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八年级数学三角形中位线培优专题训练

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(完整版)初二中位线专题训练

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B三角形的中位线专题训练22，梯形ABCD 中，AB CD ∥，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ．（1）求证：CDF BGF △∽△； （2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF CD ∥交AD 于点E ，若6cm 4cm AB EF ==，，求CD 的长． 三角形中位线的性质例1、求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.例2、如图，三角形三条中位线组成的图形与原三角形的形状、大小（面积和周长）有怎样的关系？四边形ADEF 的周长与AB+AC 的关系如何？例3、 已知在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 、G 分别是BD 、AC 、BC 的中点，H 是EF的中点.求证：EF ⊥GH.例4、已知：如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.求证：四边形EFGH 是平行四边形.一、 梯形中位线的性质1、已知等腰梯形的中位线和腰长相等，都等于8cm ，这个等腰梯形的周长为（ ） A 、16 cm B 、32 cm C 、24 cm D 、40 cm2、已知四边形ABCD 是高为10的等腰梯形，AB=DC ，AD ∥BC ，又AC ⊥BD，求中位线ABCFBBB1、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ，求证：GH=21(BC-AD).变式一：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ，AD=a ，BC=b ，求EF 、FH 、GH 的长。

变式二：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，G 、H 分别是BF 、AC 的中点，求证：EF 是梯形ABCD 的中位线。

4、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD 与∠ABC 的平分线交于CDB5、 直线l 过口ABCD 的顶点B ，AA ’⊥l ，CC ’⊥l ，DD ’⊥l,试证明AA ’+ CC ’= DD ’二、 直角三角形和中位线1、在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D ，使AD=21AB ，E 、F 分别是BC 、AC 的中点。

八年级数学中心对称和三角形中位线最新最全练习巩固含答案-初中数学培优

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中心对称班级：___________姓名：___________得分：__________一、选择题1、下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.A. B. C. D.2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个A ．B ．C ．D ．4．有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆。

将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 （ ）A.51 B. 52 C. 53D. 545. 下列图形中，中心对称图形的个数是（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个6、下列说法错误的是 ( )A．中心对称图形一定是旋转对称图形B．轴对称图形不一定是中心对称图形C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分。

D．旋转对称图形一定是中心对称图形。

7、关于中心对称的两个图形,对应线段的关系是( )．(A) 平行 (B) 相等 (C) 平行且相等 (D) 相等且平行或在同一直线上二、填空题1、请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：．2、把汉字“目”绕其中心旋转90°后，所得图形与汉字相似．3、已知点O是 ABCD对角线的交点,则图中关于点O对称的三角形有对,它们分别是 .4、如图, ΔOAB绕点O旋转180°得到ΔOCD,连结AD、BC,得到四边形ABCD,则AB CD(填位置关系),与ΔAOD成中心对称的是，由此可得AD BC(填位置关系)．三、解答题1、在艺术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母，是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心．2、请你写出5个成中心对称的汉字，填在下面的方框内．3、如图，在正方形网格上有一个△ABC．（1）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′（不写作法，但要标出字母）；（2）若网格上的最小正方形边长为1，求出△ABC的面积．4．在ABCD 中，已知∠B=30°，将△ABC 沿AC 翻折至△AB ′C ，连结B ′D.（1）如图1，若0AB D B ,5A 73'==∠ ，则∠ACB= °，BC= ； （2）如图2，AB 23=，BC=1，AB ′与边CD 相交于点E ，求△AEC 的面积； （3）已知AB 23=，当BC 长为多少时，是△AB ′D 直角三角形？参考答案一、选择题1、A【解析】轴对称图形与中心对称图形的特征。

