三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心0OC OB OA=++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故=++;1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心OA OC OC OB OBOA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故C tan B tan A tan=++3．O 是ABC ∆的外心||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OAA 2sin =++4．O是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OAa =++ 。

若O 是ABC ∆的内心，则cb a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ru u ur u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u ur 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） 例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PBPA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即则AB PC BC PA CA PB⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）） 例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r ，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r，由平行四边形性质知12OE OD =u u u r u u u r，2OA OE=，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

(四) 将平面向量与三角形外心结合考查例7若O 为ABC ∆内一点，OA OB OC==u u u r u u u r u u u r，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等。

故O 是ABC ∆ 的外心，选B 。

(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题） 证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =21-， 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |. 即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。

设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：112222,0)(,)(,22222x x x y x y E F +D （、、 由题设可设1324,)(,)2x Q y H x y （、, 122(,)33x x y G +212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--u u u u r u u u r ，212(,)BC x x y =-u u u r2212422142()0()AH BC AH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-u u u u r u u u r Q u u u u r u u u r212223221232()()0222()22QF AC x x yQF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+u u u r u u u u r Q u u u r u u u u r121221224323()(,),22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--u u u u r 2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,(,6321 =3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH+--∴=--=------=--=--u u u r u u uu r 222（62y 66y 22y 即=3QH QG u u u u r u u u r，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2例10．若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心.求证 OC OB OA OH ++=. 证明 若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图. 连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD .∴AB AD ⊥，BC CD ⊥.又垂心为H ，BC AH ⊥，AB CH ⊥， ∴AH ∥CD ，CH ∥AD ，∴四边形AHCD 为平行四边形，∴OC DO DC AH +==，故OC OB OA AH OA OH ++=+=.着名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11． 设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 求证 OH OG 31= 证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔)(31OC OB OA OG ++=按垂心定理 OC OB OA OH ++= 由此可得 OH OG 31=. 补充练习1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP =31 (21OA +OB 21+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的 （ B ） 边中线的中点 边中线的三等分点（非重心） C.重心 边的中点 1. B 取AB 边的中点M ，则OMOB OA 2=+，由OP=31 (21OA +OB 21+2OC)可得3MC OM OP 23+=，∴MC MP 32=，即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.2．在同一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ满足关系式：2O A u u u u u r ＋2BC u u u u u u r ＝2OB u u u u u u r ＋2CA u u u u u r ＝2OC u u u u u u r ＋2AB u u u u u u r，则Ｏ为ABC ∆的 （D ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心2．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r ，则P 为ABC∆的（C ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心3．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：)(AC AB OA OP ++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （C ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心4．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：0PA PC PA PB PB PC •+•+•=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则P 点为三角形的 （D ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心5．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=u u u r u u u r u u u r，则P 点为三角形的（B ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 6．在三角形ABC 中，动点P 满足：CPAB CB CA •-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的：（ B ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足(||||AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u r u u u r )·=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB =AC ，又cos A =||||AB AC AB AC ⋅u u u r u u u ru u u r u u u r =12 ，∠A =3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ．8.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m = 19.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OBOA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（B）（A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点10. 如图1，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =u u u u v u u u v， AN y AC =u u u v u u u v ，则113x y+=。