各类范数定义
a—b的范数 -回复
a—b的范数-回复什么是[a—b的范数]范数是线性代数中的一个重要概念，它在描述向量空间中向量的长度或大小方面起着关键作用。
对于给定的向量a和b，[a—b的范数]表示了向量a和向量b之间的距离或差异程度。
范数可以有多种定义方式，其中常用的有欧氏范数和曼哈顿范数。
欧氏范数，也叫2-范数，表示了向量的长度，是向量元素平方和的平方根。
对于一维向量a和b，欧氏范数可以用以下公式表示：a—b 2 = √(Σ(ai-bi)^2)其中ai和bi分别表示向量a和b的第i个元素。
欧氏范数的计算方式类似于勾股定理，可以看作是向量a和向量b之间的直线距离。
曼哈顿范数，也叫1-范数，表示了向量元素之间的绝对值之和。
对于一维向量a和b，曼哈顿范数可以用以下公式表示：a—b 1 = Σai-bi曼哈顿范数的计算方式类似于两点之间沿着坐标轴的步长和，可以看作是向量a和向量b之间的曼哈顿距离。
另外，还有无穷范数和p-范数。
无穷范数表示向量元素绝对值的最大值，可以用以下公式表示：a—b ∞= max( ai-bi )p-范数是一种推广的范数定义，可以表示向量的长度或大小。
它定义了向量元素绝对值的p次幂的和并取p次根号。
对于一维向量a和b，p-范数可以用以下公式表示：a—b p = (Σai-bi ^p)^(1/p)其中p可以是任意实数，但p>0。
如何计算[a—b的范数]计算[a—b的范数]可以通过以下步骤进行：1. 确定范数的类型：根据具体问题和要解决的范数定义，确定所要计算的范数类型，如欧氏范数、曼哈顿范数、无穷范数或p-范数。
2. 确定向量a和向量b：根据具体问题，确定要计算范数的向量a和向量b。
3. 计算范数值：根据所选的范数类型，按照相应的公式进行范数值的计算。
- 如果选择欧氏范数，则需要计算向量a和向量b对应元素差的平方和的平方根。
- 如果选择曼哈顿范数，则需要计算向量a和向量b对应元素差的绝对值之和。
- 如果选择无穷范数，则需要计算向量a和向量b对应元素差的绝对值的最大值。
范数
常用的算子范数： n
j 1 n
可证（例6）。 || A || m ax | aij | （行和范数） 1 i n
i 1
|| A ||1 m ax | aij | （列和范数） 1 j n
|| A ||2
max ( AT A) （谱范数 ( spectral norm ) ）
( Error Analysis for Linear system of Equations )
思考:求解 A x b 时, A 和 b 的误差对解 x 有何影响？ 设 A 精确，b 有误差 b ，得到的解为 x x ，即
A( x x) b b
1
绝对误差放大因子
常用向量范数：
|| x || 1
(1) || x || 0 ; || x || 0 x 0
Rn空间的向量范数
n || · ,对任意 x , y R 满足下列条件 ||
i1
n
| xi |
|| x ||
2
i1
n
| x |
i
2
|| x || max | x i |
|| 2
相容性
（1）矩阵范数与矩阵范数的相 容:‖AB‖≤‖A‖‖B‖ （2）矩阵范数与向量范数 设A∈M，‖A‖是矩阵范数,x∈Rn，‖x‖是 向量范数.如果满足不等式:
‖Ax‖≤‖A‖‖x‖
则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容.
