第3章 线性方程组解法 第2节 向量范数等价性证明
向量范数3-1,3-2,3-3
A
X AX
X x1 , x2 , , xn R n
T
试证上述函数是向量范数，称为向量的加权范数或椭圆范数。 证明 因为A是正定对称矩阵，故存在可逆矩阵P，使得
P T AP I
从而
A P
X
A
1 2 A
T 1
P P
T T 1 2
1
1 T
1 2
P 1 B T B
证明 易验证条件(i)和(ii)成立，现验证条件(iii)也 成立。 下面用到了Chauchy-Schwarz不等式。
x y
2 2
x y , x y ( x, x ) ( x, y ) ( y , x ) ( y , y )
x
2 2
2 x
2y2源自 y2 2定理对 x ( x , x ,, x )T C n C n R 分别定义三个函数 1 2 n
x
x
1
x
i 1
n i 1
n
i
1 2
1－范数，
)
2
( xi
2
2－范数(或Euclid范数)
x
max xi
1 i n
∞－范数(或最大值范数)。
它们均构成范数。 说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数，而对 于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。
AX
AX H A X H A X
即矩阵范数与向量范数相容
算子范数
定义 设
即由向量范数构造矩阵范数
和
分别是 C m 和 C n
范数等价判别定理的证明
范数等价判别定理的证明范数等价判别定理是泛函分析中的一个重要结果，它表明在有限维赋范空间中的所有范数是等价的。
以下给出范数等价判别定理的证明。
首先，设$X$是一个有限维赋范空间，记$n = \dim(X)$。
证明思路：我们需要证明任意两个范数$\|\cdot\|_a$和$\|\cdot\|_b$等价，即存在常数$c_1>0$和$c_2>0$使得对于任意的向量$x\in X$，有$c_1\|x\|_a \leq \|x\|_b \leq c_2\|x\|_a$。
首先证明$\|\cdot\|_a$和$\|\cdot\|_b$等价的充分性，即存在$c_2>0$使得对于任意的向量$x\in X$，有$\|x\|_b \leqc_2\|x\|_a$。
由于$X$是有限维空间，我们可以选取$X$的一组基$\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$。
对于任意的向量$x\in X$，我们可以将其表示为$x = \sum_{i=1}^n x_ie_i$。
其中$x_i$是标量。
我们要证明存在常数$c_2>0$使得$\|x\|_b \leq c_2\|x\|_a$成立。
由范数的定义可知，$\|x\|_a = \left(\sum_{i=1}^n|x_i|^a\right)^{\frac{1}{a}}$，$\|x\|_b = \left(\sum_{i=1}^n|x_i|^b\right)^{\frac{1}{b}}$。
考虑$\frac{1}{a}$和$\frac{1}{b}$之间的大小关系：若$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$，则对于任意的$i=1,2,\ldots,n$，有$|x_i|^a \geq |x_i|^b$，进而$\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^a\right)^{\frac{1}{a}} \geq \left(\sum_{i=1}^n|x_i|^b\right)^{\frac{1}{b}}$。
证明向量组等价的方法
证明向量组等价的方法摘要：1.向量组等价的定义和意义2.证明向量组等价的方法a.互相线性表示b.利用阶梯形矩阵c.求秩和行列式3.举例说明证明过程4.总结与展望正文：在线性代数中，向量组等价是一个重要的概念。
所谓向量组等价，指的是两个向量组具有相同的线性无关性质，即一个向量组可以用另一个向量组线性表示。
本文将介绍证明向量组等价的方法，并通过实例进行说明。