2022-2023学年第二学期初二数学名校优选培优训练专题09 三角形中位线定理

2022-2023学年第二学期初二数学名校优选培优训练专题09 三角形中位线定理

2022-2023学年第二学期初二数学名校优选培优训练专题测试专题09 三角形中位线定理姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2022春•雨花区校级月考）如图，四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CB上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关2．（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝5，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2022春•横县期中）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝9，DM＝2，则AB等于（）A．4 B．5 C．6 D．84．（2022春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，若DE是△ABC的中位线，延长DE，交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．4 B．C．D．55．（2022春•乐陵市期末）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（）图1为小丽的辅助线作法：延长DE到F，使EF＝DE，连接DC、AF、FC．图2为小亮的辅助线作法：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．A．小丽和小亮的辅助线作法都可以B．小丽和小亮的辅助线作法都不可以C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以6．（2022春•通川区期末）如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．147．（2022春•禅城区期末）已知：△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，则四边形AFDE的周长等于（）A．AB+AC B．BA+BC C．CA+CB D．△ABC的周长8．（2022春•青山区期中）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，若EF＝4，则DE的长为（）A．4 B．C．2 D．9．（2021春•金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（）A．B．5 C．D．1010．（2022春•高唐县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（）A．6 B．C．7 D．8评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2020春•凯里市期末）如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，若，则AB＝．12．（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABE中，∠B＝60°，D为AB上一点，C为BE延长线上一点，连接CD、AE，取AE中点F，取CD中点G，连接FG，若AD＝8，CE＝10，则FG＝．13．（2022春•兴城市期末）如图，△ABC中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且BE⊥CE，若AB＝8，BC＝6，则DE＝．14．（2022•华蓥市模拟）如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为．15．（2022春•府谷县期末）如图，在▱ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，过点C作CM⊥AB交AB延长线于M，连接EF，若CD＝4，BM＝2，CM＝6，则EF的长为．16．（2022春•宝应县期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝6，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是．17．（2022春•黄陵县期末）如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是△ABC的高，如果HF＝5，则ED的长为．18．（2022春•涟水县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是．19．（2021秋•北碚区校级期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝．20．（2022•上蔡县模拟）若将三个如图1所示的直角三角形拼成如图2所示的图形，在图2中标记字母，并连接AE，CD，G，H分别为AE，CD的中点，连接GH，如图3所示．若AC＝2，则GH的长为．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（2022春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．22．（2022春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，F是边BC的中点，连接EF．若AB＝5，BC＝12，求EF的长度．23．（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．24．（2022春•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．25．（2022春•抚远市期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．26．（2022春•西峰区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF＝DC；（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．27．（2022•开福区校级一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．（1）试说明AF与DE互相平分；（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．28．（2017春•西城区期中）如图，在四边形ABCD中，M、N分别是对角线AC、BD的中点，又AD、BC 的延长线交于P，求证：S△PMN＝S四边形ABCD．答案与解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2022春•雨花区校级月考）如图，四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CB上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关解：如图，连接AR，∵E、F分别是AP、RP的中点，∴EF是△APR的中位线，∴EF＝AR，∵点R不动，∴AR大小不变，∴线段EF的长不变，故选：C．2．（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝5，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵BC＝13，BF＝5，∴FC＝BC﹣BF＝13﹣5＝8，∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位线，∴DE＝FC＝×8＝4．故选：B．3．（2022春•横县期中）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝9，DM＝2，则AB等于（）A．4 B．5 C．6 D．8解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵M为BC中点，∴DM是△BCF的中位线，∴DM＝CF＝2．∴CF＝4．∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AC＝9，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝9﹣AB＝4，∴AB＝5．故选：B．4．（2022春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，若DE是△ABC的中位线，延长DE，交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．4 B．C．D．5解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝5，∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝1.5，DE∥BC，EC＝AC＝2.5，∴∠EFC＝∠FCM，∵CF是∠ACM的平分线，∴∠ECF＝∠FCM，∴∠EFC＝∠ECF，∴EF＝EC＝2.5，∴DF＝DE+EF＝1.5+2.5＝4，故选：A．5．（2022春•乐陵市期末）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（）图1为小丽的辅助线作法：延长DE到F，使EF＝DE，连接DC、AF、FC．图2为小亮的辅助线作法：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．A．小丽和小亮的辅助线作法都可以B．小丽和小亮的辅助线作法都不可以C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以解：小丽的作法：∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF为平行四边形，∴CF＝AD，CF∥AD，∵AD＝DB，∴DB＝CF，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DE＝BC，DE∥BC，能够用来证明三角形中位线定理；小亮的作法：∵GE∥AB，AF∥BC，∴四边形ABGF为平行四边形，∴AB＝FG，AF＝BG，∵DB＝AB，EG＝FG，∴BD＝EG，∴四边形DBGE为平行四边形，∴DE＝BG，DE∥BG，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠CGE，在△AEF和△CEG中，，∴△AEF≌△CEG（AAS），∴AF＝GC，∴BG＝GC，∴DE＝BC，能够用来证明三角形中位线定理，故选：A．6．（2022春•通川区期末）如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．14 解：如图，延长BN交AC于点D，∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠DAN，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°，在△ANB与△AND中，，∴△ANB≌△AND（ASA），∴AB＝AD＝8，BN＝DN，又∵M是BC边的中点，∴MN是△BCD的中位线，∴MN＝CD，∵MN＝2，∴CD＝4，∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，故选：C．7．（2022春•禅城区期末）已知：△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，则四边形AFDE的周长等于（）A．AB+AC B．BA+BC C．CA+CB D．△ABC的周长解：如图1，∵D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，∴DF＝AC，DE＝AB，AF＝AB，AE＝AC，∴四边形AFDE的周长为AF+DF+CE+AE＝AB+AC+AB+AC＝AB+AC，故选：A．8．（2022春•青山区期中）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，若EF＝4，则DE的长为（）A．4 B．C．2 D．解：如图，连接DC，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是边AB的中点，∴DC＝AB，BC＝AB，∴BC＝DC，∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥CF，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF＝4，∴BC＝4，∴DE＝×4＝2．故选：C．9．（2021春•金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（）A．B．5 C．D．10解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AD、CB的中点，∴EG∥BD且EG＝BD＝×8＝4，FG∥AC且FG＝AC＝×6＝3，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝＝＝5．故选：B．10．（2022春•高唐县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（）A．6 B．C．7 D．8解：如图，延长BD，交AC于F，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，在△ABD和△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（ASA），∴BD＝DF，AF＝AB＝4，∵BE＝CE，∴CF＝2DE＝3，∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，故答案为：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2020春•凯里市期末）如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，若，则AB＝6．解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴AD＝2EF＝3，∵CD是△ABC的中线，∴AB＝2AD＝6，故答案为：6．12．（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABE中，∠B＝60°，D为AB上一点，C为BE延长线上一点，连接CD、AE，取AE中点F，取CD中点G，连接FG，若AD＝8，CE＝10，则FG＝．解：连接AC，取AC中点M，连接MF、MG，作GN⊥MF于N．∵G为CD的中点，∴MG∥AD，MF∥BC，MF＝，MG＝＝＝4，∵∠B＝60°，∴∠FMG＝60°，∴∠MGN＝30°，∴MN＝＝＝2，NG＝＝2，∴NF＝MF﹣MN＝5﹣2＝3，∴FG＝＝＝．13．（2022春•兴城市期末）如图，△ABC中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且BE⊥CE，若AB＝8，BC＝6，则DE＝1．解：∵D、F分别是AC、BC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF＝AB＝×8＝4，∵BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，F是BC的中点，∴EF＝BC＝3，∴DE＝DF﹣EF＝4﹣3＝1，故答案为：1．14．（2022•华蓥市模拟）如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为a2．解：∵点A1、B1分别是CA、CB的中点，∴点A1B1是△ABC的中位线，∴A1B1＝AB＝a，同理可得：A2B2＝A1B1＝a，……则A2022B2022＝a，∴S＝（a）2＝a2，故答案为：a2．15．（2022春•府谷县期末）如图，在▱ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，过点C作CM⊥AB交AB延长线于M，连接EF，若CD＝4，BM＝2，CM＝6，则EF的长为3．解：连接AC，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝4，∴AM＝AB+BM＝4+2＝6，∴AC＝＝＝6，∵点E、F分别为AD、DC的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴EF＝AC＝3，故答案为：3．16．（2022春•宝应县期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝6，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是0＜S≤4.5．解：作ME⊥PN，如图所示，∵P，M，N分别是AD，BD，AC中点，∴PM＝AB＝3，PN＝CD＝3，∴S△PMN＝PN•ME＝1.5ME，∵AB与CD不平行，∴M，N不能重合，∴ME＞0．∵ME≤MP＝3．∴0＜S△≤4.5．故答案是：0＜S≤4.5．17．（2022春•黄陵县期末）如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是△ABC的高，如果HF＝5，则ED的长为5．解：∵AH是△ABC的高，∴∠AHC＝90°，∵∠AHC＝90°，F是边AC的中点，∴AC＝2HF＝10，∵D、E分别是△ABC各边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝5．故答案为：5．18．（2022春•涟水县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是．解：如图，连接CM，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM．当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小．由勾股定理得：AB＝＝＝13．∵S△ABC＝•AB•CM＝•AC•BC，∴CM＝．∴DE＝CM＝．故答案是：．19．（2021秋•北碚区校级期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝8cm．解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6cm，∴DF＝AC＝×6＝3（cm），∵EF＝1cm，∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm），∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm），故答案为：8cm．20．（2022•上蔡县模拟）若将三个如图1所示的直角三角形拼成如图2所示的图形，在图2中标记字母，并连接AE，CD，G，H分别为AE，CD的中点，连接GH，如图3所示．若AC＝2，则GH的长为．解：根据题意可知：Rt△ABC≌Rt△DEB≌Rt△FCE，∴BC＝BC＝CE，∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE＝60°，如图，取CE的中点Q，连接GQ，HQ，过点G作GN⊥HQ于点N，∵G，H分别为AE，CD的中点，∴GQ∥AC，GQ＝AC＝2＝1，∴∠GQC+∠ACQ＝180°，∴∠GQC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵△ADF是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴AB＝DE＝2AC＝4，∵H是CD中点，Q是CE中点，∴HQ∥DE，HQ＝DE＝4＝2，∴∠HQC＝∠CEF＝90°，∴∠GQH＝90°﹣30°＝60°，∵GN⊥HQ，GQ＝1，∴NQ＝GQ＝，∴GN＝，∴NH＝HQ﹣NQ＝2﹣＝，∴GH＝＝＝．故答案为：．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（2022春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．解：EF与GH互相平分，理由如下：连接EG、GF、FH、EH，∵E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点，∴EG是△ADB的中位线，FH是△ACB的中位线，∴EG＝AB，EG∥AB，FH＝AB，FH∥AB，∴EG＝FH，EG∥FH，∴四边形EGFH为平行四边形，∴EF与GH互相平分．22．（2022春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，F是边BC的中点，连接EF．若AB＝5，BC＝12，求EF的长度．解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，则AC＝＝＝13，∵AD＝AB＝5，∴DC＝AC﹣AD＝13﹣5＝8，∵AD＝AB，AE⊥BD，∴BE＝ED，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝4．23．（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，即EF＝5；（2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，∴∠BDC＝90°+∠ABD，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，∴AB2+CD2＝4EF2．24．（2022春•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．（1）证明：如图1中，∵AE⊥BE，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AD，∵AE⊥BE，∴BE＝DE，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．（2）结论：EF＝（AB﹣AC），理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于点P．∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠P AE+∠APE＝90°，∵∠BAE＝∠P AE，∴∠ABE＝∠APE，∴AB＝AP，∵AE⊥BD，∴BE＝PE，∵BF＝FC，∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．25．（2022春•抚远市期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，∴△ADB≌△ADF，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AB＝6，AC＝10，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，∵E为BC中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE＝CF＝×4＝2．26．（2022春•西峰区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF＝DC；（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE．在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝DB．∵AD是BC边上的中线，∴DC＝DB，∴AF＝DC；（2）解：四边形ADCF是矩形．证明：连接DF，由（1）得AF＝DB，AF∥DB，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AB＝DF，∵AB＝AC，∴AC＝DF，由（1）得AF＝DC，AF∥DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．27．（2022•开福区校级一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．（1）试说明AF与DE互相平分；（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB且EF＝AB．又AB＝2AD，即AD＝AB，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AF与DE互相平分；（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，∴由勾股定理得AC＝＝＝4又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，∴OA＝AC＝．∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，∴由勾股定理得DO＝＝＝．28．（2017春•西城区期中）如图，在四边形ABCD中，M、N分别是对角线AC、BD的中点，又AD、BC 的延长线交于P，求证：S△PMN＝S四边形ABCD．解：如图所示，连接DM，BM，∵M是AC的中点，∴△ADM的面积＝×△ACD的面积，△ABM的面积＝×△ACB的面积，∴△ADM的面积+△ABM的面积＝（△ACD的面积+△ACB的面积）＝×四边形ABCD的面积，∵M是AC的中点，∴△BPM的面积＝△MPC的面积+△MBC的面积＝×△ACP的面积+×△ABC的面积＝×△ABP的面积，∵N是BD的中点，∴△BPN的面积＝×△BDP的面积，△BMN的面积＝×△BDM的面积，∴S△PMN＝△BPM的面积﹣△BPN的面积﹣△BMN的面积＝×△ABP的面积﹣×△BDP的面积﹣×△BDM的面积＝（△ABP的面积﹣△BDP的面积﹣△BDM的面积）＝（△ADM的面积+△ABM的面积）＝××S四边形ABCD＝S四边形ABCD。

