实数系基本定理等价性的完全互证
实数系基本定理等价性的完全互证
作者：刘利刚， LIU Li-gang
作者单位：浙江大学数学系,浙江,杭州,310027
刊名：
数学的实践与认识
英文刊名：MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY
年，卷(期)：2008,38(24)
参考文献(3条)
1.欧阳光中;姚允龙;周渊数学分析 2003
2.华东师范大学数学系数学分析 1980
3.王向东;高成修;安枫灵数学分析的概念与方法 1988
本文读者也读过(10条)
1.田立平.李洪齐.TIAN Li-ping.LI Hong-qi实数系基本定理的等价性[期刊论文]-河北理工学院学报2004,26(4)
2.李静实数基本定理的等价性探讨[期刊论文]-科技创新导报2011(2)
3.邓卫兵.Deng Weibing五大实数基本定理的一种证明方法及应用[期刊论文]-广东轻工职业技术学院学报2005,4(1)
4.彭培让致密性定理证明其它实数连续性基本定理[期刊论文]-河南教育学院学报（自然科学版）2009,18(3)
5.任晓实数连续性定理及其它[期刊论文]-西昌师范高等专科学校学报2001,13(3)
6.陈芝辉.Chen Zhihui实数连续性九个定理等价的证明[期刊论文]-南宁师范高等专科学校学报2007,24(2)
7.米吉提·依明实数连续性基本定理的等价性[期刊论文]-新疆广播电视大学学报2009,13(2)
8.包丙寅实数基本定理的等价性证明[期刊论文]-赤峰学院学报（自然科学版）2010,26(7)
9.张坤用闭区间套定理证明实数系连续性的其他等价定理[期刊论文]-理科爱好者（教育教学版）2010,02(2)
10.杨彩琴.YANG CAI-qin关于实数的几个基本定理等价的一种证明方法[期刊论文]-内蒙古农业大学学报（自然科学版）2006,27(3)
引用本文格式：刘利刚.LIU Li-gang实数系基本定理等价性的完全互证[期刊论文]-数学的实践与认识 2008(24)
关于实数完备性的基本定理
第七章 实数的完备性 §1 关于实数完备性的基本定理 1. 验证数集? ?? ? ??+-n n 1) 1(有且只有两个聚点11 -=ξ 和12 =ξ. 分析:根据聚点定义2'',分别找各项互异的收敛数列 {}n x ,{}n y ?? ?? ? ??+-n n 1) 1(,使其极限分别为-1和1.再由聚点定义2,用反证法，对1,±≠∈?a R a ,关键在找存在ε,使U(ε,a )内含有? ????? + -n n 1)1(中有限多个点. 解：记()()() 2,11 211,2111 22=-= -=+ -=-n n y n x n n n n 则 {}n x ,{} n y ? ? ?? ? ??+-n n 1)1(,且1lim ,1lim -==∞ →∞→n n n n y x .由定义2''知， 1,121=-=ξξ为???? ?? +-n n 1)1(的两个聚点. 对1,±≠∈?a R a ，则取{}1 ,1min 2 1 0+-=a a ε， ? ?? ??? + -n n 1)1(落在U(0,εa )内部至多只有有限点, 则α不是其聚点. 2．证明 任何有限数集都没有聚点. 分析：由聚点定义2即可证明.
