贝叶斯决策的经典例题练习
贝叶斯决策例题(精选.)
例：某工程项目按合同应在三个月内完工，其施工费用与工程完工期有关。
假定天气是影响能否按期完工的决定因素，如果天气好，工程能按时完工，获利5万元；如果天气不好，不能按时完工，施工单位将被罚款1万元；若不施工就要付出窝工费2千元。
根据过去的经验，在计划实施工期天气好的可能性为30%。
为了更好地掌握天气情况，可以申请气象中心进行天气预报，并提供同一时期天气预报资料，但需要支付资料费800元。
从提供的资料中可知，气象中心对好天气预报准确性为80%，对坏天气预报准确性为90%。
问如何进行决策。
解：采用贝叶斯决策方法。
(1)先验分析根据已有资料做出决策损益表。
根据期望值准则选择施工方案有利，相应最大期望收益值EMV*（先）=0.8（2）预验分析完全信息的最大期望收益值：EPPI=0.3×5+0.7×（-0.2）=1.36（万元）完全信息价值： EVPI=EPPI- EMV*（先）=1.36-0.8=0.56（万元）即，完全信息价值大于信息成本，请气象中心进行预报是合算的。
（3）后验分析①补充信息：气象中心将提供预报此时期内两种天气状态x 1(好天气)、x 2(坏天气)将会出现哪一种状态。
从气象中心提供的同期天气资料可得知条件概率： 天气好且预报天气也好的概率 P （x 1/θ1）=0.8 天气好而预报天气不好的概率 P （x 2/θ1）=0.2 天气坏而预报天气好的概率 P （x 1/θ2）=0.1 天气坏且预报天气也坏的概率 P （x 2/θ2）=0.9②计算后验概率分布：根据全概率公式和贝叶斯公式，计算后验概率。
预报天气好的概率1111212()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.31预报天气坏的概率2121222()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.69 预报天气好且天气实际也好的概率：111111()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.3×0.8/0.31=0.77预报天气好而天气坏的概率：212211()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.7×0.1/0.31=0.23预报天气坏而实际天气好的概率:121122()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.3×0.2/0.69=0.09预报天气坏且实际天气也坏的概率： 222222()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.7×0.9/0.69=0.91上述计算可以用表格表示：③ 后验决策：若气象中心预报天气好（x1）,则每个方案的最大期望收益值 E(d1/x1)=0.77×5+0.23×(-1)=3.62 E(d2/x1)=0.77×(-0.2)+0.23×(-0.2)=-0.2选择d1即施工的方案，相应在预报x1时的最大期望收益值E （X1）=3.62若气象中心预报天气不好（x2），各方案的最大期望收益值 E(d1/x2)=0.09×5+0.91×(-1)=-0.46 E(d2/x2)=0.09×(-0.2)+0.91×(-0.2)=-0.2选择d2即不施工的方案，相应在预报x2时的最大期望收益值E （X2）=-0.2④ 计算补充信息的价值：得到天气预报的情况下，后验决策的最大期望收益值：1122*()()()()()EMV P x E x P x E x =⋅+⋅后=0.31×3.62+0.69×（-0.2）=0.9842则补充的信息价值为：EMV*(后)-EMV*(先)=0.9842-0.8=0.1842补充信息价值大于信息费（800元），即这种费用是合算的。
贝叶斯公式例题范文
贝叶斯公式例题范文利用贝叶斯公式，我们可以很容易地计算出一个事件发生的概率，即在给定一些背景信息的情况下，这个事件发生的可能性有多大。
下面我们来看一个实际的例题，以帮助更好地理解贝叶斯公式的应用。
假设地区有很多农场，其中有20%的农场种植了A品种的作物，其他农场种植了其他品种。
现在，我们有一个基因检测方法，可以通过一个人口样本来确定一个人是不是A品种的作物的种植者。
这个基因检测方法的准确率为90%，即当一个人是A品种的作物的种植者时，有90%的概率检测结果是阳性；当一个人不是A品种的作物的种植者时，有90%的概率检测结果是阴性。