Frobenius范数:
|| A ||F
| a ij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
|| A || 1
② ( I A)1 A( I A)1 ( I A)( I A)1 I
范数
3.3 范数3.3.1 向量范数在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。
绝对值是一种度量形式的定义。
范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。
任何对象的范数值都是一个非负实数。
使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。
向量范数是度量向量长度的一种定义形式。
范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。
同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。
定义3.1对任一向量，按照一个规则确定一个实数与它对应，记该实数记为，若满足下面三个性质：（1），有，当且仅当时，（非负性）（2），，有（齐次性）（3.37）（3），，有（三角不等式）那么称该实数为向量的范数。
几个常用向量范数向量的范数定义为其中，经常使用的是三种向量范数。
或写成例3.5 计算向量的三种范数。
向量范数的等价性有限维线性空间中任意向量范数的定义都是等价的。
若是上两种不同的范数定义，则必存在,使均有或（证明略）向量的极限有了向量范数的定义，也就有了度量向量距离的标准，即可定义向量的极限和收敛概念了。
设为上向量序列，若存在向量使，则称向量列是收敛的（是某种向量范数），称为该向量序列的极限。
由向量范数的等价知，向量序列是否收敛与选取哪种范数无关。
向量序列，收敛的充分必要条件为其序列的每个分量收敛，即存在。
若，则就是向量序列的极限。
例3.6 求向量序列极限向量。
解：算出每个向量分量的极限后得在计算方法中，计算的向量序列都是数据序列，当小于给定精度时，取为极限向量。
3.3.2 矩阵范数矩阵范数定义定义3.2 如果矩阵的某个非负实函数，记作，满足条件：（1）当且仅当时，（非负性）（2）（齐次性）（3）对于任意两个阶数相同的矩阵有（三角不等式性）（4）矩阵为同阶矩阵（相容性）则称为矩阵范数。
矩阵的算子范数常用的矩阵范数是矩阵的算子范数，可用向量范数定义：设，记方阵的范数为，那么或（3.38）称为矩阵的算子范数或从属范数。
范数及其应用
一般来说，监督学习可以看做最小化下面的目标函数：
L(yi,f(xi;w)) 衡量我们的模型（分类或者回归）对第i个样 本的预测值f(xi;w)和真实的标签yi之前的误差。
L0范数与L1范数
L0范数是指向量中非0的元素的个数。如果我 们用L0范数来规则化一个参数矩阵W的话，就是 希望W的大部分元素都是0，让参数W是稀疏的 。
c1 x
x
c2 x
并称 和 定理
为 Cn上的等价范数。
（向量序列收敛性定理） 设 xk Cn , 则
k xi xi 0, i 1, 2, , n lim xk x 0 lim k k
lim x k = x
k
其中 x k x1 , x2 , , xn
这说明，W的L1范数是绝对值，|w|在w=0处是不可微的。
L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有比L0更好的优 化求解特性而被广泛应用。
稀疏的原因
特征选择
稀疏规则化受欢迎的一个关键原因在于它能实现特征的 自动选择。
可解释性
通过稀疏可以使模型更容易解释。
L2范数
L2范数: ||W||2，在回归里面，有人把有它的 回归叫“岭回归”，有人也叫它“权值衰减”。 它的强大功效是改善机器学习里面一个非常重要 的问题：过拟合。
上面的图是线性回归，从左到右分别是欠拟合，合适的 拟合和过拟合三种情况。
Logistic回归
如果模型复杂（可以拟合任意的复杂函数），它可以让 我们的模型拟合所有的数据点，也就是基本上没有误差。 对于回归来说，就是我们的函数曲线通过了所有的数据 点。对分类来说，就是我们的函数曲线要把所有的数据 点都分类正确。这两种情况很明显过拟合了。
a—b的范数 -回复
a—b的范数-回复什么是[a—b的范数]？在数学中，我们经常会遇到向量空间中的范数问题。
而[a—b的范数]就是指向量a与向量b之间的范数。
范数可以理解为一种衡量向量大小的度量标准。
不同的范数对向量空间中的向量大小有不同的定义和度量方法。
常见的范数包括L1范数、L2范数和无穷范数等。
L1范数：L1范数又称为曼哈顿距离或绝对值距离。
对于二维向量(a, b)，L1范数的定义为：a—b ₁= a - b + b - a 。
也就是说，L1范数等于向量各个元素差的绝对值之和。
在二维平面中，L1范数表示从点a到点b 沿着坐标轴的距离之和。
L2范数：L2范数又称欧几里得距离，是最常见的一种范数。
对于二维向量(a, b)，L2范数的定义为：a—b ₂= √((a - b)²+ (b - a)²)。
也就是说，L2范数等于向量各个元素差的平方和的平方根。
在二维平面中，L2范数表示从点a到点b的直线距离。
无穷范数：无穷范数是一种刻画向量的最大值的范数。
对于二维向量(a, b)，无穷范数的定义为：a—b ∞= max( a - b , b - a )。
也就是说，无穷范数等于向量各个元素差的绝对值的最大值。
在二维平面中，无穷范数表示从点a到点b的坐标差的最大绝对值。
如何计算[a—b的范数]？计算[a—b的范数]的过程实际上就是根据范数的定义，逐步计算向量的元素差，并进行相应的运算。
以计算L1范数为例，对于二维向量(a, b)，L1范数的计算公式为：a —b ₁= a - b + b - a 。
