实数完备性基本定理相互证明
关于实数连续性的基本定理关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明以上的定理表述如下：实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。
确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。
区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即∞=∈1],[n n n b a r 。
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。
紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是：εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。
这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。
（二）实数基本定理的等价证明一．用实数基本定理证明其它定理 1．实数基本定理→单调有界定理证明：设数列}{n x 单调上升有上界。
令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,},而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。
事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。
又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0n ，使a <0n x ≤b ，即A 、B 不乱。
故A|B 是实数的一个分划。
根据实数基本定理，A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r aB ，b ≤≤∈有。
下证∞→n limnx =r 。
事实上，对nN n n x x r ，N n ，x ，x r N ，A ，r ≤-∴-∃∈->∀ εεεε有时当单调上升又使知由于}{,0。
2,2εε-≤∈+r x b r n 便有 ，2εε+≤-∴r x r ，N n n 有时当于是，|nx -r|<ε，∴∞→n lim n x=r 。
若数列}{n x 单调下降有下界，令ny =-nx ，则{ny }单调上升有上界，从而有极限，设极限为r ，则∞→n lim n x =∞→n lim（-n y ）=-r 。
定理证完。
2.实数基本定理→确界定理证明：设X 是有上界的非空实数集，记B 为X 的全体上界组成的集合。
A= R ﹨B ，则A|B 构成实数的一个分划。
事实上，不空，不漏显然。
而A ，a ∈∀对B ，b ∈由a 不是X 的上界，知有0x ∈X ，使得0x a ，而由B ，b ∈知0x≤b ，故a < b 。
由实数基本定理， A|B是实数的一个分划，∴A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。
下证r=supX 。
首先证明r 是X 的上界。
用反证法。
如果不然，则有0x ∈X ，使得0xr ，这时有a=20rx +a=20rx +∈A ，且有a r ，这是不可能的。
因此r 是X 的上界，而由于b r B ，b ≤∈∀有，∴r 是X 的最小上界。
同理可证下确界的情形。
定理证完。
3．实数基本定理→区间套定理 证明：设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套，令},|{n a x n x A ≤∃=，A R B \=，则B A |是R的一个分划。
事实上A a ∈1，B b ∈+11，即B A ,非空；由B 的定义，B A ,不漏；A a ∈∀，B b ∈∀，则∃，n a b n >∀,，故b a <，即B A ,不乱。
故B A |确是R的一个分划。
由实数连续性定理，存在唯一的实数r ，使得A a ∈∀，B b ∈∀，有b r a ≤≤。
下证∞=∈1],[n n n b a r 。
因为n ∀，由A 的定义，A a n ∈，故r a n ≤。
又m n ,∀，有n m b a <，则B b n ∈，从而n b r ≤。
即∞=∈1],[n n n b a r 。
最后证明唯一性。
若有r r ',满足∞=∈1],[n n n b a r ，∞=∈'1],[n n n b a r ，则)(0||∞→→-≤'-n a b r r n n故r r '=。
即这样的r 是唯一的。
定理证完。
二．用单调有界定理证明其它定理单调有界定理→实数基本定理证明：给定实数的一个分划，任取A a ∈1，B b ∈1。
用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a +B ∈，则取2a =1a ， 2b =211b a +；如果211b a +A ∈，则取2a =211b a +，2b =1b ；……如此继续下去，便得两串序列}{n a }{n b 。
其中A a n ∈单调上升有上界（例如1b ），B b n ∈单调下降有下界（例如1a ）并且n n a b -=211a b -)(∞→n 。
由单调有界定理，知∃r ，使∞→n limn a = r∞→n lim（n n a b -）=0 ∴∞→n lim na+（n n a b -）= r∀ a ∈A ，有a <n b （n=1，2，……），令∞→n ，知a <rB b ∈∀，有na <b （n=1，2，……）， 令∞→n ，知 r <b∴b r a ≤≤下面证明唯一性。
用反证法。
如果不然。
