几个范数不等式的证明
Rudin数学分析中的Lp范数不等式及其应用
Rudin数学分析中的Lp范数不等式及其应用在Rudin的数学分析教材中，Lp范数不等式是一个重要的定理，它在实际问题的研究中有着广泛的应用。
本文将介绍Lp范数不等式的定义及其推导过程，并探讨它在数学和应用领域的一些具体应用。
Lp范数是一种用于衡量向量或函数空间中元素的大小的一种度量方法。
在数学分析中，Lp范数定义如下：对于一个p维向量x=(x1, x2, ..., xp)，其Lp范数定义为：||x||p = (|x1|^p + |x2|^p + ... + |xp|^p)^(1/p)其中，p是一个大于等于1的实数。
当p=1时，Lp范数即为L1范数，它表示向量各个分量的绝对值之和。
当p=2时，Lp范数即为Euclidean范数，它表示向量的长度。
根据p的不同取值，Lp范数衡量的是向量分量的不同特征。
Lp范数不等式主要有两个重要的推论，即Hölder不等式和Minkowski不等式。
Hölder不等式可以描述两个向量内积的大小，它的具体形式如下：对于两个p维向量x和y，以及p和q满足1/p + 1/q = 1，有：|x·y|≤||x||p ||y||q其中，||x||p和||y||q分别表示x和y的Lp和Lq范数。
Hölder不等式表明，在满足某种条件下，两个向量内积的绝对值不超过它们对应Lp 和Lq范数的乘积。
Minkowski不等式是Lp范数的一个性质，它可以描述向量的加法和数乘运算后的Lp范数。
具体形式如下：对于两个p维向量x和y，以及p≥1，有：||x+y||p ≤ ||x||p + ||y||pMinkowski不等式表明，在满足某种条件下，两个向量的和的Lp范数不超过它们对应Lp范数的和。
Lp范数不等式在数学和应用领域具有广泛的应用。
首先，它在函数空间中的应用非常重要。
在实变函数论中，Lp范数被用来定义Lebesgue空间，而Hölder不等式则是证明Lebesgue空间的完备性的关键步骤。
范数平方不等式
范数平方不等式
范数平方不等式是一种重要的数学不等式，它表示一个向量或一系列向量的平方和之和不小于等于它们的点积之和。
这种不等式的发现和研究可以追溯到18世纪，但是它的数学含义和历史价值直到20世纪才被人们普遍认识。
最初，范数平方不等式的发现是由德国数学家施特劳斯哈耶尔（Steinhardt Haar）贡献的，他发现平方和不小于点积之和的定理。
他在1790年的论文中，应用Cauchy-Schwarz不等式来证明它，由此，他获得了有关范数平方不等式的惊人结果。
1820年，英国数学家罗素也提出了这种不等式，他指出，如果两个向量的点积等于0，那么其中一个向量的范数必须为0。
因此，在他看来，这种不等式是一个与向量解释相关的非常有意义的定理。
此外，范数平方不等式由上世纪60年代前半叶中得到了极大的发挥，因为它在优化理论中扮演了重要角色。
它能够用来解决许多实际问题，如图灵机、凸优化、内积子空间、半正定系统、流形拟合、反问题等。
此外，范数平方不等式也可以用来解决动力系统、控制系统、混沌系统、随机控制系统、调和动力学系统等的一些具体问题，它可以从动力系统的性质出发，发现不确定因素，并建立一个可以预测未来发展的模型。
范数平方不等式是一个重要的数学不等式，它可以用来描述向量集中的一些关系，并且在优化理论中有着重要的地位。
它也可以用来
解决各种实际问题，如动力系统、控制系统、混沌系统和随机控制系统等。
范数平方不等式的发现传承了数学的深刻精神，它体现了现代数学的发展方向，也为现代数学的研究提供了一定的指导作用。
第三章 范数与极限§31范数
1 1 2 2 ， x x ， 1 1.0001 2 0 1 1 2 1 ， x x . 1 1.0001 2.0001 1
但若 A 换成
1 1 1 2 ，
j A a ， n重
而
I - A A = - a .
n
a e j
1 n
i 2 j n
， j 1,, n .
T
实 复，重 单，特征向量： a ： x 1, 0, , 0 ， n 个线性无关的。
UA
2 F
AV
2 F
A
2 F
.
2
A
2
max
Ax, y
x 2 y
2
x 0, y 0
max
x 2 y 2 1
Ax, y
2
；
2
AH
2
A 2 ； AH A
A 2.
