高等数学一(1)完整答案
高等数学1(理工类)第1章答案
高等数学第一章习题一、填空1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为),1[e2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)11(+x f 的定义域 [-1/2,0] 。
3.设⎩⎨⎧≤<-≤≤=211101)(x x x f ， 则)2(x f 的定义域 [0，1] 。
5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+∈,)4,(πππ6. 已知21)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。
7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()xf e 的定义域(,0]-∞8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦9. xxsin limx ∞→＝ 010.()()()=+-+∞→1761125632lim x x x x 17653。
11.x x x)21(lim -∞→＝ 2e -12.当∞→x 时，x1是比3-+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 23-14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界 有界 。
15.若A x f x x =→)(lim 0（A 为有限数），而)(lim 0x g x x →不存在，则)]()([lim 0x g x f x x +→ 不存在 。
16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。
（ 不一定 ） 17.函数23122++-=x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。
大一高数习题1答案解析
大一高数习题1答案解析大一高数习题1答案解析高等数学作为大一学生必修的一门课程，对于很多学生来说是一门相对较难的学科。
在学习过程中，习题的解答是非常重要的一环。
本文将对大一高数习题1的答案进行解析，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。
1. 题目：计算函数f(x)=3x^2-2x+1在x=2处的函数值。
解析：将x=2代入函数f(x)，得到f(2)=3(2)^2-2(2)+1=12-4+1=9。
所以函数f(x)=3x^2-2x+1在x=2处的函数值为9。
2. 题目：已知函数f(x)=x^3-2x+1，求f'(x)。
解析：对函数f(x)进行求导，首先对x^3-2x+1分别求导，得到3x^2-2。
所以函数f'(x)=3x^2-2。
3. 题目：已知函数f(x)=x^2+2x+1，求f(-1)。
解析：将x=-1代入函数f(x)，得到f(-1)=(-1)^2+2(-1)+1=1-2+1=0。
所以函数f(x)=x^2+2x+1在x=-1处的函数值为0。
4. 题目：已知函数f(x)=2x^3+3x^2-4x+1，求f''(x)。
解析：对函数f'(x)=6x^2+6x-4进行求导，得到f''(x)=12x+6。
5. 题目：已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)=0的解。
解析：将f'(x)=3x^2-3=0，化简得到x^2-1=0，进一步化简得到(x-1)(x+1)=0。
所以f'(x)=0的解为x=1和x=-1。
通过以上习题的解析，我们可以看出大一高数习题1主要涉及函数的计算和求导。
在解答这些习题时，我们需要掌握函数的基本运算规则和求导的方法。
同时，我们还需要注意一些常见的计算错误，比如在计算过程中漏写符号、计算错误等。
在学习高等数学的过程中，习题的解答是非常重要的，它可以帮助我们巩固所学的知识，提高解题能力。
因此，我们要充分利用课后习题，多做练习，加深对知识点的理解和掌握。
地大20秋《高等数学(一)》在线作业一【标准答案】
B: 10
C: -10
D: 1
正确答案: C
(单选题)8: 下列集合中为空集的是( )
A: {x|e^x=1}
B: {0}
C: {(x, y)|x^2+y^2=0}
D: {x| x^2+1=0,x∈R}
正确答案: D
(单选题)9: 微分方程y'=2x+sinx的一个特解是（ ）
A: y=x^2+cosx
B: y=x^2-cosx
C: y=x+cosx
D: y=x-cosx
正确答案: B
(单选题)10: ∫{(e^x-1)/(e^x+1)}dx 等于( )
A: (e^x-1)/(e^x+1)+C
B: (e^x-x)ln(e^x+1)+C
C: x-2ln(e^x+1)+C
D: 2ln(e^x+1)-x+C
A: 0
B: 1: C
(单选题)8: 下列集合中为空集的是( )
A: {x|e^x=1}
B: {0}
C: {(x, y)|x^2+y^2=0}
D: {x| x^2+1=0,x∈R}
正确答案: D
(单选题)9: 微分方程y'=2x+sinx的一个特解是（ ）
A: y=x^2+cosx
正确答案: B
(判断题)20: 一元函数可导的充要条件是左右导数都存在且相等。