则∃ 21r r ≠，同时对任意 A a ∈，1r a ≤，2r a ≤对任意b 有1r b ≥ 2r b ≥，不妨设21r r <，令 221'r r r +=显然 2'1r r r << ⇒ A r ∈'，B r ∈'，这与B A |是R 的一个分划矛盾。
唯一性得证。
定理证完。
2．单调有界定理→确界定理证明：已知实数集A 非空。
∃A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知∃b是A 的上界，记1a =a ，1b =b ，用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a +B ∈，则取2a =1a ，2b =211b a +；如果211b a +A ∈，则取2a =211b a +，2b =1b ；……如此继续下去，便得两串序列}{n a }{n b 。
其中A a n ∈单调上升有上界（例如1b ），B b n ∈单调下降有下界（例如1a ）并且n n a b -=211a b -)(∞→n 。
由单调有界定理，知∃r ，使∞→n limna =r 。
由∞→n lim（n n a b -）=0 有∞→n lim na+（n n a b -）= r}{n b 是A 的上界，∴A x ∈∀，有≤x n b （n=1，2，……），令∞→n ，≤x ∞→n limn b = r ∴ r 是A 的上界。
而,0>∀ε 由∞→n limn a = r 知，a r N ，n N ，n εε-∃>∀有当知,0从而X ，a r A ，X n ε-∈∃使 ∴r=supA 。
同理可证非空有下界数集有下确界。
定理证完。
3．单调有界定理→区间套定理证明：已知n a ≤1+n a （∀n ）， n a ≤n b ≤1b ，∴由单调有界定理知{n a }存在极限，设∞→n limn a = r ，同理可知{n b }存在极限，设∞→n lim n b=r '，由∞→n lim（n n a b -）=0得r r '-=0即r r '=∀n ，有n a ≤n b ，令∞→n ，有n a ≤r r '=≤n b ，∴∀n ，有n a ≤r ≤n b 。
唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。
定理证完。
三．用确界定理证明其它定理确界定理→实数基本定理证明：对给定R 的一个分划A|B ，由于B b ∈∀，b 是集合A 的上界，由确界定理可得，集合A 有上确界r ，即r a A a ≤∈∀有。
r 是集合A 的上确界，∴r 是集合A 的全体上界的最小数。
B b ∈∀，有r b ≤。
唯一性同用单调有界定理对实数基本定理的证明（即二。
1）。
定理证完。
确界定理→单调有界定理证明：设}{n x 是单调上升有上界的实数列。
由确界定理可得，∃r ，使r=sup }{n x 。
rx n n ≤∀∴有,，并且εε-∃∀r x ，x ，N N 有0r x x r N n n N ≤≤≤-∀∴ε有, ，即ε||r x n-∴∞→n limnx = r 。
单调下降有下界情况的证明同用实数基本定理对此定理的证明（即一.1）。
定理证完。
确界定理→区间套定理证明：由[1+n a ，1+n b ] ⊂[n a ，n b ]，知}{n a 是单调上升有上界的实数列，}{n b 是单调下降有下界的数列。
且1b 是n a 的上界，1a 是n b 的下界。
设∞→n lim na= r ，∞→n lim n b=r '，由确界定理对的证明知r=sup }{n a ，r '=inf }{n b 。
由∞→n lim（n n a b -）=0得r r '-=0即r r '== sup }{n a =inf }{n b∴∀n ，有n a ≤r ≤n b 。
唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。
定理证完。
确界定理→有限覆盖定理证明：设E 是闭区间[b a ，]的一个覆盖。
定义数集A={a x ≥|区间[x a ，]在E 中存在有限子覆盖}从区间的左端点a x =开始.由于在E 中有一个开区间覆盖a ,因此a 及其右侧充分邻近的点均在A 中.这就保证了数集A 是非空的.从数集A 的定义可见,若∈x A,则整个区间[x a ，]⊂A.∴若A 无上界,则b ∈A,那么[b a ，]在E 中存在有限子覆盖. 若A 有上界, 由确界定理可得∃r,使r=supA 。
∴r x ∀，都有∈x A 。
事实上，,0)( x r -∀,y ∃使得x x r r y =--)( 。
[y a ，]在E 中存在有限子覆盖，∴[x a ，]⊂[y a ，]在E 中存在有限子覆盖下证b <r 。
用反证法。
如果不然，r ≤b ，则r ∈[b a ，]。
因此，在E 中存在有一开区间覆盖αE覆盖r 。
0a ∃，0b ∈αE ，使0a 0b r 。
实数的完备性
第七章 实数的完备性§1.关于实数集完备性的基本定理1. 验证数集⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-n n 1)1(有且只有两个聚点11-=ε和12=ε。
解： 当n 取奇数12-=k n 时，S 中的互异子列 ) ( , 1 1 2 1 1 ∞ → -→ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ - + - k k ，所以11-=ξ是S 的聚点；当n 取偶数k n 2=时，S 中的互异子列)(,1211∞→→⎭⎬⎫⎩⎨⎧+k k ，所以12=ξ是S 的聚点2．证明：任何有限数集都没有聚点。
证明： 设有限数集S 。
由聚点ξ的定义，在ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，而S 只有有限个点，所以S 没有聚点。
