第五章 范数,序列,级数
第五章 范数,序列,级数
第五章范数,序列,级数§5.1 向量范数Holder不等式与Minkowski不等式/p+v/q
Holder不等式Minkowski不等式
∞-范数的性质同一向量的三种范数之间的大小关系向量范数的等价
按范数收敛按范数收敛续§5.2 矩阵范数
矩阵的向量范数不一定是矩阵范数矩阵范数的例子
矩阵Frobenius范数Frobenius范数与向量2-范数相容矩阵范数的等价性§5.3 诱导范数(算子范数)
向量范数诱导的矩阵范数(算子范数)向量范数诱导的矩阵范数(算子范数)矩阵p-范数矩阵谱范数
矩阵的谱半径矩阵的范数和谱半径的关系正规矩阵的谱范数等于其谱半径矩阵范数小于1的方阵§5.4 矩阵序列与极限
矩阵(向量)序列极限的性质矩阵序列极限的性质(4)的证明矩阵序列按范数收敛的概念矩阵序列收敛与按范数收敛等价
方阵收敛于零的充要条件续判断矩阵序列X的敛散性§5.5 矩阵序列与极限正项级数的一些性质
矩阵级数绝对收敛的充要条件矩阵幂级数的概念
矩阵幂级数绝对收敛的充分条件矩阵幂级数收敛判别举例
矩阵幂级数绝对收敛的充要条件的注矩阵幂级数收敛的充要条件应用举例。
矩阵分析 - 北京理工大学研究生院
课程名称：矩阵分析一、课程编码：1700002课内学时： 32 学分： 2二、适用学科专业：计算机、通信、软件、宇航、光电、生命科学等工科研究生专业三、先修课程：线性代数，高等数学四、教学目标通过本课程的学习，要使学生掌握线性空间、线性变换、Jordan标准形，及各种矩阵分解如QR分解、奇异值分解等，正规矩阵的结构、向量范数和矩阵范数、矩阵函数，广义逆矩阵、Kronecker积等概念和理论方法，提升研究生的数学基础，更好地掌握矩阵理论，在今后的专业研究或工作领域中熟练应用相关的矩阵分析技巧与方法，让科研结果有严格的数学理论依据。
五、教学方式教师授课六、主要内容及学时分配1、线性空间和线性变换（5学时）1.1线性空间的概念、基、维数、基变换与坐标变换1.2子空间、线性变换1.3线性变换的矩阵、特征值与特征向量、矩阵的可对角化条件2、λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形（4学时）2.1 λ-矩阵及Smith标准形2.2 初等因子与相似条件2.3 Jordan标准形及应用；3、内积空间、正规矩阵、Hermite 矩阵（6学时）3.1 欧式空间、酉空间3.2标准正交基、Schmidt方法3.3酉变换、正交变换3.4幂等矩阵、正交投影3.5正规矩阵、Schur 引理3.6 Hermite 矩阵、Hermite 二次齐式3.7.正定二次齐式、正定Hermite 矩阵3.8 Hermite 矩阵偶在复相合下的标准形4、矩阵分解（4学时）4.1矩阵的满秩分解4.2矩阵的正交三角分解（UR、QR分解）4.3矩阵的奇异值分解4.4矩阵的极分解4.5矩阵的谱分解5、范数、序列、级数（4学时）5.1向量范数5.2矩阵范数5.3诱导范数（算子范数）5.4矩阵序列与极限5.5矩阵幂级数6、矩阵函数（4学时）6.1矩阵多项式、最小多项式6.2矩阵函数及其Jordan表示6.3矩阵函数的多项式表示6.4矩阵函数的幂级数表示6.5矩阵指数函数与矩阵三角函数7、函数矩阵与矩阵微分方程（2学时）7.1 函数矩阵对纯量的导数与积分7.2 函数向量的线性相关性7.3 矩阵微分方程(t)()() dXA t X t dt=7.4 线性向量微分方程(t)()()() dxA t x t f t dt=+8、矩阵的广义逆（3学时）8.1 广义逆矩阵8.2 伪逆矩阵8.3 广义逆与线性方程组课时分配说明：第一章的课时根据学生的数学基础情况可以调整，最多5学时，如学生线性代数的基础普遍较高，可以分配3学时，剩余2学时可在最后讲解第九章部分内容(Kronecker 积的概念和基本性质)。
sequences_and_series数学讲义_概述及范文模板
sequences and series数学讲义概述及范文模板1. 引言1.1 概述在数学领域中，序列和级数是重要的概念，它们在许多实际问题的建模和解决中起着至关重要的作用。
序列由一系列按照特定规律排列的数构成，而级数则是将序列中的数相加得到的结果。
这些概念被广泛应用于计算机科学、物理学、经济学等多个领域。
本篇文章将深入介绍序列和级数的基本定义、性质以及相关定理。
通过阐述这些重要概念，读者将能够更好地理解它们在实际问题中的运用，并且掌握一些常见的求解方法。
1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分将对文章整体进行简要介绍，包括序列和级数概念的概述、本文目的以及文章结构。
