《高等数学》辅导材料

《高等数学》辅导材料第一章、 函数与极限1、函数的定义、函数的二要素——表达式和定义域，两个函数相等的条件；2、函数的分类:分段函数、反函数、复合函数—他们的特点和要点；3、函数的极限的定义、性质和要点，特别是0x x →时的情况；4、 无穷小量和无穷大量的定义、无穷小量的性质、他们之间的关系、无穷小量的比较p23 (10)；5、函数极限的运算；6、极限存在定理；7、两个重要极限；结构和使用方法 p238、函数的连续性 定义、函数连续的三要素、间断（两类）9、初等函数的连续性——5个性质连续函数的四则运算还是连续函数、连续函数的复合函数还是连续函数、最值定理、介值定理、根存在定理；——————————————————————————————————第二章、 导数与微分1、 导数的定义0lim x y dyx dx∆→∆=∆、导数的意义、 2、函数的连续性与可导性的关系3、函数的求导法则导数的四则运算法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则、参数方程函数求导法则、高阶导数4、 微分的定义、几何意义5、 微分的求法、微分形式不变性6、近似计算'()(0)(0)f x f f x =-和'000()()()()f x f x f x x x =--___________________________________________________________________________________________第三章、 导数的应用1、中值定理—罗尔定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理；注重他们的使用条件和特点 2、 罗比达法则两个无穷小量之比的极限、两个无穷大量之比的极限、 未定型的极限 00010∞∞∞-∞∞3、函数性态的研究2个定义、5个定理、三条渐近线极值的定义、拐点的定义、1单调性定理、2极值的判断定理、3两个极值的判定定理、凹凸性的判定定理。

水平渐近线、垂直渐近线、一般渐近线 4 、函数的最大值和最小值的计算___________________________________________________________________________________________第四章、 不定积分1、不定积分的定义—原函数族 ()()f x dx F x c =+⎰2、不定积分的意义—几何意义3、不定积分的性质（5个）4、不定积分的基本公式 16个5、积分法①、直接积分法；②、换元积分法；凑微分法和换元法 ③、分部积分法；降幂法和循环法___________________________________________________________________________________________ 5、定积分及其应用1、定积分的概念 定义：0lim ()()bi i af a x f x dx λ→∆=∑⎰、几何意义-曲边梯形面积2、定积分的补充点；定积分只是一个纯数、与积分变量无关、()0aaf x dx =⎰、()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰3、定积分的性质 7个4、变动上线函数 ()()xa Q x f t dt =⎰ 且有()()Q x f x '=5、牛顿-莱布尼兹公式 ()()()b af x dx F b F a =-⎰ 要注意它的适应条件—只能在[],a b 这样的闭区间中使用。

7、定积分的计算 实际上就是利用不定积分后带上下线，方法与不定积分行同。

8、 广义积分和无界函数积分 9、 定积分的应用（5个）A 、平面图形的面积；直角坐标系下平面图形面积的计算— 4种情况；极坐标系下平面图形面积的计算 2121()2s r d θθθθ=⎰B 、 旋转体的体积 22()()bdx y a cV y x dx V x y dy ππ==⎰⎰C 、 函数的平均值 ()bay f x dx =⎰ 就是积分中值定理 D 、 变力所做的功 ()ba W f x ds =⎰ E 、液体的静压力 baF pds =⎰__________________________________________________________6、 空间解析几何1、空间直角坐标系 8个卦限 注意每一个卦限的坐标的表示 3个坐标平面 注意以坐标平面对称的点表示。

2、 两点之间的距离 222212121()()()AB x x y y z z =-+-+-3、向量及坐标表示 AB xi yj zk =++、 单位向量 0a a a= 4、向量的数量积 cos(,)a b a b a b =数量积是一个实数、两个非零向量相互垂直的充分条件是0a b =10i i j j k k i j j k k i ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=两个向量的夹角余弦 121212222222111222cos(,)a b a b a bx y zx y z==++++5、向量的向量积大小sin(,)c a b a b =⋅实质上是所构成的平行四边形的面积、 方向c a b=⨯ 右手法则、两个非零向量平行的充分条件是0a b ⨯=、或表示为 （两个非零向量平行的充分条件是它们的对应坐标成比例）；向量积的坐标表达式：111121212121212222()()()i j ka b x y z y z z y i z x x z j x y y x k x y z ⨯==-+-+-6、空间平面方程一般方程 0000()()()0Ax By Cz D A x x B y y C z z +++=-+-+-= A B C 、、是空间平面的方向向量； 截距式方程 1x y z a b c ++= 其中 D DDa b c A BC---===分别是在x 、y 、z 轴上的截距；两个平面垂直的充分必要条件是 121212120n n A A B B C C ⋅=++=两个平面平行（或重合）的充分必要条件是 1111122222()A B C D D A B C D D ==≠=或 参阅平122—123例题—————————————————————————————7、 多元函数的微分学1、多元函数的定义；2、二元函数的极限，注意只有在所有路径的极限都存在时的极限才存在；3、二元函数的连续性，间断点—点状间断点和现状间断点；4、多元函数的偏导数5、偏导性与连续性的关系---两者没有关系。

注意：混合偏导的次序问题；6、多元函数的全增量和全微分的概念7、多元复合函数的连锁法则、全微分形式不变性 8、隐函数的微分法 多元隐函数的微分法； 9、多元函数的极值；___________________________________________________________________________________________8、多元函数的积分1、二重积分的定义、性质（5个）2、如何将二重积分化为二次积分3、直角坐标系下二重积分的计算方法、如何确定二重积分的积分区间和积分次序以及上下线的确定；4、极坐标系下二重积分的计算方法、如何确定二重积分的积分区间和积分次序以及上下线的确定；5、如何更换二重积分的积分次序；—————————————————————————————————————————————9、 微分方程1、 基本概念—微分方程的定义、微分方程的阶、微分方程的解2、 可分离变量的微分方程的解法3、 一阶线性微分方程的解的结构—一阶线性微分方程的解题公式4、 可降阶的二阶微分方程的解法5、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 三种类型 A 、0∆> 1212r x r x y c e c e =+B 、0∆= 12()rx y c c x e =+C 、0∆< 12(cos sin )x y e c x c x αββ=+—————————————————————————————第十章 无穷级数1、常数项级数的概念与基本性质（1）级数收敛的必要条件：（2）级数乘K 不改变级数的敛散性（3）收敛级数的和仍收敛；(4) 级数前面增加或减少有限项与原级数有相同的敛散性；（5）收敛级数加括号后仍收敛于S 。

2、常数项级数的敛散法(1)正项级数----比较、比较的极限形式、比值 （2）交错------莱布尼兹定理 （3）任意项-------定理5 若1nn u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛，且为绝对收敛。

若1nn u∞=∑发散，而1nn u∞=∑收敛，且为条件收敛。

a) 幂级数（1） 函数项级数和幂级数的概念 （2） 幂级数及其收敛性----- 收敛半径 --------（Abel 定理） 收敛域的计算。