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)21: 函数的微分形式总是保持不变的性质叫微分的一阶形式不变性。
A: 错误
B: 正确
高等数学(一)参考答案
《高等数学（一）》作业参考答案一、求下列函数的定义域（1）[0，+∞]；（2）（-1，∞+）。
（3）),1()1,(+∞⋃-∞二、用区间表示变量的变化范围：（1）(],6-∞（2）[]2,0 （3）[]3,5-三、求下列极限(1）[]33131(lim )1(lim e x x x x x x x =+=+∞→∞→； (2)hh xh h x h x h h 202202lim )(lim +=-+→→ =x h x h 2)2(lim 0=+→(3)lim 1n n n →∞== (4）2211lim 1lim 2lim 12(lim x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→+-=+- =2 (5)0lim1=∞→x x , 且2arctan π≤x , 0arctan lim =∴∞→xx x (6)xx x x x x x x sin 2sin 2lim sin 22cos 1lim 200→→=- =1sin lim 0=→xx x ; (7）2)(1)(1(61lim 6)12)(2)(1(lim1213n n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ =;31(8)00sin 555lim lim ;sin 222x x x x x x →→== (9))45)(1()45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x +----=---→→ =2454lim1=+-→x x x (10）31lim 3lim 13(lim 33=+=+∞→∞→∞→nn n n n ； (11);1lim sin )sin(lim 550550==→→xx x x x x (12)33lim 3tan lim 00==→→xx x x x x （13）32000sin 1cos sin 1lim lim lim 366x x x x x x x x x x →→→--=== （14）2222112211lim lim 134324x x x x x x x x x x→∞→∞+-+-==-+-+四、求下列函数的微分：（1）[])4sin(+=wt A d dy=)4sin(+wt Ad=)4()4cos(++wt d wt A=dt wt Aw )4cos(+(2)[])3cos(x ed dy x -=- =)3cos()3cos(x de de x x x -+--- =dx x e dx x ex x )3sin()3cos(-+---- =[]dx x x e x )3cos()3sin(----五、求下列函数的导数 (1）463'2+-=x x y ；(2）x x x y 2sin cos sin 2'==；(3）)'ln 1(ln 11'2221x x y +⋅+⋅= =x x xx x x221ln 1ln ln 12ln 2+=+⋅(4)'1sin '(cos )tan ;cos cos x y x x x x-===- (5);ln 1ln )ln ('221'xx x x x x x y x -=-⋅== (6)'2')21()21(1)211('x x x y +⋅+-=+= =2)21(2x +-; (7)4)7(5'+=x y ;(8) 221212)'1('x x xe x e y ++=+⋅=;(9)3.013.13.13.1'x xy ==-; (10)22212)'1(11'xx x x y +=+⋅+=； (11)313)52(8)52()52(4'+=+⋅+=x x x y (12)x x x x y ln 1)'(ln ln 1'==六、求下列函数的二阶导数（1）xy +=11'， 2)1(1''x y +-=； （2）x x e x xey 22222'+= x x x x e x xe xe e y 222224442''+++= =)241(222x x e x ++（3）,cos 'x y = ;sin ''x y -=七、求下列不定积分(1）12x dx c-==+⎰⎰; (2)dx x xdx ⎰⎰+=22cos 1cos 2 =c x x ++2sin 4121; (3)c x x dx ++=+⎰1ln 1; (4)⎰⎰-=x xd xdx cos sin sin 23=x d x cos )cos 1(2⎰-- =⎰⎰-x d x xd cos cos cos 2 =c x x +-cos cos 313; (5)⎰⎰--=-14)14(4114x x d x dx =c x +-14ln 41; (6)⎰⎰⎰+=+x dx xdx dx x x822(8 =28ln x x c ++; (7）dx x dx x x ⎰⎰+-=+)111(1222 =c x x +-arctan ; (8);21ln 2121)21(2121c x x x d x dx +--=---=-⎰⎰ (9);cos ln cos cos cos sin tan c x x x d dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰(10）⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 21ln 21ln 21ln 222 =⎰-xdx x x 21ln 212 =c x x x +-2241ln 21 (11) c x dx x xxdx +==⎰⎰3532353 （12）4222232223313(1)11(3arctan 111x x x x dx dx x dx x x C x x x++++==+=+++++⎰⎰⎰ 八、求下列定积分：(1）[];2cos sin 00=-=⎰ππx xdx (2）[]11121arctan 1dx x x --=+⎰ =244)(πππ=--。
