2019年广东省梅州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2019年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设U={-1，0，1，2}，集合A={x|x2＜1，x∈U}，则∁U A=（）A. 1，B. 1，C. 0，D. 0，2.若复数z满足（1+z）i=3-i，则z的共轭复数=（）A. B. C. D.3.设角α的终边过点（2，3），则tan（α-）=（）A. B. C. 5 D.4.中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A. 2B. 4C. 5D. 65.若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.6.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A. B. C. D.7.函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A.B.C.D.8.已知函数f（x）=a sin x-b cos x（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（-x）（）A. 是偶函数且它的图象关于点对称B. 是奇函数且它的图象关于点对称C. 是偶函数且它的图象关于点对称D. 是奇函数且它的图象关于点对称9.已知P是抛物线C：y2=4x上的一动点，则点P到直线l：2x-y+3=0和抛物线C的准线的距离之和的最小值是（）A. B. 2 C. D.10.如果x=[x]+{x}，[x]∈Z，0≤{x}＜1，就称[x]表示x的整数部分，{x}表示x的小数部分，已知数列{a n}满足a1=，a n+1=[a n]+，则a2019-a2018等于（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）=，若方程f（x）=mx-恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.12.设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则三个三角形的面积之和S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是（）A. 4B. 8C. 12D. 16二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（2，1），=（-1，1），则在方向上的投影为______14.在一个装满水的容积为1升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫，现在从这个容器中随机地取出0.1升水，则在取出的水中发现草履虫的概率为______．15.若（1+ex）2019=a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019，则-+-+-……-=______16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2，则4a+c的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足（a1+2a2+…+2n-1a n）=2n+1（n∈N*）．（1）求a1，a2和{a n}的通项公式；（2）记数列{a n-kn}的前n项和为S n，若S n≤S4对任意的正整数n恒成立，求实数k的取值范围．18.如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE．（1）求证：AB⊥平面ADE．（2）当EA=ED时，求二面角D-EB-C的余弦值．19. 随着互联网的兴起，越来越多的人选择网上购物．某购物平台为了吸引顾客提升销售额，每年双十一都会进行某种商品的促销活动，该商品促销活动规则如下：①“价由客定”，即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价，每个人并不知晓其他人的报价也不知道参与该商品促销活动的总人数；②报价时间截止后，系统根据当年双十一该商品数量配额，按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额；③每人限购一件，且参与人员分配到名额时必须购买，某位顾客拟参加2019年双十一该商品促销活动，他为了预测该商品最低成交价，根据该购物平台的公告统计了最近5年双十一参与该商品促销活动的人数（见表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模拟拟合参与人数y （百万人）与年份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：=t +，并预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数； （2）该购物平台调研部门对2000位拟参与2019年双十一该商品促销活动人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：①求这200位参与人员报价X 的平均值 和样本方差s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；②假设所有参与该商品促销活动人员的报价X 可视为服从正态分布N （μ，σ2）且μ与σ2可分别由①中所求的样本平均值 和样本方差s 2估值，若预计2019年双十一该商品最终销售量为317400，请你合理预测（需说明理由）该商品的最低成交价． 参考公式及数据（i ）回归方程：=t +，其中=，=-x ．（ii ）=55， =18.8， ≈1.3；（iii ）若随机变量Z 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ＜Z ＜μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ＜Z ＜μ+2σ）=0.9544，P （μ-3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9974．20. 已知过定点N （1，0）的动圆P 与圆M ：（x +1）2+y 2=8相内切．（1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）设动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，A ，B 是曲线C 上的两点，线段AB 的垂直平分线过点D （0，），求△OAB 面积的最大值（O 是坐标原点）．21. 已知函数f （x ）=e x-ax -1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ．（1）当a ＞0时，求f （x ）的极值；（2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，得f （x 1）=f （x 2），且|x 1-x 2|≥1，求证e -1＜a ＜e 2-e ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（a ＞b ＞0，φ为参数），且曲线C 上的点M （2， ）对应的参数φ=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程；（2）若曲线C 上的A ，B 两点满足OA ⊥OB ，过O 作OM ⊥AB 交AB 于点M ，求证：点M 在以O 为圆心的定圆上．23. 已知函数f （x ）=|x +1|+2|x -1|-a（1）若a =1，求不等式f （x ）＞x +2的解集（2）若不等式f （x ）≤a （x +2）的解集为非空集合，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：设U={-1，0，1，2}，集合A={x|x2＜1，x∈U}={0}，∴∁U A={-1，1，2}，故选：B．化简集合A，求出A的补集即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.【答案】D【解析】解：由（1+z）i=3-i，得z=，∴．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵角α的终边过点（2，3），∴tanα==．∴tan（α-）===．故选：A．根据三角函数的定义即可得到tanα的值，根据两角差的正切函数公式即可计算得解．本题考查了三角函数的定义，两角差的正切函数公式的应用，正确理解三角函数的定义是解题的关键，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由茎叶图可得，诗词能手”的称号有16人，据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为10×=4人，故选：B．由茎叶图可得，获”诗词能手”的称号有16人，再根据分层抽样的定义即可求出．本题考查了分层抽样和茎叶图，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，该双曲线的离心率为，即e==，则有c=a，进而b==a，又由该双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程为y=±x；故选：D．根据题意，由双曲线的离心率可得c=a，进而结合双曲线的几何性质可得b=a，再结合焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的几何性质求出a、b的关系．6.【答案】B【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：f（x）=（-1）cosx=cosx，f（-x）=cos（-x）=cosx=-f（x）．∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当0＜x ＜时，e x＞1，cosx＞0，∴f（x）=cosx＜0，故选：B．判断f（x）的单调性，再根据f（x）在（0，）上的函数值的符号得出答案．本题考查了函数图象的判断，只有函数单调性、奇偶性的应用，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：∵f（x）=asinx-bcosx在x=处取得最小值，∴f（）=（a-b）=-＜0∴a=-b且a＜b，∴b＞0，a＜0，则f （-x）=a[sin （-x）+cos （-x）]=sin （-x）=-cosx 根据偶函数的定义可知是偶函数，且图象关于（π，0）对称故选：A．由已知结合余弦函数的性质可知f（）=（a-b）=-＜0，从而可求a，b的关系，代入化简后根据余弦函数的性质可求本题主要考查了余弦函数的定义及性质的简单应用，属于基础试题9.【答案】A【解析】解：由抛物线y2=4x知，焦点F（1，0），准线方程为x=-1，根据题意作图如下；点P到直线2x-y+3=0的距离为|PA|，点P到x=-1的距离为|PB|；由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l：2x-y+3=0和准线x=-1的距离之和为|PF|+|PA|，且点F（1，0），到直线l：2x-y+3=0的距离为d==，所以点P到直线l：2x-y+3=0和准线x=-1的距离之和最小值为．故选：A．点P到直线2x-y+3=0的距离为|PA|，到准线x=-1的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线2x-y+3=0和准线x=-1的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案．本题考查了抛物线的定义与简单几何性质的应用问题，也考查了点到直线的距离计算问题，是中档题．10.【答案】D【解析】解：a1=，a n+1=[a n ]+，∴a2=2+=6+2，a3=10+=12+，a4=14+=18+2，a5=22+=24+，……．∴a2018=6×2018+2，a2019=6×2019+．则a2019-a2018=6-．故选：D．a1=，a n+1=[a n ]+，可得：a2=2+=6+2，a3=12+，a4=18+2，a5=24+，……．利用等差数列的通项公式及其规律可得a2018，a2019．本题考查了等差数列的通项公式、取整数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意，直线y=kx-过（1，0）时，k=，x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=，直线与y=lnx相切时，设切点坐标为（a，lna），则切线方程为y-lna=（x-1），即y=x-1+lna，令-1+lna=-，则a=，∴k==，∴方程f（x）=kx-恰有四个不相等的实数根，实数k的取值范围是（，），故选：A．由题意，方程方程f（x）=kx-恰有四个不相等的实数根，等价于y=f（x）与y=kx-有4个交点，求出直线y=kx-过（1，0）时k的值及直线与y=lnx相切时k的值，即可求出k的取值范围．本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：设AB=a，AC=b，AD=c，因为AB，AC，AD两两互相垂直所以a2+b2+c2=4×22S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc）≤（a2+b2+c2）=8．即最大值8．故选：B．三棱锥A-BCD是长方体的三个面，扩展为长方体，它的对角线就是球的直径，设出AB=a，AC=b，AD=c，求出三个三角形面积的和，利用直径等于长方体的对角线的关系，以及基本不等式，求出面积最大值．本题考查球的内接体问题，考查基本不等式，空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．13.【答案】-【解析】解：根据题意，向量=（2，1），=（-1，1），则•=2×（-1）+1×1=-1，又由||=，则在方向上的投影为==-；故答案为：-根据题意，由向量数量积的计算公式可得•=-1，求出||的值，由数量积的计算公式计算可得答案．本题考查平面向量数量积的计算，关键是掌握平面向量数量积的计算公式，属于基础题．14.【答案】0.2【解析】解：在一个装满水的容积为1升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫，现在从这个容器中随机地取出0.1升水，则在取出的水中发现草履虫的概率为p==0.2．故答案为：0.2．利用等可能事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等addb知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．15.【答案】-1【解析】解：依题意，令x=-，得=0=1-+-+-……-，所以-+-+-……-=-1．故填：-1．令x=-，得0=1-+-+-……-，所以-+-+-……-=-1．本题考查了二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．