向量范数3-1,3-2,3-3
向量范数
计算方法
2
常用向量范数
设向量 x = ( x1 , x2 ,..., xn ) || x ||1 = ∑ | xi |
n i =1 n
T
|| x ||2 = ( ∑ | xi | ) = ( x , x ) = ( x T x )
i =1
1 2 2
1 2
1 2
|| x ||∞ = max{| xi |}
定义
设λi(i = 1,2 ,...,n)为矩阵 A的特征值 , 则称
1≤ i ≤ n
ρ ( A) = max{| λi |}
的谱半径。 为矩阵 A的谱半径。 矩阵A的谱半径 ρ ( A)不是A的一种范数 , 但易证
ρ ( A) ≤ A
定义2 定义2
若
Ax ≤|| A || ⋅ || x || ∀x ∈ R n , ∀A ∈ R n× n
称矩阵范数与向量范数是相容的. 称矩阵范数与向量范数是相容的. 相容的
2 − 1 例4 ： 设矩阵 A = − 2 4 , 求 || A ||1 , || A ||2, || A ||∞ 。 解： || A || = max{ 2+ | −2 |, | −1 | +4} = 5 1
1≤ i ≤ n
计算方法
T || || 例3：已知 x = (1, 2, − 3 ) , 求 || x ||1 ， x ||2 ， x ||∞
解： x
1
= x1 + x2 + x3 = 1+2+3= 6
2 2 x12 + x2 + x 3 = 1 + 4 + 9 = 14
x2=
x
∞
3-1,2,3向量范数
主要内容 一、向量范数 二、矩阵范数与算子范数 三、范数的应用
第一节 向量范数
主要内容： 1·向量范数的定义及几种常见的向量范数 2·向量范数的等价性
一、向量范数的定义
对于向量空间 C上n 的任意向量 x,
如果函数 Cn R 满足：
对应一个实值函数 x
1）正定性 x 0 且 x 0 x 0
d(x, y) x y
实例1 在向量空间C n中, 向量的长度是一种向量范数，
称为2-范数或欧氏范数。
n
1
x ( 2
xi 2 ) 2
i 1
x (x1, x2 , , xn )T C n
证明 易验证条件(i)和(ii)成立，现验证条件(iii)也成立。 下面用到了Chauchy-Schwarz不等式。
2）齐次性 x x , C
3）三角不等式 x y x y
则称 x为向量x的范数。
范数的性质： (1) x x
(2) x y x y
性质（1）利用范数的齐次性即可证明。 下面证明（2）。根据三角不等式，有
x xyy xy y
x y xy 对任意的 x , y C，n 可以利用范数定义向量间的距离如下：
n
x 1
xi
i 1
n
1
x ( 2
xi 2 ) 2
i 1
1－范数， 2－范数(或Euclid范数)
x
max
1in
xi
它们均构成范数。
∞－范数(或最大值范数)。
说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数，而对 于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。
x 1,2,3T
x 6 1
x 14 2
1-3范数
解：取
1 1 2 1 0 0 A 0 0 , B , AB 0 1 0 0 那么， 0 0 0 则可得出
0 0 0 0 , 0 0
f A f B 1 , f AB 2, f AB f A f B
其中 x k x1 , x2 , , xn
k
,
T
x x1 , x2 ,
, xn 。
T
向量收敛 分量收敛
范数收敛
1.3.3 矩阵范数
矩阵可以看做是一个向量
向量范数的概念直接推广到矩阵上？ 推广应考虑到矩阵的乘法运算
定义1.2
定义在Cm×n上的一个非负实值函数，记为
矩阵范数与向量范数不相容的例子：
取
1 则有 A 1 , 1 1 x x , A , 1 0 0 1
Ax 2 A 1 x
1,
而
故矩阵的 与向量的 不相容。
1
对于酉矩阵 U H U UU H I ，我们可有如下的结论：
x1 x2 x3
4
4
4
,
例：求向量 x 1, 2, 4 的１，2和∞-范数。
T
解：
x 1 1 2 4 7 ;
2 x 2 1 22 42 21
x max 1, 2, 4 4 。
1.3.2 向量范数的等价性
在 C n上可以定义各种向量范数，其数值大小一般不同。 但是在各种向量范数之间存在下述重要的关系
4 4
√4.
2 答： 1.中取 x1 0, x3 2 x2 2.中取 x1 0, x3 x2 5 故，1.和2.不满足非负性条件。
第三章 范数与极限§31范数
1 1 2 2 ， x x ， 1 1.0001 2 0 1 1 2 1 ， x x . 1 1.0001 2.0001 1
但若 A 换成
1 1 1 2 ，
j A a ， n重
而
I - A A = - a .
n
a e j
1 n
i 2 j n
， j 1,, n .