首先，我们来了解一下向量组等价的定义和意义。
向量组等价意味着两个向量组具有相同的信息含量，它们在线性空间中的地位是等同的。
例如，在三维空间中，一个向量组可以表示为一个点、一条直线或一个平面，而另一个向量组可以表示为另一个点、直线或平面，那么这两个向量组就是等价的。
等价关系有助于我们在线性代数中分析和处理复杂的问题，将问题简化为更易于理解的形式。
接下来，我们介绍证明向量组等价的方法。
方法一：互相线性表示要证明两个向量组等价，可以通过证明它们可以互相线性表示。
具体来说，如果向量组A可以线性表示为向量组B，即存在一个矩阵C使得A = BC，那么向量组A和B就是等价的。
反之，如果向量组B可以线性表示为向量组A，那么向量组A和B也是等价的。
方法二：利用阶梯形矩阵阶梯形矩阵是一种特殊的矩阵形式，它具有明确的线性关系。
通过将两个向量组构成的矩阵化为阶梯形矩阵，可以直观地判断它们之间的线性关系。
设向量组A和B构成的矩阵为C，如果C可以化为阶梯形矩阵，那么向量组A 和B就是等价的。
方法三：求秩和行列式根据线性代数的知识，两个矩阵等价当且仅当它们的秩相等且行列式值相等。
因此，我们可以通过计算向量组A和B所构成矩阵的秩和行列式，来判断它们是否等价。
如果它们的秩相等且行列式值相等，那么向量组A和B就是等价的。
以下举一个例子来说明证明过程。
设向量组A为[a1, a2, a3]，向量组B为[b1, b2, b3]。
首先计算向量组A 的秩，得到r(A) = 3。
然后计算向量组B的秩，得到r(B) = 3。
【全版】数值分析课件第三章线性代数方程组的直接解法3推荐PPT
例如 x x nx
2
1
2
性质4 向量范数的等价性具有传递性。
性质5 R n 的所有向量范数是彼此等价的。
性质6 （向量序列的范数极限）
设 x(k) Rn,则 lim x(k) 的x充要条0件是 k lki m xi(k)xi 0i1 ,2, ,n
即向量序列的范数收敛等价于向量分量收敛
二、 矩阵范数（/*Matrix Norm*/）
§3.5 向量范数与矩阵范数
一、 向量范数（/*Vector Norm*/）
D e f 1 设 • 是 Rn 的一R个映射，若对
xRn
存在唯一实数 x与之对应，且满足 可以推广到C n
正定性： x 0,xRn且 x 0x0
❖齐次性：xx, x R n , R
三角不等性： xyxy, x ,y R n
D e f 2 设 •是 Rnn的一R个映射，若对
ARnn
存在唯一实数 A与之对应，且满足
可以推广到C n n
正定性：A 0,ARnn且 A 0A0
❖齐次性： A A , A R n n , R
三角不等性： A B A B , A ,B R n n
相容性: A B AB A ,B R n n
x 则称 x 为 中R n向量 的范数。
R n 称为赋范线性空间
非负实值 函数
➢常用的几种向量范数：
n
设
x(x1,x2,
,xn)T
1-范数：
x 1
xi
i 1
❖ 2-范数：
n
x ( 2
xi2)12
(x,x)
i1
-范数：
x
max 1in
xi
上述3种向量范数统称为P-范数(或者Ho• •lder范数)
第3章 线性方程组解法 第2节 向量范数等价性证明
2 1
i 1
n
i 1
xi
nn xx ；
i 1
n
xj
2
nxj
2
n ||
x
||2
i 1
x
2
2 2
n
2
xi
i1 n
n xi
i 1
x
2
1
2 n
x
2
2
x
2
x 1
x
nx ,
，
1
nx ， 2
22
11
(3)
22
(a)
x
xj
n
(b) x 1
xi
n
xi
x
，
1
i1 n
xj nxj
现只验证定义4中条件(4). 由(5.7)，有
（5.7）
ABx
v
A v
Bx
v
A v
B
v
x
.
v
当 x 时0，有
ABx
v A B .
x
v
v
v
8
故
ABx
AB max
v A B .
v
x0
x
v
v
v
显然这种矩阵范数 依A赖于具体的向量范数 . x
v
v
也就是说，给出一种具体的向量范数 x，相应地就可得到 v
A
2
max x0
x
H AH Ax xH x
1/ 2
max ( AH A).