证明：由定义2知，聚点的任何邻域内都含有数集的无穷多个点，而对于有限数集，不可能满足此定义，因此，任何有限数集都没有聚点。 3．设{}),(n n b a 是一个严格开区间套，即满足 ,1221b b b a a a n n <<<<<<< 且0)(lim =-∞ →n n n a b .证明：存在唯一的一点 ξ，使),2,1( =< 第七章实数的完备性 教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。 教学时数：12学时 § 1 关于实数集完备性的基本定理（3学时）教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。 一．确界存在定理：回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 . 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor闭区间套定理 : 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 1. ⅰ> 对 , 有 , 即 , 亦即后一个闭区间 包含在前一个闭区间中 ; ⅱ> . 即当 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减. 例如 和 都是区间套. 但 、 和 都不是. 2. Cantor 区间套定理: Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy 列 : ⑴ . ⑵ . 第七章实数的完备性 § 1 关于实数集完备性的基本定理 一区间套定理与柯西收敛准则 定义1 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ）对, 有, 即, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ）. 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和, 其中递增,递减. 例如和都是区间套. 但、和都不是. 区间套定理 定理7.1(区间套定理) 设是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点, 使对有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 二聚点定理与有限覆盖定理 定义设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的 一个聚点. 数集=有唯一聚点, 但; 开区间的全体聚点之集是闭区间; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间. 定理 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 聚点原理 :Weierstrass 聚点原理. 定理7.3 每一个有界无穷点集必有聚点. 列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理. 四． Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy列 : ⑴. ⑵. 解⑴ ; 对，为使，易见只要. 于是取. ⑵ . 当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 , 又 . 当为奇数时, . 综上 , 对任何自然数, 有 . …… Cauchy 列的否定: 例2 . 验证数列不是Cauchy列. 证对, 取, 有 . 因此, 取,…… 三 Cauchy收敛原理: 定理数列收敛是Cauchy列. ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原 则给出证明 ) 第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 六个基本定理： 1实数戴德德公理 确界原理 2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理 5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理 定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界． 定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限． 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a <<-ε． 另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有 εε+<<-a a a n ， 即a a n n =∞ →lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界． （区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,， ,2,1=n ，即 ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（??）有 ξ==∞ →∞ →n n n n a b lim lim ， （4） 且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。 最后证明满足（2）的ξ是唯一的。设数ξ'也满足 ,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 证明热力学第三定律的两种表述是等价的 080311班 赵青 080311044 证明热力学第三定律的两种表述是等价的 一、热力学第三定律 英文名称： Third law of thermodynamics 热力学第三定律是在低温现象的研究中总结出来的一个普通规律。 1906年，德国物理学家能斯特（Nernst ，右图）在研究低 温条件下物质的变化时，把热力学的原理应用到低温现象和化学反应过程中，发现了一个新的规律，称为能斯特定律，简称能氏定理。这个规律被表述为：“当绝对温度趋于零时，凝聚系(固体和液体）的熵（即热量被温度除的商）在等温过程中的改变趋于零。”即： 0)(lim 0 =?→T T S 式中T S )(?为可逆等温过程中熵的变化。德国著名物理学家普朗克把这一定律改述为：“当绝对温度趋于零时，固体和液体的熵也趋于零。”这就消除了熵常数取值的任意性。 