T
实 复，重 单，特征向量： a ： x 1, 0, , 0 ， n 个线性无关的。
UA
2 F
AV
2 F
A
2 F
.
2
A
2
max
Ax, y
x 2 y
2
x 0, y 0
max
x 2 y 2 1
Ax, y
2
；
2
AH
2
A 2 ； AH A
A 2.
3 设 A 非奇异，则
A
1 1
min
x 0
Ax x
三个常用范数
A 1 max
x0
Ax 1 x1 Ax x
2 2
；
A 2 max
x0
；
A max
x0
Ax x
.
矩 阵 范 数
定理 3.6 A 1 max
j
a
i 1
n
ij
（列和最大） max a j ，
j 1
推论：
1 设 U ， V
为酉矩阵，则
UAV
2 F
i 1 i i
n i 1
《高等数学》第三章 范数理论及其应用
例3、设 A
aij
C mn , x
mn
1,,n T
，证明
1
n n
2 2
A
m2
i 1
j 1
aij
是矩阵范数，且与 x 相容 2
证明：（1）～（2）成立，
设 Bmn ,划分 A a1,, an , B b1,, bn ，则有
则
x
也是 C n
中的一个向量范数。
证：1）设 A a1, a2 ,, an ，由假设知a1, a2 ,, an
线性无关。
x1
当 x0
Ax
a1 , , an
x2
a1 x1
an xn
0
xn
又因为 y 是 C m 中的一个向量范数，有 Ax 0
x y B x y Bx By x y
A
2
2
2
A
A
2010-12-6
10
例3：设 y 是 C m中的一个向量范数，给定矩阵 A C mn ，它的n个列向量线性无关。对于 C m
中的一个向量 x x1, x2 ,, xn T ，规定
x
Ax
Abl 1
A
m1
b1
1
A m1
bl 1
A m1
b1
1
bl
1
A B m1 m1
n
因此， A m1
aij
是矩阵范数，且与 x 相容 1
i, j1
2010-12-6
矩阵范数理论及其应用
n 2 2 x k k E ，成立着 A x k B x 。 k 1 k 1
证明： x
k 1 k
n
k
0 时，令 y
x
k 1
n
， f (1 , 2 ,
2 k
, n ) y ，则 f (1 , 2 ,
p p
n 定理 1：对于 n 维向量 x C ， lim x
x 。
注：几何意义上，向量 PQ 的 2-范数、 ∞-范数和1-范数分别是斜边 PQ 长度、直角边 PR 长 度以及两直角边 PR 和 RQ 的长度之和。
三、范数的等价性
定义 3：对任意 x V ，满足不等式 C1 x
x
j 1
设 A ( aij ) C
n
n n
， x (1 , 2 ,
, n )T C n ， 令 Ax y (1 ,2 ,
,n )T ， 其 中
,n。 i a i j j， i 1, 2,
j 1
Ax
y
max i max aij j max ( aij j ) x max aij 。
中范数，且 P, Q C
F
都是酉矩阵，则
n n
PA
F
AQ
F
A F ，即给 A 左乘或右乘以酉矩阵后其
值不变 (在 A R
时P 和
Q 都是正交矩阵 )。
证明： PA
F
[tr ( AH P H PA)] 2 [tr ( AH A)] 2 A F 。
1
1
由 A
F
( aij )
向量的二范数公式
向量的二范数公式向量的二范数公式是矩阵理论中的一种基本公式，用于求解向量的长度或模长。
本文将详细讲解二范数公式的定义、计算方法以及在实际应用中的作用。
1. 二范数公式的定义向量的二范数公式，也称为欧几里得范数公式，是指在二维或三维空间中计算向量长度的公式。
其定义如下：对于在n维空间中的向量x=(x1,x2,...,xn)，其二范数的定义是：||x||2 = (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) ^ 1/2其中||x||2表示向量x的二范数，^表示求幂运算，1/2表示开方运算。
2. 二范数公式的计算方法为了更好的理解二范数公式的计算过程，我们以一个二维向量x=(3,4)为例进行说明。
首先，我们需要将向量x的坐标平方，并将其求和，即：x1^2 + x2^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25然后，再将25开方即可得到向量x的二范数，即：||x||2 = (3^2 + 4^2) ^ 1/2 = 5同样的，对于任意一个n维向量x，其二范数的计算方法也是类似的。
3. 二范数公式在实际应用中的作用二范数公式在科学计算、信号处理、机器学习等领域中得到了广泛应用。
以下是其中一些应用：(1) 求解向量的长度或模长作为向量的基本概念，向量的长度或模长是向量运算过程中不可或缺的一部分。
二范数公式提供了一种简单而有效的方法来计算向量的长度或模长，可以帮助计算机在处理向量时更加高效准确。
(2) 计算相似性在机器学习领域中，相似性计算是一种基本的技术。