正文部分将详细阐述序列和级数的基本概念、性质以及求解方法。
每个章节将围绕一个特定主题展开，结合范例和推导过程深入讲解相关知识点。
结论部分将对全文进行总结，并提供一些进一步学习的建议和参考资料。
1.3 目的本文的目的在于引导读者全面了解序列和级数的概念、定义和性质，并掌握一些常用的解题方法。
通过对本文内容的学习，读者将能够应对实际问题中涉及序列和级数的计算及分析，并进一步拓展数学思维和推理能力。
在阅读本文之前，读者需要具备一定的数学基础知识，包括初等代数、函数以及各种基本运算规则等。
这些基础将有助于更好地理解和应用本文中所涉及到的概念和定理。
总之，希望本文能为读者提供一个扎实而全面的关于序列和级数的讲义，在深入研究该领域或解决实际问题时起到指导作用。
接下来我们将进入正文部分，详细介绍序列和级数相关知识。
2. 正文在数学中，序列和级数是重要的概念。
序列是一组按照特定顺序排列的数，而级数则是将序列中的所有项进行求和得到的结果。
本文将详细介绍序列和级数的性质、定义以及其重要应用领域。
首先，我们来看序列。
一个序列可以由各种规则生成，例如公式、递推关系或某种算法。
每个序列包含一系列有限或无限个数字，并按照特定的次序排列。
其中，有限序列是指元素数量有限的序列，而无限序列则是指元素数量无限的序列。
泛函分析的基本概念与空间性质
泛函分析的基本概念与空间性质泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的空间以及这些函数构成的空间的性质。
本文将介绍泛函分析的基本概念和一些常见的空间性质。
一、泛函分析的基本概念1. 线性空间：线性空间是指具有加法和数乘两种运算，并满足一些基本性质的集合。
在泛函分析中，函数的集合常常构成一个线性空间。
2. 泛函：泛函是定义在线性空间上的一个实值函数，即将线性空间中的元素映射到实数域上。
泛函可以将一个函数映射到一个实数，或者将一个向量映射到一个实数等。
3. 范数：范数是泛函分析中用来度量向量“大小”的一种方法。
在线性空间中，范数需要满足非负性、同一性、齐次性以及三角不等式等性质。
范数可以衡量向量的长度或大小。
4. 完备性：在泛函分析中，完备性是指一个空间中的柯西序列收敛到空间中的一个元素。
完备性是保证泛函分析中许多重要定理成立的基础。
二、常见的空间性质1. 紧性：紧性是指空间中的任意序列都有收敛子序列的性质。
在泛函分析中，紧性是一个非常重要的性质，它与完备性和有界性等概念密切相关。
2. 可分性：可分性是指一个空间中存在一个可数集合，该集合在空间中稠密。
可分性是泛函分析中的一个重要性质，它保证了许多关键定理的存在性和可推广性。
3. 连续性：连续性是指泛函在某个点上的微小变化引起其函数值的微小变化。
在泛函分析中，连续性是一个重要的性质，它与极限、收敛等概念密切相关。
4. 可逆性：可逆性是指一个泛函在某个空间中的函数上有左逆元素。
可逆性是泛函分析中的一个重要概念，它在解决方程组和优化问题等方面具有重要应用。
此外，泛函分析还涉及到拓扑结构、对偶空间、复数域上的泛函分析等内容，这些内容超出了本文的范围。
三、结论泛函分析的基本概念和空间性质是该学科的重要基础。
通过对线性空间、泛函、范数、完备性等概念的理解，我们可以更好地研究函数的性质、解决问题以及推导出更一般化的结论。
了解常见的空间性质，如紧性、可分性、连续性和可逆性等，可以帮助我们更深入地理解泛函分析，并应用于实际问题中。
第五章 Hilbert空间理论-黎永锦
第5章 Hilbert 空间只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡.Hilbert D .(希尔伯特)(1862-1943,德国数学家)Hilbert 空间在历史上比赋范空间出现得早,2l 是最早提出来的Hilbert 空间,它是 1912年Hilbert D .在研究积分方程时给出的,而Hilbert 空间的公理化定义直到1927年才由Neumann V J ..在量子力学的的数学基础这一论文中给出,但它的定义包含了可分性的条件,llich F Lowig H Re .,.和Riesz F .在1934年指出,对于绝大部分理论,可分性是不必要的,因此可分性的条件就去掉了.5.1 内积空间在2R 中,把一个点看成一个向量,对于2R 的任意两个点),(),,(2121y y y x x x ==,定义内积2211),(y x y x y x +=,则可把向量的垂直、交角、投影等用内积来刻画,并且内积具有很好的性质.