16.【答案】18【解析】解：如图所示，则△ABC的面积为acsin120°=a•2sin60°+c•2sin60°，即ac=2a+2c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++10≥2+10=8+10=18，当且仅当=，即c=2a时取等号；∴4a+c的最小值为18．故答案为：18．根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解题的关键．17.【答案】解：（1）由题意得，所以：，．解得：a2=6．由，所以，相减得-（n-1）•2n，得a n=2n+2，n=1也满足上式．所以{a n}的通项公式为a n=2n+2．（2）数列{a n-kn}的通项公式为：a n-kn=2n+2-kn=（2-k）n+2说以：该数列是以4-k为首项，公差为2-k的等差数列，若S n≤S4对任意的正整数n恒成立，等价于当n=4时，S n取得最大值，所以解得．所以实数k的取值范围是[，]．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用已知条件建立不等式组求出参数的范围本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】（本小题满分12分）证明：（1）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面ADE，∴AE⊥CD，……………………（2分）又ABCD是正方形，AB⊥AD，AB∥CD，∴AB⊥AE，……………………（4分）AE∩AD=A，∴AB⊥平面ADE．……………………（6分）解：（2）由（1）得AB⊥平面ADE，DE⊂平面ADE，∴AB⊥DE，∴CD⊥DE，过E作Ey∥CD，则有EA⊥Ey，EA⊥ED，ED⊥Ey，以E为原点，分别以ED，Ey，EA为坐标轴，建立如图的空间直角坐标系．……………………（7分）设EA=ED=a＞0，∴CD=AD=，可得E（0，0，0），A（0，0，a），B（0，-，a），D（a，0，0），C（a，-，0），则=（a，0，0），=（0，-，a），=（a，-，0），……………………（8分）设平面DEB的一个法向量为=（x，y，z），则有，令y=，得=（0，，），……………………（9分）设平面EBC的一个法向量为=（p，q，r），则，令q=，得=（2，，），……………………（10分）∴cos＜，＞===，……………………（11分）所以二面角D-EB-C的余弦值为．……………………（12分）【解析】（1）推导出AE⊥CD，AB⊥AD，AB∥CD，从而AB⊥AE，由此能证明AB⊥平面ADE．（2）推导出AB⊥DE，CD⊥DE，过E作Ey∥CD，则有EA⊥Ey，EA⊥ED，ED⊥Ey，以E为原点，分别以ED，Ey，EA为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-EB-C的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意，得=×（1+2+3+4+5）=3，=×（0.5+0.6+1+1.4+1.7）=1.04，……………………（1分）∴====0.32，=-=1.04-0.32×3=0.08；……………………（2分）∴回归直线方程为：=0.32t+0.08；……………………（3分）又当t=6时，=0.32×6+0.08=2，所以预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数为2百万；……………………（4分）（2）①由表中的数据，计算=×1.5+×2.5+×3.5+×4.5+×5.5+×6.5=3.5；………（6分）s2=×（1.5-3.5）2+×（2.5-3.5）2+×（3.5-3.5）2+×（4.5-3.5）2+×（5.5-3.5）2+×（6.5-3.5）2=1.7；……………………（8分）②由①可知x～N（3.5，1.7），且P（3.5-1.3＜X＜3.5+1.3）=0.6826，则P（X＞4.8）==0.1587，……………………（10分）又=0.1587，所以该商品的最低成交价为4.8千元．……………………（12分）【解析】（1）由题意计算平均数和回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算t=6时的值即可；（2）①由表中数据计算平均数和方差即可；②由①知x～N（3.5，1.7），计算P（3.5-1.3＜X＜3.5+1.3），得出P（X＞4.8）的值，从而求得该商品的最低成交价．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，是中档题．20.【答案】解：（1）圆M：（x+1）2+y2=8的圆心为M（-1，0），半径为，设圆P的半径为R，由题意知点N（1，0）在圆M内．可得|PM|=，|PN|=R，∴|PM|+|PN|=＞|MN|=2，∴点P的轨迹是以M（-1，0），N（1，0）为焦点，长轴长为的椭圆，得a=，b=1，∴动圆圆心P的轨迹方程为；（2）显然AB不与x轴垂直，设AB所在直线方程为y=kx+b，由可得（1+2k2）x2+4kbx+2（b2-1）=0……①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两不相等的实根，得△=16k2b2-8（1+2k2）（b2-1）=8（2k2-b2+1）＞0，又x1+x2=，，得|AB|====2，又点O到直线AB的距离d=，∴△OAB的面积×=，由题意知，|DA|=|DB|，∴=，得（x1-x2）（x1+x2）+（y1-y2）（y1+y2-1）=0，又y1-y2=k（x1-x2），y1+y2=k（x1+x2）+2b，代入上式得（1+k2）（x1+x2）+2kb-k=0，得+2kb-k=0，得k=0或2k2+2b+1=0当k=0时，=，当b=时，S有最大值；当2k2+2b+1=0时，==，当b=-1时，S有最大值，此时k=，故△OAB面积的最大值为．【解析】（1）利用内切可得点P到M，N两点的距离和为定值，结合椭圆定义可得方程；（2）设直线AB的方程为y=kx+b，与椭圆方程联立得根与系数关系，由弦长公式得|AB|，由点到直线距离公式得O到AB得距离，利用AB的垂直平分线过D点找到k，b的关系，最后借由二次函数求得最值．此题考查了定义法求轨迹方程，直线与椭圆的综合，计算能力等，难度较大．21.【答案】解：（1）解：（1）由f（x）=e x-ax-1，得f'（x）=e x-a（a＞0），令f'（x）=0，则x=ln a，∴当x＞ln a时，f'（x）＞0，此时f（x）递增；当x＜ln a时，f'（x）＜0，此时f（x）递减，∴f（x）极小值=f（ln a）=a-a lna-1，无极大值；2）证明：f′（x）=e x-a，若a≤0，则f′（x）＞0，此时f（x）在R递增，由f（x1）=f（x2），可得x1=x2，与|x1-x2|≥1矛盾，∴a＞0且f（x）在（-∞，ln a]递减，在[ln a，+∞）递增，若x1，x2∈（-∞，ln a]，则由f（x1）=f（x2）可得x1=x2，与|x1-x2|≥1矛盾，同样不能有x1，x2∈[ln a，+∞），不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜ln a＜x2≤2，∵f（x）在（x1，ln a）递减，在（ln a，x2）递增，且f（x1）=f（x2），∴x1≤x≤x2时，f（x）≤f（x1）=f（x2），由0≤x1＜x2≤2且|x1-x2|≥1，得1∈[x1，x2]，故f（1）≤f（x1）=f（x2），又f（x）在（-∞，ln a]递减，且0≤x1＜ln a，故f（x1）≤f（0），故f（1）≤f（0），同理f（1）≤f（2），，解得：e-1≤a≤e2-e-1，∴e-1≤a≤e2-e．【解析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，然后确定函数的极值即可；（2）求出函数f（x）的导数，得到a＞0且f（x）在（-∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、属难题．22.【答案】解解：（1）将M（2，）及对应的参数φ=，代入，（a＜b＜0，φ为参数），得，得．……………………（2分）∴曲线C的普通方程为+=1．……………………（3分）由代入上式得曲线C的极坐标方程为+=1．…………………（5分）（2）曲线C的极坐标方程为+=1，由题意可设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），代入曲线C的极坐标方程，……………………（6分）得+=1，+=1，∴+=．……………………（7分）由|OM||AB|=|OA||OB|……………………（8分）得|OM|====……………………（9分）所以点M在以O为圆心，半径为的圆上．……………………（10分）【解析】（1）将M（2，）及对应的参数φ=，代入，（a＜b ＜0，φ为参数），得，得，∴曲线C的普通方程为+=1，由代入上式得曲线C 的极坐标方程为+=1；（2）将A，B的极坐标代入曲线C的极坐标方程消去极角可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+2|x-1|-1，不等式f（x）＞x+2，即|x+1|+2|x-1|＞x+3．∴ ①或②或③．解①求得x＜-1，解②求得-1≤x＜0，解③求得x＞2，综上可得，原不等式的解集为{x|x＜0，或x＞2}．（2）由题意可得f（x）≤a（x+2）有解，化简f（x）≤a（x+2）可得|x+1|+2|x-1|≤a（x+3）．设g（x）=|x+1|+2|x-1|=，＜，＜，，由于直线y=a（x+3）经过定点P（-3，0），如图：由题意可得f（x）的图象有一部分位于直线线y=a（x+3）的下方．由于PA的斜率K PA==，直线BC的斜率K BC=-3，故a的范围为（-∞，-3）∪（，+∞）．【解析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得|x+1|+2|x-1|≤a（x+3）能成立．设g（x）=|x+1|+2|x-1|，由题意可得f（x）的图象有一部分位于直线线y=a（x+3）的下方．求得PA、BC的斜率，数形结合求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．。
2019年梅州市高三总复习二检理科数学参考答案(定稿)
梅州市高三总复习质检试题（2019、5）理科数学参考答案与评分意见一、选择题(每小题5分,共60分)二、填空题(每小题5分,共20分) 13.22-14.0.19 15.1- 16.18 三、解答题(共70分) 17.(本小题满分12分)解:(1)由题意得a 1+2a 2+⋯+2n−1a n =n ∙2n+1, 所以,222,42132121⨯=+=⨯=a a a 得;62=a ……………………2分由a 1+2a 2+⋯+2n−1a n =n ∙2n+1,所以a 1+2a 2+⋯+2n−2a n−1=(n −1)∙2n (n ≥2),相减得2n−1a n =n ∙2n+1-(n −1)∙2n ， ……………………4分 得a n =2n +2,n =1也满足上式.所以}{n a 的通项公式为a n =2n +2. ……………………6分 (2)数列{a n −kn}的通项公式为,2)2(22+-=-+=-n k kn n kn a n……………………7分是以k -4为首项,公差为k -2的等差数列, ……………………8分 若S n ≤S 4对任意的正整数n 恒成立，等价于当4=n 时,n S 取得最大值, ……………………9分所以⎩⎨⎧≤+-=-≥+-=-.02)2(52,02)2(4254k k a k k a ……………………10分解得.25512≤≤k ……………………11分 所以实数k 的取值范围是].25,512[ ……………………12分 18.(本小题满分12分)(1)证明:⊥AE 平面⊂CD CDE ,平面ADE ,.CD AE ⊥∴ ……………………2分又ABCD 是正方形,,,//,AE AB CD AB AD AB ⊥∴⊥ ……………………4分,A AD AE =⋂⊥∴AB 平面ADE ; ……………………6分(2)由(1)⊥AB 平面⊂DE ADE ,平面.,,DE CD DE AB ADE ⊥∴⊥∴过E 作,//CD Ey 则有.,,Ey ED ED EA Ey EA ⊥⊥⊥ 以E 为原点,分别以EA Ey ED ,,为坐标轴,建立如图的空间直角坐标系. ……………………7分 设.2,0a AD CD a ED EA ==∴>==可得).0,2,(),0,0,(),,2,0(),,0,0(),0,0,0(a a C a D a a B a A E --则).0,2,(),,2,0(),0,0,(a a EC a a EB a ED -=-== ……………………8分 设平面DEB 的一个法向量为),,,(z y x n =则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⋅=⋅==⋅=⋅.02),2,0(),,(,0)0,0,(),,(az ay a a z y x EB n ax a z y x ED n令).2,2,0(,2==n y 得 ……………………9分设平面EBC 的一个法向量为),,,(r q p m =⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⋅=⋅=-=-⋅=⋅.02),2,0(),,(,02)0,2,(),,(ar aq a a r q p EB m aq ap a a r q p EC m 令).2,2,2(,2==m q 得 ……………………10分.5151526106)2,2,2()2,2,0(||||,cos ==⨯⋅=⋅⋅>=<m n m n m n 得……………………11分所以二面角C EB D --的余弦值为.515……………………12分 19. (本小题满分12分)解:(1)由题意,得123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455t y ++++++++====, ……………………1分218.853 1.04 3.20.32, 1.040.3230.08.555310b a -⨯⨯∴====-⨯=-⨯ ……………………2分∴回归直线方程为0.320.08.y x =+ ……………………3分又当6t =时,0.3260.082y =⨯+=.所以预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数为2百万. ……………………4分 (2)①由表中的数据,得2006006003002001001.52.53.54.55.56.5 3.5,200020002000200020002000x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………6分2222222200600600300(1.5 3.5)(2.5 3.5)(3.5 3.5)(4.5 3.5)2000200020002000200100(5.5 3.5)(6.5 3.5) 1.7.20002000s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ……………………8分②由①可知)7.1,5.3(~N X ,且(3.5 1.3 3.5 1.3)0.6826P X -<<+=, 则10.6826( 4.8)0.15872P X ->==, ……………………10分 又3174000.1587,2000000=所以该商品的最低成交价为4.8千元. ……………………12分20.