德国物理学家普朗克(Max Karl Ernst Ludwig Planck, 1858～ 1947)（右图） 是量子物理学的开创者和奠基人，他早期的研究领域主要是热力学，他的博士论文就是《论热力学的第二定律》。他在能斯特研究的基础上，利用统计理论指出：各种物 质的完美晶体在绝对零度时熵为零。1911年普朗克也提出了对热力学第三定律的表述，即“与任何等温可逆过程相联系的熵变， 随着温度的趋近于零而趋近于零”。 1912年，能斯特又将这一规律表述为绝对零度不可能达到原理：“不可能使一个物体冷却到绝对温度的零度。”这就是热力学第三定律。 1940 年R.H.否勒和 E.A.古根海姆还提出热力学第三定律的另一种表述形式：任何系统都不能通过有限的步骤使自身温度降低到0K ，称为0K 不能达到原理。此原理和前面所述及的热力学第三定律的几种表述是相互有联系的。但在化学热力学中，多采用前面的表述形式。 通常认为，能氏定理和绝对零度不能达到原理是热力学的两种表述。 3.4 向量和矩阵范数 3.4.1 内积与向量范数 为了研究方程组Ax=b解的误差和迭代法收敛性，需对向量及矩阵的"大小"引进一 种度量，就要定义范数，它是向量"长度"概念的直接推广，通常用表示n维实向量空间，表示n维复向量空间. 定义4.1设(或)，，，实数或 复数，称为向量x与y的数量积也称内积. 非负实数，称为向量x的欧氏范数或2-范数. 定理4.1设设(或)则内积有以下性质： (1) ，当且仅当x=0时等号成立； (2) ,或； (3) ,或； (4) ； (5) (3.4.1) 称为Cauch-Schwarz不等式. (6) ，称为三角不等式. 定义4.2向量的某个实值函数N(x)，记作，若满足下列条件： (1) ‖x‖≥0,当且仅当x=0时等号成立(正定性)； (2) (齐次性)； (3) (三角不等式)； 则称是上的一个向量范数. 对于，由内积性质可知它满足定义4.2的三个条件，故它是一种向量范数.此外还有以下几种常用的向量范数. (称为∞-范数) (称为1-范数) 容易验证及均满足定义4.2的三个条件.更一般的还可定义 但只有p=1,2,∞时的三种范数是常用的向量范数. 例如给定,则可求出 定理4.2设是上任一种向量范数，则N(x)是向量x的分量的连续函数. 定理4.3设与是上任意两种向量范数，则存在常数，使 (3.4.2) 不等式称为向量范数等价性. 以上两定理证明可见［2］，［3］. 讲解： 在向量得内积（x,y）的性质中，定理4.1的（5）为Cauch-Schwarz不等式（3.4.1）是经常使用的，下面给出证明，显然当x＝0或y＝0时（3.4.1）成立，现设，考察 若取 则上式为 于是 关于实数连续性的基本定理 这七个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相 互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，还可以有不同的细节。作为工具，它们又各具特点。而这些都是值得我们去注意与发现。 (一)实数基本定理的出现 关于实数的这些基本定理，总结起来就是一句话，实数系在分析上是完备的，直观来看 就是没有“洞”的。有人也许会说，中学时我就知道实数就是直线，直线当然是没有“洞”的，还用得着这么啰嗦吗？实际上，这里有一个逻辑循环，只有先肯定实数没有“洞”，才能够把它等同于直线，初等数学就这样默认了直观的前提，但是在分析学中就得往前研究，讨论一下这里的没有“洞”到底是怎么回事。 以上的定理表述如下： 实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都?唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。（论证实数系的完备性和局部紧致性） 确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。 区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的 区间里,即 ∞ =∈1 ],[n n n b a r 。 有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。 柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是： εε<->>?>?||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。 这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。 上确界的数学定义：有界集合S ，如果β满足以下条件 （1）对一切x ∈S ，有x≤β，即β是S 的上界； （2）对任意a ＜β，存在x ∈S ，使得x ＞a ，即β又是S 的最小上界， 则称β为集合S 的上确界，记作β=supS （同理可知下确界的定义） 向量范数 定义1. 设,满足 1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0 2. 齐次性:║cx║=│c│║x║, 3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║ 则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数. 可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数. 常用向量范数有,令x=( x1,x2,…,xn)T 1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│ 2-范数:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2 ∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│) 易得║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞ 定理https://www.360docs.net/doc/6915428423.html,中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使 m║x║α≤║x║β≤M║x║ 可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得 定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则 ║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→ ∞) 其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k) →x(k→∞),或 . 