定义 5.1.1 设X 是线性空间,若存在X X ⨯到K 的一个映射,使得对任意X z y x ∈,,, 有（1） ),(),(x y y x =；（2） ),(),(),(z y z x z y x βαβα+=+；（3） 0),(≥x x , 且0),(=x x 当且仅当0=x 时成立.则称X 内积空间.在.}C ,)||(,|){(21212为复数这里+∞<∈=∑∞=i ii i x C x x l 上,定义内积为∑∞==1),(i i i y x y x ,则明显地,2l 是一个内积空间.n R 中的S c h w a r C a u c h y -不等式可以追溯Lagrange 和Cauchy ,积分形式的S c h w a r z C a u c h y -不等式是ky Bouniakows 在1859年和Schwarz 在1885证明的.2l 中的S c h w a r z C a u c h y -不等式则是Schmidt 在1908年得到的.抽象的Schwarz Cauchy -不等式是Neumann von 在1930年证明的.在内积空间X 中,有下面的Schwarz Cauchy -不等式成立.定理5.1.1(Schwarz Cauchy -不等式) 若X 是内积空间,则对任意X y x ∈,,有),(),(|),(|2y y x x y x ⋅≤证明 明显地,只须证明0≠y 时不等式成立.对于任意0,≠∈y K λ,有2||),(}),Re{(2),(),(λλλλ⋅++=++y y y x y x y x y x 取),(),(y y y x -=λ, 则 0),(),(|),(|),(|),(|2),(222≥+-y y y y y x y y y x x x 因此),(),(|),(|2y y x x y x ⋅≤.利用S ch wa r z Ca u ch y -不等式,可以证明任意的内积空间X 都可以定义范数),(||||x x x =,使之成为赋范空间.定理5.1.2 设X 是内积空间,),(||||x x x =,则||||⋅是X 的范数.证明 由内积的定义可知0||||=x 时,有0=x . 由于),(||),(),(2x x x x x x λλλλλ==因此,||||||),(||),(||||x x x x x x λλλλλ===.对于任意X y x ∈,,由Cauchy 不等式,有),(),(),(2),(),()],Re[(2),(),(||||21212y y y y x x x x y y y x x x y x y x y x ++≤++=++=+ 因而||||||||||||y x y x +≤+,所以||||⋅是X 的范数.由上面定理可知,对于任意内积空间,),(||||x x x =是X 的范数,一般称这一范数为内积),(y x 诱导的范数,在这一范数的意义下,可以把内积空间X 看成赋范空间||)||,(⋅X ,这样的内积空间X 上可以使用赋范空间||)||,(⋅X 的所有概念,如序列的收敛和子集的列紧性、完备性等.定义 5.1.2 若内积空间X 在范数),(||||x x x =下是B a n a c h 空间,则称X 是Hilbert 空间.容易证明,2l 是Hilbert 空间. 内积空间还具有许多很好的性质.定理5.1.3 设X 是内积空间,若y y x x n n →→,,则),(),(y x y x n n →.证明 由于 |||||||||||||||||),(||),(||),(),(||),(),(||),(),(|y y x y x x y y x y x x y x y x y x y x y x y x n n n n n n n n n n n n -⋅+⋅-≤-+-=-+-≤-因此y y x x n n →→,时,有),(),(y x y x n n →.不难证明,对于内积空间X ,有如下的极化恒等式成立.定理5.1.4 设X 是实内积空间,则对任意X y x ∈,,有)||||||(||41),(22y x y x y x --+= 定理5.1.5 设X 是复内积空间,则对任意X y x ∈,,有)||||||||||||||(||41),(2222iy x i iy x i y x y x y x --++--+=由于内积空间具有很好的几何直观性,而每一个内积空间都可以引入范数),(||||x x x =, 使之成为赋范空间,因此可以考虑如下问题.问题 5.1.1 对于任意赋范空间X ,可否定义内积使之成为内积空间,且满足),(||||x x x = ?例如,在赋范空间1l 中,对于任意1,l y x ∈,定义∑∞==1),(i i i y x y x ,则),(y x 是否为 1l 的内积,并满足),(||||x x x =？