高等数学一上册教材答案
高等数学一上册教材答案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。
用数学符号表示为：y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量，f(x) 是函数关系。
函数的性质（1）定义域和值域定义域是自变量可能的取值范围，值域是因变量对应的所有可能取值的范围。
（2）奇偶性如果对任意 x，有 f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对任意 x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
（3）单调性如果对任意 x1、x2，当 x1 < x2 时有f(x1) ≤ f(x2)，则函数为增函数；如果对任意 x1、x2，当 x1 < x2 时有f(x1) ≥ f(x2)，则函数为减函数。
1.2 一次函数与二次函数一次函数一次函数的标准式表示为 y = kx + b，其中 k 是斜率，b 是 y 轴截距。
一次函数的图像是一条直线，它的性质包括：与 y 轴平行的直线的斜率为零，与 x 轴平行的直线的斜率为无穷大。
例题：已知函数 f(x) = 3x + 2，求 f(2) 的值。
解：将 x 替换为 2，得到 f(2) = 3(2) + 2 = 8。
二次函数二次函数的标准式表示为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，它的性质包括：抛物线开口向上（a > 0）或向下（a < 0），顶点的横坐标为 -b/2a。
例题：已知函数 f(x) = x^2 + 2x - 1，求 f(-1) 的值。
解：将 x 替换为 -1，得到 f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 1 = -2。
1.3 幂函数与指数函数幂函数幂函数的定义形式为 y = x^p，其中 p 是常数。
幂函数的图像随着 p 的取值不同，可能是增函数、减函数或常数函数。
例题：已知函数 f(x) = x^3，求 f(2) 的值。
高等数学1(上册)试题答案及复习要点汇总(完整版)
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
21 D. 21 C. 12 B. 21 A.)A (4 sin 1cos cos 22----+=⎩⎨⎧+=+=点处的法线斜率为上在对应曲线、πt t y t t x大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.=+→xx x sin 2)31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 .7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：10330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
高等数学1教材 答案
高等数学1教材答案高等数学1是大学数学专业的必修课程之一，它为学生提供了进一步拓展和深入理解数学概念的机会。
本文将提供高等数学1教材的答案，帮助学生巩固所学知识，并提高解题能力。
一、导数与微分1. 求函数f(x)=2x^3-5x^2+3x的导数。
解: f'(x)=6x^2-10x+32. 求函数f(x)=x^4-2x^3+4x的二阶导数。
解: f''(x)=12x^2-12x+4二、极值与最值1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x的极值点。
解: 首先求导数 f'(x)=3x^2-12x+9，令导数为0并解方程得到x=1。
将x=1代入原函数，得到f(1)=4。
所以极小值点为(1,4)。
2. 求函数f(x)=3x^4-8x^3+12x的最大值。
解: 首先求导数 f'(x)=12x^3-24x^2+12，令导数为0并解方程得到x=1。
将x=1代入原函数，得到f(1)=7。
所以最大值为7。
三、定积分与不定积分1. 求函数f(x)=2x的不定积分。
解: F(x)=x^2+C，其中C为常数。
2. 求函数f(x)=x^2在区间[0,2]上的定积分。
解: ∫[0,2] x^2 dx = [1/3*x^3]0~2 = 8/3。
四、曲线的参数方程1. 给定曲线的参数方程为x=cos(t)，y=sin(t)，求曲线上的切线方程。
解: 首先求导数 dx/dt=-sin(t) 和 dy/dt=cos(t)。
然后利用导数求切线方程y-y0=(dy/dx)(x-x0)，代入导数值和曲线上一点的坐标(cos(t0),sin(t0))，得到切线方程 y-sin(t0)=cot(t0)(x-cos(t0))。
五、级数求和1. 求级数∑(n=1 to ∞) 2^n的和。