14
定义 设 A R的n特n 征值为 i (i , 1,2,, n) 称
为 A的谱半径.
(
A)
第三章-线性方程组和向量知识点
第三章、线性方程组与向量三、线性方程组知识点――知识结构图线性方程组的表达方程组形式11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩矩阵方程形式=Ax b向量线性运算形式1122n n x x x ααα+++=b （将常数项构成的向量解释成系数矩阵列向量组的线性组合）()12-=⎬⎭ξξA 0b ()11122s s k k k =⎫⎪+++=⎬⎪=ξξξξξA 0A 0A 0()())(1122n R n R k k k k ξξξξ--⎫+++=⎪→⎬A A 0A向量组、线性方程组、矩阵的关系图求解齐次线性方程组如何确定自由变量并赋值？○1对系数矩阵实施初等行变换，将其化为最简形矩阵； ○2每个非零行的非零首元对应的未知量确定为非自由未知量（()R r =A 个非自由未知量），剩下的()n R -A 未知量确定为自由未知量；○3每次给一个自由未知量赋值为1，其余的自由未知量赋值为0（共需赋值()n R -A 次）。
（见P110例1） 向量组的等价（扩展知识）向量组的等价是指：它们可以相互线性表示，它们所含有的向量个数可以不一样。
理解的关键还是认识到向量由向量组线性表示，以及如何表达（P 94 定义6）。
①含有相同个数向量的向量组的等价问题 （例：习题3.3的8、9题），关于向量组12s :,,,αααA ，向量组12s :,,,βββB 的等价，()()1212n s n s s s s s ,,,,,,βββααα⨯⨯⨯⇔=B =A K K（以P 95 习题3.3的8题为例）给出了向量的分量值，即给出了向量组对应的矩阵元素，那么424222⨯⨯⨯B =A K 与424222⨯⨯⨯=A B R 同时成立，则两个向量组等价；于是问题变换为矩阵方程()()111212122122x x ,,x x ββαα⎛⎫⎪⎝⎭=有解存在（其中()()1212,,,ββαα均不是方阵）。
4-1-2-3-4向量范数
A 0 且 A 0 A 0 A A C, A C mn
（3）三角不等式
AB A B
(4)相容性
AB A B A, B C mn
则 A 称为A的范数。
第17页，共50页。
矩阵范数的性质： (1) A A
(2) A B A B
矩阵范数同向量范数具有类似的性质，比如等价性：
Dn x x1, x2 ,, xn T x 1
知 A在x D n上取到最大值。
第22页，共50页。
最后证明 A 成为矩阵范数
正定性: 设 A 0, 则存在 x0 0 C n , 使 Ax0 0,
于是
A Ax0 0;
x0
Ax
Ax
齐次性: 由 A max
max
x0 x
x0
x
第8页，共50页。
定理 在向量空间C n中, 向量范数满足
lim X X
p
p
证明 当X=0时，结论显然成立。设
则
X
n
(
p i 1
xk
p
xi xk
p1
)p
xk
X
0, xk
max i
xi
n
(
xi
p1
)p
i1 xk
因为
n
xk p xi p n xk p i 1
故
n
1 (
xi
p1
1
) p n p 1( p )
则称矩阵范数与向量范数是相容的。
定理2 设 是 C上n的n 相容矩阵范数，则在 上存C 在n 与
相容 的向量范数
证明：任取一非零向量 C n 定义向量X的范数为
X X H X Cn
容易验证 是 C n 上的向量范数，并且
线性代数课件PPT第三章 线性方程组 S2 线性方程组的解法 (2)
a11 a12 a21 a22
a1r a2r 0
ar1 ar 2
arr
因此，增广矩阵B的前 r 个行向量是其行向量组 的一个极大线性无关组.
从而知，方程组(1)中后m－r个方程可用前 r 个方 程表出. 因此可消去（即是多余的），改写前 r 个方程
xr1 xr1, , xn xn 因 0 ，由Cramer法则得方程组(2)的唯一解 ：
x1 x1, x2 x2 , , xr xr
故( x1, x2 , , xr , xr1, , xn ) 就是方程组(1)的一个解.