定理 5.1.6 设X 是赋范线性空间,则在X 可以定义内积),(,使之成为内积空间,且),(||||x x x =的充要条件为对任意X y x ∈,,有)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++证明 若X 可以定义内积,使之成为内积空间,且),(||||x x x =,则2222||||2||||2),(2),(2),(),(||||||||y x y y x x y x y x y x y x y x y x +=+=--+++=-++反过来,若对于任意X y x ∈,,有)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++.为了简明起见,这里只证X 是实赋范空间的情形.令 )||||||(||41),(22y x y x y x --+=,则 （1） ),(),(x y y x =；（2） 0),(≥x x 且0),(=x x 且当仅当0=x ;（3） 对于任意X z y x ∈,,,有)]||2||||)2((||2)||2||||)2((||2[41])||2)2(||||2)2((||)||2)2(||||2)2([(||41)||)(||||)((||41),(2222222222y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x z y x z y x z y x +++--++++=+--++++-+-+-+++++++=-+-++=+ )||2||||2(||2122z y x z y x -+-++= 由于)||2||||2(||21)]||2||||2(||2)||2||||2(||2[41])||2)2(||||2)2((||)||2)2(||||2)2([(||41)||||||||||||||(||41),(),(22222222222222z y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x z y z y z x z x z y z x -+-++=-+-+--+++=---++-+-+---+++-+++=--++--+=+ 因此,),(),(),(z y z x z y x +=+.对于任意X y x R ∈∈,,λ,令),()(y x f λλ=,则)(λf 为连续函数,且)()()(2121λλλλf f f +=+,因此)(λf 是线性的,即λλ⋅=)1()(f f ,因而),(),(y x y x λλ=. 由222||||)||||||(||41),(x x x x x x x =--+=可知),(||||x x x =,因此),(y x 是X 上的内积,且),(||||x x x =.在上面定理的证明中,当X 是复赋范空间时,令)||||||||||||||(||41),(2222iy x i iy x i y x y x y x --++--+=, 则可证明),(y x 就是X 上的内积,且满足),(||||x x x =.由以上定理可知,一般的赋范线性空间||)||,(⋅X 不一定可以定义内积),(⋅⋅,使之成为内积空间,且满足),(||||x x x =.例 5.1.1 在∞l 中,取),0,1,1(),,0,0,1,1( -==y x ,则1||||,1||||==y x ,但2||||||||=-=+y x y x ,因此)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +≠-++,所以在∞l 上不能定义内积,使得∞l 成为内积空间,且满足),(||||x x x =.利用前面定理,还可以证明内积空间一定是严格凸的.定理5.1.8 设X 是内积空间,则X 一定是严格凸的赋范空间.证明 对于任意X y x ∈,,若y x ≠,且1||||||||==y x ,则由 )||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++可知4||||4||||22<--=+y x y x ,因而1||2||<+y x ,所以X 是严格凸的.5.2 投影定理内积空间是n R 的自然推广,在内积空间X 上,可以把向量空间n R 的正交和投影等概念引进来.定义5.2.1 设X 是内积空间,X y x ∈,,若0),(=y x ,则称x 与y 正交,记为y x ⊥. 若X M X x ⊂∈,,且对任意M y ∈,有0),(=y x ,则称x 与M 正交,记为M x ⊥.若对任意N y M x ∈∈,,都有0),(=y x ,则称M 与N 正交,记为N M ⊥.若X M ⊂,则称}|{M x X x M ⊥∈=⊥为M 的正交补.