高等数学一(1)完整答案

故 ，
，得唯一驻点： 。
当 ， 时，圆柱体积最大。
15.解：设生产 台，利润最大。
则目标函数为
由 得唯一驻点 ，
当 台时，才能获得最大利润。
第四章不定积分
习题4-1
3．解：
4.(1) 原式=
(2)原式=
（3）原式=
（4）原式=
（5）原式=
（6）原式=
（7）原式=
（8）原式=
（9）原式=
（10）原式=
(2)原式=
.
5.
(1)令 , 则 , ,故 时， ;
(2)令 , 则 , ,故得证.
习题1-4
1.
(1) 为可去间断点，补充定义 ;
(2) 为跳跃间断点（因 ）;
2.
（1） ;
（2） .
3.
（1）原式= ;
（2）原式= ;
（3）原式= ;
（4）原式= ;
（5）原式= ;
（6）原式= ;
4.证明：设 显然， 在 上连续，
6.求极值：
（1） ,解得驻点为 ，
的某个邻域内， 不取极值。
当 时， 为其极大值。
(3) 解得驻点为
当 时， 故 为极小值。
当 时， 故 为极大值。
（5）定义域为： 。
，解得驻点为 。
当
当 时， ，故 为极小值。
7. ，由 为 的极值点知：
当 时， ，故 为极小值点。
当 时， ，故 为极大值点。
综上： 处取极小值，在 取极大值。
故不可用。
4.解：显然
若用洛必达法则，则有
当 时， 无极限，故上式不满足洛必达法则的条件。
习题3-3
3.(1)
(3)
4.（1）令
则
即 。
（2）令
则当
考虑到
故 为单调递增函数，又
故
同上：
（3）令
a)当
b)当
。
5.令 上无解。
当 。
考虑到 ，
为单调递减函数，与 轴有且仅有一个交点。
故方程 只有一个实根。
又
① 若 则由零点定理知，至少存在一点 使得 是不超过 的一个正根；
2若 则 就是题设方程的一个正根.
综合①、② 知，命题成立.
第二章导数与微分
习题2-1
1.（1） ;（2） ;
（3） ;（4） .
2.（1） ;
（2） ;
（3） .
3. .
4. .
5．（1）解： ， 曲线 在 处切线方程为 ,即 法线方程为 即 .
8. (1)当 时，由 ，得驻点 。
为最大值， 为最小值。
(2)当 时，由 知无解。
为最大值， 为最小值。
(3)当 时，由 ，得驻点 。
，
为最小值， 为最大值。
9解：设经过t小时后，两船相距距离最近，则 ，
由 得唯一驻点 ，
时，两船相距最近。
10.解：设 ，则
则
由
得唯一驻点 。
11.解（1）由题意：
原式=
（6）令 ，则
原式=
（7）令 ，则
原式=
（8）令 ，则
原式=
（9）原式=
（10）原式=
（11）原式=
（12）原式=
（13）原式=
（14）令 ，则 ，
原式=
（15）令 ，则
原式=
（16）原式=
（17）原式=
（18）原式=
2、（1）原式=
（2）原式=0（因为 在 上为奇函数）
（3）原式=0（因为 在 上为奇函数）
由 解得
8.证明：
又 不存在.
处不可导.
习题2-2（1）
1.（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） ;
2.（1） 得 ;
（2） ,
得
3. ,
4.设曲线上点（ ）处切线为
由题意知： ，
，
习题2-2（2）
1.（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
(6)
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
2.（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
3.(1)
（3）
4.
5.
6.
习题2-3
1.（1）
（2）
（4）
(6)
2.（1）
（3）
习题2-4
1.（1）由
两端同时对x求导：
（2）
（3）
（4）
2.（1）
（2）
3.证明：任取一点为 ，由 可知
4.证明：由
5.