首先，计算向量各个元素的差值：(a - b)和(b - a)。
然后，取这两个差的绝对值：a - b 和b - a 。
最后，将这两个绝对值相加，得到L1范数的值。
同样的方法，可以用于计算L2范数和无穷范数。
为什么[a—b的范数]有用？[a—b的范数]的计算结果可以对比和度量向量的大小，从而可以在许多问题中起到重要的作用。
a—b的范数 -回复
a—b的范数-回复【a—b的范数】范数是一种度量向量或矩阵大小的方式，它在数学和工程领域中广泛应用。
在本文中，我们将讨论向量a到向量b的范数，并解释如何计算以及其应用。
一、什么是范数？范数是一个将向量或矩阵映射到非负实数的函数。
它衡量了向量或矩阵的大小。
在数学中，常见的范数有L1范数、L2范数和L∞范数等。
1. L1范数L1范数又称为曼哈顿距离或绝对值距离，它表示为x ₁。
计算L1范数的方法是将向量中的每个元素的绝对值相加：x ₁= x₁+ x₂+ ... + xn 。
2. L2范数L2范数又称为欧几里得范数，它表示为x ₂。
计算L2范数的方法是将向量中每个元素的平方和开根号：x ₂= √(x₁²+ x₂²+ ... + xn²)。
3. L∞范数L∞范数表示为x ∞。
计算L∞范数的方法是选取向量中绝对值最大的元素作为范数的值，即x ∞= max( x₁, x₂, ..., xn )。
二、如何计算范数？计算范数的方法通常有两种：逐元素计算和向量算术。
1. 逐元素计算逐元素计算是指对向量中的每个元素进行相应的数学运算，然后将结果相加或取最大值。
例如，对于L1范数，我们计算向量中的每个元素的绝对值，然后将其相加得到范数值。
类似地，对于L2范数，我们计算向量中每个元素的平方，将其相加，然后开根号得到范数值。
对于L∞范数，我们选择向量中绝对值最大的元素作为范数值。
2. 向量算术向量算术是指通过向量之间的基本运算来计算范数。
例如，对于L1范数，我们可以使用向量的绝对值和相加来计算范数。
对于L2范数，我们可以使用向量之间的点积和开根号来计算范数。
三、范数的应用范数在许多领域中都有广泛的应用，包括数据挖掘、模式识别和机器学习等。
以下是一些范数的具体应用示例：1. 特征选择范数可以用于特征选择，以帮助挑选对目标变量影响最大的特征。
通过计算特征向量的范数，我们可以确定每个特征的相对重要性。
关于范数的理解或定义
I 、向量的范数向量x ∈R n的范数f(x )是定义在R n空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数：1ο对于所有的x ≠ 0,x ∈R n有f(x )>0; (非负性）2ο对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3ο对于所有的x,y ∈R n有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式）一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下：p x = p ni pix 11)(∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。
下证p-范数满足上述的三个性质：1、对于所有的x ∈R n，x ≠ 0，p ni pix 11)(∑=显然是大于0的，故性质1ο成立。
2、 由pxα = pni pix 11)(∑=α = αp ni pix 11)(∑= = αp x 知性质2ο成立。
3、欲验证性质3ο，我们的借助下列不等式：设p>1,q>1,且p 1 + q1 = 1，则对所有的0,≥βα有αββα≥+qpqp证：考虑函数ptptt -=1)(ϕ，因为)1(1)(11'-=-p t pt ϕ，由()t 'ϕ=0 t=1,又因为01)1(''<-=pqϕ，所以当t = 1的时候)(t ϕ取最大值，则有：p p ttp111-≤-， 令t = q pβα,代入可得：q p p q ppq p1111=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβα, 化简之后即得： αββα≥+qpqp证毕！又令∑=)(1i px x piα，∑=)(1i qy y qiβ，代入上不等式可得：∑∑+)()(iq i i p iy y x x qqpp∑∑≥)()(11y x yx i qi pqpii，两边同时对i 求和，并利用关系式p 1 + q1 = 1可知：∑∑≥+=∑∑∑∑∑)()(11)()(1y x yx y y x x i qi piq i ip i qpiiqqpp从而有：∑∑≤∑)()(11y x y x i qi pqpii另一方面，又有：∑+∑++=-yx y x y x iip pii ii 1)(1y x y x ii p ii +≤∑+-yy x x y x ip ip i i ii ∑+∑+--+=11()()()()()()∑∑-+∑∑-≤++y y x x y x ipiiq p ipiiq p pqpq111111()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑-=+∑+y x y x ipip piiqp pq1111()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑=+∑+y x y x ipip piipp111 左右两边同时除以()∑+y x iip1得：()()()∑∑≤∑++y x y x ipipiip ppp111。
n维欧几里得空间范数定义
n维欧几里得空间范数定义
欧几里得空间是指在空间中可以定义距离的空间，其中距离的定义遵循欧几里得几何学的原理。