解: 由等比数列求和公式，级数的和为 S=a/(1-r)，其中a为首项，r为公比。
所以∑(n=1 to ∞) 2^n的和为 2/(1-2) = -2。
大学高等数学第一册考试试题答案详解
大学高等数学第一册考试试题答案详解【大学高等数学第一册考试试题答案详解】一、选择题：1. 答：B解析：首先应用导数求解微分方程，得到特解y=e^x。
再将y=e^x 代入$x^2y''+xy'-y=0$式中，可以得到等式左边为0，故选项B正确。
2. 答：D解析：根据导数的定义得出，当x=1时，函数f(x)的导数为0，由此可推知f(x)在x=1处取极值。
又根据极值点的判定条件，当导数变号时，极值达到。
从而得出答案为选项D。
3. 答：C解析：由公式算得h(t)=1−0.2t，比较上下限得到兴趣区间为(0,5]，同时根据积分的定义算得兴趣总量为1.2。
4. 答：A解析：利用二重积分计算可以得出此立体体积为选项A中的数字。
5. 答：D解析：根据函数与其导函数的关系，对f(-3)进行积分，可以得到选项D的答案。
二、填空题：1. 答：$-1/4$解析：利用分部积分法计算，并带入上下限，得到此结果。
2. 答：2解析：根据积分的性质计算得到积分结果为2。
3. 答：27解析：由多重积分公式计算得积分结果为27。
4. 答：0.5解析：利用积分求解二次方程得出结果为0.5。
5. 答：$\arcsin(2/3)+C$解析：通过求导验证可得到该结果。
三、解答题：1. 答：解释二重积分与定积分的关系。
解析：二重积分是定积分的推广，用于计算平面区域上的面积，其中积分的上下限分别为该区域的y轴边界函数和x轴边界函数。
定积分则是对一个区间上的函数进行求和，其中积分的上下限为该区间的起点和终点。
2. 答：证明洛必达法则在极限存在的条件下成立。
解析：洛必达法则用于解决极限存在但无法直接求解的情况。
在证明洛必达法则成立时，可以通过应用导数定义以及泰勒级数展开等方法进行推导，最终得到洛必达法则的条件以及成立的证明过程。
四、应用题：1. 答：$\frac{1}{6}\pi^3$解析：根据旋转体体积的计算公式，可以得到此结果。
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（6）令 ，则
原式=
（7）令 ，则
原式=
（8）令 ，则
原式=
（9）原式=
（10）原式=
（11）原式=
（12）原式=
（13）原式=
（14）令 ，则 ，
原式=
（15）令 ，则
原式=
（16）原式=
（17）原式=
（18）原式=
2、（1）原式=
（2）原式=0（因为 在 上为奇函数）
（3）原式=0（因为 在 上为奇函数）
原式= 发散
，而事实上 矛盾
方程 只有正根。
5.解： 为一元三次方程， 为一元二次方程，
故只有两个实根。
又
由罗尔定理知，两实根区间分别为 。
习题3-2
1.（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
（6）原式
（7）原式
（8）原式
（9）原式
（10）原式
（11）原式
（12）原式
2.解：
3.解：
若用洛必达法则，则无限循环，即
（4）原式=
3、（1）证明：令 ，则
所以
（2）证明：令 ，则 ，
所以
（3）证明：令 ，则 ，
所以
6、（1）原式=
（4）原式=
（6）原式=
（8）令 ，则原式=
（9）原式=
（10）原式=
习题5—4
1、（1）
（3） ，发散
2、（1） 为函数 的无穷间断点，所以原式= 发散
（3） 为函数 的无穷间断点，所以
故 ，
，得唯一驻点： 。
当 ， 时，圆柱体积最大。
15.解：设生产 台，利润最大。
则目标函数为
由 得唯一驻点 ，
当 台时，才能获得最大利润。
第四章不定积分
习题4-1
3．解：
4.(1) 原式=
(2)原式=
（3）原式=
（4）原式=
（5）原式=
（6）原式=
（7）原式=
（8）原式=
（9）原式=
（10）原式=
故不可用。
4.解：显然
若用洛必达法则，则有
当 时， 无极限，故上式不满足洛必达法则的条件。
习题3-3
3.(1)
(3)
4.（1）令
则
即 。
（2）令
则当
考虑到
故 为单调递增函数，又
故
同上：
（3）令
a)当
b)当
。
5.令 上无解。
当 。
考பைடு நூலகம்到 ，
为单调递减函数，与 轴有且仅有一个交点。
故方程 只有一个实根。
（11）原式=
（12）原式=
5.解：设此曲线方程为 ，由题意知：
∴
又∵曲线经过点 ，∴
故方程为
6.解：设质点的运动方程为 ，由题意有：
将初始值 代入得
∴
7．解：由题意：
8. 解：
将初始值 代入得
∴
习题4-2
2.(1)原式=
(2)原式=
（3）原式
（4）原式=
（5）原式=
（6）原式=
（7）原式=
（8）原式=
8. (1)当 时，由 ，得驻点 。
为最大值， 为最小值。
(2)当 时，由 知无解。
为最大值， 为最小值。
(3)当 时，由 ，得驻点 。
，
为最小值， 为最大值。
9解：设经过t小时后，两船相距距离最近，则 ，
由 得唯一驻点 ，
时，两船相距最近。
10.解：设 ，则
则
由
得唯一驻点 。
11.解（1）由题意：
又
① 若 则由零点定理知，至少存在一点 使得 是不超过 的一个正根；
2若 则 就是题设方程的一个正根.
综合①、② 知，命题成立.
第二章导数与微分
习题2-1
1.（1） ;（2） ;
（3） ;（4） .
2.（1） ;
（2） ;
（3） .
3. .
4. .
5．（1）解： ， 曲线 在 处切线方程为 ,即 法线方程为 即 .