三、矩阵范数 定义2. 设,满足 1. 正定性:║X║≥0,║X║=0 iff X=0 2. 齐次性:║cX║=│c│║X║, 3. 三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║ 4. 相容性: ║XY║≤║X║║Y║ 则称Cn×n中定义了矩阵范数,║X║为矩阵X的范数. 注意, 矩阵X可视为n2维向量,故有前三条性质.因此定理1,2中向量的等价性和向量序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵.第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设.更有矩 阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性: ║Ax║≤║A║║x║ 所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的. 定理3. 设A是n×n矩阵,║?║是n维向量范数则 ║A║=max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0} 是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性 或者说是相容的. 单位矩阵的算子范数为1 可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数.例如定义: ║x║=║X║,X=(xx…x) 常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是 1-范数:║A║1= max{║Ax║1:║x║1=1}= 2-范数:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}= ,λ1是AHA的 最大特征值. ∞-范数:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}= 此外还有Frobenius范数: .它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数. 关于实数连续性的基本定理 关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明 以上的定理表述如下： 实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都?唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。 确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。 区间套定理:设｛ ,[n a ] n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含 在所有的区间里,即 ∞ =∈1 ] ,[n n n b a r 。 有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。 柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是： ε ε<->>?>?||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。 这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。 （二）实数基本定理的等价证明 一．用实数基本定理证明其它定理 1．实数基本定理→单调有界定理 证明：设数列}{n x 单调上升有上界。令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ?≤,}, 而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0 n ，使 a < 0n x ≤ b ，即A 、B 不乱。故A|B 是实数的一个分划。根据实数基本定理， A ，a R r ∈?∈?使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。 3.4向量和矩阵范数 3.4.1内积与向量范数 为了研究方程组Ax=b解的误差和迭代法收敛性，需对向量K亡卫"及矩阵止￡ R晦的”大小”引进一种度量，就要定义范数，它是向量"长度”概念的直接推广，通常用I 表示n维实向量空间，J '表示n维复向量空间. 定义4.1 丘设（或C ”）补…,心），厂叽…亠），实数苗或〔2）二宀=主氓严=的共馳） 复数，称为向量x与y的数量积也称内积. Ha" D" ■ （￡卅严 非负实数，称为向量x的欧氏范数或2-范数. 定理4.1设心J -二广|设（或匚'-1）则内积有以下性质： （1）（仏工）。，当且仅当x=0时等号成立； ⑵，…r 工「_ J 或- （3）（2 ■ 0闪或Gj）?O M）,^yeC"； ⑷（1”昜?（兀刃十（兀对庄丁上弋C*； （5）||（5勺忖個（3.4.1） 称为Cauch-Schwarz不等式. （6）订m，称为三角不等式. 定义4.2向量-「-的某个实值函数N（x），记作-",若满足下列条件: （1）I I x||》0当且仅当x=0时等号成立（正定性）; （2）|二 -I ■||」「—R（齐次性）； ⑶匸'V1-1 ：：-1（三角不等式）； 则称-'L-亠I -■是1'.■上的一个向量范数. 于是 I 仗或10昭）3刃十帥I ，由内积性质可知它满足定义 4.2的三个条件，故它是一种向量范数.此外还 （称为i-范数） 但只有p=1,2, ?时的三种范数是常用的向量范数 例如给定X -（12?餌 ，则可求岀 Plli=M^ll a =Vi4,||x|L=3 定理4.2 设M ?|| / || 是. "上任一种向量范数，则 N （x ）是向量x 的分量罚，鬥,的连续函 (3.4.2) 不等式称为向量范数等价性. 以上两定理证明可见[2],[ 3]. 讲解： 在向量丄-亠-得内积（x,y ）的性质中，定理 4.1的（5）为Cauch-Schwarz 不等式（3.4.1）是经常 使用的，下面给出证明，显然当 x = 0或y = 0时（3.4.1）成立，现设■■- 7 '■，考察 0 M 仗+為,狀十= fcx ）十22仗”y ）十/（”刃 若取 ■: 有以下几种常用的向量范数 （称为《范数） 对于 容易验证丨y #及丨n ； I 均满足定义4.2的三个条件.