例题 5.2.1 设]1,1[-C 为[-1, 1]上的实连续函数全体,内积为⎰-=11)()(),(dt t y t x y x ,若M为[-1, 1]上的实连续奇函数全体,试证明M 的正交补为[-1, 1]上的实连续偶函数全体.证明 (1) 若y 为[-1, 1]上的实连续偶函数,则对所有,M x ∈)()(t y t x 都是[-1, 1]上的实连续奇函数,从而0)()(),(11==⎰-dt t y t x y x ,因此⊥∈M y . (2) 反过来，若⊥∈M y ，令)()()(t y t y t z --=,则)()()()(t z t y t y t z -=--=-,从而)(t z为奇函数,因此M z ∈,所以0),(=z y .由于)()()()()()]()([)(2t z t y t z t y t z t y t y t z --+=--=,因此 0),(),()()()()()(1111112=+=--+=⎰⎰⎰---z y z y dt t z t y dt t z t y dt t z从而 0)]()([112=--⎰-dt t y t y 由)(t y 是连续函数可知)()(t y t y -=,即)(t y 一定是偶函数.由(1)和(2)可知,M 的正交补为[-1, 1]上的实连续偶函数全体.明显地,由以上的定义可以看出下面定理成立.定理5.2.1 设X 为内积空间,X M X x ⊂∈,,则（1） 当y x ⊥时,有222||||||||||||y x y x +=+；（2） 当y x ⊥且z x ⊥时,有)(21z y x λλ+⊥对于任意K ∈21,λλ都成立；（3） 当N M ⊥时,有⊥⊂N M ,且⊥⊂M N ；（4） 当N M ⊂时,有⊥⊥⊃N M ；（5） }0{⊂⊥M M ,对任意X M ⊂成立.定理5.2.2 设X 是内积空间,X M ⊂,则⊥M 是X 的闭线性子空间.证明 对于任意 ⊥∈M y x ,,及M z ∈,有 0),(=z x 且 0),(=z y因此,对任意 K ∈βα,,有0),(),(),(=+=+z y z x z y x βαβα故⊥∈+M y x βα,即⊥M 是线性子空间.若x x M x n n →∈⊥,,则对任意M z ∈,有0),(lim ),(==∞→z x z x n n , 因此⊥∈M x ,所以,⊥M 是X 的闭线性子空间.定理5.2.3 设X 是内积空间,X M ⊂,则⊥⊥=M M span ))((.证明: 对于M M span ⊃)(因此⊥⊥⊂M M span ))((.反过来,对任意⊥∈M x ,有⊥⊂}{x M ,由上面定理可知⊥}{x 是闭子空间, 故⊥⊂}{x M span ,因而⊥∈))((M span x ,所以⊥⊥⊂))((M span M ,从而⊥⊥=M M span ))((. 定义 5.2.2设X 是内积空间,M ,N 是X 的线性子空间,若N M ⊥,则称},|{N y M x y x H ∈∈+=为M 与N 的正交和,记为N M H +=.如在2R 中,取}|),0{(},|)0,{(2211R x x N R x x M ∈=∈=,则N M ⊥,且N M R +=2.定义5.2.3 设M 是内积空间X 的线性子空间,X x ∈,若存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0则称0x 为x 在M 上的投影.在3R 中,对},|)0,,{(2121R x x x x M ∈=,及任意 X x x x x ∈=),,(321,有⊥∈=∈=M x y M x x x ),0,0(,)0,,(3210,使得y x x +=0即0x 为x 在M 上的投影.定理5.2.4 设X 是内积空间,M 是X 的子空间,X x ∈,若0x 是x 在M 上的投影,则||||inf ||||0z x x x Mz -=-∈ 证明 由于0x 是x 在M 上的投影,因此M x ∈0且M x x ⊥-0,故对于任意M z ∈,有M z x ∈-0,因而z x x x -⊥-00,故2020202002||||||||||||||)()(||||||x x z x x x z x x x z x -≥-+-=-+-=-,所以,||||inf ||||0z x x x Mz -=-∈. 在3R 中,若取},|)0,,{(2121R x x x x M ∈=,则对任意X x x x x ∈=),,(321,x 在M 上的投影)0,,(210x x x =与x 的距离是x 到M 上的最短距离.Schmidt E .