(本小题满分12分)解:(1)圆8)1(:22=++y x M 的圆心为)0,1(-M ,半径为22, ……………………1分设圆P 的半径为R ,由题意知点)0,1(N 在圆M 内.可得,2||22||||,||,22||=>=+∴=-=MN PN PM R PN R PM所以点P 的轨迹是以)0,1(-M ,)0,1(N 为焦点,长轴长为222=a 的椭圆, ……………………3分 得.1,2==b a所以动圆圆心P 的轨迹方程为.1222=+y x……………………4分 (2)显然AB 不与x 轴垂直,设AB 所在直线方程为.b kx y +=可得 .12,22⎪⎩⎪⎨⎧=++=y x b kx y 可得.0)1(24)21(222=-+++b kbx x k ……① ……………………5分设),(),,(2211y x B y x A ,则21,x x 是方程①的两不相等的实根,得.21)1(2,214,0)12(8)1)(21(8162221221222222kb x x k kb x x b k b k b k +-=+-=+>+-=-+-=∆ 得]4))[(1())(1(||1221222122x x x x k x x k AB -++=-+=.)21()12)(1(22]21)1(8)21(16)[1(222222222222k b k k k b k b k k ++-+=+--++=……………………6分 又点O 到直线AB 的距离.1||2kb d +=……………………7分所以OAB ∆的面积.)21()12(21||)21()12)(1(222122222222222k b k b k b k b k k S ++-=+⨯++-+⨯=…………8分 由题意知, ,)21()21(|,|||22222121-+=-+∴=y x y x DB DA……………………9分得,0)1)(())((21212121=-+-++-y y y y x x x x 又,2)(),()(21212121b x x k y y x x k y y ++=+-=-代入上式得,02))(1(212=-+++k kb x x k 得.01220,02)1(214222=++==-+++-b k k k kb k k kb或得(也可直接用垂直平分线过点)21,0(D 得到b k ,关系) ……………………10分当0=k 时, .22]41)21([2)1(22222≤+--=-=b b b S当22±=b 时,S 有最大值.22……………………11分当b k b k 212,012222-=+=++即时,.22]1)1([214)2(2)21()12(2222222222≤++-=--=++-=b b b b b k b k b S当1-=b 时,S 有最大值.22,22±=k 此时 所以OAB ∆面积的最大值为.22……………………12分 21.(本小题满分12分)解:(1),1)(--=ax e x f x ,)(a e x f x-='当0>a 时, ,0)(='x f 得a x ln =. ……………………1分 当a x ln <时, ,0)(<'x f 当a x ln >时, ,0)(>'x f ……………………2分 所以当)ln ,(a x -∞∈时,)(x f 单调递减, 当),(ln +∞∈a x 时,)(x f 单调递增, ………………3分 可得当a x ln =时, )(x f 有极小值.1ln )(ln --=a a a a f ……………………4分 (2)由(1),)(a e x f x-='当0≤a 时, ,0)(>'x f 此时)(x f 单调递增,若)()(21x f x f =,可得21x x =,与1||21≥-x x 矛盾; ……………………5分当0>a 时, 由(1) 知当)ln ,(a x -∞∈时,)(x f 单调递减, 当),(ln +∞∈a x 时,)(x f 单调递增, 同理不存在)ln ,(,21a x x -∞∈或),(ln ,21+∞∈a x x ，使得)()(21x f x f =; ……………………6分 不妨设2021≤<≤x x ,则有,2ln 021<<<≤x a x因为)ln ,(a x -∞∈时,)(x f 单调递减, 当),(ln +∞∈a x 时,)(x f 单调递增, 且)()(21x f x f =,所以当21x x x ≤≤时,),()()(21x f x f x f =≤ ……………………7分 由2021≤<≤x x 且1||21≥-x x ,可得],[121x x ∈,故)()()1(21x f x f f =≤,…………………8分 又)(x f 在)ln ,(a x -∞∈单调递减,且,ln 01a x <≤所以)0()(1f x f ≤,所以)0()1(f f ≤.同理).2()1(f f ≤ ……………………9分 即⎩⎨⎧-≤--≤--.1,012e e a e a e……………………10分解得.12e e a e -<<- ……………………11分 综上所述,命题得证. ……………………12分选做题(本小题满分10分)22.解:（1）将(M 及对应的参数3πϕ=，代入⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ，（0a b >>，ϕ为参数），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3sin 33cos 2ππb a ,得⎩⎨⎧==24b a .……………………2分∴曲线C 的普通方程为221164x y +=. ……………………3分 由,sin cos ⎩⎨⎧==θρθρy x 代入上式得曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=. …………………5分 （2）曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，由题意可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭,代入曲线C 的极坐标方程, ……………………6分得222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222sin cos 1164ρθρθ+=,∴221211516ρρ+=. ……………………7分 由|,|||21||||21OB OA AB OM ⋅=⋅ ……………………8分得.554111||||||||2221212121=+=+=⋅=ρρρρρρAB OB OA OM……………………9分所以点M 在以O 为圆心,半径为554的圆上. ……………………10分 23.解:(1)当1=a ，不等式,2|1|2|1|+>--++x a x x即为,21|1|2|1|+>--++x x x 即,3|1|2|1|+>-++x x x ……………………1分 不等式等价于,3311⎩⎨⎧+>--<x x x 或,3311⎩⎨⎧+>-≤≤-x x x 或,3131⎩⎨⎧+>->x x x……………………4分得1-<x 或01<≤-x 或.2>x所求不等式的解集为}.20|{><x x x 或……………………5分 (2)由),2()(+≤x a x f 得),2(|1|2|1|+≤--++x a a x x 即),3(|1|2|1|+≤-++x a x x ……………………6分设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<-=-++=1,1311,31.,31|1|2|1|)(x x x x x x x x x g , ……………………7分如图，.3,21),0,3(-===-BC PD PA k k k P……………………9分 故由题可知3-<a 或.21≥a 即a 的取值范围为),21[)3,(+∞⋃--∞. ……………………10分。
2019-2020学年广东省梅州市高考数学统考试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M N，，若AB mAM=，AC nAN=，则m n+=（）A．1 B．32C．2 D．32．设α为锐角，若3cos45πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin2α的值为（）A．1725B．725-C．1725-D．7253．35(1)(2)x y--的展开式中，满足2m n+=的m nx y的系数之和为（）A．640B．416C．406D．236-4．已知函数log()ay x c=+（a，c是常数，其中0a>且1a≠）的大致图象如图所示，下列关于a，c 的表述正确的是（）A．1a>，1c>B．1a>，01c<<C．01a<<，1c>D．01a<<，01c<<5．已知3sin2cos1,(,)2παααπ-=∈，则1tan21tan2αα-=+（）A．12-B．2-C．12D．26．已知数列{}n a是公差为()d d≠0的等差数列，且136,,a a a成等比数列，则1ad=（）7．要得到函数3sin 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度8．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．5B ．5 C ．102D ．1059．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（ ） A ．3B ．5C ．6D ．710．若复数z 满足()134i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A ．20x y ±= B ．20x y ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±=12．已知函数21()(1)()2x f x ax x e a R =--∈若对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有123()()()f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是( ）A ．[]12，B ．[]e,4C ．[]14， D ．[)[]12,4e ⋃， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析绝密★启用前广东省2019年高考理科数学试卷注意事项：1.考生答卷前，必须在答题卡上填写姓名和准考证号。
2.回答选择题时，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|-4<x<2}，N={x|x^2-x-6<0}，则M∩N=（）A。
{x|-4<x<3}B。
{x|-4<x<-2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|2<x<3}2.设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A。
(x+1)^2+y^2=1B。
(x-1)^2+y^2=1C。
x^2+(y-1)^2=1D。
x^2+(y+1)^2=13.已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）A。
a<b<cB。
a<c<bC。
c<a<bD。
b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约为0.618，称为黄金分割比例。
某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A。
165cmB。
175cmC。
185cmD。
190cm5.函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为（）A。
B。
C。
D。
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一重卦由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图为一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A。
B。
C。
D。
7.已知非零向量，满足||=2||，且（-）⊥，则与的夹角为（）A。
广东省梅州中学2019届高三第二次月考(理数)
广东省梅州中学2019届高三第二次月考（理数）高三数学（理科）试题本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B ⋂=ðA ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >2．已知3sin 4θ=，且θ在第二象限，那么2θ在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知命题p ：21,04x R x x ∀∈-+≥，则命题p 的否定p ⌝是 A ．21,04x R x x ∃∈-+<B ．21,04x R x x ∀∈-+≤ C ．21,04x R x x ∀∈-+<D ．21,04x R x x ∃∈-+≥ 4．已知3log,2321==b a ,运算原理如右图所示，则输出的值为A ．22B ．2C ．212-D ．212+5．函数21()log f x x x=-A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C 6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不．可能是．．．该锥体的俯视图的是7．在△OAB 中，, OA a OB b ==，OD 是AB 边上的高，若λ=，则实数λ等于A ．()2||a b a a b ⋅-- B ．()2||a a b a b ⋅-- C ．()||a b a a b ⋅-- D ．()||a ab a b ⋅--8．已知集合{}1,2,3,4A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，()f i i ≠，设1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表()()()()12341234 a a a a f a f a f a f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若两个数表对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同的数表，那么满足条件的不同的数表共有A ．216个B ．108个C ．48个D ．24个第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9．设i 为虚数单位，复数z 满足i 1i z =-，则z = ．10．在二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含4x 项的系数为_____________．（用数字作答）主视图左视图B AC D11．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在2080/100mg mL （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80/100mg mL （含80）以上时，属醉酒驾车。