八下9.5三角形的中位线难题训练（有答案）

八下9.5三角形的中位线难题训练（有答案）

八下9.5三角形的中位线难题训练（有答案）八下9.5三角形的中位线难题训练姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.若顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是()A. 平行四边形B. 矩形C. 对角线相等的四边形D. 对角线互相垂直的四边形2.如图，△ABC中，AB=15，AC=13，点D为BC上一点，且AD=12，BD=9，点E，F分别为AB，AC的中点，则△DEF的周长为()A. 25B. 24C. 26D. 213.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为A. 2√2B. 4C. √15D. √174.如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.过点D作DG//BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.若AB=3，AD=4，则FG的长为()A. 258B. 158C. 254D. 1545.如图，三角形ABC中，∠B，∠C的平分线BF，CE相交于O，AG⊥BF于G，AH⊥CE于H.其中AB=9cm，AC=14cm，BC=18cm，则GH的长为()A. 2cmB. 52cm C. 3cm D. 72cm6.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF=CF；④∠EFC=2∠CFD.其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是()A. AB=CD，AB⊥CDB. AB=CD，AD=BCC. AB=CD，AC⊥BDD. AB=CD，AD//BC8.如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第二个矩形，依次类推若第一格矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为()A. 12n B. 14nC. 12n?1D. 14n?1二、填空题9.如图所示，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，OE=3，AB=5，?ABCD的周长________.10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90°，BC=2AD，F、E分别是BA、BC的中点，现有四个结论：①△ABC 是等腰三角形②四边形EFAM是菱形③S△BEF=12S△ACD④DE平分∠CDF.则下列结论正确的是_______________ 11.如图，E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足________时，四边形EFGH是菱形．12.如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=13，AC=8，则DF的长为___________13.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于D，F为AC中点，AB=5，BC=7，则DF=_________．14.如图，已知矩形ABCD的长和宽分别为16cm和12cm，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形l1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形l2；…如此操作下去，则l4的面积是______cm2．三、解答题15.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)概念理解：如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件，你添加的条件是．(2)问题探究：如图2，在“等邻边四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=6，求对角线AC的长．(3)拓展应用：如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=30°，AC为对角线，试探究AC，BC，DC的数量关系，并证明你的结论．16.在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF 一刀剪切后，用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图示1，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示，(1)在△ABC中，增加条件______ ，沿着______ 一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置；(2)在△ABC中，增加条件______ ，沿着______ 一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置；(3)在△ABC中，增加条件______ ，沿着______ 一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置．17.阅读下面材料：子薇遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．子薇是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．她先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．她的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG(如图2)，此时GF即是DE+BF．请回答：在图2中，∠GAF的度数是_______．参考子薇得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：(1)如图3，在直角梯形ABCD中，AD//BC(AD>BC)，∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，DE=4，求BE的长度．(2)如图4，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一动点，且点A(?3,2)，连接AB和AO，并以AB为边向上作正方形ABCD，若C(x,y)，求用含x的代数式表示y。

