CA ==，点E 是PC 的中点.（1）求证：侧面PAC ⊥平面PBC ；（2）若异面直线AE 与PB 所成的角为θ，且，求二面角C AB E --的大小分析：本题考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定、异面直线所成角和二面 角的概念与求法，化归与转化思想方法，空间想象能力、推理论证、运算求解能力. 抽样平均分9.58，得分率0.68 存在问题１. 建系不合理，如以BC 中点为原点、点、向量坐标表达出错；２. 推理不严谨，证面面垂直漏说明垂线在平面内；３. 几何计算弱，BC 边计算错误多；４. 表述不规范，分不清∈与⊂.说明：本题条件中的“2”可不要，但对几何运算要求更高.19.文理：椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为35，两焦点分别为12,F F ，点00(,)M x y 是椭圆C 上一点，12F F M ∆的周长为16，设线段MO （O 为坐标原点）与圆222:O x y r +=交于点N ，且线段MN 长度的最小值为154. （1）求椭圆C 以及圆O 的方程；（2）当点00(,)M x y 在椭圆C 上运动时，判断直线00:1l x x y y +=与圆O 的位置关系. 分析：本题主要考查椭圆的定义、方程和简单几何性质、圆的方程、直线与圆的位置关系，数形结合、化归思想、函数与方程的思想，分类与整合思想，推理论证能力和运算求解能力.抽样平均分理科6.2，文科5.7解：（1）设椭圆C 的半焦距为c ，则35c a =，即35c a = ①………………………1分 又1212||||||2216MF MF F F a c ++=+=②…………………………………2分联立①②，解得5,3a c ==，所以4b =.所以椭圆C 的方程为2212516x y +=.…………………………………………………4分 而椭圆C 上点00(,)M x y 与椭圆中心O 的距离为||4MO ===≥，等号在00x =时成立，…6分 而||||MN MO r =-，则||MN 的最小值为4r -，从而14r =，则圆O 的方程为22116x y +=.………………………………………………………………………………8分 （2）因为点00(,)M x y 在椭圆C 上运动，所以220012516x y +=.即2200161625y x =-. 圆心O 到直线00:1l x x y y +=的距离d ==.……………11分当00x =，04y =±，14d r ===，则直线l 与圆O 相切. 当00x ≠，14d r <==，则直线l 与圆O 相交. ……………………………14分 主要存在问题：（１）不理解,,a b c 几何意义，不清楚,,a b c 关系，不会联想用定义或利用定义出错12||||16MF MF +=，有些学生直接用比例35c a =得出,a c 的值 （２）处理长度最小值问题多数利用几何直观； （３）写错圆标准方程；（４）用解析法（方程）判断圆和直线位置关系运算不过关； （５）没有分类讨论；另解：方程组00221116x x y y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩当00y =时，由220012516x y +=得05x =±，直线方程为15x =±，直线与圆相切. 当00y ≠时，由001x x y y +=得到001x xy y -=代入圆方程得：022200(1)21016y y x x x +-+-= 2201(20)44y ∆=-- 因为0[4,4]y ∈-所以0∆≥，当且仅当04y =±取等号.所以，当04y =±时，直线与圆相切；04y ≠±时，直线与圆相交.上述解法体现了解析几何的基本思想，用代数研究曲线的性质，是解析几何最基本的方法！这种解法需要有一定的代数运算（消元、化简、配方、运算线路的选择等）能力. 文20：已知函数2()ln f x x x =.（1）判断()f x 奇偶性, 并求出函数)(x f 的单调区间； （2）若函数()()1g x f x kx =-+有零点，求实数k 的取值范围.分析：本题考查函数奇偶性、单调性、零点和导数应用等知识，函数与方程、化归与转化、数形结合、分类与整合数学思想方法，推理论证能力和运算求解能力.抽样平均分 1.25，偏低.解(1) ()f x 定义域{}|0x x ≠在数轴上关于原点对称,且22()ln()ln ()f x x x x x f x -=--==,所以()f x 是偶函数……………………2分 当0x >时, ()2ln f x x x =, '()2(1ln )f x x =+由 '()0f x >, 1ln 0x +>, 解得: 1x e >所以()f x 在1(,)e +∞是增函数; 由 '()0f x <, 1ln 0x +<, 解得: 10x e <<.所以()f x 在1(0,)e是减函数. ………4分因为()f x 是偶函数, 图象关于y 轴对称，所以, 当0x <时, ()f x 在1(,)e-∞-是减函数,在1(,0)e-是增函数.