公共基础(力学)精讲班第六章流体力学(二)
流体力学 2章讲稿
第二章 流体运动学只研究流体运动, 不涉及力、质量等与动力学有关的物理量。
§2.1 流体运动的描述 两种研究方法:(1)拉格朗日(Lagrange)法: 以流场中质点或质点系为研究对象, 从而进一步研究整个流体。
理论力学中使用的质点系力学方法，难测量，不适用于实用理论研究。
(2)欧拉(Euler)法: 将流过空间的流体物理参数赋予各空间点（构成流场），以空间各点为研究对象，研究其物理参数随时间t ，位置（x ，y ，z ）的变化规律。
易实验研究，流体力学的主要研究方法。
两种研究方法得到的结论形式不同，但结论的物理相同。
可通过一定公式转换。
1. 拉格朗日法有关结论质点： r=r （t ） dtd r V = dtd dtd V r a==22x=x （t ） dt dx u=22dtx d a x=y=y （t ） dtdy v=22dty d a y=p=p （t ） T=T （t ） .. .. .. .. .. .. .. .. 质点系：x=x （t,a,b,c ） p=p （t,a,b,c ） T=T （t,a,b,c ） .. .. .. .. .. .. .. ..(a, b, c)是质点系各质点在t ＝t 0时刻的坐标。
(a, b, c)不同值表不同质点2. 欧拉法物理量应是时间t 和空间点坐标x, y,z 的函数u ＝u(x, y, z, t) p ＝p(x, y, z, t) T ＝T(x, y, z, t) 3. 流体质点的随体导数！！流体质点的随体导数：流体质点物理参数对于时间的变化率。
简称为质点导数。
例：质点速度的随体导数（加速度）dtd V 质点分速度的随体导数dtdu质点压力的随体导数dtdp 质点温度的随体导数dtdT.. .. .. .. .. .. 质点导数是拉格朗日法范畴的概念。
流体质点随体导数式---随体导数的欧拉表达式dt d V =zw yv xutt ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V V V V V V Vdt du =zu wyu v xu ut u u t u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂VdtdT =zT wyT vxT utTT tT ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V普遍形式：dtdF =zF wyF vxF utF F tF ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂VFt)(∇⋅+∂∂=V证其一： dt d V =VV V ∇⋅+∂∂t由dtd V =tt ∆-→∆VV 'lim因 V=V （x ，y , z,t ）V ’=V （x+Δx ，y+Δy ,z+Δz,t+Δt ）所以 V ’=V++∆∂∂x xV +∆∂∂y yV z z∆∂∂V tt∆∂∂+V代入上式得dtd V ==∆∆∂∂+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆→∆ttzz yxxt tV V yV V limV V V zV yV xV tV ∇⋅+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=twvu可见, 在欧拉法中质点速度的随体导数(即加速度)由两部分组成。
公共基础(力学)第六章流体力学讲义
流体力学第1节流体主要物理性质及力学模型流体主要物理性质：能够对流体静止和机械运动产生影响的性质一、流动性二、质量、密度三、粘性四、压缩性与膨胀性流体的主要物理性质一. 流体的流动性流体具有易流动性，不能维持自身形状，静止流体几乎不能承受拉力和剪切力。
流体的流动性受粘滞性制约。