现在，我们在随机抽取一个人口样本进行检测，结果显示他是A品种的作物的种植者。
那么，我们应该如何计算他真正是A品种的作物的种植者的概率呢？首先，我们可以根据已知信息计算出一个人是A品种的作物的概率，这就是所谓的先验概率。
根据题目中的信息，已知有20%的农场种植了A品种的作物，那么一个人是A品种的作物的种植者的概率就是20%。
然后，我们可以根据基因检测方法的准确率来计算出当一个人是A品种的作物的种植者时，检测结果为阳性的概率。
根据题目中的信息，基因检测方法的准确率为90%，那么当一个人是A品种的作物的种植者时，检测结果为阳性的概率为90%。
接着，我们可以根据贝叶斯公式计算出一个人检测结果为阳性时，他真正是A品种的作物的种植者的概率。
P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)其中P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，也就是待求的真实概率；P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，也就是检测结果为阳性的概率；P(A)表示事件A发生的概率，也就是先验概率；P(B)表示事件B发生的概率，也就是检测结果为阳性的概率。
根据题目中的信息，我们可以将上述参数代入贝叶斯公式进行计算：P(A，B)=0.9*0.2/P(B)接下来，我们需要计算出P(B)，即检测结果为阳性的概率。
贝叶斯公式典型例题
贝叶斯公式典型例题
贝叶斯公式是一种计算条件概率的公式，常用于根据已知条件更新某个事件发生的概率。
下面是一个贝叶斯公式的典型例题：
例：假设有两种类型的围棋棋手，分别是专业棋手和业余棋手。
专业棋手在比赛中获胜的概率为0.9，而业余棋手获胜的概率为0.3。
已知在所有棋手中，专业棋手占70%，业余棋手占30%。
现在有一场比赛，我们只知道其中一位棋手获胜了，那么这位棋手是专业棋手的概率是多少？
解：首先，我们定义以下事件：
•A：棋手是专业的
•B：棋手获胜
根据题意，我们知道：
•P(A) = 0.7（专业棋手占比）
•P(¬A) = 0.3（业余棋手占比）
•P(B|A) = 0.9（专业棋手获胜的概率）
•P(B|¬A) = 0.3（业余棋手获胜的概率）
我们要找的是P(A|B)，即在已知棋手获胜的条件下，棋手是专业的概率。
根据贝叶斯公式，我们有：
P(A|B) = \frac{P(A) \times P(B|A)}{P(A) \times P(B|A) + P(¬A) \times P(B|¬A)}将已知的概率值代入公式中，我们得到：
P(A|B) = \frac{0.7 \times 0.9}{0.7 \times 0.9 + 0.3 \times 0.3} = \frac{0.63}{0.63
+ 0.09} = \frac{0.63}{0.72} = 0.875
所以，在已知棋手获胜的条件下，这位棋手是专业棋手的概率为0.875。
这个例题展示了贝叶斯公式在更新条件概率方面的应用。
通过已知的概率值和贝叶斯公式，我们可以计算出在给定条件下的未知概率。
贝叶斯推理例子
贝叶斯推理例子
1. 嘿，你想想看啊，比如说你去买彩票，你觉得中奖的概率有多大呢？这就可以用贝叶斯推理呀！你先根据以往的开奖情况大概估计一个基础概率，然后每次开奖后根据新的结果来调整你的概率判断，这多有意思啊！
2. 来，咱说个生活中的例子。
你判断今天会不会下雨，你会先根据天气预报和以往的经验来有个初步想法吧，但如果突然天空变得阴沉沉的，你不得赶紧调整你觉得下雨的概率呀，这就是贝叶斯推理在起作用呀，你说是不是？
3. 你知道怎么猜别人手里的牌吗？这也能用贝叶斯推理呢！看他的表情动作，先有个初步判断，然后随着每一轮出牌，不断更新你对他手里牌的估计，哎呀，多带劲啊！
4. 你想想，你找工作的时候，对拿到某个 offer 的概率判断不也是这样嘛！开始根据公司的要求和自己的情况有个想法，然后面试过程中根据各种表现来调整，这可真是贝叶斯推理的活用呀！
5. 就像你猜你喜欢的人对你有没有意思，一开始你有个感觉，然后通过他跟你的每次互动，你不就会调整那个可能性嘛，这就是贝叶斯推理呀，神奇吧！
6. 好比你玩猜数字游戏，你先乱猜一个，然后根据提示不断缩小范围，调整你的猜测，这不就是活脱脱的贝叶斯推理嘛，多好玩呀！
7. 哎呀，你看医生诊断病情也是这样的呀！根据症状先有个初步判断，然后做各种检查，根据检查结果不断改变对病情的推测，贝叶斯推理真的无处不在呢！