更一般的还可定义 定理4.3 设“与1仏是 上任意两种向量范数，则存在常数 ，使 数学分析之实数的完备性 《数学分析》教案 第七章实数的完备性 教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点:本章的重点是实数完备性的基本定理的证明;难点是基本定理的应用。 教学时数:14学时 ? 1 关于实数集完备性的基本定理(4学时) 教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点:实数完备性的基本定理的证明。 一(确界存在定理:回顾确界概念( Th 1 非空有上界数集必有上确界 ;非空有下界数集必有下确界 . 二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . - 1 - 《数学分析》教案 三. Cantor闭区间套定理 : 1. 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 ?> 对, 有 , 即 , 亦即后 一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; ?> . 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个“闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增, 递减. 例如和都是区间套. 但、 和都不是. 2. Cantor区间套定理: Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四( Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : - 2 - 《数学分析》教案 泛函数-正文 又称泛函，通常实（复）值函数概念的发展。通常的函数在R n或C n（n是自然数）中的集合上定义。泛函数常在函数空间甚至抽象空间中的集合上定义，对集合中每个元素取对应值（实数或复数）。通俗地说，泛函数是以函数作为变元的函数。泛函数概念的产生与变分学问题的研究发展有密切关系。设Ω为R n中的区域，Г1表示边界嬠Ω的片断, 表示一函数集合。考虑对应 ,式中F为具有2n+1个自变数的函数:为寻求J(u)的局部极值，在一定条件下取J(u)的加托变分 如果在u=u0达到局部极值，则u0适合欧拉方程δJ(u)=0。在应用中，常以数学或物理的某个微分方程为背景产生一定泛函数，使原问题化成泛函数极值问题。当代分析学中，变分方法有广泛应用。一般把问题化成Tx=0的形式，即对应于某泛函数φ的欧拉方程，其中φ定义在一巴拿赫空间X中的开集S上且加托可微:算子T称为梯度算子,φ称为T的场位。人们常遇到二阶微分系统，由此产生二次泛函数极值问题，是当代变分法常见的研究对象。 泛函数φ:S嶅X→R（X为拓扑空间）称为在x∈S处下半连续，如果对每个实数r<φx，有x的邻域U(x)，使得r<φz,凬z∈U(x)∩S。称φ在x∈S处下半序列连续,如果对每个序列 。其连续性及有界性如同对算子相应的性质所做的规定。 设φ是定义在线性集合S上的实（复）值泛函数。如果φ(x+y)＝φ(x)+φ(y)，φ称为加性的；如果φ（λx）=λφ(x),λ∈R(C)称为齐性的；如果同时有加性及齐性称为线性的。当φ 取实值时,加性得放松为次加性,其定义为：φ(x+y)≤φ(x)+φ(y)；齐性得放松为正齐性，其定义为：?(λx)=λ?(x)(λ≥0)；如果同时有次加性及齐性，则称φ具有次线性；如果对于λ∈(0,1)，有φ(λx+(1-λ)y)≤λφ(x)+(1-λ)φ(y)，则称φ为凸的;如果当x≠y时上式中的≤必为<,则称φ为严格凸的。在一些问题中,容许凸泛函数φ取值＋∞,但φ扝+∞,这时称φ为真凸的。此外,还有所谓凸集S上的拟凸泛函数φ：S嶅K→R（K为线性空间），使φ(tx+(1-t)y)≤max{φx,φy},x,y∈S, t∈(0,1)。在赋范空间K中无界集S上定义的泛函数φ称为强制的,如果有函数с:(0,+∞)→R,с(t)→+∞(t→+∞)使得φ(z)≥с(‖z‖),凬z∈S。 线性泛函数是线性算子理论研究的对象之一，也是研究空间性质及结构的工具。例如，局部凸拓扑线性空间K有对偶空间K，K的元素就是定义在K上的连续线性泛函数。对K可赋予简单收敛拓扑或有界收敛拓扑。偶K、K间的关系对认识空间的性质和研究算子的性质都有基本意义。 相应于多重线性算子有多重线性泛函数。例如，设K1、K2是同一数域上的线性空间,定义在积空间K1×K2上的映射φ:K1×K2→R（或C）称为双线性泛函数,如果K2(K1)中元素固定时φ成为K1(K2)上的线性泛函数。当K1=K2=K，K1及K2中取等同的x∈K，则得φ(x,x),称为二次泛函数。对希尔伯特空间中线性算子谱理论的研究，双线性泛函数形式作为表示工具是方便的。二次泛函数在变分法中的应用更是为人熟知的。 拟赋范空间、局部凸拓扑线性空间、赋范空间等的表征主要在于分别在各空间上定义的次加性泛函数，即拟范数、半范数族、范数等。测度空间中的测度，即对应于某种集合的值也可理解为泛函数。对于给定函数的不定积分也可类似地看待。 范数 向量范数 一、问题提出 确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的 还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6． 定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛． 定理1.3 (区间套定理）设为一区间套： ． 则存在唯一一点 定理1.4 (有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆 盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖． 定理1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）．定理1.6 (柯西准则) 数列收敛的充要条件是：，只要 恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．） 这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具． 下图中有三种不同的箭头，其含义如下： ：(1)～(3) 基本要求类 ：(4)～(7) 阅读参考类 ：(8)～(10) 习题作业类 下面来完成(1)～(7)的证明． 二、等价命题证明 (1)（用确界定理证明单调有界定理） (2)（用单调有界定理证明区间套定理） (3)（用区间套定理证明确界原理） *(4)（用区间套定理证明有限覆盖定理） *(5)（用有限覆盖定理证明聚点定理） *(6)（用聚点定理证明柯西准则） *(7)（用柯西准则证明单调有界定理） (1)（用确界定理证明单调有界定理） 〔证毕〕 (返回) (2)（用单调有界定理证明区间套定理）设区间套． 