在n维欧几里得空间中，范数是一种重要的工具，用于衡量向量的大小和距离。
范数可以被定义为一个向量的长度或大小，其定义如下：
||x|| = (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)^(1/2)
其中x = (x1, x2, ..., xn)是一个n维向量。
该范数表示了从向量x的原点到它的终点的距离。
此外，还有其他类型的范数，例如p-范数和无穷范数。
p-范数定义为：
||x||p = (|x1|^p + |x2|^p + ... + |xn|^p)^(1/p) 其中p是一个正整数，|xi|表示xi的绝对值。
当p为2时，它等同于欧几里得范数。
当p取无穷大时，它等同于无穷范数：
||x||∞ = max(|x1|, |x2|, ..., |xn|)
无穷范数表示向量中最大绝对值的分量。
范数在数学中具有广泛的应用，如线性代数、微积分、概率统计等领域。
在机器学习和数据科学中，范数也是一个重要的概念，用于正则化和优化算法。
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范数的定义
设X是数域K上线性空间，称║˙║为X上的范数(norm)，若它满足：
1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；
2. 齐次性：║cx║=│c│║x║；
3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。
注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0，即║x║≥0在定
义中不是必要的。
如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。
注记：范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。
1. 利用范数可以诱导出度量：d(x,y)=║x-y║，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是度
量空间。
但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。
2. 如果赋范线性空间作为(由其范数自然诱导度量d(x,y)=║x-y║的)度量空间是完备的，即
任何柯西(Cauchy)序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫(Banach)空间。
3. 利用内积<˙,˙>可以诱导出范数：║x║=
反过来，范数不一定可以由内积来诱导。当范数满足平行四边形公式║x+y║^2+║x-y║^2=
2(║x║^2+║y║^2)时，这个范数一定可以由内积来诱导。
完备的内积空间成为希尔伯特(Hilbert)空间。
4. 如果去掉范数定义中的正定性，那么得到的泛函称为半范数(seminorm或者叫准范数)，
相应的完备空间称为Fréchet空间。
对于X上的两种范数║x║α,║x║β，若存在正常数C满足
║x║β≤C║x║α
那么称║x║β弱于║x║α。如果║x║β弱于║x║α且║x║α弱于║x║β，那么称这两种范数等
价。
可以证明，有限维空间上的范数都等价，无限维空间上至少有阿列夫1(实数集的基数)种
不等价的范数。
算子范数
如果X和Y是巴拿赫空间，T是X->Y的线性算子，那么可以按下述方式定义║T║：
║T║ = sup{║Tx║：║x║<=1}
根据定义容易证明║Tx║ <= ║T║║x║。
对于多个空间之间的复合算子，也有║XY║ <= ║X║║Y║。
如果一个线性算子T的范数满足║T║ < +∞，那么称T是有界线性算子，否则称T是无
界线性算子。
比如，在常用的范数下，积分算子是有界的，微分算子是无界的。
容易证明，有限维空间的所有线性算子都有界。
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有限维空间的范数
基本性质
有限维空间上的范数具有良好的性质，主要体现在以下几个定理：
性质1：对于有限维赋范线性空间的任何一组基，范数是元素(在这组基下)的坐标的连续
函数。
性质2(Minkowski定理)：有限维线性空间的所有范数都等价。
性质3(Cauchy收敛原理)：实数域(或复数域)上的有限维线性空间(按任何范数)必定完备。
性质4：有限维赋范线性空间中的序列按坐标收敛的充要条件是它按任何范数都收敛。
常用范数
这里以C^n空间为例，R^n空间类似。
最常用的范数就是p-范数。若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么
║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}
可以验证p-范数确实满足范数的定义。其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常
称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。
当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：
1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2
∞-范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
其中2-范数就是通常意义下的距离。
对于这些范数有以下不等式：║x║∞ ≤ ║x║2 ≤ ║x║1 ≤ n^{1/2}║x║2 ≤ n║x║∞