习题2-5
1.（1）
（2）
2.（1）令
（2）由
第三章中值定理与导数的应用
，而事实上 矛盾
方程 只有正根。
5.解： 为一元三次方程， 为一元二次方程，
故只有两个实根。
又
由罗尔定理知，两实根区间分别为 。
习题3-2
1.（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
（6）原式
（7）原式
（8）原式
（9）原式
（10）原式
（11）原式
（12）原式
2.解：
3.解：
若用洛必达法则，则无限循环，即
（4）原式=
3、（1）证明：令 ，则
所以
（2）证明：令 ，则 ，
所以
（3）证明：令 ，则 ，
所以
6、（1）原式=
（4）原式=
（6）原式=
（8）令 ，则原式=
（9）原式=
（10）原式=
习题5—4
1、（1）
（3） ，发散
2、（1） 为函数 的无穷间断点，所以原式= 发散
（3） 为函数 的无穷间断点，所以
习题5—1
1、
2、
3、
4、
习题5—2
1、（1） ，
（2）
2、
3、因为 时，解得
由于 ， ，故当 时取极值，极小值为
4、（1）
（2）
5、（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
（5）原式=
（6）原式=0（奇函数在对称区间上积分为0）
（7）原式=
（8）原式=
（9）原式=
（10）原式=
（11）原式=
(2)原式= ;
(3)原式= ;
(4)原式= ;
(5)原式= ;
(6)原式= ;
(7) ;
(8)原式= ;
(9)原式= .
2.
(1)原式= ;
(2)原式= ;
(3)原式= ;
(4)原式= ;
(5)原式= ;
(6)原式= .
3.
(1)原式= ;
(2)原式= ;
(3)原式= ;
(4)原式= .
4.
(1)原式= ;
习题3-1
1.解：设此点坐标为 .
过此点切线成平行于AB，
解得 ，即此点为 。
2.解：任取区间 ，显然 ，且 在 内可导，由拉格朗日中值定理有，至少存在一点 ，使得
3.证明：设
则 内可导。
由罗尔定理：至少 ，使得
即 必存在小于 的正根。
4.证明：设 ，则
即 在定义域内是单调递增函数。
若 ，使得 ，由单调性知，
（12）原式=
（13）原式=0（奇函数 在对称区间上积分为0）
（14）原式=
（15）原式=
（16）原式=
（17）原式=
（18）原式=
（19）原式=
解：
（1）解：因为原点是等加速，所以
（2）解：因为
所以
（3）解：
习题5—3
1、（1）原式=
（2）原式=
（3）令 ，则 ，
原式=
（4）令 ，则 ，
原式=
（5）令 ，
解得唯一驻点：
时，窗子通过的光线最多。
（2）由题意：
解得唯一驻点：
当 时，周界长度最小。
12.解：设一段长为 ，则另一段长度为 。
由题意知：
解得唯一驻点： 。
当 时，面积之和最小。
13.解：扇形的弧长为 ,此弧长为圆锥的周长，故 ，
高 ，
故
解得唯一驻点
当 时，做成的漏斗容积最大。
14.解：设底半径为 ，则 ，
（2）解： 曲线 在 处切线方程为 ，即 法线方程为 即 ；
（3）解： ， 曲线 在 处切线方程为 即 ，法线方程为 即 .
6.证明：任取曲线上一点（ ）,则 ，
过此点切线方程为 ,
又 切线在x，y两坐标系上的截距分别为 ， .
为常数.
7. 在 连续，
即 ………………………………………………………
又 在 处可导， ………
（9）原式=
（10）原式=
（11）原式=
（12）原式=
（13）原式=
（14）原式=
（15）原式=
（16）原式=
（17）原式=
（18）原式=
3.（1）令 ，则
原式=
（2）令
原式=
（3）令
原式=
（4）令
原式=
习题4-3
1．（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
=
2.（1）原式=
（2）令
原式=
第五章定积分
原式= 发散
第一章
习题1-1
5.(1)；
故反函数为： ；
(2) ，
.
6. (1) ;
(2)
(3)
习题1-2
1. 故 不存在.
2.
.
3.(1)0; (2)0; (3)0.
4. (1)当 时为无穷大，当 时为无穷小;
(2Baidu Nhomakorabea当 及 时为无穷大，当 时为无穷小;
(3)当 时为无穷大，当 及 时为无穷小.
习题1-3
1.
(1) ;
（11）原式=
（12）原式=
5.解：设此曲线方程为 ，由题意知：
∴
又∵曲线经过点 ，∴
故方程为
6.解：设质点的运动方程为 ，由题意有：
将初始值 代入得
∴
7．解：由题意：
8. 解：
将初始值 代入得
∴
习题4-2
2.(1)原式=
(2)原式=
（3）原式
（4）原式=
（5）原式=
（6）原式=
（7）原式=
（8）原式=