3．设{})(,n n b a 是一个严格开区间套，既满足,1221b b b a a a n n <<<<<<< 且0)(lim =-∞→n n n a b .证明：存在唯一的一点ε，使得.,2,1, =<<n b a n n ε证明：证法一：}{n a 严格递增，有上界A a n n =∴∞→lim ，且 3,2,1,=<n A a n(否则，假定存在N ，有时，，则N n A a N >≥A a a a n N n ≥>>+1，因而Aa a N n n >≥+∞→1lim 与A a n n =∞→lim 相矛盾)同理B b n n =∞→lim 存在， 3,2,1,=>n B b n由条件0)(lim =-∞→n n n a b 可知A=B ，令B A ==ε，则 3,2,1,=<<n b a n n ε证法二：作闭区间列]2,2[],[11++++=n n n n n n b b a a y x 其满足： 1°),(],[),(11n n n n n n b a y x b a ⊂⊂++][][,1,1n n n n y x y x ⊂∴++2°0)(lim =-∞→n n n a b0)(lim =-∴∞→n n n x y由区间套定理，存在唯一一点),(],[n n n n b a y x ⊂∈ε使得.,2,1, =<<n b a n n ε4．试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立。
《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明
《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明在数学分析中，实数完备性是一个非常重要的概念。
实数完备性是指实数轴上不存在任何空缺的性质，即任何实数序列都有收敛的子序列。
实数完备性可由七大定理进行证明，并且这七个定理之间也可以相互证明。
下面将对这七大定理进行证明，并且展示它们之间的相互证明。
第一个定理是确界定理（或称上确界定理）。
它的表述是：有上界的非空实数集必有上确界。
证明如下：先证明存在性，假设S是有上界的非空实数集，令M为S的一个上界，那么对于S中的任意元素x，都有x≤M。
接下来我们来证明M是S的上确界。
首先，我们要证明M是S的一个上界，即对于任意x∈S，x≤M。
其次，我们要证明对于任意ε>0，存在一个元素s∈S，使得M-ε<s≤M。
这两点都可以使用导致上确界的性质来证明。
因此，我们证明了确界定理。
第二个定理是区间套定理。
它的表述是：若{[an,bn]}是一个递减的闭区间序列，并且满足an≤bn，则存在一个唯一的实数x同时含于所有闭区间[an,bn]中。
证明如下：首先，我们证明了区间套的任意两个闭区间之间的交集不为空。
其次，我们证明了{an}是一个递增有上界的实数序列，{bn}是一个递减有下界的实数序列。
因此，根据实数完备性的定义，存在唯一的实数x满足an≤x≤bn，即x属于所有闭区间的交集。
第三个定理是柯西收敛准则。
它的表述是：一个实数序列是收敛的充分必要条件是它满足柯西收敛准则，即对于任意ε>0，存在自然数N，使得当m,n≥N时，有，am-an，<ε。
证明如下：首先，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的有界性。
其次，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的单调性。
因此，根据实数完备性的定义，实数序列的柯西收敛准则是实数序列收敛的充分必要条件。
第四个定理是实数域的离散性。
它的表述是：任意两个实数之间必存在有理数和无理数。
证明如下：假设a和b是两个实数，并且a<b。
实数的完备性
第七章 实数的完备性§1 实数完备性的基本定理1． 验证 数集},2,11)1{(L =+−n n n有且只有两个聚点11−=ξ和12=ξ 解 因{1+}21n 是{(-1)n+n 1}的所有偶数项组成的子列,且,1)211(lim =+∞→nn 故12=ξ是数集},2,11)1{(L =+−n n n的一个聚点.由于}1211{−+−n 是原数集的所有奇数项组成的子列,且,1)1211(lim −=−+−∞→n n 因而11−=ξ也是原数集的聚点.下证该数集再无其它聚点. 时，有则当取001}21,21min{,1εϕϕεϕ>−+=±≠∀n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−=−−−为奇数为偶数为奇数，为偶数）（n n n n n n n n n n ,11.1111,1111ϕϕϕϕϕ.1200εε>−≥n故ϕ不是该数集的聚点.这就证明原数集只有两个聚点,即1+与1−. 2．证明:任何有限数集都没有聚点.证 设S 是有限数集,则对任一S R a 因,1,0=∃∈ε是有限数集,故领域),(0εa U 内至多 有S 中的有限个点,故a 不是S 的聚点,由a 的任意性知,S 无聚点.3．设)},{(n n b a 是一严格开区间套,即1221b b b a a a n n <<<<<<<<L L L , 且.0)(lim =−∞→n n n a b 证明存在唯一一点ξ,有L ,2,1,=<<n b a n n ξ证 作闭区间列]},{[n n y x , 其中L ,2,1,2,211=+=+=++n b b y a a x n n n n n n ，由于),(,11N n b y b a x a n n n n n n ∈∀<<<<++ 故有(1) ))(,(],[),(11N n b a y x b a n n n n n n ∈∀⊂⊂++，从而L ,2,1],,[],[11=⊂++n y x y x n n n n(2) )(0N n a b x y n n n n ∈∀−<−<从而由]},{[.0)(lim ,0)(lim n n n n n n n n y x x y a b 所以得=−=−∞→∞→为闭区间套.由区间套定理知,存在一点).,2,1()1().,2,1](,[L L =<<=∈n b a n y x n n n n ξξ有由满足条件),2,1(L =<<n b a n n ξ的点ξ的唯一性的证明与区间套定理的证明相同.4．试举例说明:在有理数集内,确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立。