湘教版数学八年级下册_《三角形的中位线》提高训练

湘教版数学八年级下册_《三角形的中位线》提高训练

《三角形的中位线》提高训练一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=16，E为AC中点，DE∥BC，D为AB上的点，则DE的长度为（）A．2B．4C．6D．82．如图，△ABC中，BE平分∠ABC，AE⊥BE于点E，M为AB的中点，连接ME 并延长交AC于点N．若AB=6，BC=12，则线段EN的长为（）A．2B．3C．4D．53．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=25°，则∠EPF的度数是（）A．100°B．120°C．130°D．150°4．如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD 得△DEF，如果△ABC的周长是24cm，那么△DEF的周长是（）A．6cm B．12cm C．18cm D．48cm5．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，延长DE至F，使EF=DF，若BC=8，则DF的长为（）A．6B．8C．4D．二、填空题6．如图，△ABC中，AB=7cm，BC=6cm，AC=5cm，D，E，F分别是AB，BC，AC 的中点，则四边形ADEF的周长等于cm．7．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=7，则EF的长为．8．如图，已知等边三角形ABC边长为1，△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，依此进行下去得到△A5B5C5的周长为．9．如图，已知△ABC中，∠ABC的角平分线BE交AC于点E，DE∥BC，如果点D是边AB的中点，AB=8，那么DE的长是．10．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，G，H为BC 上的点连接DH，EG．若AB=5cm，BC=6cm，GH=3cm，则图中阴影部分的面积为．三、解答题11．在△ABC中，AB=AC=6，点D为BC的中点，点E为AC的中点，连接DE，求DE的长．12．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：EF垂直平分AD．（2）若四边形AEDF的周长为24，AB=15，求AC的长；13．如图、在△ABC中，AB=AC，M，N分别为AC，BC的中点，以AC为斜边在△ABC的外侧作Rt△ACD，且∠CAD=30°，连接MN，DM，DN．（1）求证：△DMN是等腰三角形；（2）若AC平分∠BAD，AB=6，求DN的长．14．如图，△ABC中，过点A分别作∠ABC，∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE．D，E为垂足，求证：（1）ED∥BC；（2）ED=（AB+AC+BC）．15．（1）如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．求证：FG=（AB+BC+AC）．[提示：分别延长AF、AG与直线BC相交]（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．《三角形的中位线》提高训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=16，E为AC中点，DE∥BC，D为AB上的点，则DE的长度为（）A．2B．4C．6D．8【分析】先根据直角三角形的性质求出BC的长，再由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=16，∴BC=AB=8．∵D为AB的中点，E为AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=4．故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．2．如图，△ABC中，BE平分∠ABC，AE⊥BE于点E，M为AB的中点，连接ME 并延长交AC于点N．若AB=6，BC=12，则线段EN的长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】延长AE交BC于H，根据等腰三角形的判定和性质得到AE=EH，BH=AB，求出HC，根据三角形中位线定理计算．【解答】解：延长AE交BC于H，∵BE平分∠ABC，AE⊥BE，∴AE=EH，BH=AB=6，∴HC=BC﹣BH=6，∵AE=EH，AN=NC，∴EN=HC=3，故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．3．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=25°，则∠EPF的度数是（）A．100°B．120°C．130°D．150°【分析】根据三角形中位线定理得到PE=AD，PF=BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴PE=AD，PF=BC，∵AD=BC，∴PE=PF，∴∠PFE=∠PEF=25°，∴∠EPF=130°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．4．如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD 得△DEF，如果△ABC的周长是24cm，那么△DEF的周长是（）A．6cm B．12cm C．18cm D．48cm【分析】利用三角形的中位线定理可以得到：DE=AC，EF=AB，DF=BC，则△DEF的周长是△ABC的周长的一半，据此即可求解．【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、BC的中点，∴DE=AC，同理，EF=AB，DF=BC，=DE+EF+DF=AC+BC+AB=（AC+BC+AC）=×24=12cm．∴C△DEF故选：B．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，正确根据三角形中位线定理证得：△DEF的周长是△ABC的周长的一半是关键．5．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，延长DE至F，使EF=DF，若BC=8，则DF的长为（）A．6B．8C．4D．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据题意计算即可．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE=BC=4，∵EF=DF，∴EF=2，∴DF=6，故选：A．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．二、填空题6．如图，△ABC中，AB=7cm，BC=6cm，AC=5cm，D，E，F分别是AB，BC，AC 的中点，则四边形ADEF的周长等于12cm．【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AC，DE=AC，EF∥AB，EF=AB，得到四边形ADEF是平行四边形，计算即可．【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC，DE=AC=2.5cm，同理，EF∥AB，EF=AB=3.5cm，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2×（2.5+3.5）=12（cm），故答案为：12．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．7．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=7，则EF的长为1．【分析】根据三角形中位线定理得到DE=BC=3.5，根据直角三角形的性质得到DF=AB=2.5，计算即可．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=3.5，DE∥BC，∵∠AFB=90°，D为AB的中点，∴DF=AB=2.5，∴EF=DE﹣DF=1，故答案为：1．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半和在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．8．如图，已知等边三角形ABC边长为1，△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，依此进行下去得到△A5B5C5的周长为．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出A1B1=AC，B1C1=AB，A1C1=BC，从而得到△A1B1C1是△ABC周长的一半，依此类推，下一个三角形是上一个三角形的周长的一半，根据此规律求解即可．【解答】解：∵△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，∴A1B1=AC，B1C1=AB，A1C1=BC，∴△A1B1C1的周长=△ABC的周长=×3=，依此类推，△A2B2C2的周长=△A1B1C1的周长=×=，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，求出后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半是解题的关键．9．如图，已知△ABC中，∠ABC的角平分线BE交AC于点E，DE∥BC，如果点D是边AB的中点，AB=8，那么DE的长是4．【分析】根据三角形的中位线定理即可求出答案．【解答】解：连接BE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DEB=∠ABE，∴∠ABE=∠DEB，∴BD=DE，∵D是AB的中点，∴AB=BD，∴DE=AB=4，故答案为：4【点评】本题考查三角形的综合问题，涉及角平分线的性质，平行线的性质等性质，需要学生灵活运用所学知识．10．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，G，H为BC 上的点连接DH，EG．若AB=5cm，BC=6cm，GH=3cm，则图中阴影部分的面积为6cm2．【分析】连接DE，作AF⊥BC于F，根据三角形中位线定理求出DE，根据勾股定理求出AF，根据相似三角形的判定定理和性质定理计算即可．【解答】解：连接DE，作AF⊥BC于F，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE=BC=3，DE∥BC，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=BC=3，在Rt△ABF中，AF==4，∴△ABC的面积=×6×4=12，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面积=12×=3，∴四边形DBCE的面积=12﹣3=9，△DOE的面积+△HOG的面积=×3×2=3，∴图中阴影部分的面积=9﹣3=6（cm2），故答案为：6cm2．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．三、解答题11．在△ABC中，AB=AC=6，点D为BC的中点，点E为AC的中点，连接DE，求DE的长．【分析】利用三角形中位线定理可以直接求得DE的长度．【解答】解：∵点D为BC的中点，点E为AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB．又AB=AC=6，∴DE=3．【点评】本题考查了三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．12．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：EF垂直平分AD．（2）若四边形AEDF的周长为24，AB=15，求AC的长；【分析】（1）根据直角三角形的性质得到DE=AE，DF=AF，根据线段垂直平分线的判定定理证明；（2）根据直角三角形的性质得到DE=AE=AB=，DF=AF=AC，根据四边形的周长公式计算．【解答】（1）证明：∵AD是高，∴∠ADB=∠ADC=90°，又E、F分别是AB、AC的中点，∴DE=AB=AE，DF=AC=AF，∴EF垂直平分AD；（2）解：由（1）得，DE=AE=AB=，DF=AF=AC，∵四边形AEDF的周长为24，∴AE+ED+DF+FA=24，∴DF+FA=24﹣15=9，∴AC=9．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．13．如图、在△ABC中，AB=AC，M，N分别为AC，BC的中点，以AC为斜边在△ABC的外侧作Rt△ACD，且∠CAD=30°，连接MN，DM，DN．（1）求证：△DMN是等腰三角形；（2）若AC平分∠BAD，AB=6，求DN的长．【分析】（1）依据三角形的中位线定理可得到MN=AB，由直角三角形斜边上中线的性质可得到DM=AM=AC，然后结合已知条件可得到DM=MN；（2）由AM=DM可得到∠CAD=∠ADM=30°，从而可得到∠DMC=60°，然后再证明∠CMN=30°，从而可得到∠DMN=90°，最后，依据勾股定理求解即可．【解答】解：（1）∵在△ABC中，M、N分别是AC、BC的中点，∴MN∥AB，MN=AB，AM=MC=AC．∵∠ADC=90°，DM为斜边上的中线，∴MD=AC．∵AC=AB，∴MN=DM．∴△DMN是等腰三角形．（2）∵∠CAD=30°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD=30°．∵MN∥AB，∴∠NMC=∠BAC=30°．由（1）DM=AM，∴∠DMC=60°．∴∠DMN=∠DMC+∠NMC=30°+60°=90°．在Rt△ABC中，DN2=DM2+MN2，DM=MN=AB=3，∴DN=3．【点评】本题主要考查的是三角形的中位线定理、勾股定理、等腰三角形的判断，熟练掌握相关知识是解题的关键．14．如图，△ABC中，过点A分别作∠ABC，∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE．D，E为垂足，求证：（1）ED∥BC；（2）ED=（AB+AC+BC）．【分析】（1）分别延长AD、AE与直线BC交于点F、G，根据AD⊥BD，得到∠ADB=∠FDB=90°，再根据BD=BD，∠ABD=∠FBD，证得△ABD≌△FBD，进而得到AD=FD、AE=EG，证得DE∥BC．（2）根据上题证得的△ABD≌△FBD，AB=BF，同理AC=CG，证得GF=FB+BC+GC=AB+BC+AC，从而证得结论．【解答】证明：（1）分别延长AD、AE与直线BC交于点F、G，∵AD⊥BD，∴∠ADB=∠FDB=90°，∵BD=BD，∠ABD=∠FBD，∴△ABD≌△FBD∴AD=FD，同理可得AE=EG，∴DE∥BC；（2）由（1）知△ABD≌△FBD，∴AB=BF，同理AC=CG，∵DE=FG∴GF=FB+BC+GC=AB+BC+AC，∴DE=（AB+BC+AC）【点评】本题考查了三角形的中位线定理及三角形的有关知识，解题的关键是正确的利用中位线定理得到中位线与第三边的位置或数量关系．15．（1）如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．求证：FG=（AB+BC+AC）．[提示：分别延长AF、AG与直线BC相交]（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．【分析】（1）利用全等三角形的判定定理ASA证得△ABF≌△MBF，然后由全等三角形的对应边相等进一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，由此可以证明FG为△AMN的中位线，然后利用中位线定理求得FG=（AB+BC+AC）；（2）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，与（1）类似可以证出答案．【解答】解：（1）如图1，∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，∴∠BAF=∠BMF，在△ABF和△MBF中，，∴△ABF≌△MBF（ASA），∴MB=AB，∴AF=MF，同理：CN=AC，AG=NG，∴FG是△AMN的中位线，∴FG=MN，=（MB+BC+CN），=（AB+BC+AC）．（2）猜想：FG=（AB+AC﹣BC），证明：如图2，延长AG、AF，与直线BC相交于M、N，∵由（1）中证明过程类似证△ABF≌△NBF，∴NB=AB，AF=NF，同理CM=AC，AG=MG，∴FG=MN，∴MN=2FG，∴BC=BN+CM﹣MN=AB+AC﹣2FG，∴FG=（AB+AC﹣BC）．【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是作辅助线转化成三角形的中位线．。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题14 三角形斜边中线与中位线