在这个过程中，二范数公式可以用来计算两个向量之间的相似度，从而帮助机器学习算法更好地识别和分类数据。
(3) 防止数据溢出在科学计算领域中，二范数公式可以用来防止数据的溢出。
这是因为向量的二范数计算结果的幂次很大，而且可能会超出计算机程序所能处理的范围，导致计算结果不准确甚至无法计算。
为了避免这种情况，可以使用二范数公式来对数据进行规范化处理，从而减少数据溢出的概率。
范数的三个条件
范数的三个条件1.引言1.1 概述概述部分的内容：范数是数学中一种度量向量的大小的方式。
它是向量空间中的一种函数，将向量映射为非负实数。
在实际应用中，范数经常被用来衡量向量的长度、大小或距离。
范数的概念在数学、物理、计算机科学等领域有着广泛的应用和重要的作用。
本文将介绍范数的三个条件。
在讨论这三个条件之前，我们将先对范数进行定义和讨论其基本性质。
然后，我们将详细讲解范数的三个条件，这些条件对于确定一个函数是否能称为范数至关重要。
最后，我们将总结范数的三个条件，并探讨应用范数的意义和价值。
通过学习本文，读者将能够对范数有更深入的理解，并能够应用范数解决实际问题。
无论是在数学研究中还是在工程应用中，范数都是一个十分重要的工具，对于理解和描述向量空间中的各种性质和关系具有重要意义。
接下来，我们将详细介绍范数的定义和基本性质。
1.2 文章结构论文结构的目的是使读者能够清晰地理解和掌握论文的主要内容和论证过程。
文章结构一般包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分是论文的开篇，用来引入论文的主题并说明研究的背景、意义和目的。
在本文中，引言部分的目的是介绍范数及其基本性质，并指出本文将重点讨论范数的三个条件。
正文部分是论文的核心内容，用来详细阐述和论证研究问题。
在本文中，正文部分将重点讨论范数的三个条件。
首先，将介绍范数的定义和基本性质，为读者建立起相关的基础知识。
然后，将详细分析并讨论范数的三个条件，分别从数学定义和性质的角度进行阐述和论证。
结论部分是论文的总结和回顾，用来归纳研究结果、总结讨论及提出展望。
在本文中，结论部分将对范数的三个条件进行总结，并强调范数在实践中的意义和价值。
同时，也可以对范数的应用领域进行展望，指出可能的研究方向和未来可探索的问题。
通过以上结构安排，读者可以从文章的标题、目录和各部分的内容中清晰地了解到本文的主要内容和论证结构，有助于读者理解和把握文章的逻辑性和连贯性。
1.3 目的本文的主要目的是探讨范数的三个条件。
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A
X AX
X x1 , x2 , , xn R n
T
试证上述函数是向量范数，称为向量的加权范数或椭圆范数。 证明 因为A是正定对称矩阵，故存在可逆矩阵P，使得
P T AP I
从而
A P
X
A
1 2 A
T 1
P P
T T 1 2
1
1 T
1 2
P 1 B T B
证明 易验证条件(i)和(ii)成立，现验证条件(iii)也 成立。 下面用到了Chauchy-Schwarz不等式。
x y
2 2
x y , x y ( x, x ) ( x, y ) ( y , x ) ( y , y )
x
2 2
2 x
2y2源自 y2 2定理对 x ( x , x ,, x )T C n C n R 分别定义三个函数 1 2 n
x
x
1
x
i 1
n i 1
n
i
1 2
1－范数，
)
2
( xi
2
2－范数(或Euclid范数)
x
max xi
1 i n
∞－范数(或最大值范数)。
它们均构成范数。 说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数，而对 于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。
AX
AX H A X H A X
即矩阵范数与向量范数相容
算子范数
定义 设
即由向量范数构造矩阵范数
和
分别是 C m 和 C n
mn
A C 上的同种类型的向量范数，
A max
x0
定义 C mn 上的非负实值函数
Ax x
max Ax ,
x
1
于是
齐次性: 由 A max x 0
Ax
x
max
x 0
x 0
Ax
x
x A;
max
Ax
三角不等式和相容性：
n x C A B 对于矩阵 存在 1
x1 1 满足
A B ( A B) x1 Ax1 Bx1 Ax1 Bx1 ( A B)
成立 ai bi [ ai ] [ bi ]
i 1 i 1 i 1 n n p
1 p
a a1 , a2 ,, an , b b1 , b2 ,, bn
n q
1 q
利用上面的两个引理可以证明：在向量空间 Cn中，有下面的范数：
x
p
( xi )
p i 1
A 2 max ( A H A)
lim X
p
p
xk max xi X
i
说明：我们也可以通过已知的范数构造新的向量范数.
例 设A C mn是列满秩矩阵， 是C m上的范数，则
x
是C n上的范数 .