实数完备性六个定理的互相证明
0 ， x S ，使得 x ，
记为 xn a ( n ) 。如果不存在实数 a，使 xn 收敛于 a，则称数列 xn 发散。
lim xn a 0 ， N N ， n N ，有 xn a 。
二、一些基本概念
1.有界集： 设 S 是一个非空数集，如果 M R ，使得 x S ，有 x M ，则称 M 是 S 的
一个上界；如果 m R ，使得 x S ，有 x m ，则称 m 是 S 的一个下界。当数集 S 既有上界，又有下界时，称 S 为有界集。
a1 b1 a b a b , b1 S ，则记 a2 , b2 = 1 1 , b1 否则记 a2 , b2 = a1 , 1 1 ；...；对 2 2 2 an 1 bn 1 an 1 bn 1 a b an1 , bn1 二等分为 , bn 1 ，若 n 1 n 1 , bn 1 S ， an 1 , 、 2 2 2
则记 a2 , b2 =
a1 b1 a b , b1 否则记 a2 , b2 = a1 , 1 1 ；...；对 an 1 , bn 1 二等分为 2 2
an 1 bn 1 an 1 bn 1 a b , bn 1 ，若 n 1 n 1 非 s 的上界，则记 、 an 1 , 2 2 2 an 1 bn 1 a b an , bn = , bn 1 否则记 an , bn = an 1 , n 1 n 1 ；...，得到一列闭区间 2 2
上界，则记 a2 , b2 =
实数完备性的六大基本定理的相互证明
1 确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。
2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。
3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。
4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间，H 为],[b a 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成],[b a 上的一个覆盖。
5 Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。
） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。
6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得N n m >∀,时，都有ε<-||n m a a 。
一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理 证明：１设 ［ａｎ，ｂｎ］ 是一个闭区间套，即满足： １）∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］；２）ｂｎ－ａｎ ＝我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ有上确界，设sup Ｓ ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）显然ａｎ ≤ξ，（ｎ ＝１，２，⋯）所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ． 事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ 的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有 ξ≤ｂｎ，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）唯一性: 假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ，则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。
数学分析7.1关于实数集完备性的基本定理
第七章 实数的完备性 1 关于实数集完备性的基本定理一、区间套定理与柯西收敛准则 定义1：设区间列{[a n ,b n ]}具有如下性质： 1、[a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1], n=1,2,…;(即a 1≤a 2≤…≤a n ≤…≤b n ≤…≤b 2≤b 1) 2、∞→x lim (b n -a n )=0， 则称{[a n ,b n ]}为闭区间套，或简称区间套.定理7.1：(区间套定理)若{[a n ,b n ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,…, 即a n ≤ξ≤b n , n=1,2,…. 证：由a 1≤a 2≤…≤a n ≤…≤b n ≤…≤b 2≤b 1知: {a n }递增有界，∴{a n }有极限ξ，且a n ≤ξ，n=1,2,….又{b n }递减有界，∴{b n }有极限，又∞→nlim (b n -a n )=0，∴∞→n lim b n =∞→n lim a n =ξ， 且b n ≤ξ，n=1,2,…，即a n ≤ξ≤b n , n=1,2,….