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题14 三角形斜边中线与中位线

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题14 三角形斜边中线与中位线结合【例题讲解】（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．解：（1）12DE FC DE FC=∥，，理由如下：∵AB=BF，BE⊥AF，∴AE=EF，即点E是AF的中点，又∵D是AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴12DE FC DE FC=∥，；（2）∵M、D分别是AB、AC的中点，∴MD是△ABC的中位线，∴172MD BC==，∵∠AEB=90°，AB=8，M是AB的中点，∴142ME AB==，∴DE=MD-ME=3．【综合演练】1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝10，则BF的长为（）A ．10B ．5C ．8D ．62．如图，在ABC 中，BF 平分ABC ∠，AF BF ⊥于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点.E 若10AB =，=16BC ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90，AC =6、BC =4，点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM ⊥AF 于M 交AB 于E ， D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是( )A ．3B ．2C ．1D ．6-24．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为( )A ．3B ．4C ．52D ．72第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共0分)5．已知，如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，AH 是高，已知AB ＝6cm ，AC ＝8cm ，7cm 3CH BH -=，则△DHE 的周长为________cm ．6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若6BC =，则EF 的长度为 _____．7．如图，菱形ABCD 中，DE AB ⊥，垂足为E ，点F 、G 分别为边AD 、DC 的中点，5,8EF FG ==，则ABCD S =菱形___________．8．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =_________．9．如图，在正方形ABCD 中，F 在AB 上，E 在BC 的延长线上，AF ＝CE ，连接DF 、DE 、EF ，EF 交对角线BD 于点N ，M 为EF 的中点，连接MC ，下列结论：①△DEF 为等腰直角三角形；②∠FDB ＝∠FEC ；③直线MC 是BD 的垂直平分线；④若BF ＝2，则MC ＝2；其中正确结论的有_______．10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，D 为AC 边上的中点，E 为AB 边上一点，4AB BE =，连接CE DE 、，延长DE 交CB 延长线于F ，若3BF =，10AB =，则CE =________．11．如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且4AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是_______．三、解答题(共0分)12．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AC=AD ，M ，N 分别是AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．(1)求证：BM=MN；(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．①求∠BMN的度数；②求BN的长．13．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．求证：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．14．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．BC；(1)求证：EF=12(2)在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG:GD=3:1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），连接AB，BC，平移BC至AD（点B 与点A对应，点C与点D对应），连接CD．(1)①直接写出点D的坐标为．②判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；(2)如图1，点E为AB边上一点，连接DE，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF，若∠DFE＝45°，求BE 的长；(3)如图2，N为BC边的中点，若∠AMC＝90°，连接MN，请直接写出MN的取值范围．16．已知，在△ABC中，以△ABC的两边BC，AC为斜边向外测作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠CBD，取△ABC边AB的中点M，连接ME，MD．特例感知：（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=60°，∠CAE=∠CBD=45°，取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，则ME与MD的数量关系为______，∠EMD=______；（2）如图2，若∠ACB=90°，∠CAE=∠CBD=60°，取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，请猜想ME与MD的数量关系以及∠EMD的度数，并给出证明；类比探究：（3）如图3，当△ABC是任意三角形，∠CAE=∠CBD=α时，连接DE，请猜想△DEM的形状以及∠EMD 与α的数量关系，并说明理由．中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）．17．在ABC(2)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：AM=AN(3)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：∠EMD=∠FND．18．（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．答案与解析【例题讲解】（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．解：（1）12DE FC DE FC=∥，，理由如下：∵AB=BF，BE⊥AF，∴AE=EF，即点E是AF的中点，又∵D是AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴12DE FC DE FC=∥，；（2）∵M、D分别是AB、AC的中点，∴MD是△ABC的中位线，∴172MD BC==，∵∠AEB=90°，AB=8，M是AB的中点，∴142ME AB==，∴DE=MD-ME=3．【综合演练】1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝10，则BF的长为（）A．10 B．5 C．8 D．6【分析】根据三角形中位线定理求出AC ，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案．【解答】解：∵DE 是△ABC 的中位线，若DE =10，∴AC =2DE =20，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BF 是AC 边上的中线，∴BF =12AC =10，故选：A ． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．2．如图，在ABC 中，BF 平分ABC ∠，AF BF ⊥于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点.E 若10AB =，=16BC ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【分析】先求出152DF AB AD BD ====，然后证明DE BC ∥，根据平行线分线段成比例可得=AE EC ，再根据三角形中位线定理求出DE 即可．【解答】解：AF BF ⊥，90AFB ∴∠=︒，10AB =，D 为AB 中点，152DF AB AD BD ∴====， ABF BFD ∠∠∴=，又BF 平分ABC ∠，ABF CBF ∠∠∴=，CBF DFB ∠∠∴=，∴DE BC ∥，∴=AD AE DB EC，182DE BC ∴==， 853EF DE DF ∴=-=-=，故选：B ．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理以及三角形中位线定理等知识，证明DE BC ∥是解答本题的关键．3．如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90，AC =6、BC =4，点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM ⊥AF 于M 交AB 于E ， D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是( )A ．3B ．2C ．1D ．6-2【答案】C【分析】取AC 的中点T ，连接DT ，MT ．利用三角形的中位线定理求出DT ，利用直角三角形的中线的性质求出MT ，再根据DM MT DT ≥-，可得结论．【解答】解：如图，取AC 的中点T ，连接DT ，MT ．∵AD DB =，AT TC =，∴122DT BC ==． ∵CE AF ⊥，∴90AMC ∠=︒，∴132TM AC ==， ∴点M 的运动轨迹是以T 为圆心，TM 为半径的圆，∴321DM TM DT ≥-=-=，∴DM 的最小值为1，故选：C ．【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题．4．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为( )A ．3B ．4C ．52D ．72 【答案】D【分析】先根据直角三角形的性质求出DE 的长，再由勾股定理得出CD 的长，进而可得出BE 的长，由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】∵CE=5，△CEF 的周长为18，∴CF+EF=18-5=13．∵F 为DE 的中点，∴DF=EF ．∵∠BCD=90°，∴CF=12DE ，∴EF=CF=12DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD=2212DE CE -=，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF=12(BC－CE)=12(12－5)=3.5，故选D．【点评】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．使用勾股定理是解决这个问题的关键．5．已知，如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高，已知AB＝6cm，AC＝8cm，7 cm 3CH BH-=，则△DHE的周长为________cm．【答案】496##186【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DH，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵AH是△ABC的高，∴∠AHB=90°，∵点D是AB的中点，∴DH=12AB=12×6=3cm，∵D、E分别是BA、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AC=12×8=4cm，∵BE=EC，CH-BH=73 cm，∴HE=76 cm，∴△DHE的周长=DH+DE+HE=496cm，故答案为：496．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若6BC =，则EF 的长度为 _____．【答案】3【分析】根据含30°的直角三角形的性质求出CD ，根据直角三角形的性质求出CD ，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝12．∵∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝6，∵E ，F 分别为AC ，AD 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，∴EF ＝12CD ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．7．如图，菱形ABCD 中，DE AB ⊥，垂足为E ，点F 、G 分别为边AD 、DC 的中点，5,8EF FG ==，则ABCD S =菱形___________．【答案】96【分析】连接,AC BD ，交于点O ，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得10AD =，再根据三角形的中位线定理可得16AC =，然后根据菱形的性质和勾股定理可得12BD =，最后利用菱形的面积公式即可得．【解答】解：如图，连接,AC BD ，交于点O ，,5DE AB EF ⊥=，且点F 为边AD 的中点，210AD EF ∴==，点,F G 分别为边,AD DC 的中点，8FG =，216AC FG ∴==，四边形ABCD 是菱形，1,8,22AC BD OA AC BD OD ∴⊥===， 226OD AD OA ∴=-=，12BD ∴=，1116129622ABCD S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=菱形， 故答案为：96．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．8．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =_________． 【答案】1【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB =2DE ，再由三角形中位线的性质可得FG 的长；【解答】解：∵Rt △ABC 中，点E 是AB 的中点，DE =1，∴AB =2DE =2，∵点F 、G 分别是AC 、BC 中点，∴112FG AB ==，故答案为：1【点评】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键． 9．如图，在正方形ABCD 中，F 在AB 上，E 在BC 的延长线上，AF ＝CE ，连接DF 、DE 、EF ，EF 交对角线BD 于点N ，M 为EF 的中点，连接MC ，下列结论：①△DEF 为等腰直角三角形；②∠FDB ＝∠FEC ；③直线MC 是BD 的垂直平分线；④若BF ＝2，则MC ＝2；其中正确结论的有_______．