广东省梅州市2019届高三总复习质检试卷理科数学试题
广东省梅州市2019届高三总复习质检试卷理科数学试题一、单选题(★) 1 . 设，集合，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 若复数满足，则的共轭复数（）A．B．C．D．(★★) 3 . 设角的终边过点，则（）A．B．C．5D．(★) 4 . 中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A．6B．5C．4D．2(★) 5 . 若中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．(★) 6 . 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A．B．C．D．(★★) 7 . 函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．(★★) 8 . 已知函数（为常数，，）在处取得最小值，则函数（）A．是偶函数且它的图象关于点对称B．是奇函数且它的图象关于点对称C．是偶函数且它的图象关于点对称D．是奇函数且它的图象关于点对称(★★) 9 . 已知是抛物线上的一动点，则点到直线和抛物线的准线的距离之和的最小值是（）A．B．2C．D．(★★★★) 10 . 如果，，，就称表示的整数部分，表示的小数部分.已知数列满足，，则等于（）A．B．C．D．(★★★★★) 11 . 已知函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★★) 12 . 设是半径为2 的球面上的四点，且满足，则三个三角形的面积之和的最大值是（）A．4B．8C．12D．16二、填空题(★) 13 . 已知向量，则在方向上的投影为______．(★) 14 . 在一个装满水的容积为1升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫，现在从这个容器中随机地取出0.1升水，则在取出的水中发现草履虫的概率为______．(★★) 15 . 若，则______．(★★★★) 16 . 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为______．三、解答题(★) 17 . 已知数列满足.（1）求和的通项公式；（2）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．(★★) 18 . 如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面.（1）求证：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.(★★) 19 . 随着互联网的兴起，越来越多的人选择网上购物.某购物平台为了吸引顾客，提升销售额，每年双十一都会进行某种商品的促销活动.该商品促销活动规则如下：①“价由客定”，即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与该商品促销活动的总人数；②报价时间截止后，系统根据当年双十一该商品数量配额，按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额；③每人限购一件，且参与人员分配到名额时必须购买.某位顾客拟参加2019双十一该商品促销活动，他为了预测该商品最低成交价，根据该购物平台的公告，统计了最近5年双十一参与该商品促销活动的人数（见下表）年份20142015201620172018年份编号t 1 2 3 4 5参与人数（百万人）0.50.611.41.7（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型模拟拟合参与人数 （百万人）与年份编号 之间的相关关系.请用最小二乘法求 关于 的线性回归方程： ，并预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数； （2）该购物平台调研部门对2000位拟参与2019年双十一该商品促销活动人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：报价区间(千元)频数200600600300200100①求这2000为参与人员报价 的平均值 和样本方差 （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）； ②假设所有参与该商品促销活动人员的报价 可视为服从正态分布 ，且 与可分别由①中所求的样本平均值 和样本方差估值.若预计2019年双十一该商品最终销售量为317400，请你合理预测（需说明理由）该商品的最低成交价.参考公式即数据（i ）回归方程： ，其中 ，（ii ）（iii ）若随机变量 服从正态分布，则，，(★★★★★) 20 . 已知过定点的动圆是 与圆相内切.（1）求动圆圆心 的轨迹方程；（2）设动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上的两点，线段的垂直平分线过点，求面积的最大值（是坐标原点）.(★★★★) 21 . 已知函数，其中为自然对数的底数，.（1）当时，求的极值；（2）若存在实数，使得，且，求证：(★)22 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），且曲线上的点对应的参数，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）若曲线上的两点满足，过作交于点，求证：点在以为圆心的定圆上.(★) 23 . 已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为非空集合，求的取值范围.。
广东省梅州市高三数学总复习检测试题(二)理(梅州二模)新人教A版
一、选择题（40分）1、已知集合A＝{3，2a}，集合B＝{3，b，1－a}，A B＝{1}，则A B＝A、{0，1，3}B、{1，2，4}C、{0，1，2，3}D、{0，1，2，3,4}2、复数11zi=-（i为虚数单位）的共轭复数z是A、1－iB、1＋iC、1122i+D、1122i-3、为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约中A、3000B、6000C、7000D、80004、已知a＝（－3,2），b＝（－1,1），向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为A、－17B、17C、－16D、165、下列曲线中，离心率为6的是A、22124x y-=B、22142x y-=C、22146x y-=D、22164x y-=6、函数f（x）＝x｜x＋a｜＋b是奇函数的充要条件是A、a·b＝0B、a＋b＝0C、a2＋b2＝0D、a＝b7、一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为A、29πB、30πC、29 2πD、216π8、若m是一个给定的正整数，如果两个整数a、b用m除所得的余数相同，则称a与b对m校同余，记作例如：，则r可能为A、5B、4C、3D、2二、填空题（30分）（一）必做题（9－13题）9、函数12log 2x y =+的定义域是＿＿＿＿＿10、右边是一个算法的程序框图，当输入的值x 为5时，则其输出的结果是＿＿＿＿11、已知x ，y 满足2420x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩，且目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为5，则c 的值为＿＿＿＿12、不等｜x ＋3｜－｜x －1｜≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为＿＿＿＿13、已知，则由函数f （x ）的图像与x 轴、直线x ＝e 所围成的封闭图形的面积为＿＿＿＿（二）选做题（14、15题）14、（坐标与参数方程选做题）在极坐标中，已知点P 为方程(cos sin )1ρθθ+=所表示的曲线上上一动点(2,)3Q π，则｜PQ ｜的最小值为＿＿＿15、（几何证明选讲选做题）如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为＿＿＿＿三、解答题（80分）16、（本小题满分12分）已知函数2()2cos 23sin cos f x x x x =+。
2019广东二模理数答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷(二)参考答案及评分标准评分标准:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题不给中间分.1.C2.D3.D4.B5.A6.A7.B8.D9.B10.C11.A12.A13.14.-15.216.17.解:(1)因为n+2,,(a1-2)n依次成等比数列,所以S=(a1-2)n(n+2)...................................................................................................................................................... 1分n当n=1时,S=a1=3(a1-2),解得a1=3,从而S n=n(n+2); ................................................................................................... 2分1当n≥2时,a=S n-S n-1=n(n+2)-(n-1)(n+1)=2n+1;............................................................................................................ 4分n当n=1时,也满足a=2n+1,故a n=2n+1........................................................................................................................ 6分n(2)因为=-, .................................................................................................................................. 8分所以T=---n=-=................................................................................................................................................ 12分评分细则:第(1)问中,没有写到当n=1时,也满足a=2n+1,而直接得出数列的通项公式为a n=2n+1,要扣1分;n第(2)问中,得出T=-,而没有得到,不扣分.n18.(1)证明:连接DE,BD.因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,E为AB的中点,所以DE⊥AB. .................................................................. 1分因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AB, ........................................................................................................................... 2分又DE∩PD=D,所以AB⊥平面PDE, ............................................................................................................................. 3分则AB⊥PE....................................................................................................................................................................... 4分因为AB∥CD,所以PE⊥CD.......................................................................................................................................... 5分(2)解:以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz(其中O为AC与BD的交点),如图所示,则P(-1,0,2),A(0,-,0),E-,C(0,,0). ...................................................................................................................................... 6分设平面APE的法向量为n=(x1,y1,z1),则·n=0,·n=0,即-................................................................................................................................... 7分令x1=,得n=(,-1,1)............................................................................................................................................... 8分设平面PCE的法向量为m=(x2,y2,z2),则·m=0,·m=0,即--........................................................................................................................................ 9分令x2=3,得m=(3,1,2). ........................................................................................................................................ 