在讨论 Hilbert 的原型2l 空间时,在2l 证明了对任一固定的闭子空间M ,若x 是2l 的任一点,则存在唯一的⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0,这就是现在的投影定理.定理5.2.5 设M 是Hilbert 空间X 的闭子空间,则对任意X x ∈,x 在M 上存在唯一的投影,即存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0,且这种分解是唯一的.证明 对于X x ∈,令||||inf ),(z x M x d d Mz -==∈,则存在M x n ∈,使得 d x x n n =-∞→||||lim . 由于M x x n m ∈+2,因此d x x x n m ≥-+||2||. 故 ||)2||||||(||2)||2||2||||||(||2)||2||2(2||||22222222d x x x x x x x x x x x x x x x n m n m n m n m n m --+-≤-+--+-=-=- 由d x x n →-||||,可知}{n x 是Cauchy 列.由于X 是Hilbert 空间,且M 是闭凸集,因此存在M x ∈0,使得0x x n →,所以),(||||0M x d x x =-.令0x x y -=,则y x x +=0,因此下面只须证明M y ⊥.对任意0,≠∈z M z ,及任意K ∈λ,有M z x ∈+λ0.因此d z x x ≥+-||)(||0λ,故22202020||||||)),(Re(2||||||)(||d z z x x x x z x x ≥+---=--λλλ.取20||||),(z z x x -=λ,则 22202022022020|||||),(||||||||||),(||||||),(|2||||d z z x x x x z z x x z z x x x x ≥---=-+---由d x x =-||||0可知,一定有 0),(0=-z x x ,因此z x x ⊥-0对于任意M z ∈成立,即M y ⊥. 由上面讨论可知对于任意M x ∈,存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0.现证这种分解是唯一的.假设存在另一个M x ∈'0及⊥∈M y ',使得''0y x x +=,则⊥∈-∈-M y y M x x ''00,,故由M x x x x x x y y ∈-=---=-'00'00')()(,可知'y y =.结合前面的定理,还可以得下面推论.推论 5.2.1 设X 是Hilbert 内积空间,M 是X 的闭子空间,X x ∈则M x ∈0使得),(||||0M x d x x =-当且仅当M x x ⊥-0.问题 5.2.1 若M 是Hilbert 空间X 的子空间,但M 不是闭的子空间,那对任意X x ∈,x 在M 上是否存在投影呢？例5.2.2 在2l 中,M 为只有有限项非零的实数列全体构成的子空间,则M 不是2l 的闭子空间。
向量与矩阵范数习题
2 2
=
M (α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn)
2 2
−
M (λ1α1x1 + λ2α2x2 + · · · + λnαnxn)
2 2
≥
M (α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn)
2 2
−
maxi
|λi
|2
·
M (α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn)
ν(AB) =
m i=1
n j=1
|
s k=1
αik
βkj
|
≤
m i=1
n j=1
s k=1
|αik||βkj
|
≤
m i=1
nj=1[(
s k=1
|αik|)(
s k=1
|βkj
|)
=
(
m i=1
s k=1
|αik|)(
n j=1
s k=1
|βkj |)
=AB
10
五、证明
1: A ∈ Cnn×n, λ 为其特征值，则：
U H
·
U
√ λ1
√ λ2
λn
记
M =U
√ λ1
√ λ2
... √
U H ，
λn
... √
U H
λn
则有
M = MH , A = M · M = MH · M
于是
A − BH AB = M H M − BH M H M B
对任意 x ∈ Cn，有二次型
附录-矩阵序列与级数
1
2
8 2 1 16 ( 5)( 3) 0 1
1 5 2 ( A) 。 1 ( A) ， 2 6
lim Ak 0
k
得 1 ( B) 5， 2 ( B) 3，进而得
5 ( A) 1 于是， 6