另外，若p和q是赫德尔(Hölder)共轭指标，即1/p+1/q=1，那么有赫德尔不等式：
|
当p=q=2时就是柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式。
矩阵范数
矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X
║║Y║。
注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为mxn矩阵全体和mn
维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数的
相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。
诱导范数
把矩阵看作线性算子，那么可以由向量范数诱导出矩阵范数
║A║ = max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0} ，
它自动满足对向量范数的相容性
║Ax║ ≤ ║A║║x║，
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并且可以由此证明
║AB║ ≤ ║A║║B║。
注：
1.上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的(有限开覆盖定
理)，从而上面的连续函数可以取到最值。
2.显然，单位矩阵的算子范数为1。
常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是
1-范数：║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } （列和范数，A每一列元素绝对
值之和的最大值）
(其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其余类似）；
2-范数：║A║2 = A的最大奇异值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} ( 谱范数,即A'A特征
值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵）；
∞-范数：║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } （行和范数，A每一行元素绝对值
之和的最大值）
(其中为∑|a1j| 第一行元素绝对值的和，其余类似）；
其它的p-范数则没有很简单的表达式。
对于p-范数而言，可以证明║A║p=║A^H║q，其中p和q是共轭指标。
简单的情形可以直接验证：║A║1=║A^H║∞，║A║2=║A^H║2，一般情形则需要利用║A
║p=max{y^H*A*x：║x║p=║y║q=1}。
非诱导范数
有些矩阵范数不可以由向量范数来诱导，比如常用的Frobenius范数(也叫Euclid范数，
简称F-范数或者E-范数)：
║A║F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (A全部元素平方和的平方根)。
容易验证F-范数是相容的，但当min{m,n}>1时F-范数不能由向量范数诱导(||E11+E22||
F=2>1)。
可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。例如定义
║x║=║X║，其中X=[x,x,…,x]是由x作为列的矩阵。
由于向量的F-范数就是2-范数，所以F-范数和向量的2-范数相容。另外还有以下结论：
║AB║F <= ║A║F ║B║2 以及 ║AB║F <= ║A║2 ║B║F
矩阵的谱半径和范数的关系
定义：A是n阶方阵，λi是其特征值，i=1,2,…,n。则称特征值的绝对值的最大值为A的
谱半径，记为ρ(A)。
注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来，谱范数是指A的最大奇异值，即A^H*A最大
特征值的算术平方根。
谱半径是矩阵的函数，但不是矩阵范数。谱半径和范数的关系是以下几个结论：
定理1：谱半径不大于矩阵范数，即ρ(A)≤║A║。
因为任一特征对λ,x,Ax=λx，可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。
定理2：对于任何方阵A以及任意正数e，存在一种矩阵范数使得║A║<ρ(A)+e。
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定理3(Gelfand定理)：ρ(A)=lim_{k->∞} ║A^k║^{1/k}。
利用上述性质可以推出以下两个常用的推论：
推论1：矩阵序列 I,A,A^2,…A^k,… 收敛于零的充要条件是ρ(A)<1。
推论2：级数 I+A+A^2+... 收敛到(I-A)^{-1}的充要条件是ρ(A)<1。
酉不变范数
定义：如果范数║˙║满足║A║=║UAV║对任何矩阵A以及酉矩阵U,V成立，那么这个范数
称为酉不变范数。
容易验证，2-范数和F-范数是酉不变范数。因为酉变换不改变矩阵的奇异值，所以由奇异
值得到的范数是酉不变的，比如2-范数是最大奇异值，F-范数是所有奇异值组成的向量的2-
范数。
反过来可以证明，所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系：
定理(Von Neumann定理)：在酉不变范数和对称度规函数(symmetric gauge function)
之间存在一一对应关系。
也就是说任何酉不变范数事实上就是所有奇异值的一个对称度规函数。