8. 再比如你预测一场比赛的结果，先有个大概想法，比赛过程中根据双方的表现来不断调整胜败的概率，这不是贝叶斯推理在帮忙嘛，多有用啊！总之，贝叶斯推理在我们生活中可太常见啦，好多事情都能靠它来让我们的判断更准确呢！。
贝叶斯博弈例子
贝叶斯博弈例子
以下是 8 条关于贝叶斯博弈例子：
1. 你想想在牌桌上呀，就像咱打牌的时候，你先根据对手前面出的牌来判断他手里大概有啥牌，这不就是贝叶斯博弈嘛！比如说你看到对手老是出小牌，那是不是大概率他手里大牌不多呀！
2. 去商场买东西砍价也有点这个感觉呢！你看商家报价，然后根据他的态度和表情猜测他的底线，这也是一种贝叶斯博弈嘞！要是他看起来很犹豫，那是不是代表咱还能往下砍砍价呀！
3. 在求职面试的时候呀，你得根据面试官的提问和反应来调整自己的回答策略，这难道不是贝叶斯博弈吗？好比面试官一直追问某个问题，那就得想着更深入地回答呀！
4. 学生时代考试猜答案也能算呢！当你不确定一个题目的答案时，根据以往对这类题目的了解去猜测，这不是贝叶斯博弈是啥呀！哎呀，要是以前做过类似的，那猜对的几率不就大多啦！
5. 谈恋爱的时候其实也有哦！你通过对方平时的言行举止来判断他的喜好和想法，这算不算是在进行贝叶斯博弈呢？比如说他总提到某个东西，那是不是表示他可能很喜欢呀！
6. 参加比赛的时候呀，观察对手的表现来调整自己的战术，这就是活生生的贝叶斯博弈呀！要是看到对手有个弱点，那不就得抓住机会嘛！
7. 玩游戏抢地盘的时候呢，根据其他玩家的行动来决定自己该怎么行动，不也是贝叶斯博弈嘛！他们都往左边去了，那右边是不是咱的机会就来了呀！
8. 去市场买菜的时候呀，看着菜的品质和价格，还有老板的态度，来决定要不要买，这就是一种贝叶斯博弈嘛！要是老板很热情，菜看着也不错，那咱肯定更愿意买啦！
我觉得贝叶斯博弈在我们生活中可太常见了，很多时候我们都在不知不觉中运用着它呢！。
贝叶斯准则例题
一、贝叶斯准则：例题1：设二元假设检验的观测信号模型为： H 0： x = -1+nH 1： x = 1+n其中n 是均值为0，方差为212nσ=的高斯观测噪声。
若两种假设是等先验概率的，而代价因子为000110111,8,4,2,c c c c ==== 试求贝叶斯（最佳）表达式和平均代价C ： 解：因为两种假设是等先验概率的所以 011()()2P H P H ==，这样,贝叶斯准备的似然比函数()x λ为： ① 122110221(1)exp 1122(|)22()exp(4)(|)(1)1exp 112222x p x H x x p x H x πλπ⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥-- ⎪⎢⎥⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦==•=⎡⎤⎛⎫⎢⎥+ ⎪-⎢⎥⎪⨯⎢⎥⨯ ⎪⎣⎦⎝⎭ 而似然比检测门限η为：010********(41)()()21()()(82)2P H c c P H c c η--=•=-- =1/2于是贝叶斯判决表达式为11exp(4)2H x H ><，两边取自然对数，并整理的最简判决表达式为10.1733H x H >-<②现在计算判决概率01(|)P H H 和00(|)P H H ,由于本例中检验统计量()l x x =，所以在两个假设下检验统计量的概率密度函数分别为：122012211(1)(|)exp 1122221(1)(|)exp 112222l p l H l p l H ππ⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥+=- ⎪⎢⎥⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥-=- ⎪⎢⎥⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦这样，0.17330111220.1733(|)(|)1(1)exp 0.0486112222P H H p l H dll dl π--∞--∞=⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥-=-= ⎪⎢⎥⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰0.17330001220.1733(|)(|)1(1)exp 