0 q 1
A k 0 根据定理1 即知 lim A k 0。 于是，lim k k
推论
设 A∈Cn×n， lim A k 0 的充分必要条件是
k
存在Cn×n上的某种范数 ，使得 A 1
( A) < 1
lim A k 0
k
A 1
判断一个矩阵序列是否收敛到零矩阵：
证 必要性 由定理1知 lim A k 0 的充分必要条件是对任意
A k 0。 因此对充分大的k, 必有 Ak 1 一种矩阵范数 均有lim k
k
k
因此得
(A)
k
(Ak ) Ak 1
利用矩阵谱半径的定义以及相容矩阵范数的性质有：
( A) < 1
Ak
其中 det Aij( k ) ( n 1)( n 1)
(k ) (k ) det( A ) det( A 12 22 ) det( A( k ) ) det( A( k ) ) 1n 2n i, j 1, 2, , n 为Ak的第ij个代数余子式。
mn 推论 设A k A C ， ，并且 k 1
lim A k A
k
Ak A 则 klim
此结论只是充分条件，反过来不一定成立。 给定矩阵序列 Ak 1
级数
/wiki/
8/9
相对的，即只是比值趋于一致，与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说， 渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差，之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。
发散级数的和
发散级数的部分和没有极限，但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义，比如切萨罗求和、阿贝尔 求和以及欧拉求和。
在一个完备空间中，也可以运用柯西收敛的准则来判断级数是否收敛：一个无穷级数
敛的充要条件是，对任意
，总存在
，使得任意的
，
。
无穷级数的研究历史
/wiki/
收
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12-12-24
-
将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念， 对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余 弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工 作。
收敛域
对区间 I 上的每个 ，级数
是常数项级数。若
收敛，则称 是
的一个收敛点，
全体收敛点的集合称为它的收敛域。若
发散，则
称是
的一个发散点，
全体发散点的集合称为它的发散域。
在其
收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为
的和函数，记为 。按照定
义，
，其中
为函数项级
数在 点上的部分和。
一致收敛
函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。
然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了 关于欧拉的超几何级数
的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。
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第五章范数,序列,级数§5.1 向量范数Holder不等式与Minkowski不等式/p+v/q
Holder不等式Minkowski不等式
∞-范数的性质同一向量的三种范数之间的大小关系向量范数的等价
按范数收敛按范数收敛续§5.2 矩阵范数
矩阵的向量范数不一定是矩阵范数矩阵范数的例子
矩阵Frobenius范数Frobenius范数与向量2-范数相容矩阵范数的等价性§5.3 诱导范数(算子范数)
向量范数诱导的矩阵范数(算子范数)向量范数诱导的矩阵范数(算子范数)矩阵p-范数矩阵谱范数
矩阵的谱半径矩阵的范数和谱半径的关系正规矩阵的谱范数等于其谱半径矩阵范数小于1的方阵§5.4 矩阵序列与极限
矩阵(向量)序列极限的性质矩阵序列极限的性质(4)的证明矩阵序列按范数收敛的概念矩阵序列收敛与按范数收敛等价
方阵收敛于零的充要条件续判断矩阵序列X的敛散性§5.5 矩阵序列与极限正项级数的一些性质
矩阵级数绝对收敛的充要条件矩阵幂级数的概念
矩阵幂级数绝对收敛的充分条件矩阵幂级数收敛判别举例
矩阵幂级数绝对收敛的充要条件的注矩阵幂级数收敛的充要条件应用举例。