二. 流体的质量和密度对于匀质流体，单位体积流体所具有的质量为流体的密度。
4℃水的密度为：流体的重度：三. 流体的粘滞性1）粘滞性定义：流体在运动状态下，抵抗剪切变形的能力。
平板试验说明了流体的粘滞性:两相邻液流层静止状态：两相邻液流层相对运动状态每个流体层，受到的摩擦力均与本身的相对运动方向相反，内摩擦力的作用：阻碍流体的相对运动(2) 牛顿内摩擦定律由内摩擦力的特征整理出牛顿内摩擦力的数学表达式：式中：T——内摩擦力，N；τ——单位面积上的内摩擦力（即粘滞切应力）N/m2 ；μ——动力粘滞系数，与流体种类、温度有关， Pa·s；du/dy——速度梯度，s；A——接触面积, m2 。
凡符合牛顿内摩擦定律的流体，即τ与du/dy呈过坐标原点的正比例关系的流体称为牛顿流体。
(3)粘滞系数动力粘滞系数μ：是一个反映液体粘滞性大小的量。
运动粘滞系数ν：因为ν具有运动学量纲，故称为运动粘滞系数。
题6-1 运动粘滞系数与动力粘滞系数的关系，两个系数的单位例6-1（2005年）已知空气的密度为ρ为 1.205kg/m3 , 动力粘度（动力黏滞系数）μ为1.83×10-5Pa •s，那么它的运动粘度（运动黏滞系数）v 为（）A 2.2 × 10-5 s/ ㎡B 2.2 × 10-5㎡ / sC 15.2 × 10-6s/ ㎡D 15.2 × 10-6㎡ / s解：运动黏度答案：D例题（2011年）空气的粘性系数μ与水的粘性系数μ分别随温度的降低而（）A 降低、升高B 降低、降低C 升高、降低D 升高、升高解：液体的粘性系数μ随温度的变化规律与我们日常生活中粘滞性和流动性的概念是一致的，例如：油的温度降低，流动性变差，粘滞性增大；这一特性是大家都了解到生活常识，由此可以判断：液体温度降低粘滞性增大、流动性降低；而气体的粘性特征与液体相反，即使不了解粘滞性的机理，也可以通过常识性知识去判断选择。
流体力学第2章资料
pB
pa
油h1
水h2
4F
d 2
105 7840 0.5 9800 0.3 5788 4
0.42
1.53105
(N / m2)
第五节 压力的单位和压力的测量方法
一、 压力的单位
1. 应力单位－－ Pa(=N/m2)， MPa， kgf/cm2
作用在流体上的力 流体的静压力及其特性 流体的平衡微分方程式 重力场中流体静力学基本方程 压力的单位和压力的测量方法 流体的相对平衡 静止流体作用力
第一节 作用在流体上的力
作用于流体上的力按作用方式可分为表面力和质量 力两类。 一、 表面力
表面力指作用在所研究的流体表面的力。它是由所研 究流体的表面与相接触的物体的相互作用而产生的。 单位是N/m2（Pa） 。
Xdx Ydy Zdz p dx p dy p dz
x y z
dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)
流体静平衡方程 式，也称压力差 公式
二、等压面
在平衡流体中，压力相等的各点所组成的面称为等 压面。
在等压面上dp=0。因流体密度ρ≠0，可得等压面微分 方程：
Xdx+Ydy+Zdz=0
(2-4)
第四节 重力场中流体静力学基本方程
在重力场中：X=0, Y=0, Z=-g
dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)
dp gdz dz
dz dp 0
对于不可压缩流体，γ=常数。
z p c
z1
p1
z2
p2
c
流体静力学基 本方程式
z
p
c＝z0
p0
流体力学第二章 流体运动学基础
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2.1.1拉格朗日方法
流体力学第二章
✓ 拉格朗日方法是着眼于流体质点来描述流体的运动状态. 如何区别流体的质点呢?
➢ 质点标识----通常是用某时刻各质点的空间坐标（a,b,c） 来表征它们。
➢ 某时刻一般取运动刚开始的时间.以初始时刻流体质点 的坐标作为区分不同流体质点的标志.
