流体力学第六章2011(流体波动)

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h x, t 可以为正也可以为负，并满足：
h x, t H h x, t H H 1
也就是认为水面受到扰动后产生的起伏是很小的。
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流体波动是流体的一种特定的运动形态，应该遵循流 体运动所满足的基本方程。
不计粘性和旋转效应，不可压缩流体的一维波动水平 运动方程为：
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三维波动的波参数
位相的普遍形式：
k x x k y y k z z t ( x , y , z , t )
其中：
/ t k x / x k y / y
k z / z
圆频率 x 方向的波数 y 方向的波数 z 方向的波数
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（3）波长 L ：波动在一个周期中传播的距离，固定时
刻相邻的两同位相质点间的距离。
L
L
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（4）位相：表示流体波动状态的物理量。
kx t
等位相面：位相相等的各点所构成的平面（波面或波阵面）
kx t =常数
等位相面是平面，称为平面波(如重力表面波)；等位相面是 球面的，称为球面波（如电磁波）。
K C
注意： K、C
共线，均为波移动的方向。
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k x x k y y k z z t ( x , y , z , t )
而x，y，z方向上的移速：C x , C y , C z
C x (dx / dt) y , z , const / k x C y (dy / dt) x , z , const / k y C z (dz / dt) x , y , const / k z
相速 c
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二维、三维波动
上面讨论的波动局限于一维情况， 实际上，大多数波动并非是一维的， 这涉及到二维、三维波动的问题。 同样，可以把二维、三维波动表示为如下的形式：
S二维 A cos( k x x k y y t )
S三维 A cos( k x x k y y k z z t )
y 二维为例
Ly 2 / k y
L 2 / K
Lx 2 / k x
x
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定义Leabharlann r xi yj zk K r t
等位相面：
K r t
=常数
相速度： C (dr / dt)
C / K 2 K K
第六章 流体波动
波动是流体运动的一种重要形式；尤其是地球物理流 体力学和大气动力学中的一种最为重要的流体运动形 式。
从物理学角度来说，波动是指扰动（包含各种物理量 的扰动）在空间的传播，且这种扰动的传播具有在时 间、空间上的双重周期性。 而流体的波动，是流体微团由于受力的作用，偏离平 衡位置，并围绕某个平衡位置产生振动，振动在空间 的传播而形成的。
化为只含一个变量h
2 h h gH 2 t x 2 2
为了求解上式，考虑波动的形式解为：
h( x, t ) A sin k ( x ct )
将其代入以上方程：
gHk2h c gH kch
2 2
水面重力波的相速公式。
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h u t g x h H u t x
流体2
重力水面波
界面波
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一、水面（表面）重力波
h x, t
考虑一维水面波(水渠波)。 假设水面平静时水面高度 为H为一常数。 z
h x, t
H x
一旦给水面一个小的扰动，水面将不会再保持平静的状态 ，而要发生起伏不平的变化，水面高度 h 将随空间位置和 时间而变化，即：
h x, t H h x, t
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du 1 p 水平运动方程： dt x
du h g dt x
1 p h g x x
自由表面形式的不可压缩流体的连续方程为： h hV 0 t

h h u u h 0 t x x
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描写波动运动的基本方程组
显然
C C xi C y j Czk
C / K 2 K K
不满足矢量运算法则。
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第二节 重力表面波和界面波
日常生活中，最形象且最直观的波动，就是由于 重力作用所产生的水面波动（重力表面波）以及 发生于不同性质流体界面的界面波，下面详细地 讨论此类波动。 流体1 空气 水
等位相面
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（5）波数 k ：以相角 2 表示的单位距离内含有波长 为 L 的波的数目。
k 2 / L
（6）圆频率：以 2 相角表示的单位时间内振动的次数。
2 / T
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（7）相速度 c ：等位相（波阵面）的传播速度。
kx t =常数
dx c dt k
H
x
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二、上轻下重流体间的界面波
上面所讨论的水面重力波，确切地将，它是空气和 水之间的流体界面波，只是在讨论问题的时候经常 不考虑空气而已。
下面讨论的上轻下重的流体间的界面波。
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上轻下重的流体间的界面波:
上层流体
1
2
研究对象 下层流体
1 2
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根据前面的讨论，对于这样的波动，考虑下层 流体作为研究对象，满足如下的方程组：
h pA ( pA x) 1 g x h pB pB ( x) 2 g x
p0 z1
p0
A
B
B’
pA pB
A’ A”
h x x
B”
x
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1 p 1 h 1 h g1 x g1 x 2 x 2 2
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如图所示，流速为 U（常数）的一维均匀水流，表面受 到扰动而产生重力表面波：根据水平运动方程及不可压 连续方程：
h h u u h 0 t x x
du 1 p dt x
采用线性化方法，导出描写流体波动的方程组；求重力 表面波的相速度。 z 自由表面 U
h x, t
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定义波数矢量为：
K k x i k y j k z k
y
二维为例
波数矢量垂直于等位相面（波阵面） （波数矢量即为波动传播的方向） 定义其模称为全波数：
ky
K
kx
x
2 2 K K k x k y k z2
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波长： L 2
/K
1
重力水面波
2
3
4
5
6
本章介绍有关波动的基本概念，并以简单而具代表性 的重力表面波和界面波为例，对流体波动进行详细的 讨论，理解流体波动的基本概念，掌握一般波动方程 的建立和求解方法。 主要内容 第一节 波动的基本概念 第二节 重力表面波和界面波
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第一节 波动的基本概念
一、波动的数学模型
h( x, t ) A sin k ( x ct )
同样，为了求得 u ，仍作如下假设：
u B sin k ( x ct )
不难求得：B
g A H
，于是最后有：
g u B sin k ( x ct ) A sin k ( x ct ) H
这就是水面重力波的流速场。
波动图象：反映了不同质点
重力
浮力
h(x,t) H
同一时刻分布图象。
一维水面波（微扰动）：
h x, t H h x, t
辐合
辐散
h( x, t ) A coskx t 1 A sin kx t 2
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振动与波动：
当某一部分质点发生了偏离其平衡位置的振动之后， 由于质点之间的相互联系和相互影响（连续介质）， 它将会引起另一部分质点的振动。这样，振动就从振 源逐渐向外传播。这种振动的传播过程就称为波动。
于是，最终可以将气压梯度力项表示为：
1 p 1 h 1 h g1 x g1 x 2 x 2 2
也就是说，在这种情况下，仍然可以采用受扰后的界面 坡度来表示流体压力的水平梯度。
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把气压梯度力项的代入方程，可得流体界面波下 层流体的运动方程组： h h u u h 0 t x x du 1 h g 1 dt 2 x
u u u h u w g t x z x
h h u u h 0 t x x
问题： 波动的研究对象是物理变量的扰动部分； 方程是非线性的。
（方程的线性化问题－－－小扰动线性化方法）
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小（微）扰动线性化方法： ①任何物理量可以表示为：
A A A
h h u u h 0 t x x
du 1 p dt 2 x
关键问题：上层流体的影响--主要是压力梯度项处理
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在下层流体中，压力梯度力项为：
1 p 1 1 lim ( pB p ) A 2 x 2 x0 x
1 1 lim ( pB p ) A x 0 x 2
du 1 p dt x
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垂直方向近似满足静力平衡， z 流体压力可近似地表示为：
p0 z
p( x, z, t ) gh( x, t ) z p0
有：
h x, t - z
x
1 p h g x x
流体压力梯度力可用自由表面高度的梯度来表示。
h u t g x h H u t x
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重力波形成机制的讨论：
h u t g x h H u t x