设数ξ’∈[a n ,b n ], n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤b n -a n , n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤∞→nlim (b n -a n )=0，∴ξ’=ξ. 原命题得证.推论：若ξ∈[a n ,b n ] (n=1,2,…)是区间套{[a n ,b n ]}所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε).例：证明：定理2.10：(数列的柯西收敛准则)数列{a n }收敛的充要条件是：对任给的ε>0，存在N>0，使得对m,n>N 有|a m -a n |<ε.证：[必要性]设∞→n lim a n =A ，由数列极限定义， 对任给的ε>0，存在N>0，当m,n>N 时，有|a m -A|<2ε，|a n -A|<2ε， ∴|a m -a n |≤|a m -A|+|a n -A|<ε.[充分性]∵对任给的ε>0，存在N>0，使得对n ≥N 有|a n -a N |≤ε，即 即在区间[a N -ε,a N +ε]内含有{a n }中几乎所有项(即除有限项外的所有项). 令ε=21，则存在N 1，在区间[a 1N -21,a 1N +21]内含有{a n }中几乎所有项.记[α1, β1]=[a 1N -21,a 1N +21].令ε=221，则存在N 2(>N 1)，在[a 2N -221,a 2N +221]含有{a n }几乎所有项. 记[α2, β2]=[a 2N -221,a 2N +221]∩[α1, β1]，[α2, β2]含有{a n }几乎所有项，且满足[α1, β1]⊃[α2, β2]及β2-α2≤21.依次令ε=321,…,n 21,…, 可得闭区间列{[αn , βn ]}，其中每个区间都含有{a n }几乎所有项，且 满足[αn , βn ]⊃[αn+1, βn+1], n=1,2,…, βn -αn ≤1-n 21→0 (n →∞)， 即{[αn , βn ]}是区间套，由区间套定理， 存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[αn , βn ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[αn , βn ]⊂U(ξ; ε)，∴在U(ξ; ε)内含有{a n }几乎所有项，∴∞→nlim a n =ξ.二、聚点定理与有限覆盖定理定义2：设S 为数轴上的点集，ξ为定点. 或ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点. 如：点集S={(-1)n +n 1}有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1；点集S={n1}只有一个聚点ξ=0； 又若S 为开区间(a,b)，则(a,b)内每一点以及端点a,b 都是S 的聚点； 根据定义，正整数集N +没有聚点，任何有限数集也没有聚点。
实数完备性基本定理的相互证明
实数完备性基本定理的相互证明实数完备性基本定理是数学分析课程中的重要定理之一，它刻画了实数的重要性质。
本文将从两个角度介绍实数完备性基本定理的证明，即从实数的有序性和上确界性质出发进行证明，相互补充，帮助读者更好地理解该定理。
一、从实数的有序性进行证明实数完备性基本定理可以通过比较序列与实数性质的关系来证明。
首先引入柯西序列的概念。
柯西序列是指一列实数序列，其满足对于任意正实数ε，存在正整数N，当n，m≥N时，|an-am|<ε。
柯西序列的定义即表明了序列中的元素越来越接近，它与实数的有序性相对应。
接下来，我们需要证明实数集合所有的柯西序列都是收敛的。
假设{an}是一个柯西序列，为了证明该序列的收敛性，我们需要构造出一个实数α，使得该序列收敛于α。
为此，我们可以构造一个新的序列{bn}，其中bn=sup{am: m≥n}。
首先，根据实数的上确界性质，该集合非空且有上界，因此sup存在。
其次，易知bn递增且有界（因为其满足an≤bn），所以该序列收敛于某一个实数α。
接下来，我们证明an收敛于α。
根据柯西序列的定义，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当m，n≥N时，有|am-an|<ε。
那么对于给定的ε>0，根据序列{bn}的收敛性，存在正整数M，使得当n≥M时，有|bn-α|<ε/2，同时根据序列{bn}的递增性质，有bn≥an。
于是可以得到：|an-α|=|an-bn+bn-α|≤|an-bn|+|bn-α|<ε/2+ε/2=ε这表明对于任意给定的ε>0，总存在正整数N=M，使得当n≥N 时，有|an-α|<ε。
因此，an收敛于α，柯西序列收敛于实数α。
这样，我们就证明了任意柯西序列都是收敛的，即实数集合中的柯西序列都有收敛性。
由此可得实数集合是完备的。
二、从实数的上确界性质进行证明实数完备性基本定理也可以通过实数的上确界性质进行证明。
实数的上确界性质是指，非空有上界的实数集合必有上确界。
实数完备性的六大基本定理的相互证明
1确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。
2单调有界原理任何单调有界数列必有极限。
3区间套定理若{[a n , b n ]}ξ∈[an , bn], n = 1,2,。
是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得4Heine-Borel 有限覆盖定理设[a,b] 是一个闭区间，H为[a,b] 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成[a,b]上的一个覆盖。
5Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。