3 设 A 非奇异，则
A
1 1
min
x 0
Ax x
三个常用范数
A 1 max
x0
Ax 1 x1 Ax x
2 2
；
A 2 max
x0
；
A max
x0
Ax x
.
矩 阵 范 数
定理 3.6 A 1 max
j
a
i 1
n
ij
（列和最大） max a j ，
j 1
推论：
1 设 U ， V
为酉矩阵，则
UAV
2 F
i 1 i i
n i 1
p范数的证明
p范数的证明
p范数的定义是向量的绝对值的p次幂的p次方根，记作
||x||p=(|x1|^p + |x2|^p + ... + |xn|^p)^(1/p)。
现在我们来证明p范数的性质。
1. 非负性：对于任意向量x，有||x||p>=0。
这是因为向量的绝对值非负，所以对应的p次幂也非负，再开p次方根得到的结果也是非负的。
2. 齐次性：对于任意标量α和向量x，有||αx||p=|α|*||x||p。
这是因为绝对值的乘法与p次幂指数的乘法满足结合律，所以αx的绝
对值的p次幂等于α的p次幂乘以x的绝对值的p次幂，再开p次方
根得到的结果等于|α|乘以||x||p。
3. 三角不等式：对于任意向量x和y，有||x+y||p<=||x||p+||y||p。
这是由于绝对值的p次幂满足三角不等式，即|a+b|^p<=|a|^p+|b|^p。
将该不等式应用到每个维度的分量上，再开p次方根得到的结果也满
足三角不等式，即||(x1+y1, x2+y2, ..., xn+yn)||p <= ||(x1,
x2, ..., xn)||p + ||(y1, y2, ..., yn)||p，即
||x+y||p<=||x||p+||y||p。
综上所述，我们证明了p范数的非负性、齐次性和三角不等式。
关于矩阵加权几何均值与范数的几个不等式
关于矩阵加权几何均值与范数的几个不等式
刘新; 杨晓英
【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》
【年(卷),期】2018(033)003
【摘要】利用一组新的标量不等式,得到关于矩阵的加权几何均值不等式和矩阵Hilbert-Schmidt范数不等式.新不等式改进了相关文献中的结果.
【总页数】6页(P373-378)
【作者】刘新; 杨晓英
【作者单位】四川信息职业技术学院基础教育部四川广元510631
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.加权算术——几何平均值不等式的控制证明 [J], 张鉴;石焕南
2.矩阵Frobenius范数的几个不等式 [J], 吴雪莎
3.酉不变范数几何算术平均值不等式的改进 [J], 黄介武
4.正定矩阵的算术几何平均值不等式和调和几何平均不等式 [J], 高鹰
5.关于加权算术、几何及调合平均值的不等式 [J], 宋介珠;潘宇
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关于范数的理解或定义
I 、向量的范数向量x ∈R n的范数f(x )是定义在R n空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数：1ο对于所有的x ≠ 0,x ∈R n有f(x )>0; (非负性）2ο对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3ο对于所有的x,y ∈R n有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式）一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下：p x = p ni pix 11)(∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。
下证p-范数满足上述的三个性质：1、对于所有的x ∈R n，x ≠ 0，p ni pix 11)(∑=显然是大于0的，故性质1ο成立。
2、 由pxα = pni pix 11)(∑=α = αp ni pix 11)(∑= = αp x 知性质2ο成立。
