小学奥数面积计算综合题型

第十八周面积计算（一）

专题简析：

计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。

图形面积）

简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.

上面左图是边长为4的正方形，它的面积是4×4＝16（格）；右图是3×5的长方形，它的面积是3×5＝15（格）.

上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是5×4÷2＝10（格）；右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2＝8（格）.这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.

上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是5×3＝15（格）；右图是一个梯形，上底是4，下底是7，高是4，它的面积是

（4+7）×4÷2＝22（格）.

上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.

一、三角形的面积

用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：三角形面积= 底×高÷2.

这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.

例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢？

解：三角形ABD与三角形ADC的高相同.

三角形ABD面积=4×高÷2.

三角形ADC面积=2×高÷2.

因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.

例2右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.

解：BC＝2＋4＋2＝8.

三角形ABC面积= 8×4÷2＝16.

我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.

三角形DFE面积= 16÷4＝4.

例3右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积.

解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.

而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是

FE×BE÷2，

它恰好是长方形ABEF面积的一半.

同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半.

因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是

20×12÷2＝120.

通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方.

面积的的一半ABCD形．

例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是多少？

解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.

对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此

面积=4×10÷2＝20.

对三角形ADC来说，DC是底边，高是8，因此

面积=7×8÷2＝28.

四边形ABCD面积= 20＋28＝48.

这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.

例5在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面积.

解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积三角形ABE面积=3×6×2＝9.

三角形BCF面积= 6×（6-2）÷2＝12.

三角形DEF面积=2×（6-3）÷2＝ 3.

我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：

三角形BEF面积=6×6-9-12-3＝12.

例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影部分）的面积.

解：四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形的面积减去它们，由此就可以求得四边ABCD的面积，然后用长方形MBE与三角形DCE．

形ABMD的面积.

把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形DCE的面积是7×2÷2＝7.

因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是7÷2＝3.5.

因为BE＝8是CE＝2的4倍，三角形MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是

3.5×4＝1

4.

长方形ABCD面积=7×（8＋2）=70.

四边形ABMD面积=70-7- 14＝49.

二、有关正方形的问题

先从等腰直角三角形讲起.

一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角（90度），还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.

两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图（a）.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图（b）.

一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图（a）知，它的面积是

直角边长的平方÷2.

当知道它的斜边长，从图（b）知，它的面积是

斜边的平方÷4

例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.

解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2＝32.

这一个图形的面积是

32＋16＋8＋ 4 ＋2＋1＝63.

例8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少？ABC并且三角

形．

解：为了说明的方便，在图上标上英文字母D，E，F，G.

三角形ABC的面积=2×2÷2＝2.

三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.

三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形ADE面积=ABC面积×2＝4.

三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2＝1.

阴影部分的总面积是4＋1＝5.

例9如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD＝7，BC＝3，三个角的度数：角B 和D是直角，角A是45°.求这个四边形的面积.

解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形BCE.

因为

A是45°，角D是90°，角E是

180°-45°-90°＝45°，

所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.

四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即

7×7÷2-3×3÷2＝20.

这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角A是45°，这一条件还用得上吗？图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.

现在我们转向正方形的问题.

例10 在右图11×15的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少？

解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.

长-宽=15-11＝4

是“三”正方形的边长.

宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此

中间小正方形边长=11-4×2＝3.

中间小正方形面积=3×3＝9.

如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.

例11从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.

解：剩下的长方形土地，我们已知道

长-宽=1（米）.

还知道它的面积是15.75平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢？

如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.

我们把长和宽拼在一起，如右图.

从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.

可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.

现在，我们就可以算出大正方形面积：

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（平方米）64 ＝1×4+1×15.75

64是8×8，大正方形边长是8米，也就是说长方形的

长+宽=8（米）.

因此

长=（8＋1）÷2＝ 4.5（米）.

宽=8-4.5＝3.5（米）.

那么划出的长方形面积是

4.5×1＝4. 5（平方米）.

例12 如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG（阴影部分）的面积.

解：四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此

四边形AECD面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2

三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=（小正方形边长+大正方形边长），因此三角形ADG面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2.

四边形AECD与三角形ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH 与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有

阴影部分面积=三角形ECG面积

=小正方形面积的一半

= 6×6÷2＝18.

十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系. 三、其他的面积

这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.

例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图），求它的面积.

解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.

周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是

4×4-3-5-1.5＝6.5.

例6与本题在解题思路上是完全类同的.

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的面积AEF，求阴影部分三角形4长是AF的长方形，8×6 是ABCD下图中14 例