10分所以cos<n,m>===, ......................................................................................................................... 11分由图可知二面角A-PE-C为钝角,故二面角A-PE-C的余弦值为-.............................................................................................................................. 12分评分细则:第(1)问中,连接BD,证得△PDA与△PDB全等,从而PA=PB,PE⊥AB,此法也可证明PE⊥CD,另外,用空间向量证明PE⊥CD,同样得分;第(2)问中,两个平面的法向量不唯一,只要与所给法向量共线即可得分.19.(1)证明:将y=kx+3代入x2=6y,得x2-6kx-18=0. ....................................................................................................... 2分设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-18, ..................................................................................................................................... 3分从而d1d2=|x1|·|x2|=|x1x2|=18为定值............................................................................................................................. 5分(2)解:存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.由(1)知x1+x2=6k, .......................................................... 6分从而k1+k2=-+-.................................................................................................................................................... 7分=-.................................................................................................................................................... 8分=--................................................................................................................................................................. 9分当b=-3时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补, ................................................................... 11分故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-3)符合题意. .............................................................................................................. 12分评分细则:第(1)问中,直线方程与抛物线方程联立正确得2分,两根之和对(1)问无贡献,若第(2)问未写,而第(1)问写了,应给1分.20.解:(1)这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30×0.005+50×0.015+70×0.020+90×0.010)×20=64,即10点04分........................................................................... 2分(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知:抽取的10辆车中,在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20,60)这一区间内的车辆数,即(0.005+0.015)×20×10=4,所以X的可能取值为0,1,2,3,4......................................... 3分所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==, ............................................................................................................................ 6分所以X的分布列为所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=. ........................................................................................................... 8分(3)由(1)可得μ=64,σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以σ=18........................................................................................................................................................................ 9分估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数,也就是46<T≤100通过的车辆数,由T~N(μ,σ2),得P(64-18<T≤64+2×18)=-+-=0.8186, ................................................ 11分所以,估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆........................................................ 12分评分细则:第(2)问中,若没有逐个计算每个X的概率,直接得出X的分布列,扣2分.21.(1)解:g(x)的定义域为(0,+∞), .................................................................................................................................... 1分g'=-, ............................................................................................................................................................ 2分若a≤-,因为x>1,所以ln x>0,所以g'(x)<0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减. .............................................................. 3分若a>-,令g'=0,得x=,当1<x<时,g'(x)>0;当x>时,g'(x)<0.所以g(x)的单调递减区间为(,+∞),单调递增区间为(1,).............................................................................. 5分(2)x2f(x)+a≥2-e,即x ln x-ax+a+e-2≥0对x∈(0,+∞)恒成立,令h(x)=x ln x-ax+a+e-2,则h'(x)=ln x+1-a,令h'(x)=0,得x=e a-1. .................................................................................. 6分当x∈(0,e a-1)时,h'(x)<0;当x∈(e a-1 ,+∞)时,h'(x)>0, ...................................................................................................... 7分所以h(x)的最小值为h(e a-1)=(a-1)e a-1+a+e-2-a e a-1=a+e-2-e a-1, ................................................................................... 8分令t(a)=a+e-2-e a-1,则t'(a)=1-e a-1,令t'(a)=0,得a=1.当a∈[0,1)时,t'(a)>0,t(a)在[0,1)上单调递增;当a∈(1,+∞)时,t'(a)<0,t(a)在(1,+∞)上单调递减........................................................................................................ 10分所以当a∈[0,1)时,h(x)的最小值为t(a)≥t(0)=e-2->0;当a∈[1,+∞)时,h(x)的最小值为t(a)=a+e-2-e a-1≥0=t(2)............................................................................................ 11分故a的取值范围是[0,2]. ............................................................................................................................................... 12分评分细则:第(1)问中,g(x)的定义域与g(x)的导数正确各得1分.22.解:(1)由ρ2-4ρcos θ-6ρsin θ+12=0,得x2+y2-4x-6y+12=0, ........................................................................................ 2分即(x-2)2+(y-3)2=1,此即为曲线C的直角坐标方程. ...................................................................................................... 3分(2)由(1)可设P的坐标为(2+cos α,3+sin α),0≤α<2π, .................................................................................................... 6分则|PM|=3+sin α, ............................................................................................................................................................. 7分又直线ρcos θ=-1的直角坐标方程为x=-1,所以|PN|=2+cos α+1=3+cos α. ..................................................................................................................................... 8分所以|PM|+|PN|=6+sin, .............................................................................................................................. 9分故当α=时,|PM|+|PN|取得最大值,且最大值为6+............................................................................................. 10分评分细则:第(2)问中,亦可设P的坐标为(2+sin α,3+cos α),|PM|=3+cos α,|PN|=3+sin α,各给1分.23.解:(1)由f(x)<0,得+-<4. ....................................................................................................................... 1分当x<-1时,-x-1+2-x<4,解得-<x<-1; ............................................................................................................................ 2分当-1≤x≤2时,x+1+2-x=3<4恒成立,则-1≤x≤2; ............................................................................................................... 3分当x>2时,x+1+x-2<4,解得2<x<. ............................................................................................................................... 4分故f(x)<0的解集为-. ........................................................................................................................................... 5分(2)因为f(x)=+--k≥|x+1+2-x|-k=3-k, ........................................................................................................ 6分所以f(x)的最小值为3-k................................................................................................................................................. 7分因为不等式f(x)≥对x∈R恒成立,所以3-k≥,k+3≥0,所以--................................................................................................................................................. 9分解得-3≤k≤1,则k的取值范围为[-3,1]........................................................................................................................... 10分评分细则:第(1)问中,先将f(x)化为三段的分段函数,得3分,再得出不等式的解集,得2分; 第(2)问中,未写3-k≥0,扣1分.。