拉格朗日方法的一般表达:
流体力学第二章
第二章
流体运动学基础
2021/6/29
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第二章 流体运动学基础
流体力学第二章
✓ 流体运动学是运用几何的方法来研究流体的运动，通常不 考虑力和质量等因素的影响。
✓ 流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动规律，是 流体力学的一个组成部分。
✓ 本章的学习目标：
➢ 掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉法）， 结合迹线，流线，流管，流体线等显示流动特性的曲 线研究流动特性。
Vr
Vr r
V r
Vr
Vz
Vr z
V
2
r
ddVt
V t
Vr
V r
V r
V
Vz
V z
VrV r
dVz
dt
Vz t
Vr
Vz r
V r
Vz
Vz
Vz z
可得平面极坐标中加速度的表达式
Vz 0
ddVtr
Vr t
Vr
Vr r
V r
Vr
V
2
r
dV dt
V t
Vr
V r
V r
V
VrV r
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流体力学第二章
第六章流体力学10.8
第六章流体力学基础基本概念一、流体的粘滞性流体流动时，由于流体与固体壁面的附着力及流体本身的分子运动和内聚力，使各流体层的速度不相等。
在两个相邻流体层之间的接触面上，将产生一对阻碍两层流体相对运动的等值反向的摩擦力，叫做内摩擦力。
流体的粘滞性：流体流动时产生内摩擦力的性质。
二、理想流体与实际流体粘性流体：具有粘性的流体（实际流体）。
理想流体：忽略了粘滞性的流体。
三、流体流动的基本概念1．稳定流动与非稳定流动(1)稳定流动运动流体内任意点的速度u和压力p仅仅是空间坐标()z,的函数，而不x,y随时间变化而变化。
()zu,=,uyx()z,p,=xyp(2)非稳定流动运动流体内任意点的速度u和压力p不仅是空间坐标()z,的函数，也随x,y时间而不同。
()t z,,=u,yxu()t z,,=pp,yx2．迹线与流线(1)迹线流体质点的运动轨迹。
(2)流线流场：流体流动的空间。
流线：是流场中某一瞬间绘出的一条曲线，在这条曲线上所有各流体质点的流速矢量与该曲线相切。
流线的性质：①稳定流动时，流线形状不随时间而变化；②稳定流动时，同一点的流线始终保持不变，且流线上质点的迹线与流线重合，即流线上的质点沿流线运动；③流线既不会相交，又不能转折，只能是光滑的曲线。
假定某一瞬间有两条流线相交于M点或转折。
M处就该有两个速度矢量，这是不符合流线的定义。
3．流管、微小流速及总流(1)流管在流场中取出一段微小的封闭曲线，过这条曲线上各点引出流线，这些流线族所围成的封闭管状曲面。
(2)微小流束及总流流束：在流管中运动的流体。
微小流束：断面无穷小的流束称为微小流束。
微小流束断面上各点的运动要素相等。
流管内的流体只能在流管内流动，流管外的流体也只能在流管外流动。
伯努利方程一、理想流体的伯努利方程仅在重力作用下作稳定流动的理想流体gu g p Z g u g p Z 2//2//22222111++=++ρρ=常数1Z 和2Z ：过流断面1-1和2-2距基准面0-0的高度，1u 和2u ：断面1-1和2-2的流速，1p 和2p ：断面1-1和2-2的压力，ρ：为流体密度。
流体力学第二部分优秀课件
1 2
Q1 Q2 v1 A1 v 2 A2
——不可压缩流体恒定总流的连续性方程
综合：
表明：在不可压缩流体一元流动中,平均流速与断面面积成反比.