实数的连续性公理证明确界存在定理 定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。小于或等于上类B中的每一个实数。 定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。 定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。 定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。 定理五Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。 定理六Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。 定理七Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是： 任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。 定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。下面给出其等价性的证明： 定理一定理二： 设数列单调上升有上界。令B是全体上界组成的集合，即 B=，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。事实上，由有上界知B不 空。又单调上升，故，即A不空。由A=R\B知 A、B不漏。又， 则，使，即 A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理， 存在唯一的使得对任意，任意，有。下证。事实上， 对，由于，知，使得。又单调上升。故当n>N时， 有。注意到，便有。故当n>N时有 ，于是。这就证明了。若单调下降有下界， 则令，则就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则 。定理二证完。 定理二定理三： 只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集X 非空，且有上界。则，使得对，有。又R是全序集，对， 与有且只有一个成立。故,有与有且只有一个成 立。故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。X有上界，实数是X的上界。若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛盾。故，使得不是X的上界，是X的上界。则使得。 用的中点二等分，如果是X的上界，则取 ；如果不是X的上界，则取。继续用 二等分，如果是X的上界，则取；如果 不是X的上界，则取。如此继续下去，便得到两串序列 。其中都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且 单调下降有下界（例如）。并且（当时）。由单调上升 有上界知有存在，使得。下证。①事实上，对 实数系基本定理的等价性证明 摘 要 说明了确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理这六个定理是等价的.也就是说，以这六个定理中的任意一个作为公理都可以推出另外五个.本文把闭区间套定理作为公理，证明了这六个定理之间是相互等价的. 关键词 上、下确界、闭区间套、有限覆盖、收敛、等价性 在数学分析课程中我们学习了实数系的六个基本定理，即确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理和有限覆盖定理.实数系这六个基本定理是相互等价的，即以其中任何一个定理作为公理都可推出另外五个定理. 在《数学分析》教材中，一般都是以确界原理作为公理，然后去证明其余 的五个定理.我们现以“闭区间套定理”作为公理，然后去推证其余的五个定理，并证明这六个定理是等价的. 六个定理的顺序： ① 确界原理 ② 单调有界定理 ③ 闭区间套定理 ④ 致密性定理 ⑤ 柯西收敛原理 ⑥ 有限覆盖定理 按以下顺序给予证明： ③?⑥?④?⑤?①?②?③ 1 闭区间套定理?有限覆盖定理[]1 闭区间套定理 若闭区间列][{}n n b a ,满足： ①[]n n b a ,?[]11,++n n b a ，n =1,2,3,…； ②∞ →n lim ()n n a b -=0 ； 则存在唯一ξ，使得∞ →n lim n a =∞ →n lim n b =ξ，ξ是所有区间的唯一公共点. 有限覆盖定理 若开区间所成的区间集E 覆盖一个闭区间[]b a ,，则总可从E 中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[]b a ,. 证明 用反证法 设[]b a ,不能被E 中有限个区间所覆盖.等分区间[]b a ,为两个区间，则至少有一个部分区间不能被E 中有限个区间所覆盖，把这一区间记为 []11,b a .再等分[]11,b a ，记不能被E 中有限个区间所覆盖的那个部分区间为 []22,b a .照这样分割下去，得到一个区间列][{}n n b a ,，这区间列显然适合下面两 个条件： （i ） 每一[]n n b a ,皆不能被E 中有限个区间所覆盖； （ii ） []b a ,?[]11,b a ?[]22,b a ?…； （iii ）n b -n a = n a b 2-→0； 有条件（ii ）及（iii ），于是由闭区间套定理，必有唯一点ξ∈[]b a ,使n a →ξ， n b →ξ.按覆盖概念及定理所设条件，在E 中至少存在一个开区间，设为)(βα,，使 ξ∈)(βα, 即 α＜ξ＜β 有数列极限的性质知道，?正整数N ，当n ＞N 时，有 α＜n a ＜n b ＜β 即当n ＞N 时，有 []n n b a ,?)(βα, 也就是用E 中一个区间)(βα,就可覆盖所有形如[]n n b a ,﹙n ＞N ﹚的区间，与（i ）矛盾. 定理证毕 2 有限覆盖定理?致密性定理[]2 致密性定理 有界数列必有收敛的子列. 证明 设{}n x 为有界数列，a 是它的一个下界，b 是它的一个上界，于是下列两种情形之一成立： （i ） α∈[]b a ,，使在α的任何邻域中都有{}n x 的无穷多项；实数的完备性
第七章 实数的完备性
实数的基本定理
证明热力学第三定律的两种表述是等价的
向量和向量范数
实数系基本定理
向量范数
实数完备性基本定理相互证明
向量和向量范数
数学分析之实数的完备性
泛函数与范数的定义
实数完备性的等价命题及证明
实数的连续性公理证明确界存在定理
实数系基本定理的等价性证明