广东省梅州市梅县高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试卷含解析
广东省梅州市梅县高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 曲线在点(1，2)处的切线方程为()A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x参考答案：2. 复数的共轭复数为( )参考答案：C略3. 设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 12参考答案：试题分析：先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到y轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，∵点P到y轴的距离是4，∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B4. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图则输出的值为（）（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．6 B．12 C．24 D．48参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°≈12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：C．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．5. 已知长方形ABCD，抛物线以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为P.则下列结论正确的是（）A．不论边长如何变化，P为定值B．若的值越大，P越大C．当且仅当时，P最大D．当且仅当时，P 最小参考答案：A略6. 函数y=cos2（x﹣）是（）A略7. （09年宜昌一中10月月考理）下列函数中，有反函数的是（）A.B.C.D.参考答案：B8. 已知，则的值为A.-3B. 3C. -3或3D. -1或3参考答案：D9. 在展开式中，含项的系数是（）A．1 B．－1 C．－5 D．5参考答案：B10. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A．123 B.38 C．11 D．3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一次研究性课堂上，老师给出函数，甲、乙、丙三位同学在研究此函数的性质时分别给出下列命题：甲：函数为偶函数；乙：函数；丙：若则一定有你认为上述三个命题中正确的个数有个参考答案：212. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则____.参考答案：略13. 按如下图所示的程序框图运算，若输出，则输入的取值范围是．参考答案：我们构造数列，为循环过程中x的值，则，所以，所以，要满足输出，则，即，解得，所以输入的取值范围是。
2019年广东省梅州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2019年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设U={-1，0，1，2}，集合A={x|x2＜1，x∈U}，则∁U A=（）A. 1，B. 1，C. 0，D. 0，2.若复数z满足（1+z）i=3-i，则z的共轭复数=（）A. B. C. D.3.设角α的终边过点（2，3），则tan（α-）=（）A. B. C. 5 D.4.中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A. 2B. 4C. 5D. 65.若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.6.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A. B. C. D.7.函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A.B.C.D.8.已知函数f（x）=a sin x-b cos x（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（-x）（）A. 是偶函数且它的图象关于点对称B. 是奇函数且它的图象关于点对称C. 是偶函数且它的图象关于点对称D. 是奇函数且它的图象关于点对称9.已知P是抛物线C：y2=4x上的一动点，则点P到直线l：2x-y+3=0和抛物线C的准线的距离之和的最小值是（）A. B. 2 C. D.10.如果x=[x]+{x}，[x]∈Z，0≤{x}＜1，就称[x]表示x的整数部分，{x}表示x的小数部分，已知数列{a n}满足a1=，a n+1=[a n]+，则a2019-a2018等于（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）=，若方程f（x）=mx-恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.12.设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则三个三角形的面积之和S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是（）A. 4B. 8C. 12D. 16二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（2，1），=（-1，1），则在方向上的投影为______14.在一个装满水的容积为1升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫，现在从这个容器中随机地取出0.1升水，则在取出的水中发现草履虫的概率为______．15.若（1+ex）2019=a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019，则-+-+-……-=______16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2，则4a+c的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足（a1+2a2+…+2n-1a n）=2n+1（n∈N*）．（1）求a1，a2和{a n}的通项公式；（2）记数列{a n-kn}的前n项和为S n，若S n≤S4对任意的正整数n恒成立，求实数k的取值范围．18.如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE．（1）求证：AB⊥平面ADE．（2）当EA=ED时，求二面角D-EB-C的余弦值．19. 随着互联网的兴起，越来越多的人选择网上购物．某购物平台为了吸引顾客提升销售额，每年双十一都会进行某种商品的促销活动，该商品促销活动规则如下：①“价由客定”，即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价，每个人并不知晓其他人的报价也不知道参与该商品促销活动的总人数；②报价时间截止后，系统根据当年双十一该商品数量配额，按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额；③每人限购一件，且参与人员分配到名额时必须购买，某位顾客拟参加2019年双十一该商品促销活动，他为了预测该商品最低成交价，根据该购物平台的公告统计了最近5年双十一参与该商品促销活动的人数（见表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模拟拟合参与人数y （百万人）与年份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：=t +，并预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数； （2）该购物平台调研部门对2000位拟参与2019年双十一该商品促销活动人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：①求这200位参与人员报价X 的平均值 和样本方差s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；②假设所有参与该商品促销活动人员的报价X 可视为服从正态分布N （μ，σ2）且μ与σ2可分别由①中所求的样本平均值 和样本方差s 2估值，若预计2019年双十一该商品最终销售量为317400，请你合理预测（需说明理由）该商品的最低成交价． 参考公式及数据（i ）回归方程：=t +，其中=，=-x ．（ii ）=55， =18.8， ≈1.3；（iii ）若随机变量Z 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ＜Z ＜μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ＜Z ＜μ+2σ）=0.9544，P （μ-3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9974．20. 已知过定点N （1，0）的动圆P 与圆M ：（x +1）2+y 2=8相内切．（1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）设动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，A ，B 是曲线C 上的两点，线段AB 的垂直平分线过点D （0，），求△OAB 面积的最大值（O 是坐标原点）．21. 已知函数f （x ）=e x-ax -1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ．（1）当a ＞0时，求f （x ）的极值；（2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，得f （x 1）=f （x 2），且|x 1-x 2|≥1，求证e -1＜a ＜e 2-e ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（a ＞b ＞0，φ为参数），且曲线C 上的点M （2， ）对应的参数φ=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程；（2）若曲线C 上的A ，B 两点满足OA ⊥OB ，过O 作OM ⊥AB 交AB 于点M ，求证：点M 在以O 为圆心的定圆上．23. 已知函数f （x ）=|x +1|+2|x -1|-a（1）若a =1，求不等式f （x ）＞x +2的解集（2）若不等式f （x ）≤a （x +2）的解集为非空集合，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：设U={-1，0，1，2}，集合A={x|x2＜1，x∈U}={0}，∴∁U A={-1，1，2}，故选：B．化简集合A，求出A的补集即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.【答案】D【解析】解：由（1+z）i=3-i，得z=，∴．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵角α的终边过点（2，3），∴tanα==．∴tan（α-）===．故选：A．根据三角函数的定义即可得到tanα的值，根据两角差的正切函数公式即可计算得解．本题考查了三角函数的定义，两角差的正切函数公式的应用，正确理解三角函数的定义是解题的关键，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由茎叶图可得，诗词能手”的称号有16人，据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为10×=4人，故选：B．由茎叶图可得，获”诗词能手”的称号有16人，再根据分层抽样的定义即可求出．本题考查了分层抽样和茎叶图，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，该双曲线的离心率为，即e==，则有c=a，进而b==a，又由该双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程为y=±x；故选：D．根据题意，由双曲线的离心率可得c=a，进而结合双曲线的几何性质可得b=a，再结合焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的几何性质求出a、b的关系．6.【答案】B【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：f（x）=（-1）cosx=cosx，f（-x）=cos（-x）=cosx=-f（x）．∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当0＜x ＜时，e x＞1，cosx＞0，∴f（x）=cosx＜0，故选：B．判断f（x）的单调性，再根据f（x）在（0，）上的函数值的符号得出答案．