）直线上的有解无限点集至少有一个聚点。
6Cauchy 收敛准则数列{a n }收敛⇔对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得∀m, n >N 时，都有| am -an|<ε。
一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证不妨设{ a n}为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n}.下面证明a 就是{ a n} 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n}的递增性,当n≥ N时有a - ε < a N ≤ a n.另一方面,由于a 是{ a n}的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当n≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理证明：１设［ａｎ，ｂｎ］是一个闭区间套，即满足：１）∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］；２）ｂｎ－ａｎ＝我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ有上确界，设supＳ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）显然ａｎ≤ξ，（ｎ＝１，２，⋯）所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ．事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有ξ≤ｂｎ，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）唯一性: 假设还有另外一点ξ'∈R 且ξ'∈[a n , b n ] ，则| ξ-ξ'|≤| a n -b n | → 0,即ξ=ξ'。
关于实数完备性的基本定理
无穷多个点，记其为[a3 , b3 ], 则
[a2 , b2 ] [a3 , b3 ], 且 b3 - a3 = 1 M (b2 - a2 ) = . 2 2
无限进行，则得区间列{[an , bn ]}, 满足
[an , bn ] [an+1, bn+1 ], n = 1, 2,
M b a = , n n 2n -1 0, (n ),
k
下证 lim an = a,
n
0, N1 0,当n，m N1时, 有 an - am
由lim ank = a, 0, N 2 0, 当k N 2时, 有 ank - a
k
0, N = max{N1, N2} 0,当n, k N时,
[an , bn ] [an+1 , bn+1 ], n = 1,2,L, 1 bn - an = n (b - a) 0 (n ). 2 即{[ an , bn ]}是区间套， 且其中每一个闭区间都不能用H中有限个
有限个开区间来覆盖， 由区间套定理
x [an , bn ], n = 1,2,L,由于H是[a, b]的一个开覆盖
•定理的证明:
单调有界定理 区间套定理
n
由区间套定义知a 为递增有界数列，
an 依单调有界定理， 有极限x，且有 a x，n = 1,2, L.
n
b 同理，递减有界数列 也有极限，并按区间套的条件(ii )有
n
lim b = lim a = x , 且 b x，n = 1,2, L. n n
n
xn S
,则其极限
显然 显然 定义2 定义2 定义2 定义2
实数完备性证明
一.七大定理循环证明:1.单调有界定理→区间套定理证明：已知n a ≤1+n a （∀n ）， n a ≤n b ≤1b ，∴由单调有界定理知{n a }存在极限，设∞→n limna = r ，同理可知{n b }存在极限，设∞→n lim n b =r ' ，由∞→n lim （nna b-）=0得r r '-=0即r r '=∀n ，有n a ≤n b ，令∞→n ，有n a ≤r r '=≤n b ，∴∀n ，有n a ≤r ≤n b 。
下面证明唯一性。
用反证法。
如果不然。
则∃ 21r r ≠，同时对任意 A a ∈，1r a ≤，2r a ≤对任意b 有1r b ≥ 2r b ≥，不妨设21r r <，令221'r r r +=显然2'1r r r <<⇒A r ∈'，B r ∈'，这与B A |是R 的一个分划矛盾。
唯一性得证。
定理证完。
2.区间套定理→确界定理证明：由数集A 非空，知∃A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知∃b 是A 的上界，记[1a ，1b ]=[a ，b ]，用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a+是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[1a ，211b a+]；如果211b a+不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[211b a +，1b ]；用2a ，2b 的中点222b a+二等分[2a ，2b ]……如此继续下去，便得区间套[na ，nb ]。
其中n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。
由区间套定理可得，∃唯一的 ∞=∈1],[n n nb ar ，使∞→n lim n a =∞→n limn b = r 。
A x ∈∀，由≤x n b （n=1，2，……）， 令∞→n ，≤x ∞→n lim n b = r ∴ r是A 的上界。