【答案】①②③④【分析】先根据SAS 定理证出ADF CDE ≅，再根据全等三角形的性质可得,DF DE ADF CDE =∠=∠，然后根据等腰直角三角形的判定即可判断①；先根据等腰直角三角形的性质可得45DEF DFE ∠=∠=︒，再根据对顶角相等可得DNF BNE ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理即可得判断②；连接BM DM ,，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12BM DM EF ==，再根据线段垂直平分线的判定即可判断③；取BE 的中点O ，连接MO ，先根据三角形中位线定理可得11,2MO BF MO BF ==∥，再根据等腰三角形的三线合一可得1452BCM BCD ∠=∠=︒，然后在Rt MOC 中，利用勾股定理即可得．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，,90,45AB AD CD BC A ABC BCD ADC CBD ∴===∠=∠=∠=∠=︒∠=︒，在ADF △和CDE 中，90AD CD A DCE AF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()SAS ADF CDE ∴≅，,DF DE ADF CDE ∴=∠=∠，90EDF CDE CDF ADF CDF ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，DEF ∴为等腰直角三角形，结论①正确；45DEF DFE ∴∠=∠=︒，又45,CBD DNF BNE ∠=︒∠=∠，180180DNF CBD BN E E DF ∴︒-∠=︒-∠-∠∠-，即FDB FEC ∠=∠，结论②正确；如图，连接BM DM ,，M 为Rt DEF △和Rt BEF △斜边EF 上的中点，12BM DM EF ∴==， 又BC CD =，∴直线MC 是BD 的垂直平分线，结论③正确；如图，取BE 的中点O ，连接MO ，1121,22MO BF MO BF ∴==⨯=∥，90MOC ABC ∴∠=∠=︒，直线MC 是BD 的垂直平分线，BC CD =，1452BCM BCD ∴∠=∠=︒（等腰三角形的三线合一）， Rt COM ∴是等腰直角三角形，且1OC MO ==，222MC MO OC ∴=+=，结论④正确；综上，正确结论的有①②③④，故答案为：①②③④．【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握各判定与性质是解题关键．10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，D 为AC 边上的中点，E 为AB 边上一点，4AB BE =，连接CE DE 、，延长DE 交CB 延长线于F ，若3BF =，10AB =，则CE =________．【答案】972【分析】取AB 的中点G ，连接DG ，则AB ＝2BG ，可得BE ＝EG ，再利用三角形中位线定理得BC ＝2DG ，DG BF ∥，利用ASA 证明△GDE ≌△BFE ，得DG ＝BF ＝3，DE ＝EF ，从而解决问题．【解答】解：取AB 的中点G ，连接DG ，则AB ＝2BG ，∵AB ＝4BE ，∴BE ＝EG ，∵D 为AC 边上的中点，G 为AB 的中点，∴DG 为△ABC 的中位线，∴BC ＝2DG ，DG BF ∥， ∴∠GDE ＝∠F ，在△GDE 和△BFE 中，GDE F DEG FEB GE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GDE ≌△BFE （ASA ），∴DG ＝BF ＝3，DE ＝EF ，∴BC ＝6，∴CF ＝9，由勾股定理得，AC ＝8，∴CD ＝4，在Rt △CDF 中，由勾股定理得，DF ＝22224997CD CF +=+=，∵∠ACB ＝90°，EF ＝DE ，∴CE ＝12DF ＝972， 故答案为：972． 【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，证明点E 是DF 的中点是解题的关键．11．如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且4AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是_______．【答案】3m 7≤≤【分析】取AB 的中点M ，连接QM 、CM ，得到QM 是△APB 的中位线，CM 是Rt ABC 斜边上的中线，求得QM 、CM 的长，在△QMC 中利用三角形三边关系得到CQ 的范围即可．【解答】取AB 的中点M ，连接QM 、CM ，∴QM 是△APB 的中位线，CM 是Rt ABC 斜边上的中线，∴122QM AP ==，12CM AB =， 在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，∴226810AB =+=，∴CM =5，∵点P 是平面内一个动点，∴点Q 是动点，且点Q 以点M 为圆心，QM 长为半径的圆上运动，∴C 、Q 、M 可以三点共线，∴CM -MQ ≤CQ ≤CM +MQ ，∴3m 7≤≤，故答案为：3m 7≤≤．【点评】本题考查勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，中位线定理、三角形三边关系等知识，分析点Q 的运动是解题的关键．12．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AC=AD ，M ，N 分别是AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．(1)求证：BM=MN ；(2)若∠BAD =60°，AC 平分∠BAD ，AC =2．①求∠BMN 的度数；②求BN 的长．题的关键是灵活应用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．13．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．求证：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DF//AC，根据平行线的性质证明结论；AC，等量代换证明结论．（2）根据直角三角形的性质得到EH＝12【解答】（1）∵D、F分别是△ABC两边中点，∴DF是△ABC的中位线，AC，∴DF//AC，DF＝12∴∠BDF＝∠BAC；（2）∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，AC，∴EH＝12由（1）得，DF＝12 AC，∴DF＝EH．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．BC；(1)求证：EF=12(2)在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG:GD=3:1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．∴EBFG是平行四边形，连接CG，∵G是OD的中点，而CO=12AC=12BD=AB=CD，∴CG⊥OD，而F是BC的中点，∴GF=12BC=BF，∴平行四边形EBFG是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），连接AB，BC，平移BC至AD（点B 与点A对应，点C与点D对应），连接CD．(1)①直接写出点D的坐标为．②判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；(2)如图1，点E为AB边上一点，连接DE，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF，若∠DFE＝45°，求BE 的长；(3)如图2，N为BC边的中点，若∠AMC＝90°，连接MN，请直接写出MN的取值范围．段CD上取一点G，使DG=DE，∵∠FDE=∠FDG，DF=DF，∴△DFE≌△DFG（SAS），∴∠DFE=∠DFG=45°，EF=GF，∴∠EFG=90°，∵∠EFB+∠GFC=90°，∠GFC+∠FGC=90°，∴∠EFB=∠FGC，∵∠EBF=∠FCG=90°，EF=GF，∴△EBF≌△FCG（AAS），∴EB=FC，BF=CG，设EB=FC=x，则22BF CG BC x x==-=-，∴222222(42)(22)DE AE AD x DG=+=-+=，∵222()(4222)DG CD GC x=-=-+，∴222 (4222)(42)(22)x x-+=-+，解得：423x，即423BE=；（3）解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接MH，NH，∵点A（0，4），B（4，0），D（2，6），∴42,210AB AC==，∵H为AC的中点，N为BC边的中点，∴1122,1022NH AB HM AC====，∵HM-NH≤MN≤HM+NH，∴MN的取值范围为10222210MN-≤≤+．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形和矩形的性质、三角形全等、勾股定理的运用，直角三角形的性质，三角形中位线定理等，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题的关键．16．已知，在△ABC中，以△ABC的两边BC，AC为斜边向外测作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠CBD，取△ABC 边AB 的中点M ，连接ME ，MD ．特例感知：（1）如图1，若AC =BC ，∠ACB =60°，∠CAE =∠CBD =45°，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，则ME 与MD 的数量关系为______，∠EMD =______；（2）如图2，若∠ACB =90°，∠CAE =∠CBD =60°，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，请猜想ME 与MD 的数量关系以及∠EMD 的度数，并给出证明；类比探究：（3）如图3，当△ABC 是任意三角形，∠CAE =∠CBD =α时，连接DE ，请猜想△DEM 的形状以及∠EMD 与α的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）ME=MD ，∠EMD=90°；（2）ME=MD ，∠EMD=120°；（3）△DEM 是等腰三角形，∠EMD=2α．【分析】（1）如图1，证明△EAM ≌△DBM ，可得EM=DM ，先根据三角形的中位线得：11FM AC MG BC 22===，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得12EF AC =，得EF=FM ，且顶角∠EFM=150°，得∠FEM=∠FME=15°，同理∠DMG=15°，相加可得结论；（2）如图2，证明△MEF ≌△DMG ，可得EM=DM ，∠EMF=∠MDG=15°，相加可得∠EMD=120°；（3）如图，作辅助线，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，同理可证出EF=MG ，DG=FM ，∠3=2∠2，∠4=2∠1，证明△MEF ≌△DMG ．则EM=DM ，∠EMF=∠MDG ．表示∠EMD=∠MDG+∠DMG+∠ACB ，代入可得结论．【解答】解：（1）ME=MD ，∠EMD=90°；理由是：如图1，∵AC=BC ，∠ACB=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠CAB=∠CBA=60°，在 Rt △BCD 和Rt △ACE 中，∠CAE=∠CBD=45°，∴AC=2AE，BC=2BD，∴AE=BD，∵M是AB的中点，∴AM=BM，∵∠EAM=45°+60°=105°，∠DBM=45°+60°=105°，∴∠EAM=∠DBM，∴△EAM≌△DBM，∴EM=DM，∵F、G分别是AC、BC的中点，∴FM=MG=12AC=CF=CG，∴四边形CFMG是菱形，∴∠FMG=∠BCA=60°，Rt△ACE中，∵F是斜边AC的中点，∴EF=12AC=FM，∵∠EFM=90°+60°=150°，∴∠FEM=∠FME=15°，同理∠DMG=15°，∴∠EMD=60°+15°+15°=90°，故答案为EM=DM，90°；（2）ME=MD，∠EMD=120°；证明：∵F，G，M是△ABC的三边AC，BC，AB的中点，∴FM=12BC=CG，FM∥BC，MG=12AC=CF，MG∥AC．∴四边形CFMG是平行四边形，∴∠AFM=∠FMG=∠ACB=∠MGD=90°．∵∠AEC=∠BDC=90°，F，G是AC，BC的中点，∴EF=AF=FC=12AC，CG=BG=DG=12BC．∴∠2=∠CEF，∠1=∠CDG，EF=MG，DG=FM．∴∠3=∠2+∠CEF=2∠2，∠4=∠1+∠CDG=2∠1.∵∠2+∠EAC=90°，∠1+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD=60°，∴∠1=∠2=30°．∴∠3=∠4=60°．∴∠EFM=∠3+∠AFM=150°，∠DGM=∠4+∠CGM=150°∴∠EFM=∠DGM．又∵EF=MG，FM=DG，∴△MEF≌△DMG．∴EM=DM，∠EMF=∠MDG=15°．∴∠EMD=90°+2×15°=90°30°=120°；（3）△DEM是等腰三角形，∠EMD=2α．证明：取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，同（2）证法相同，可证出EF=MG，DG=FM，∠3=2∠2，∠4=2∠1．∵∠2+∠EAC=90°，∠1+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD=α，∴∠1=∠2=90°-α．∴∠3=∠4=2（90°-α）．∴∠EFM=∠3+∠AFM=∠3+∠ACB，∠DGM=∠4+∠BGM=∠4+∠ACB．∴∠EFM=∠DGM．又∵EF=MG，FM=DG，∴△MEF≌△DMG．∴EM=DM，∠EMF=∠MDG．∴△DEM是等腰三角形；∵∠EMD=∠FME+∠FMG+∠DMG，由（2）知∠FMG=∠ACB，∴∠EMD=∠MDG+∠DMG+∠ACB．∵∠MDG+∠DMG=180°-∠DGM=180°-（∠4+∠ACB ）=180°-2（90°-α）-∠ACB=2α-∠ACB．∴∠EMD=2α-∠ACB+∠ACB=2α．【点评】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，并运用了类比的思想依次解决问题．∆中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）．17．在ABC(1)如图①，当BE∥CF时，连接ED并延长交CF于点H. 求证：四边形BECH是平行四形；(2)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：AM=AN(3)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：∠EMD=∠FND．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求得∠DBE=∠DCH，然后依据ASA求得BDE≅CDH得出ED=HD，最后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求得．（2）连接FD、ED，延长ED交CF于点H，根据直角三角形斜边的中线定理和三角形的中位线定理求得ME=DN，MD=NF，从而证得AM=AN；（3）在（2）的条件下根据SSS 即可证明MED ≅NDF ，最后根据全等三角形的对应角相等求得∠EMD =∠FND ． （1）如图①，∵D 为BC 的中点，∴BD =CD ，∵BE ∥CF ，∴∠DBE =∠DCH ，在BDE 与CDH 中，DBE DCH BD CD BDE CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDE ≅CDH (AAS )，∴ED =HD ，∴四边形BECH 是平行四边形；（2）如图②连接FD 、ED ，延长ED 交CF 于点H ，∵BE ⊥AE ，CF ⊥AE ，）可知BDE≅CDHRt EHFRt AEBRt ACF在MED与NDF∴MED≅NDF。