3、欲验证性质3ο，我们的借助下列不等式：设p>1,q>1,且p 1 + q1 = 1，则对所有的0,≥βα有αββα≥+qpqp证：考虑函数ptptt -=1)(ϕ，因为)1(1)(11'-=-p t pt ϕ，由()t 'ϕ=0 t=1,又因为01)1(''<-=pqϕ，所以当t = 1的时候)(t ϕ取最大值，则有：p p ttp111-≤-， 令t = q pβα,代入可得：q p p q ppq p1111=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβα, 化简之后即得： αββα≥+qpqp证毕！又令∑=)(1i px x piα，∑=)(1i qy y qiβ，代入上不等式可得：∑∑+)()(iq i i p iy y x x qqpp∑∑≥)()(11y x yx i qi pqpii，两边同时对i 求和，并利用关系式p 1 + q1 = 1可知：∑∑≥+=∑∑∑∑∑)()(11)()(1y x yx y y x x i qi piq i ip i qpiiqqpp从而有：∑∑≤∑)()(11y x y x i qi pqpii另一方面，又有：∑+∑++=-yx y x y x iip pii ii 1)(1y x y x ii p ii +≤∑+-yy x x y x ip ip i i ii ∑+∑+--+=11()()()()()()∑∑-+∑∑-≤++y y x x y x ipiiq p ipiiq p pqpq111111()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑-=+∑+y x y x ipip piiqp pq1111()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑=+∑+y x y x ipip piipp111 左右两边同时除以()∑+y x iip1得：()()()∑∑≤∑++y x y x ipipiip ppp111。
1范数2范数无穷范数不等式的证明
1. 主题概述在数学和线性代数中，范数是一种衡量向量大小的方法。
而1范数、2范数和无穷范数是常见的范数类型，它们在数学理论和应用中具有重要的意义。
本文将深入探讨1范数、2范数和无穷范数的概念，并通过数学不等式的证明来理解它们的性质和应用。
2. 1范数的定义和性质我们来定义1范数。
对于一个n维向量x，它的1范数记作||x||₁，定义为向量x各个元素绝对值的和：||x||₁ = |x₁| + |x₂| + ... + |xₙ|。
1范数在表示向量的稀疏性、优化问题和信号处理中具有重要作用。
1范数的性质也是我们需要关注的重点。
1范数满足三角不等式，即对于任意向量x和y，有||x + y||₁ ≤ ||x||₁ + ||y||₁。
这一性质对于证明1范数的某些优化问题具有重要意义。
3. 2范数的定义和性质接下来，我们转到2范数的讨论。
对于一个n维向量x，它的2范数记作||x||₂，定义为向量x各个元素的平方和的平方根：||x||₂ = √(x₁² + x₂² + ... + xₙ²)。
2范数常用于表示向量的长度、距离和误差。
2范数同样具有一些重要的性质。
2范数也满足三角不等式，即对于任意向量x和y，有||x + y||₂ ≤ ||x||₂ + ||y||₂。
2范数还满足柯西-施瓦茨不等式，即对于任意向量x和y，有|x·y| ≤ ||x||₂ * ||y||₂。
这些性质对于研究向量空间和内积空间具有重要意义。
4. 无穷范数的定义和性质我们进入无穷范数的领域。
对于一个n维向量x，它的无穷范数记作||x||ᵢ，定义为向量x各个元素绝对值的最大值：||x||ᵢ = max(|x₁|,|x₂|, ..., |xₙ|)。
无穷范数常用于表示向量的最大值和极限情况。
无穷范数同样具有一些重要的性质。
无穷范数也满足三角不等式，即对于任意向量x和y，有||x + y||ᵢ≤ ||x||ᵢ + ||y||ᵢ。
cauchy schwarz不等式范数
cauchy schwarz不等式范数CauchySchwarz不等式范数，又称为Cauchy不等式或C-S不等式，是一种常见的数学不等式，其可以应用于很多工程领域，如信号处理，系统设计和信息学中，以有效地实现控制和优化；此外，CauchySchwarz不等式范数还应用于统计学、概率论和混合编程等多个领域。
CauchySchwarz不等式范数是以法国数学家Augustin-Louis Cauchy命名的，他在1821年的论文《椭圆和抛物面的比较》中提出了不等式，而德国数学家Hermann Schwarz在1885年以不等式的形式得到了证明，故又称为CauchySchwarz不等式范数。
CauchySchwarz不等式范数的定义为，设摊平后的两个实向量${ mathbf {a} ,mathbf {b}}$，则有：$$ left| mathbf {a} right| left| mathbf {b} right|geq left| mathbf {a} cdot mathbf {b} right| $$其中，$mathbf {a}$和$mathbf {b}$是表示两个实向量的符号，$left| mathbf {a} cdot mathbf {b} right|$是向量$mathbf {a}$和$mathbf {b}$之间的点乘，而$left| mathbf {a} right|$和$left| mathbf {b} right|$则表示向量$mathbf {a}$和$mathbf {b}$的范数；CauchySchwarz不等式范数就是用范数的形式来表达的上式的结果。