0.8790112222P H H p l H dll dl π--∞--∞=⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥+=-= ⎪⎢⎥⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰ 最后，利用贝叶斯平均代价表达式,01011110111010100000()()()()(|)()()(|)C P H c P H c P H c c P H H P H c c P H H =++---代入0000110(),(|),(|),P H P H H P H H c 等各数据，计算得： 1.8269C=总结：如果我们把判决表达式中的检测门限-0。
贝叶斯Bayes例题
我们来看一个简单的例子：例：高射炮向敌机发射三发炮弹，每弹击中与否相互独立且每发炮弹击中的概率均为0.3，又知敌机若中一弹，坠毁的概率为0.2，若中两弹，坠毁的概率为0.6，若中三弹，敌机必坠毁。
求敌机坠毁的概率。
解：设事件B=“敌机坠毁”；Ai=“敌机中弹”；i=0,1,2,3 实际上我们从题目知道应该是A0,A1,A2,A3构成完备事件组，但是敌机坠毁只和A1,A2,A3有关，即则我们可用如下公式则贝叶斯准则例题P(B|A) 在A的情况下B发生的概率P（A|B）在B的情况下A发生的概率贝叶斯公式：贝叶斯定理公式：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)如上公式也可变形为：P(B|A)=P(A|B)*P(B)/P(A)1、例如：一座别墅在过去的 20 年里一共发生过 2 次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平均每周晚上叫 3 次，在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为0.9，问题是：在狗叫的时候发生入侵的概率是多少？我们假设 A 事件为狗在晚上叫，B 为盗贼入侵，则 P(A) = 3 / 7，P(B)=2/(20·365)=2/7300，P(A | B) = 0.9（窃贼入室盗窃狗叫概率），按照公式很容易得出结果：P(B|A)=0.9*(2/7300)*(7/3)=0.000582、另一个例子，现分别有 A，B 两个容器，在容器 A 里分别有 7 个红球和 3 个白球，在容器 B 里有 1 个红球和 9 个白球，现已知从这两个容器里任意抽出了一个球，且是红球，问这个红球是来自容器 A 的概率是多少?假设已经抽出红球为事件 B，从容器 A 里抽出球为事件 A，则有：P(B) = 8 / 20，P(A) = 1 / 2，P(B | A) = 7 / 10（容器A中抽到红球的概率），按照公式，则有：P(A|B)=(7 / 10)*(1 / 2)*(20/8)=7/8。
贝叶斯决策例子
贝叶斯决策练习某石油公司拟在一片估计含油的荒地上钻井。
如果钻井，费用为150万，若出油的概率为0.55，收入为800万元；若无油的概率为0.45，此时的收入为0。
该公司也可以转让开采权，转让费为160万元，但公司可以不担任何风险。
为了避免45％的无油风险，公司考虑通过地震试验来获取更多的信息，地震试验费用需要20万元。
已知有油的情况下，地震试验显示油气好的概率为0.8，显示油气不好的概率为0.2；在无油条件下，地震显示油气好的概率为0.15，而显示油气不好的概率为0.85。
又当试验表明油气好时，出让开采权的费用将增至400万元，试验表明油气不好时，出让开采权费用降至100万元，问该公司应该如何决策，使其期望收益值为最大。
解：该公司面临两个阶段的决策：第一阶段为要不要做地震试验，第二阶段为在做地震试验条件下，当油气显示分别为好与不好时，是采取钻井策略还是出让开采权。
若用A 1表示有油，A 2表示无油；用B 1表示地震试验显示油气好，B 2表示地震试验显示油气不好。