Ax , x C n
例 设A是n阶正定实对称矩阵，在向量空间Rn中, 定 1 义向量函数为 T 2
根据常用的向量1-范数，2-范数及 -范数得到相应的矩 阵算子范数
A 1 max aij
1 j n i 1 m
列和范数
A 2 max ( A H A)
1 2
谱范数
A max aij
1i m j 1
n
行和范数
谱范数使用起来不方便，但它却有一些特殊的性质，在理 论推导中非常重要。
xi 当X=0时，结论显然成立。设 X 0, x k max i
X
p
( x k
i 1
n
p
xi xk
p
p
) x k (
i 1
n
xi xk
p
)
1 p
xk
1 (
i 1 n
p
xi
i 1
p 1 p
n
n xk
1 p
p
故
xi xk
) n 1( p )
所以
对 A, B
存在向量 x2 , x2 1
满足
AB ( AB) x2 A Bx2 A B x2
从而
AB A B
我们称由(D1) 式所定义矩阵范数为由向量范数诱导 的矩阵范数，也称矩阵的算子范数。
A max Ax ,
x
1
( D1 )
说明：由向量导出的矩阵范数是相容范数
i, j
n H 1 2 i 1
1 2
( i ( A A))
称范数 定理1
F
为Frobenius范数或简称F－范数
矩阵Frobenius范数是酉不变的。
mn
mm nn U C V C 则对任意酉矩阵
即设 A C
成立 UAV
F
A
F
对于 C
mn
m n C , C 的矩阵范数与 上的同类向量范数，如果有
与
，如果存在常数ｍ和Ｍ
(0 m M ) 使得 m A A
则称范数
M A
与
等价
在 C nn 上常用的矩阵范数有：
A
AF
m1
aij
i, j
2
A
aij i, j
tr AH A
1 2
m
n max aij
计算 A 1 , A 2 , A , A
F
A 1 max aij 5 1 j n
i 1
m
A max aij 5 1i m
j 1
1 2
n
A
F
2 aij 23 i, j
因为
5 0 0 H A A 0 9 6 0 6 9
对于矩阵谱范数有下面的性质：
定理3 设 A C mn 则
(1) A H
2
A2
（2）2-范数是酉不变的
1 , 2 ,, n 是A的特征值，则 （3）若矩阵A是正规矩阵，
A 2 max j
j
2 1 0 例：设 A 0 2 3 1 2 0
M x
2
n C 再利用范数等价的传递性可知： 上的任意两个范
向量范数的等价性表明：按不同向量范数定义的向量的收敛性 具有一致性。
注：对于无穷维线性空间，没有这个性质，如， 对于 C[0，1]上的如下两范数
f ( x)
2 2 0 f ( x) dx 1 1 2
f ( x)
( D1 )
则 A 是矩阵A的范数并且与
相容。
为了书写简明，均不注明范数属于哪个空间，由范数 中的矩阵(或向量)加以区别） 首先由定义可知
A
Ax x
, 即
Ax
A x
再证明定义的第二个等号成立。记
y x x
x0
则
y 1
x max max A max Ay max Ax x 0 x 0 y 1 x 1 x x
x 1,2,3
T
x1 6
x 2 14
x
3
引理3.1.1
如果实数
p 1, q 1,
1 1 1 p q
则对于任意非负实数a，b，成立
a p bq ab p q
lder 不等式） o 引理3.1.2（ H 如果实数 p 1, q 1, 1 1 1 则对于任意数组 p q
x y
x y
n 对任意的 x , y C ，可以利用范数定义向量间的距离如下：
d ( x, y) x y
实例1
在向量空间C n中, 向量的长度是一种向量范数， 称为2-范数或欧氏范数。
x
2
( xi
i 1
n
2
)
1 2
x ( x1 , x2 ,, xn )T C n
n C 首先任一向量范数是 上的一个连续函数
定义Dn是C n的单位球面(有界闭集)
Dn x ( x1 , x2 ,, xn )T C n
x 2 1
x 0
x Dn x2
因为
是连续函数，
故它在Dn上取到最大值m和最小值M
m
x x2
x x
2
M
mx2 x
数都等价。
AX A X
A C mn , X C n
则称矩阵范数与向量范数是相容的。 定理2 设 是 C 上的相容矩阵范数，则在 C n 上存 在与 相容的向量范数
n n
证明：任取一非零向量 C
n
定义向量X的范数为
X
容易验证
X H
n
X C n
是 C 上的向量范数，并且
范数等价性
对于两个向量范数
与
，如果存在常数ｍ和Ｍ
(0 m M)
则称范数
使得 m x
与
x
M x
等价
容易证明：向量范数的等价具有自反性、对称性和传递性.
定理
向量空间 C n 中的任意两个向量范数等价。
n C 说明：我们证明 上的任一范数都与2-范数等价，