第六节 恒定元流能量方程
假设条件：
不可压恒定流体、只有重力作用。在某一恒定流场中，任取一个元流，在元流上 任取两个过流断面1－1，2－2。
设:断面面积为dA1,dA2, 速度为u1,u2, 压强为p1,p2, 位置高度z1,z2
第二节 恒定流动与非恒定流动
非恒定流动：运动不平衡的流动，各点的流速随时间变化， 由流速决定的压强，粘性力和惯性力也随时间变化。
ux
u
x
(
a
,
b
,
c
,
t
)
uy uy (a,b,c, t)
uz
uz (a,b,c, t)
恒定流动：运动平衡的流动，各点的流速不随时间变化， 由流速决定的压强，粘性力和惯性力也不随时间变化。
的直线）。长而直的管道内的流动就是均匀流。 非均匀流：过流断面沿流程变化。比如：弯管、变径管，由于过流断面
的变化，引起流速的大小或方向发生变化。
第七节 过流断面的压强分布
2、渐变流与急变流 渐变流：流速沿流动方向变化极为缓慢地非均匀流。渐变流的流线趋近
于平行的直线，因此渐变流的过流断面可以近似的认为是平面 （过流断面有时是曲面）。 急变流：流速沿流程变化显著的流动
流体力学完整讲义
流体力学一、流体静力学基础 包括内容三部分：01流体主要物理特性与牛顿内摩擦定律 02流体静压强 03流体总压力01流体主要物理特性与牛顿内摩擦定律 水银的密度13.6g/cm 3重度γ（也成为容重，N/m3），单位体积流体所具有的能量。
=g γρ流体的压缩系数：1=pa d dV V dp dpρρβ-=-（单位:） ，β值越大，流体的压缩性也越大。
压缩系数的倒数成为流体的弹性模量，用表示，21()dpdV V β=-k=单位:pa=N/m流体的体膨胀系数a ：1=(:)d dVV a T dT dTρρ--=单位质量力：大小与流体的质量成正比（对于均质流体，质量与体积成正比，故又称为体积力）表面力：作用在流体表面的力，大小与面积成正比，它在隔离体表面呈连续分布，可分为垂直于作用面的压力和平行于作用面的切力。
流体的黏性：流体内部质点间或流层间因相对运动而产生内摩擦力以反抗相对运动的性质叫做黏性。
此内摩擦力成为黏制力。
du d T AA dy dtθμμ== 式中：T 流体的内摩擦力μ为流体的动力黏度，单位Pa s •。
A 为流体与管壁的接触面积dudy为速度梯度，表示速度沿垂直于速度y 轴方向的变化率 d dtθ为角变形速度 气体动力黏度随温度的升高而增加。
液体动力黏度随温度的升高而降低，例如：油。
运动黏度v （单位：2/m s ）（相对黏性系数）：v μρ=理想流体：假想的无黏性的流体，即理想流体流过任何管道均不会产生能量损失。
[推导过程]：tan()dudt d d dy θθ≈=，即：d dudt dyθ=。
02流体静压强流体净压强的特性：①流体静压强方向与作用面垂直；②各向等值性：静止或相对静止的流体中，任一点的静压强的大小与作用面方向无关，只于该点的位置有关。
帕斯卡定律：0P P gh ρ=+式中：P 为液体内某点的压强0P 为液面气体压强 h 为某点在液面下的深度等压面：流体中压强相等的点所组成的面成为等压面。
流体力学 6章讲稿
第六章 不可压缩理想流体平面流动实际工程中，很多问题可以简化为平面流动问题。
对于二维平面流动问题, 除直接应用二维平面流的基本方程进行数学求解外,在一些条件下, 引入流函数并利用流函数的特性, 进行数学求解,可以更深入地认识、分折流场。
此外, 对于某些工程问题, 引入流函数进行求解, 可避免直接解基本方程时出现的不收敛问题, 即假解问题。
§6.1 平面流动的流函数及其性质 一． 二维平面流函数对于定常、可压缩、无源、二维平面流动，连续方程为0)(=⋅∇V ρ即0=∂∂+∂∂yvx u ρρ （2） 由上式可得 0)(=+-⨯∇j i u v ρρ （3）证明： 二维情况下，直角坐标系下的哈密顿算子为j i yx ∂∂+∂∂=∇ 所以=+-⨯∇)(j i u v ρρ⨯∂∂+∂∂)(j i y x =+-)(j i u v ρρk )(yvx u ∂∂+∂∂ρρ 以方程(2)代入上式得到 0)(=+-⨯∇j i u v ρρ 证毕 方程（3）表明矢量a 场（j i a u v ρρ+-=）无旋，据前述理论,矢量a 存在数学势函数Ψ,由于这里矢量a 是与速度和密度的乘积相关联的量, 因此流体力学中把它的数学物理势Ψ称之为密流函数。