本题考查了函数图象的判断，只有函数单调性、奇偶性的应用，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：∵f（x）=asinx-bcosx在x=处取得最小值，∴f（）=（a-b）=-＜0∴a=-b且a＜b，∴b＞0，a＜0，则f （-x）=a[sin （-x）+cos （-x）]=sin （-x）=-cosx 根据偶函数的定义可知是偶函数，且图象关于（π，0）对称故选：A．由已知结合余弦函数的性质可知f（）=（a-b）=-＜0，从而可求a，b的关系，代入化简后根据余弦函数的性质可求本题主要考查了余弦函数的定义及性质的简单应用，属于基础试题9.【答案】A【解析】解：由抛物线y2=4x知，焦点F（1，0），准线方程为x=-1，根据题意作图如下；点P到直线2x-y+3=0的距离为|PA|，点P到x=-1的距离为|PB|；由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l：2x-y+3=0和准线x=-1的距离之和为|PF|+|PA|，且点F（1，0），到直线l：2x-y+3=0的距离为d==，所以点P到直线l：2x-y+3=0和准线x=-1的距离之和最小值为．故选：A．点P到直线2x-y+3=0的距离为|PA|，到准线x=-1的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线2x-y+3=0和准线x=-1的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案．本题考查了抛物线的定义与简单几何性质的应用问题，也考查了点到直线的距离计算问题，是中档题．10.【答案】D【解析】解：a1=，a n+1=[a n ]+，∴a2=2+=6+2，a3=10+=12+，a4=14+=18+2，a5=22+=24+，……．∴a2018=6×2018+2，a2019=6×2019+．则a2019-a2018=6-．故选：D．a1=，a n+1=[a n ]+，可得：a2=2+=6+2，a3=12+，a4=18+2，a5=24+，……．利用等差数列的通项公式及其规律可得a2018，a2019．本题考查了等差数列的通项公式、取整数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意，直线y=kx-过（1，0）时，k=，x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=，直线与y=lnx相切时，设切点坐标为（a，lna），则切线方程为y-lna=（x-1），即y=x-1+lna，令-1+lna=-，则a=，∴k==，∴方程f（x）=kx-恰有四个不相等的实数根，实数k的取值范围是（，），故选：A．由题意，方程方程f（x）=kx-恰有四个不相等的实数根，等价于y=f（x）与y=kx-有4个交点，求出直线y=kx-过（1，0）时k的值及直线与y=lnx相切时k的值，即可求出k的取值范围．本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：设AB=a，AC=b，AD=c，因为AB，AC，AD两两互相垂直所以a2+b2+c2=4×22S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc）≤（a2+b2+c2）=8．即最大值8．故选：B．三棱锥A-BCD是长方体的三个面，扩展为长方体，它的对角线就是球的直径，设出AB=a，AC=b，AD=c，求出三个三角形面积的和，利用直径等于长方体的对角线的关系，以及基本不等式，求出面积最大值．本题考查球的内接体问题，考查基本不等式，空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．13.【答案】-【解析】解：根据题意，向量=（2，1），=（-1，1），则•=2×（-1）+1×1=-1，又由||=，则在方向上的投影为==-；故答案为：-根据题意，由向量数量积的计算公式可得•=-1，求出||的值，由数量积的计算公式计算可得答案．本题考查平面向量数量积的计算，关键是掌握平面向量数量积的计算公式，属于基础题．14.【答案】0.2【解析】解：在一个装满水的容积为1升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫，现在从这个容器中随机地取出0.1升水，则在取出的水中发现草履虫的概率为p==0.2．故答案为：0.2．利用等可能事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等addb知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．15.【答案】-1【解析】解：依题意，令x=-，得=0=1-+-+-……-，所以-+-+-……-=-1．故填：-1．令x=-，得0=1-+-+-……-，所以-+-+-……-=-1．本题考查了二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．16.【答案】18【解析】解：如图所示，则△ABC的面积为acsin120°=a•2sin60°+c•2sin60°，即ac=2a+2c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++10≥2+10=8+10=18，当且仅当=，即c=2a时取等号；∴4a+c的最小值为18．故答案为：18．根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解题的关键．17.【答案】解：（1）由题意得，所以：，．解得：a2=6．由，所以，相减得-（n-1）•2n，得a n=2n+2，n=1也满足上式．所以{a n}的通项公式为a n=2n+2．（2）数列{a n-kn}的通项公式为：a n-kn=2n+2-kn=（2-k）n+2说以：该数列是以4-k为首项，公差为2-k的等差数列，若S n≤S4对任意的正整数n恒成立，等价于当n=4时，S n取得最大值，所以解得．所以实数k的取值范围是[，]．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用已知条件建立不等式组求出参数的范围本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】（本小题满分12分）证明：（1）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面ADE，∴AE⊥CD，……………………（2分）又ABCD是正方形，AB⊥AD，AB∥CD，∴AB⊥AE，……………………（4分）AE∩AD=A，∴AB⊥平面ADE．……………………（6分）解：（2）由（1）得AB⊥平面ADE，DE⊂平面ADE，∴AB⊥DE，∴CD⊥DE，过E作Ey∥CD，则有EA⊥Ey，EA⊥ED，ED⊥Ey，以E为原点，分别以ED，Ey，EA为坐标轴，建立如图的空间直角坐标系．……………………（7分）设EA=ED=a＞0，∴CD=AD=，可得E（0，0，0），A（0，0，a），B（0，-，a），D（a，0，0），C（a，-，0），则=（a，0，0），=（0，-，a），=（a，-，0），……………………（8分）设平面DEB的一个法向量为=（x，y，z），则有，令y=，得=（0，，），……………………（9分）设平面EBC的一个法向量为=（p，q，r），则，令q=，得=（2，，），……………………（10分）∴cos＜，＞===，……………………（11分）所以二面角D-EB-C的余弦值为．……………………（12分）【解析】（1）推导出AE⊥CD，AB⊥AD，AB∥CD，从而AB⊥AE，由此能证明AB⊥平面ADE．（2）推导出AB⊥DE，CD⊥DE，过E作Ey∥CD，则有EA⊥Ey，EA⊥ED，ED⊥Ey，以E为原点，分别以ED，Ey，EA为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-EB-C的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意，得=×（1+2+3+4+5）=3，=×（0.5+0.6+1+1.4+1.7）=1.04，……………………（1分）∴====0.32，=-=1.04-0.32×3=0.08；……………………（2分）∴回归直线方程为：=0.32t+0.08；……………………（3分）又当t=6时，=0.32×6+0.08=2，所以预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数为2百万；……………………（4分）（2）①由表中的数据，计算=×1.5+×2.5+×3.5+×4.5+×5.5+×6.5=3.5；………（6分）s2=×（1.5-3.5）2+×（2.5-3.5）2+×（3.5-3.5）2+×（4.5-3.5）2+×（5.5-3.5）2+×（6.5-3.5）2=1.7；……………………（8分）②由①可知x～N（3.5，1.7），且P（3.5-1.3＜X＜3.5+1.3）=0.6826，则P（X＞4.8）==0.1587，……………………（10分）又=0.1587，所以该商品的最低成交价为4.8千元．……………………（12分）【解析】（1）由题意计算平均数和回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算t=6时的值即可；（2）①由表中数据计算平均数和方差即可；②由①知x～N（3.5，1.7），计算P（3.5-1.3＜X＜3.5+1.3），得出P（X＞4.8）的值，从而求得该商品的最低成交价．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，是中档题．20.【答案】解：（1）圆M：（x+1）2+y2=8的圆心为M（-1，0），半径为，设圆P的半径为R，由题意知点N（1，0）在圆M内．可得|PM|=，|PN|=R，∴|PM|+|PN|=＞|MN|=2，∴点P的轨迹是以M（-1，0），N（1，0）为焦点，长轴长为的椭圆，得a=，b=1，∴动圆圆心P的轨迹方程为；（2）显然AB不与x轴垂直，设AB所在直线方程为y=kx+b，由可得（1+2k2）x2+4kbx+2（b2-1）=0……①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两不相等的实根，得△=16k2b2-8（1+2k2）（b2-1）=8（2k2-b2+1）＞0，又x1+x2=，，得|AB|====2，又点O到直线AB的距离d=，∴△OAB的面积×=，由题意知，|DA|=|DB|，∴=，得（x1-x2）（x1+x2）+（y1-y2）（y1+y2-1）=0，又y1-y2=k（x1-x2），y1+y2=k（x1+x2）+2b，代入上式得（1+k2）（x1+x2）+2kb-k=0，得+2kb-k=0，得k=0或2k2+2b+1=0当k=0时，=，当b=时，S有最大值；当2k2+2b+1=0时，==，当b=-1时，S有最大值，此时k=，故△OAB面积的最大值为．【解析】（1）利用内切可得点P到M，N两点的距离和为定值，结合椭圆定义可得方程；（2）设直线AB的方程为y=kx+b，与椭圆方程联立得根与系数关系，由弦长公式得|AB|，由点到直线距离公式得O到AB得距离，利用AB的垂直平分线过D点找到k，b的关系，最后借由二次函数求得最值．此题考查了定义法求轨迹方程，直线与椭圆的综合，计算能力等，难度较大．21.【答案】解：（1）解：（1）由f（x）=e x-ax-1，得f'（x）=e x-a（a＞0），令f'（x）=0，则x=ln a，∴当x＞ln a时，f'（x）＞0，此时f（x）递增；当x＜ln a时，f'（x）＜0，此时f（x）递减，∴f（x）极小值=f（ln a）=a-a lna-1，无极大值；2）证明：f′（x）=e x-a，若a≤0，则f′（x）＞0，此时f（x）在R递增，由f（x1）=f（x2），可得x1=x2，与|x1-x2|≥1矛盾，∴a＞0且f（x）在（-∞，ln a]递减，在[ln a，+∞）递增，若x1，x2∈（-∞，ln a]，则由f（x1）=f（x2）可得x1=x2，与|x1-x2|≥1矛盾，同样不能有x1，x2∈[ln a，+∞），不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜ln a＜x2≤2，∵f（x）在（x1，ln a）递减，在（ln a，x2）递增，且f（x1）=f（x2），∴x1≤x≤x2时，f（x）≤f（x1）=f（x2），由0≤x1＜x2≤2且|x1-x2|≥1，得1∈[x1，x2]，故f（1）≤f（x1）=f（x2），又f（x）在（-∞，ln a]递减，且0≤x1＜ln a，故f（x1）≤f（0），故f（1）≤f（0），同理f（1）≤f（2），，解得：e-1≤a≤e2-e-1，∴e-1≤a≤e2-e．【解析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，然后确定函数的极值即可；（2）求出函数f（x）的导数，得到a＞0且f（x）在（-∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、属难题．22.【答案】解解：（1）将M（2，）及对应的参数φ=，代入，（a＜b＜0，φ为参数），得，得．……………………（2分）∴曲线C的普通方程为+=1．……………………（3分）由代入上式得曲线C的极坐标方程为+=1．…………………（5分）（2）曲线C的极坐标方程为+=1，由题意可设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），代入曲线C的极坐标方程，……………………（6分）得+=1，+=1，∴+=．……………………（7分）由|OM||AB|=|OA||OB|……………………（8分）得|OM|====……………………（9分）所以点M在以O为圆心，半径为的圆上．……………………（10分）【解析】（1）将M（2，）及对应的参数φ=，代入，（a＜b ＜0，φ为参数），得，得，∴曲线C的普通方程为+=1，由代入上式得曲线C 的极坐标方程为+=1；（2）将A，B的极坐标代入曲线C的极坐标方程消去极角可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+2|x-1|-1，不等式f（x）＞x+2，即|x+1|+2|x-1|＞x+3．∴ ①或②或③．解①求得x＜-1，解②求得-1≤x＜0，解③求得x＞2，综上可得，原不等式的解集为{x|x＜0，或x＞2}．（2）由题意可得f（x）≤a（x+2）有解，化简f（x）≤a（x+2）可得|x+1|+2|x-1|≤a（x+3）．设g（x）=|x+1|+2|x-1|=，＜，＜，，由于直线y=a（x+3）经过定点P（-3，0），如图：由题意可得f（x）的图象有一部分位于直线线y=a（x+3）的下方．由于PA的斜率K PA==，直线BC的斜率K BC=-3，故a的范围为（-∞，-3）∪（，+∞）．【解析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得|x+1|+2|x-1|≤a（x+3）能成立．设g（x）=|x+1|+2|x-1|，由题意可得f（x）的图象有一部分位于直线线y=a（x+3）的下方．求得PA、BC的斜率，数形结合求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．。
广东省梅州市2019届高三总复习质检试卷理科数学试题(教师版)
广东省2019年5月梅州市高三总复习质检试卷理科数学一、选择题。