由题意可知：1211211222()0.55 ()0.45(|)0.8 (|)0.2(|)0.15 (|)0.85P A P A P B A P B A P B A P B A ======由贝叶斯公式计算得到：11111111212()(|)0.440.44(|)0.867()(|)()(|)0.440.06750.5075P A P B A P A B P A P B A P A P B A ====++ 同理，有： 2112220.0675(|)0.1330.50750.11(|)0.2230.49250.3825(|)0.7770.4925P A B P A B P A B ======该问题对应的决策树图采用逆序的方法，先计算事件点②③④的期望值：事件点 期望值② 800×0.867＋0×0.133＝693.6（万元）③ 800×0.223＋0×0.777＝178.4（万元）④ 800×0.55＋0×0.45＝440（万元） 在决策点2，按max[(693.6-150)，400]＝543.6万元，故选择钻井，删除出让开采权策略； 在决策点3，按max[(178.4-150)，100]＝100万元，故选择出让开采权，删除钻井策略； 在决策点4，按max[(440-150)，160]＝290万元，故选择钻井策略。
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一、贝叶斯决策(Bayes decision theory)
【例】某企业设计出一种新产品，有两种方案可供选择：—是进行批量生产，二是出售专利。
这种新产品投放市场，估计有3种可能：畅销、中等、滞销，这3种情况发生的可能性依次估计为：，和。
方案在各种情况下的利润及期望利润如下表。
企业可以以1000元的成本委托专业市场调查机构调查该产品销售前景。
若实际市场状况为畅销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为、和；若实际市场状况为中等，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为、和；若实际市场状况为滞销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为、和。
问：企业是否委托专业市场调查机构进行调查
解：
1.验前分析：
记方案d1为批量生产，方案d2为出售专利
E(d1)=*80+*20+*(-5)=(万元)
E(d2)=40*+7*+1*=(万元)
记验前分析的最大期望收益为E1，则E1=max{E(d1),E(d2)}=(万元)
|
因此验前分析后的决策为：批量生产
E1不作市场调查的期望收益
2.预验分析：
（1）设调查机构调查的结果畅销、中等、滞销分别用H1、H2、H3表示
由全概率公式
P(H1)=*+*+*=
P(H2)=*+*+*=
P(H3)=*+*+*=
（2）由贝叶斯公式有
P(Ɵ1|H1)=*=
[
P(Ɵ2|H1)=*=
P(Ɵ3|H1)=*=
P(Ɵ1|H2)=*=
P(Ɵ2|H2)=*=
P(Ɵ3|H2)=*=
P(Ɵ1|H3)=*=
P(Ɵ2|H3)=*=
P(Ɵ3|H3)=*=
（3）用后验分布代替先验分布，计算各方案的期望收益值
a)当市场调查结果为畅销时
*
E(d1|H1)=80* P(Ɵ1|H1)+20* P(Ɵ2|H1)+(-5)* P(Ɵ3|H1)
=80*+20*+(-5)*=(万元)
E(d2|H1)=40* P(Ɵ1|H1)+7* P(Ɵ2|H1)+1* P(Ɵ3|H1)
=40*+7*+1*=(万元)
因此，当市场调查畅销时，最优方案是d1，即批量生产
b)当市场调查结果为中等时
E(d1|H2)=80* P(Ɵ1|H2)+20* P(Ɵ2|H2)+(-5)* P(Ɵ3|H2)=(万元)
E(d2|H2)=40* P(Ɵ1|H2)+7* P(Ɵ2|H2)+1* P(Ɵ3|H2)
=40*+7*+1*=(万元)
所以市场调查为中等时，最优方案是：d1，即批量生产
c)】
d)当市场调查结果为滞销时
E(d1|H3)=80* P(Ɵ1|H3)+20* P(Ɵ2|H3)+(-5)* P(Ɵ3|H3)
=80*+20*+(-5)*=（万元）
E(d2|H3)=40* P(Ɵ1|H3)+7* P(Ɵ2|H3)+1* P(Ɵ3|H3)
=40*+7*+1*=（万元）
因此市场调查为滞销时，最优方案是：d2，即出售专利（4）通过调查，该企业可获得的收益期望值为
E2= E(d1|H1)* P(H1)+ E(d1|H2)* P(H2)+ E(d2|H3)* P(H3)
=*+*+*=（万元）
通过调查，该企业收益期望值能增加
？
E2-E1=（万元）
因此，在调查费用不超过万元的情况下，应进行市场调查
3.验后分析
（1）本题中调查费用1000<9600,所以应该进行市场调查
（2）当市场调查结果为畅销时，选择方案1，即批量生产
（3）当市场调查结果为中等时时，选择方案1，即批量生产
（4）当市场调查结果为滞销时，选择方案2，即出售专利
-。