此即定常、可压缩、无源、二维平面流动下存在密流函数Ψ。
Ψ和密流的关系为v a xx ρψ-==∂∂ u a y y ρψ==∂∂ =∇ψj i u v ρρ+- 对于不可压缩、无源、二维平面流动, 连续方程为 0=⋅∇V仿上可以得出流函数Ψ(这里流函数我们也用字母Ψ表示,因为流函数较密流函数更多地被应用)。
同样有流函数Ψ和速度的关系为v x-=∂∂ψu y =∂∂ψ =∇ψj i u v +- k v ⨯∇=ψ（自证！）二、 流函数Ψ的性质1. 等密流函数值线(或等流函数值线)为流线 证明：在等密流函数值线上 Ψ＝c 即 d Ψ＝0也就是 0=∂∂+∂∂=dy ydx x d ψψψ 当Ψ为密流函数时，上式为 -ρvdx ＋ρudy ＝0 Ψ＝Const 当Ψ为流函数时则为 -vdx ＋udy ＝0 由它们均可以得到vdyu dx =上式正是二维平面流的流线方程, 即等密流函数值线(或等流函数值线) 为流线。
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五、流体静力学基本方程的意义
流体静力学基本方程的另一种形式：
(一)几何意义
流体静力学基本方程的意义
z为位置水头
为压强水头
为测压管水头
静止流体中测压管水头为常数。
(一)能量意义
质量为M 的流体质点距离某一基准面O-O的高度为z，该质点具有位势能：mgz ；每单位重量的流体所具有的位势能为：
任意点的具有长度量纲，
称为测压管高度，也称为压强水头，
为单位重量流体具有的压能，
也是潜在的位势能。
五流体静力学基本方程的意义
(一)能量意义
流体静力学基本方程的能量意义：
Z为单位重量流体具有的位能
为单位重量流体具有的压能
为单位重量流体具有的总势能
静止流体中单位重量流体具有的总势能守恒
静止流体中测压管水头为常
数
测压管水头
六、静水压强分布图
由于静水压强是一种分布力，故可以用压强分布图表示：
静水压强分布图绘制原则：
压强大小：根据计算，用成比例线段表示；
压强方向：根据内法线方向确定，用箭头表示。
六、静水压强分布图
绘制原则：
压强大小：根据计算(只计相对压强），用成比例的线段表示；
压强方向：根据内法线方向确定，用箭头表示。
如两侧受力：分别绘制即可。
曲面壁上静水压强分布图
前述两个原则同样适用
七测压计
等压面：与质量力正交。
两互不相混的流体平衡时，交界面是等压面，而且是水平面。
静止流体中，水平面是等压面的条件：
静止、同种、连通
同时成立，缺一不可。
2、3 点压强相等
6、7 点压强相等
p2>p1 ; p3=p4 ; p5>p4 ;
此处 p0 大于大气压
题6-9，题6-11
正确判断等压面----静止、同种、连通的水平面，
用公式计算。
题6-9 （2008）盛水容器A和B的上方密封，测压管水面位置如图所示，其底部压强分别为 p A和 p B。
若两容器内水深相等，则 p A和 p B的关系为（）
解：在仅受重力作用的静止液体中，等压面为水平面，据此分别绘容器A和B的等压面 M-M 及N-N，液面均为大气压。
由于可知：
表示大气压
答案：A
例6-11（2010年）
如图所示，在上部为气体下部为水的封闭容器上装有U形水银测压计，其中1、2、3点位于同一平面上，其压强关系为（）
(A) p1< p2< p3
(B) p1> p2> p3
(C) p2< p1< p3
(D) p2= p1 = p3
解：水平面是等压面的条件---静止、同种、连通。
故点1、
2、3压强不相等。
绘等压面M-M 及N-N ,再比较三点压强.
空气的重度远远小于水的重度，可忽略不计。