这就证明了，当 rA rB 时方程组(1)有解.
9
定理2
充分性的证明过程也是解线性方程组的一般 规则. 当r<n时，解向量依赖于n-r个参数.
8
a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 ar1 x1 ar 2 x2
a1r xr b1 a1r1 xr1 a2r xr b2 a2r1 xr1
arr xr br arr1 xr1
a1n xn
a2n x(n2)
arn xn
方程组(1)与(2)是同解的. 对于任一组数
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
的系数行列式 D=|A|=|aij|≠0 时，存在唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
,, xnBiblioteka Dn D.5
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数列代替后所得到的 n 阶行列式，即
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(或C 上)的向量范数。 只验证三角不等式，并 且以“ ”范数为例。 2 证明： y || 即对x, y R n ,有|| x ||2|| x 2 || y ||2 。 2 y 事实上，|| x y ||2 ( x , x y) ( x, x) 2( x, y) ( y, y)， 由柯 西不等 式 x, y ) ||| x ||2 || y ||2 , 则 （ | Cauchy不等式 2 2 2 2 2 2 n n n || x y ||2 || x ||2 2 || x ||2 || y ||2 || y ||2 || x ||2 2 || x ||2 || y ||2 || y ||2 2 x i y i x i y i2 2 i 1 i 1 i 1 (|| x ||2 || y ||2 ) || x y ||2 || x ||2 || y ||2 。
（5.8）
.
接下来说明有一向量 x0 0 , 使
n
0
xn T 设 ai j ，取向量 x0 ( x1 , , ) , 其中
j 1
x j sgn( ai0 j ) ( j 1,2,, n).
显然
x0
1,
且 Ax0 的第 i0个分量为
a
j 1
n
i0 j
立，3应改为
x H A H Ax A 2 max H x 0 x x
1/ 2
max ( AH A) .
14
定义
设 A R nn 的特征值为 i (i 1,2,, n), 称
( A) max i
1i n
为 A的谱半径.
定理3 (特征值上界) 设 A R nn , 则 ( A) A ,
n n 则 定理19 设x R (或x C )， N x , N 1 x , N 2 x 是R n 上 n
注： 证“1”范数时，用 x i y i
i 1
n
xi yi 。
i 1 i 1
n
n
3. 范数的等价性 定理20 x, y R n，有 (1) || x || || x ||2 n || x || ； (2) || x ||2 || x ||1 n || x ||2 ； (3) || x || || x ||1 n || x || 。
n
i 1 i 1
i 1
i 1
1
2
注： R 上一切范数都等价（证 明见后）。
向量范数概念可以推广到矩阵.
2 视 nn 中的矩阵为 n 2 中的向量，则由 n上的2范数 R R R
可以得到 nn 中矩阵的一种范数 R
F ( A) A
F
n ai2 j , i , j 1
i 1
x x1 n x2 即 x2 2 x 1 n x 2； n (3) ( a ) x x j x i x 1， n i 1 n (b ) x 1 x i x j n x j n x ，
x nx 即 x x x n x 。 1 1
向量范数 1. 向量范数的定义 n n x 定义9（向量范数）对于向量 R 或x C 的某个实值非负 函数 x x ，若满足： N （1）正定性 x 0, x 0 x 0或记为 ； x 或 （2）齐次性 x ，其中 R( C )； （3）三角不等式 x y x y , x, y R n 或 C n 。 或模。 称N ( x) || x || 是R n 上或C n 一个向量范数 2. 常用的向量范数 T n n 定义10 设x ( x1 ,, xn ) R (或x C ) x y x y N （1）向量的“∞”范数： ( x ) || x || max x i ； 1 i n
n n
2 2 2 2 2 (b) || x ||2 x i x j n x j n || x || x n x , 2 i 1 i 1 x x n ； 即 x || x || || x ||2 n || x || n 2 2 2 2 2 n (a ) x 2 x i xi x 1 x x ， (2) 2 1 i 1 2 i 1 n 2 n 2 2 ( b ) x 1 x i n x i n x 2 x n x ，
x0 Bx0 B x0 ， B 1 与假设矛盾.