(2)原式= ;
(3)原式= ;
(4)原式= ;
(5)原式= ;
(6)原式= ;
(7) ;
(8)原式= ;
(9)原式= .
2.
(1)原式= ;
(2)原式= ;
(3)原式= ;
(4)原式= ;
(5)原式= ;
(6)原式= .
3.
(1)原式= ;
(2)原式= ;
(3)原式= ;
(4)原式= .
4.
(1)原式= ;
第一章
习题1-1
5.(1)；
故反函数为： ；
(2) ，
.
6. (1) ;
(2)
(3)
习题1-2
1. 故 不存在.
2.
.
3.(1)0; (2)0; (3)0.
4. (1)当 时为无穷大，当 时为无穷小;
(2)当 及 时为无穷大，当 时为无穷小;
(3)当 时为无穷大，当 及 时为无穷小.
习题1-3
1.
(1) ;
（3）
（4）
（5）
（6）
3.(1)
（3）
4.
5.
6.
习题2-3
1.（1）
（2）
（4）
(6)
2.（1）
（3）
习题2-4
1.（1）由
两端同时对x求导：
（2）
（3）
（4）
2.（1）
（2）
3.证明：任取一点为 ，由 可知
4.证明：由
5.
习题2-5
1.（1）
（2）
2.（1）令
（2）由
第三章中值定理与导数的应用
（2）解： 曲线 在 处切线方程为 ，即 法线方程为 即 ；
（3）解： ， 曲线 在 处切线方程为 即 ，法线方程为 即 .
6.证明：任取曲线上一点（ ）,则 ，
过此点切线方程为 ,
又 切线在x，y两坐标系上的截距分别为 ， .
为常数.
7. 在 连续，
即 ………………………………………………………
又 在 处可导， ………
由 解得
8.证明：
又 不存在.
处不可导.
习题2-2（1）
1.（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） ;
2.（1） 得 ;
（2） ,
得
3. ,
4.设曲线上点（ ）处切线为
由题意知： ，
，
习题2-2（2）
1.（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
(6)
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
2.（1）
（2）
6.求极值：
（1） ,解得驻点为 ，
的某个邻域内， 不取极值。
当 时， 为其极大值。
(3) 解得驻点为
当 时， 故 为极小值。
当 时， 故 为极大值。
（5）定义域为： 。
，解得驻点为 。
当
当 时， ，故 为极小值。
7. ，由 为 的极值点知：
当 时， ，故 为极小值点。
当 时， ，故 为极大值点。
综上： 处取极小值，在 取极大值。
习题3-1
1.解：设此点坐标为 .
过此点切线成平行于AB，
解得 ，即此点为 。
2.解：任取区间 ，显然 ，且 在 内可导，由拉格朗日中值定理有，至少存在一点 ，使得
3.证明：设
则 内可导。
由罗尔定理：至少 ，使得
即 必存在小于 的正根。
4.证明：设 ，则
即 在定义域内是单调递增函数。
若 ，使得 ，由单调性知，
习题5—1
1、
2、
3、
4、
习题5—2
1、（1） ，
（2）
2、
3、因为 时，解得
由于 ， ，故当 时取极值，极小值为
4、（1）
（2）
5、（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
（5）原式=
（6）原式=0（奇函数在对称区间上积分为0）
（7）原式=
（8）原式=
（9）原式=
（10）原式=
（11）原式=
解得唯一驻点：
时，窗子通过的光线最多。
（2）由题意：
解得唯一驻点：
当 时，周界长度最小。
12.解：设一段长为 ，则另一段长度为 。
由题意知：
解得唯一驻点： 。
当 时，面积之和最小。
13.解：扇形的弧长为 ,此弧长为圆锥的周长，故 ，
高 ，
故
解得唯一驻点
当 时，做成的漏斗容积最大。
14.解：设底半径为 ，则 ，
(2)原式=
.
5.
(1)令 , 则 , ,故 时， ;
(2)令 , 则 , ,故得证.
习题1-4
1.
(1) 为可去间断点，补充定义 ;
(2) 为跳跃间断点（因 ）;
2.
（1） ;
（2） .
3.
（1）原式= ;
（2）原式= ;
（3）原式= ;
（4）原式= ;
（5）原式= ;
（6）原式= ;
4.证明：设 显然， 在 上连续，
（9）原式=
（10）原式=
（11）原式=
（12）原式=
（13）原式=
（14）原式=
（15）原式=
（16）原式=
（17）原式=
（18）原式=
3.（1）令 ，则
原式=