人教版八年级数学下册三角形的中位线练习题(含答案)

人教版八年级数学下册三角形的中位线练习题(含答案)

三角形的中位线练习题三角形中位线定义： . 符号语言：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点, 则：线段DE 是△ABC 的__ __，三不同点：①三角形中位线的两个端点都是三角形边的中点。

②三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形一个顶点。

相同点：都是一条线段，都有三条。

三角形中位线定理： .符号语言表述：∵DE 是△ABC 的中位线（或AD=BD,AE=CE) ∴DE //21BC练习1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4.如图△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则线段CD 是△ABC 的＿＿＿， 线段DE 是△ABC ＿＿＿＿＿＿＿5、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点 （1）如果EF ＝4cm ，那么BC ＝＿＿cm 如果AB ＝10cm ，那么DF ＝＿＿＿cm （2）中线AD 与中位线EF 的关系是＿＿＿6．如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ，则EF=_______cm ．(1) (2) (3) (4)7．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm ． 8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm10．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位E DBEDA同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m11．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、22009112．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．4014．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．15.已知矩形ABCD 中，AB =4cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点.求证：EF +GH =5cm ；16．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．17．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ．BG A E FH D C 图518．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．19.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。

三角形的中位线练习题(8年级)

三角形的中位线练习题(8年级)