又由 ( I B)( I B) 1 I，有
16
( I B) 1 I B( I B) 1 ,
，相应地就可得
.
设 x R n , A R nn ，则
max aij
1in j 1
n
(称为A的行范数),
2.
A 1 max aij
1 jn i1
n
(称为 A的列范数),
9
3.
A
max ( AT A) 2
(称为A的2范数） .
其中 max ( AT A) 表示 AT A 的最大特征值. 证明 只就1，3给出证明，2同理. 1. 设 x ( x1 , , xn )T 0, 不妨设 A 0 . 记
2 2 2 2
( A Ax, x) ( x, x )
T
c
i 1 n i 1
n
2 i
1
2 i
c
1.
另一方面，取 x u1 ，则上式等号成立，故
A 2 max
x0
Ax x
2
2
1 max ( AT A) .
例 解
1 设 A 3
2 ，计算 A的各种范数. 4
F
即 A的谱半径不超过 A的任何一种算子范数(对 A
证明 设 是 A的任一特征值，
亦对).
x为相应的特征向量，
则 Ax x ，由相容性条件 (5.7) 得
x x Ax A x ,
注意到 x 0 , 即得 A
15
定理4 定理5
如果 A R nn 为对称矩阵，则 A
（4）向量的能量范数：设A R 为对称正定阵， R n , x n 1/ 2 N A ( x ) x A ( Ax, x ) ( a ij xi x j )1 2 称为向量的能量范数。
nn
i , j 1
n （2）向量的“1”范数：N 1 ( x ) || x ||1 x i ； n i 12 1/ （3）向量的“2”范数： 2 ( x ) x 2 ( x, x ) ( x i 2 )1 / 2； N
,
1 2
称为 A 的Frobenius范数.
A
F
显然满足正定性、齐次性及三角不等式.
n 如果矩阵 A R n的某个非负的
定义 (矩阵的范数) 实值函数
N ( A) A
, 满足条件
5
1.
2.
3. 4.
A 0 ( A 0 Ax 0 ) (正定条件),
cA c A , cR
定理19
范数的等价性
x, y R n，有
(1) || x || || x ||2 n || x || ； (2) || x ||2 || x ||1 n || x ||2 ； (3) || x || || x ||1 n || x || 。
A B A B AB A B .
n
(齐次条件);
（5.4）
(三角不等式);
则称 N ( A) R nn 上的一个矩阵范数(或模). 是 上面定义的 F ( A) A F 就是 nn上的一个矩阵范数. R 由于在大多数与估计有关的问题中，矩阵和向量会同 时参与讨论，所以希望引进一种矩阵的范数，它和向量范
2
( A).
且 如果 B 1 则 I B为非奇异矩阵， ，
( I B)
1
1 , 1 B
其中‖· ‖是指矩阵的算子范数. 证明 用反证法. 若 det( I B) 0, 则 ( I B) x 0
Bx 0 x0 1,
即存在 x0 0 使 Bx0 x0 , 有非零解， 故
t x
max xi ,
1in
max aij ,1in j 1n则Ax
max
1in
a
j 1
n
ij
xj
max aij x j
i j 1
n
t max aij .
i j 1
n
10
这说明对任何非零 x R n ，有
Ax x
. Ax0 x0
v
v
.
（5.6）
A
可以验证
A
满足定义4，所以 v
v
是 R nn 上矩阵的一
个范数，称为 A 的算子范数.
7
定理1
设
x
v
是 R n上一个向量范数， 则
A
是 R nn v
上矩阵的范数，且满足相容条件
Ax
v
Av x
v
.
（5.7）
证明 由(5.6)相容性条件(5.7)是显然的. 现只验证定义4中条件(4). 由(5.7)，有
A 1 max{ 1 3 , 2 4 } 6,