所以, )(x f 的单调增区间是1(,)e +∞,1(,0)e -;单调减区间是1(0,)e ,1(,)e-∞-,.………6分(2) 由()0g x =,得 2ln 10x x kx ⋅-+=, 2ln 1x x k x x⋅=+令()h x =2ln 1x x x x⋅+………………………………………………………………………8分 当0x >时, '221()x h x x-=,当12x >, '()0h x >, ()h x 在1(,)2+∞是增函数; 当102x <<, '()0h x <, ()h x 在1(0,)2是减函数,所以, 当0x >时,()h x 极小值是1()22ln 22h =-…………………………………11分因为()h x 是奇函数,所以, 当0x <时, ()h x 极大值是1()2ln 222h -=-所以 ()(22ln 2,)(,2ln 22)h x ∈-+∞-∞-,即(22ln 2,)(,2ln 22)k ∈-+∞-∞-, 函数()g x 有零点. ……………………………14分存在问题：１. 函数的奇偶性、单调性概念理解模糊，没有考虑定义域的意识，单调区间用并集； ２. 运算出错多. 求定义域出错，求导出错（运错法则理解与记忆，运算的准确性），不会利用对称性简化运算，分离参数出错. ３. 欠缺转化意识，函数(,)g x k 有零点⇔关于x 的方程 (,)0g x k =有解⇔()k h x =有解⇔()y ky h x =⎧⎨=⎩有解另解 直接求()()1g x f x kx =-+的极值…理20题：已知定义在实数集上的函数()n n f x x =，n N *∈，其导函数记为()n f x '， （1）设函数21()()(1)n n g x f x f x -=⋅-,求()g x 的极大值与极小值；(2）试求关于x 的方程11(1)21(1)21n n n n f x f x ++'+-='+-在区间(0,1)上的实数根的个数．分析：本题主要考查利用导数求极值，不等式、二项式定理，解方程，一次函数性质等知识，数形结合，化归与转化、函数与方程、分类与整合思想方法，运算求解，推理论证能力.存在问题：１.运算出错：求导出错（复合函数求导），变形出错，(1)1nnx x -=- 2.求导函数零点漏解，含字母式的运算和变形能力弱. 3.综合运用函数、方程、不等式的能力不强（问题多）另解 令()(1)(21)(1)21nnh x n x n =+----，(0,1)x ∈，转化为研究()h x 在(0,1)x ∈零点21文理设等差数列}{n a 的公差0≠d ，等比数列}{n b 为q ，且11a b =，33b a =，57b a =（1）求等比数列}{n b 的公比q 的值；（2）将数列}{n a ，}{n b 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列}{n c ，是否存在正整数,,λμω（其中λμω<<）使得,,λμω和,,c c c λμωλμω+++都构成等差数列？若存在，求出一组,,λμω的值；若不存在，请说明理由.本题主要考查等差、等比数列、均值不等式、反证法等基础知识，方程的思想，化归与转化思想，推理论证能力、运算求解能力和创新意识（探究能力）抽样平均分理科2.97，文科1.78 解：（1）设11a b ==(0),a a ≠，由题意⎪⎩⎪⎨⎧+=+=d a aq d a aq 6242 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-da aq da aq 62420,d ≠∴1q =±不合题意………………………3分故311142=--q q ，解得22=q 2±=∴q ----------------5分 （2）答：不存在正整数,,λμω（其中λμω<<）使得,,λμω和,,c c c λμωλμω+++均构成等差数列证明：假设存在正整数,,λμω满足题意设11a b ==(0),,a a ≠且m n b a =，故 1)1(-=-+m aq d n a ，又a a aq d =-=22 2a d =∴- 1)2(211-±=-+∴m n 即2112)1(1+-±=+m m n --------------------------7分*1N n ∈+ 1(1)0m -∴±> 1221-=∴+m n m 为奇数，且-------8分令)(12*N k k m ∈-=，则2111(2k k m b a a ---=⋅=⋅a c n n 12-=∴ ---------------------------------------------------------------10分若存在正整数,,λμω满足题意，则11122(2)(2)(2)a a a μλωμλωμλω---=+⎧⎨⋅+=⋅++⋅+⎩ 11222μλω--∴=+，又112222("")λωλωλω+--+≥===当且仅当时取又λμ≠，1122222λωμλω+--∴=+> ----------------------12分 又xy 2=在R 上为增函数，2λωμ+∴>。