三角形的中位线练习题（8年级）1、如图。

D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，(1)如果EF=4cm ，那么BC= ------，如果AB=10.那么DF=----； (2)中线AD 与中位线EF 的关系是-------1.BC=8cm DF=5cm2.AD 与EF 互相平分6\（2010•河源）如图，在△ABC 中，BC=6cm ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，则EF= 4cm ． 考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算．解答：解：∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF=21BC=21×8=4cm ． 点评：此题考查了三角形的中位线定理的数量关系，熟练掌握定理是解题的关键．2、、三角形各边分别是3cm 、5cm 、6cm ，则连接各边中点所围成的三角形的周长是 7cm ． 考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形的中位线等于第三边的一半，分别求得连接各边中点所围成的三角形的三边，从而求得周长．解答：解：根据三角形的中位线定理，得连接各边中点所围成的三角形的三边分别是1.5cm ，2.5cm ，3cm ，则其周长是7cm ． 故答案为7．点评：此题考查了三角形的中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．3、若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ）A ．4.5cmB ．18cmC ．9cmD ．36cm 考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形中位线定理可以求得三条边的长度，然后由三角形的周长公式可知原三角形的周长．解答：解：∵三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，∴原三角形的三条边长分别为2cm×2=4cm ，3cm×2=6cm ，4cm×2=8cm ，∴原三角形的周长为：4cm+6cm+8cm=18cm ；故选C ．点评：本题考查了三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．4、如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点M ，N ，并且测出MN 的长为10m ，则A ，B 间的距离为 20m 考点：三角形中位线定理．分析：M 、N 是AC 和BC 的中点，则MN 是△ABC 的中位线，则依据三角形的中位线定理即可求解．解答：解：∵M 、N 是AC 和BC 的中点，∴AB=2MN=2×10=20m ．故答案是：20m ．点评：本题考查了三角形的中位线定理，正确理解定理是关键．5、已知△ABC 周长为1，连接△ABC 三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2010个三角形的周长为 220091．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：根据已知条件，首先可知各三角形都相似，然后根据题意可得规律：第n 个三角形与原三角形的相似比为1：2n-1，又由△ABC 周长为1，即可求得第2010个三角形的周长． 解答：解：∵连接△ABC 三边中点构成第二个三角形，∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，∴它们相似，且相似比为1：2，同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：22，以此类推：第2010个三角形与原三角形的相似比为1：22009，∵△ABC 周长为1，∴第2010个三角形的周长为220091．．点评：此题考查了相似三角形的性质与三角形中位线的性质．此题难度较大，解题的关键是找到规律：第n 个三角形与原三角形的相似比为1：2n-1．6、（2003•桂林）如图，已知矩形ABCD 中，R 、P 分别是DC 、BC 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定考点：三角形中位线定理．分析：因为R 不动，所以AR 不变．根据中位线定理，EF 不变．解答：解：连接AR ．因为E 、F 分别是AP 、RP 的中点，则EF 为△APR 的中位线，所以EF=21AR ，为定值． 所以线段EF 的长不改变．故选C ．点评：本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR 不变，则对应的中位线的长度就不变．7、平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,AE=EB,求证:OE//BC∵AE＝BE∴E是AB的中点∵四边形ABCD是平行四边形∴AO＝OC∴EO是△ABC的中位线∴OE‖BC8、如图,在△ABC中,点D在BC上且CD=CA,CF平分∠ACB,AE=EB,求证:EF=1/2BD因为CD=CA,CF平分∠ACB,CF为公共边，所以三角形ACF与三角形DCF全等所以F为AD边的中点又因为AE=BE所以E为AB的中点所以EF为三角形ABD的中位线所以EF=1/2BD9、如图，已知在平行四边形ABCD中E、F分别是ad.bc的中点，求证MN∥BC在△MBF和△MEA中：∵AD∥BC∴∠MBF = ∠MEA , ∠MFB = ∠MAE又E、F分别是AD、BC的中点∴BF = EA∴△MBF≌△MEA∴BM = ME同理：CN = NE∴MN是△EBC的中位线∴MN∥BC10、在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．考点：平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：只需证明FG ∥EH ，且FG=EH 即可．依据是平行公理四：和同一条直线平行的直线平行．解答：证明：如图，连接BD ．因为FG 是△CBD 的中位线，所以FG ∥BD ，FG=21BD ． 又因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，EH=21BD ． 根据公理4，FG ∥EH ，且FG=EH ．所以四边形EFGH 是平行四边形．点评：主要考查知识点：简单几何体和公理四，证明平行四边形常用方法：对边平行且相等；或对边分别平行；或对角线相交且平分．要注意：对边相等的四边形不一定是平行四边形．11、已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点．求证：四边形DEFG 是平行四边形．考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理．专题：证明题．分析：利用三角形中线的性质、中位线的定义和性质证得四边形EFGD 的对边DE ∥GF ，且DE=GF=21BC ；然后由平行四边形的判定--对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得结论．解答：证明：∵BD 、CE 是△ABC 的两条中线，∴点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，∴DE ∥CB ，DE=21CB ； 又∵F 、G 分别是OB 、OC 的中点， ∴GF ∥CB ，GF=21CB ； ∴DE ∥GF ，且DE=GF ，∴四边形DEFG 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）．点评：本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定．平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．12、（2004•哈尔滨）如图，已知E 为平行四边形ABCD 中DC 边的延长线的一点，且CE=DC ，连接AE ，分别交BC 、BD 于点F 、G ，连接AC 交BD 于O ，连接OF ．求证：AB=2OF ． 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：此题的根据平行四边形的性质可以证明△ABF ≌△ECF ，然后利用全等三角形的性质可以解决问题．解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，OA=OC ．∴∠BAF=∠CEF ，∠ABF=∠ECF ．∵CE=DC ，在平行四边形ABCD 中，CD=AB ，∴AB=CE ．∴在△ABF 和△ECF 中，∠BAF=∠CEFAB=CE∠ABF=∠ECF∴△ABF ≌△ECF ，∴BF=CF ．∵OA=OC ，∴OF 是△ABC 的中位线，∴AB=2OF ．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定．此题还可以利用三角形的中位线解题．。

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八年级数学三角形中位线培优专题训练
一、内容提要
1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，
确定线段的和、差、倍关系。

3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。

它的逆定理就是平行线截比例线段定理
及推论，
①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半
②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

二、例题
例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是
BC 的中点。

求证：PM ＝PN
证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形
∴AE ＝EB
＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，
根据三角形中位线性质 PE ＝
21AC ＝NF ，PF ＝2
1
AB ＝ME
PE ∥AC ，PF ∥AB
∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN
∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN
例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。

求MN 的长。

分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。

辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略 例3.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点 求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN
P N
MP ∥AB ，MP ＝
21AB ，NP ∥AC ，NP ＝2
1AC ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP
∴∠3=∠4=2
MPN
-180∠
∠MPN ＋∠BAC ＝180
（两边分平行的两个角相等或互补）
∴∠1=∠2=2
MPN
-180∠ ， ∠2=∠3
∴NP ∥AC ∴MN ∥AD
证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG
则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG
∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180 ∠CAD ＝
2
1（180
－∠FCG ） ∠CFG ＝
2
1（180
－∠FCG ）=∠CAD ∴ MN ∥AD 例4. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC 于F ，GE ⊥CE
交CB 的延长线于G 求证：FD ＝
4
1
CG 证明要点是：延长GE 交AC 于H ， 可证E 是GH 的中点
过点E 作EM ∥GC 交HC 于M ，
则M 是HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝2
1
GC
由矩形EFDO 可得FD ＝EO ＝21EM ＝4
1
GC
三、练习
1. 如图11，M 、P 分别为△ABC 的AB 、AC 上 的点，且AM=BM ，AP=2CP ，BP 与CM 相交于N ，已知PN=1，则PB 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 5
2. 如图12，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB=10，则MD 的长为 ( )
A. 10
B. 8 C .6 D. 5
3. 如图13，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，P 为不同于B 、E 、C 的BC 上的任意一点，△DPH 为等边三角形.连接FH ，则EP 与FH 的大小关系是 ( ) A. E P>FH B. EP=FH C. EP<FH D.不确定
4. 如图14，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ，交AB 于E ,若AB=5，则DE 的长为 .
C
5. 如图15，△ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，
交AC于F，则FC的长等于.
6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的
中点.
求证：DM=DN
7. 如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.
求证：AP=AQ
8. 如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.
求证：MN∥BC.
9. 如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.
求证：AB+AC=2AM
10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交
HG的延长线于E、F.
求证：∠BEH=∠CFH.
1. 如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交
BA的延长线于E，交AD的延长线于F.
求证：
1
2
BE BD
.
2. 如图21，在△ABC中，AB<AC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC
的中点，MK的延长线交BA的长线于N.
求证：AN=AK.
3. 如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等
腰直角△BCD，M为ED的中点.
求证：AM⊥BM.
4. 如图23，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、
F、G分别为AB、CD、BC的中点.
求证：△EFG为等边三角形.
5. 如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中
点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.
求证：K是DB的中点.
6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的
中点.
求证：DM=DN
图21 图22 图23 图24 图25
7. 如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H
分别为BC、DE的中点.
求证：HG∥AP.
8. 如图27，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接
DE，设M为DE的中点.
(1)求证：MB=MC;
(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，
试问MB=MC是否成立?并证明其结论.
9. 已知△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，若△BED的积为K.
求证：S≥4K.
10.如图28，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2
∠CED=∠BAC.
求证：BD=2CD.
图26 图27。

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