1.设，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合A,再求.【详解】由得：，所以，因此，故答案为：B【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.2.若复数满足，则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题，先用复数的运算求得z，再求得的共轭复数.【详解】由题可得，即的共轭复数故选D【点睛】本题考查了复数的运算以及共轭复数，属于基础题.3.设角的终边过点，则（）A. B. C. 5 D.【答案】A【解析】∵角的终边过点，∴，则，故选A.4.中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A. 6B. 5C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】有茎叶图，找出获得“诗词能手”的称号的学生人数，求得概率，再利用分层抽样求得答案.【详解】由茎叶图可得，低于85分且不低于70分的学生共有16人，所以获得“诗词能手”的称号的概率为：所以分层抽样抽选10名学生，获得“诗词能手”称号的人数为：故选C【点睛】本题考查了茎叶图以及分层抽样，属于基础题.5.若中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先离心率公式求得的值，再利用渐近线公式求得结果.【详解】由题，双曲线的离心率为，即又因为双曲线焦点在轴上，所以渐近线方程为：故选D【点睛】本题考查了双曲线的性质，熟记离心率和渐近线公式是解题的关键所在，属于较为基础题.6.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为，故选B.考点：《算数书》中的近似计算，容易题.【此处有视频，请去附件查看】7.函数的图象的大致形状是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意得，，所以，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；令，则，故选B．考点：函数的奇偶性及函数的图象．8.已知函数（为常数，，）在处取得最小值，则函数（）A. 是偶函数且它的图象关于点对称B. 是奇函数且它的图象关于点对称C. 是偶函数且它的图象关于点对称D. 是奇函数且它的图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】由题，先化简，然后根据在处取得最小值，求得a、b的关系，求得的解析式，可得答案. 【详解】由题，因为在处取得最小值，即所以即=分析答案，为偶函数且图像关于点对称故选C【点睛】本题考查了三角函数的图像和性质，解题的关键是利用辅助角和性质求得a、b的关系，属于中档题型.9.已知是抛物线上的一动点，则点到直线和抛物线的准线的距离之和的最小值是（）A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得抛物线的焦点，根据抛物线的定义，将提问转化成点F到直线的距离，根据距离公式求得结果. 【详解】由题，抛物线的焦点F(1,0),根据抛物线的定义点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，所以点到直线和抛物线的准线的距离之和，也就是到直线和PF的长度，点F(1,0)到直线的距离所以P到直线和PF的长度最小值为故选A【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，掌握熟练运用抛物线的定义是解题的关键，属于中档题.10.如果，，，就称表示的整数部分，表示的小数部分.已知数列满足，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题，分别求出，然后求得再求得分析可得结果.【详解】因为，同理可得：所以所以当n为奇数时，当n为偶数时所以=故选D【点睛】本题考查了数列的综合，解得的值和分析观察是解题的关键，属于较难题.11.已知函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示,恒过定点,过与函数图像上点连线与函数图像有三个交点,设过点直线与函数图像相切于点,由 ,切线方程为,过点代入可得 ,又得,所以 ,那么 .由图像观察知当直线绕定点逆时针转动时,与函数会出现四个交点,出现四个交点的斜率范围,即.此时函数，若方程恰有四个不相等的实数根.故本题答案选A.点睛：本题主要考查函数性质,利用数形结合的方法求参数取值.书籍函数有零点(方程有根),求参数取值常用以下方法(1)直接法:直接根据题目所给的条件,找出参数所需要满足的不等式,通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离成参数与未知量的等式,将含未知量的等式转化成函数,利用求函数的值域问题来解决;(3)数形结合法:先对解析变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后结合图像求解.12.设是半径为2 的球面上的四点，且满足，则三个三角形的面积之和的最大值是（）A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】B【解析】【分析】由题分析可得四面体ABCD的外接球也就是以AB、AC、AD作为长宽高的长方体的外接球，得到，再表示出面积利用基本不等式可得结果.【详解】设AB=a，AC=b，AD=c，由题AB、AC、AD是两两垂直；所以四面体ABCD的外接球也就是以AB、AC、AD作为长宽高的长方体的外接球，所以=故答案为8【点睛】本题考查了几何体的外接球和基本不等式的应用，属于小综合题型，解题的关键字找到几何体的外接球与几何体的关系，属于较难题型.二、填空题.13.已知向量，则在方向上的投影为______．【答案】【解析】在方向上的投影为14.在一个装满水的容积为1升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫，现在从这个容器中随机地取出0.1升水，则在取出的水中发现草履虫的概率为______．【答案】0.19【解析】【分析】先分别求得水中有草履虫a为事件A和有草履虫b为事件B的概率，再求得水中发现草履虫为事件A+B的概率，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)求得结果.【详解】记取出的水中有草履虫a为事件A，取出的水中有草履虫b为事件B，则P(A)=0.1,P(B)=0.1则取出取水水中发现草履虫为事件A+B，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.19故答案为0.19【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率，属于较为基础题.15.若，则______．【答案】【解析】【分析】由题，求得，再令可得0=，即可得到答案.【详解】在中，令可得再令可得0=所以=故答案为-1【点睛】本题考查了二项式定理，熟悉公式是解题的关键，属于中档题.16.在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为______．【答案】18【解析】【分析】画出图像，由题易知可得，再利用基本不等式可得答案.【详解】如图：因为可得即，所以所以当且仅当时取等号.故答案为18【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形和基本不等式的应用，熟练公式是解题的关键，属于中档题.三、解答题.17.已知数列满足.（1）求和的通项公式；（2）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）将n=1和n=2带入求得，由题写出（），与原式相减可得，检验n=1满足可得答案；（2）求得数列的通项公式，由题易知当时,取得最大值,可得答案.【详解】解:(1)由题意得，所以得由,所以（），相减得，得也满足上式.所以的通项公式为.(2)数列的通项公式为是以为首项,公差为的等差数列,若对任意的正整数恒成立，等价于当时,取得最大值,所以解得所以实数的取值范围是【点睛】本题考查了数列的综合，懂得求通项公式是解题的关键，属于中档题.18.如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面.（1）求证：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】(1)由题意，易证得和，得证；（2）如图的空间直角坐标系，分别求得平面平面的法向量，然后利用二面角公式求得结果. 【详解】(1)证明:平面平面,又是正方形,平面;(2)由(1)平面平面过作则有以为原点,分别以为坐标轴,建立如图的空间直角坐标系. 设可得则设平面的一个法向量为则有令设平面的一个法向量为令所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查了立体几何的综合，包括线面垂直和利用空间向量求二面角，熟悉线面垂直的判定定理以及法向量的求法是解题的关键，属于较为基础题19.随着互联网的兴起，越来越多的人选择网上购物.某购物平台为了吸引顾客，提升销售额，每年双十一都会进行某种商品的促销活动.该商品促销活动规则如下：①“价由客定”，即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与该商品促销活动的总人数；②报价时间截止后，系统根据当年双十一该商品数量配额，按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额；③每人限购一件，且参与人员分配到名额时必须购买.某位顾客拟参加2019双十一该商品促销活动，他为了预测该商品最低成交价，根据该购物平台的公告，统计了最近5年双十一参与该商品促销活动的人数（见下表）（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型模拟拟合参与人数（百万人）与年份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数；（2）该购物平台调研部门对2000位拟参与2019年双十一该商品促销活动人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：①求这2000为参与人员报价的平均值和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；②假设所有参与该商品促销活动人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由①中所求的样本平均值和样本方差估值.若预计2019年双十一该商品最终销售量为317400，请你合理预测（需说明理由）该商品的最低成交价.参考公式即数据（i）回归方程：，其中，（ii ），（iii）若随机变量服从正态分布，则，【解析】【分析】（1）分别求得和，求得回归方程，再取求得预测值；（2）分别利用表中数据求得的平均值和样本方差，再利用正态分布求得，求得，从而预测出最低价. 【详解】解:(1)由题意,得,回归直线方程为又当时,.所以预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数为2百万.(2)①由表中的数据,得样本方差②由①可知,且, 则,又所以该商品的最低成交价为4.8千元. 【点睛】本题考查了线性回归方程，以及正态分布的综合应用，属于中档题型，合理理解题意是解题的关键.20.已知过定点的动圆是与圆相内切.（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）设动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上的两点，线段的垂直平分线过点，求面积的最大值（是坐标原点）.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由题易知，可得为定值，利用椭圆的定义求得结果；(2)设所在直线方程为椭圆联立，表示出AB的长度和到直线的距离，求得的面积，再由题k与b的关系，可得答案.【详解】解:(1)圆的圆心为,半径为,设圆的半径为,由题意知点在圆内.可得所以点的轨迹是以,为焦点,长轴长为的椭圆,得所以动圆圆心的轨迹方程为(2)显然不与轴垂直,设所在直线方程为可得可得……①设,则是方程①的两不相等的实根,得得又点到直线的距离所以的面积由题意知,得又代入上式得得(也可直接用垂直平分线过点得到关系)当时,当时,有最大值当时,当时,有最大值所以面积的最大值为【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合，熟悉椭圆性质和定义以及数量直线与圆锥曲线的解题步骤是解题的关键，属于难题.直线与圆锥曲线解题步骤：(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理； （3）转化，由题已知转化为数学公式； （4）计算，细心计算.21.已知函数，其中为自然对数的底数，.（1）当时，求的极值；（2）若存在实数，使得，且，求证：【答案】(1)见解析；(2)见证明 【解析】 【分析】（1）求导，讨论其单调性，求其极值即可; （2）求导，对a 进行讨论，求其单调性，得到的范围，再利用函数的单调性和最值可证得所求的范围即可.【详解】解:(1)当时, 得.当时, 当时,所以当时,单调递减, 当时,单调递增,可得当时, 有极小值(2)由(1)当时, 此时单调递增,若,可得,与矛盾;当时, 由(1) 知当时,单调递减, 当时,单调递增,同理不存在或，使得;不妨设,则有因为时,单调递减, 当时,单调递增,且,所以当时,由且,可得,故,又在单调递减,且所以,所以.同理即解得综上所述,命题得证.【点睛】本题考查了导函数的应用，熟悉导函数的应用，单调性极值最值是解题的关键，属于较难题.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），且曲线上的点对应的参数，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）若曲线上的两点满足，过作交于点，求证：点在以为圆心的定圆上. 【答案】(1) 普通方程为.极坐标方程为. (2)见证明【解析】【分析】（1）将参数带入参数方程，求得a、b的值，可得其普通方程和极坐标方程；（2）设，,带入极坐标方程，再用等面积法，可得OM的定值，得证.【详解】解:（1）将及对应的参数，代入，（，为参数），得,得.∴曲线的普通方程为.由代入上式得曲线的极坐标方程为.（2）曲线的极坐标方程为，由题意可设，,代入曲线的极坐标方程,得，,∴.由得所以点在以为圆心,半径为的圆上.【点睛】本题考查了极坐标与参数方程，熟悉公式是解题的关键，属于基础题.23.已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为非空集合，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用分类整合思想分类建立不等式组求解；（2）借助题设运用绝对值不等式的性质及分类整合思想求解.试题解析：（1）当，不等式，即为，不等式等价于或或可得或或．所以不等式的解集为．（2）由，得，即，设如图，，，，故由题意可知或，即的取值范围为．考点：绝对值不等式的性质及分类整合数学思想等有关知识的综合运用.。