CauchySchwarz不等式范数有着很多高等数学的应用，如在动态规划中，其可以用来确定某个约束条件下的最优解，在统计学中，它可以用来计算概率向量的点乘，在混合优化中，CauchySchwarz不等式范数可以用来确定最优化策略以及整机的优化模型；此外，CauchySchwarz不等式范数还有可以应用于信号处理、最优控制、系统设计和信息学等许多领域。
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设X 为一n 维赋范空间，其范数定义为||x||p =(∑|x i |p n i=1)1p , 1≤p<∞，证明以下命题： 1. ||x||2≤||x||1≤√n||x ||2;
2. ||x||p ≤||x||1；
3. ||x||q ≤||x||p ≤n 1p−1q ⁄⁄||x ||q ，p<q
证：
1. 先证||x||2≤||x||1
|x 1|2+|x 2|2≤(|x 1|+| x 2|)2 ⇒ (|x 1|2+|x 2|2)1/2≤|x 1|+| x 2|
利用归纳法可证明：|x 1|2+|x 2|2+…+|x n |2≤(|x 1|+| x 2|+…+|x n |)2
假设|x 1|2+|x 2|2+…+|x n-1|2≤(|x 1|+| x 2|+…+|x n-1|)2
|x 1|2+|x 2|2+…+|x n-1|2+|x n |2≤(|x 1|+| x 2|+…+|x n-1|)2+|x n |2=|Y n -1|2+|x n |2≤(|Y n -1|+|x n |)2
即，|x 1|2+|x 2|2+…+|x n-1|2+|x n |2≤(|x 1|+| x 2|+…+|x n-1|+|x n |)2 ①
||x||2≤||x||1成立；
再证||x||1≤√n||x ||2
有两种方法可选（柯西-施瓦兹不等式，Jensen 不等式），这里使用柯西-施瓦兹不等式证明。
|<x,y>|≤||x||2||y||2，令x=( |x 1|, |x 2|,..., |x n |)，y=(1,1, (1)
可得(|x 1|+|x 2|+…+|x n |)≤(|x 1|+| x 2|+…+|x n |)1/2n 1/2
||x||1≤√n||x ||2成立。
根据Jensen 不等式(
∑|x i |αn )1α⁄≥(∑|x i |βn )1β⁄(α>β)，令α=2，β=1可以证明。
2. 令f(x)=(1+x)p 1+x p ,p ≥1
p=1,f(x)=1，所以只考虑p>1的情况
f ′(
x )=p(1+x)p−1(1−x p−1)(1+x p )2→{>0,0≤x <1=0,x =1<0,x <1} 从上图可以看出f(x)在x=0时为1，先上升，在x=1达到最大值2p-1，然后下降，但始终≥1。
所以有(1+x)p
1+x p ≥1，即1+x p ≤(1+x)p ，令x=b/a ，有a p +b p ≤(a+b)p ，同理，使用归纳法可
证明：|x 1|p +|x 2|p +…+|x n |p ≤(|x 1|+|x 2|+…+|x n |)p ② ⇒ (|x 1|p +|x 2|p +…+|x n |p )1/p ≤|x 1|+|x 2|+…+|x n | 也即||x||p ≤||x||1成立。
3. 先证||x||q ≤||x||p (p<q)
|x i |p ≤∑|x i |p n i=1 ③
|x 1|q +|x 2|q +…+|x n |q = ∑|x i |q =∑|x i |p |x i |q−p n i=1n i=1带入③式
→ ≤∑|x i |p n i=1∑|x i |q−p n i=1 ∑|x i |q−p n i=1=∑(|x i |p n i=1)q−p p 带入②式→ ≤(∑|x i |p n i=1)
q−p p 于是，∑|x i |
q ≤∑|x i |p n i=1n i=1(∑|x i |p n i=1)q−p p =(∑|x i |p n i=1)1+q−p p =(∑|x i |p n i=1)q p 得到(∑|x i |q )1q ≤n i=1(∑|x i |p n i=1)1p ，即||x||q ≤||x||p ；
再证||x||p ≤n 1p−1q ⁄⁄||x ||q
根据Jensen 不等式(∑|x i |αn )1α
⁄≥(∑|x i |βn )1β⁄(α>β)，令α=q ，β=p (q>p)可以证明。
据说可以根据赫尔德不等式证明，但实在想不到方法证。
如果你能想到，不妨发封邮件给我： ****************
参考文献
1. 邢家省, 郭秀兰, 崔玉英. 几个幂次不等式的应用[J]. 河南科学, 2008, 26(11):1306-1309.
2. 柯西—施瓦茨不等式. /view/979424.htm.
3. Jensen 不等式. /view/1427148.htm.。