高等数学讲义(一)
高等数学精简讲义(pdf版)
f ''(0) + 1 6
f '''(η2 )
两式相减： f '''(η1 ) + f '''(η2 ) = 6
∃ξ
∈[η1，η2 ]，∋
f
'''(ξ )
=
1[ 2
f
'''(η1) +
f
'''(η2 )] =
3
13. e < a < b < e2 ，求证： ln 2 b − ln 2 a > 4 (b − a) e2
三、补充习题（作业）
1. lim e x −1 − x = −3 （洛必达） x−>0 1 − x − cos x
2. lim ctgx( 1 − 1 )
x−>0
sin x x
∫x x e−t2 dt
3. lim x−>0
0
1− e−x2
=1
（洛必达或 Taylor） （洛必达与微积分性质）
第二讲 导数、微分及其应用
二、题型与解法 A.极限的求法
（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与 Taylor 级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1. lim x−>0
证： f (x) = f (0) + f '(0)x + 1 f ''(0)x2 + 1 f '''(η)x3
高等数学教材讲义
高等数学教材讲义第一章导数与微分1.1 导数的定义与性质在这一节中，我们将介绍导数的定义及其基本性质。
导数是描述函数变化率的重要概念，它与切线的斜率密切相关。
我们将详细解释导数的定义，并通过例题演示如何求取导数。
1.2 常见函数的导数本节将探讨一些常见函数的导数计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及其他一些常见函数。
我们将给出这些函数的导数公式，并通过具体例子进行说明和求解。
1.3 高阶导数在这一节中，我们将讨论高阶导数及其应用。
高阶导数描述了函数变化率变化的速度，它可以帮助我们更全面地理解函数的性质。
我们将介绍高阶导数的定义和计算方法，并通过实例说明如何应用高阶导数解决实际问题。
第二章积分与定积分2.1 不定积分与原函数这一节我们将引入不定积分的概念，并介绍原函数的定义及其计算方法。
不定积分是求解定积分的重要步骤，它可以帮助我们找到函数的原始形式。
我们将详细解释不定积分的定义和性质，并通过实例演示如何求取原函数。
2.2 定积分的概念与性质在这一节中，我们将介绍定积分的概念和性质。
定积分描述了函数在一定区间内的累积变化量，它可以用来计算曲线下的面积、求解平均值等。
我们将详细讲解定积分的定义和性质，并通过例题演示如何求解定积分。
2.3 定积分的计算方法本节将讨论定积分的计算方法，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
这些方法可以帮助我们解决各种形式的定积分问题。
我们将给出这些方法的具体步骤，并通过实例演示如何应用它们求解定积分。
第三章微分方程3.1 微分方程的基本概念在这一节中，我们将介绍微分方程的基本概念和分类。
微分方程是描述变量之间关系的方程，它在自然科学和工程技术中具有广泛应用。
我们将详细解释微分方程的定义和分类，并通过例题演示如何求解微分方程。
3.2 常微分方程本节将讨论常微分方程的求解方法。
常微分方程是最常见的微分方程类型之一，它描述了未知函数及其导数之间的关系。
同济大学的高等数学讲义 (1)
1 xn − 1 < 4 10 只要n>10000即可．即从第10001项开始的以后所有项都
满足这一要求． 一般：要使
1 xn − 1 < k 10 只要n>10k 即可．即从第(10k+1)项开始的以后所有项都
满足这一要求．
对上面例的分析，可以看到，无论一个正数取得多么 小，总可以找到自然数n，在这项以后的所有项与1的距 离都可以小于该数．数学上用ε 来表示一个任意小的正 数．由此得到极限的精确定义：
我们知道：两个数a 和b 的接近程度可用两数差的绝 对值来刻画．
(−1)n+1 x − 1 = 1 对数列 xn = 1 + ，n ，故只要n充分大， n n xn − 1 就充分小．例如要使
xn − 1 < 1 10 2
只要n>100即可．即从第101项开始的以后所有项都满足 这一要求；
再如，要使
3.极限的定义 定义 设数列 ( x n )n =1 ，如果存在常数a，使得对任意给
∞
定的正数ε (不论它多么小)，总存在自然数N，只要N>n, 不等式
xn − a < ε
都成立，那么称常数a 是数列 ( x n )n =1 的极限，，或则
∞
称数列 ( x n )n =1 收敛于a，记为
∞
lim xn = a,
∴ ∀ε > 0, 取δ = ε , 当 0 < x − (− 1 ) < δ , 有
从而当n>N时，有
xn = ( xn − a ) + a ≤ xn − a + a ≤ 1 + a ,
取
M = max{ x1 , x2 ,
xN ,1 + a },
高等数学讲义教材
高等数学讲义教材第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质函数是数学中最基本的概念之一，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
函数可以用公式、图表或者图形来表示。
在这一章中，我们将介绍函数的定义、分类以及常见的函数性质。
1.2 极限的概念与性质极限是数学分析的重要概念之一。
它描述了随着自变量趋近某个值时，函数的变化趋势。
在这一节中，我们将介绍极限的定义、性质以及常见的求解方法。
第二章导数与微分2.1 导数的定义与求导法则导数是描述函数在某一点上的变化率的概念。
它可以用于求解函数的最大值、最小值以及函数的图像特征。
在这一节中，我们将介绍导数的定义、求导法则以及常见的导数计算方法。
2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种应用形式，它可以用于求解函数在某一点上的近似变化量。
在这一节中，我们将介绍微分的概念、微分的计算方法以及微分在实际问题中的应用。
第三章积分与定积分3.1 积分的定义与性质积分是导数的反向运算，它可以用于计算曲线下面的面积、求解定积分以及求解函数的原函数。
在这一章中，我们将介绍积分的定义、性质以及常见的积分计算方法。
3.2 定积分的定义与应用定积分是积分的一种特殊形式，它可以用于求解曲线下面的面积、计算曲线的长度以及求解函数的平均值。
在这一节中，我们将介绍定积分的定义、定积分的计算方法以及定积分在实际问题中的应用。
第四章微分方程4.1 微分方程的基本概念微分方程是描述自变量、函数及其导数之间关系的方程。
它在物理学、工程学以及经济学中有着广泛的应用。
在这一节中，我们将介绍微分方程的基本概念、分类以及常见的解法方法。
4.2 常微分方程的解法常微分方程是一类特殊形式的微分方程，它可以用一些常见的解法方法进行求解。
在这一节中，我们将介绍常微分方程的解法思路、常微分方程的解法技巧以及常微分方程在实际问题中的应用。
结语高等数学是大学数学学科中的重要课程之一。
通过学习这门课程，我们可以深入理解函数与极限、导数与微分、积分与定积分以及微分方程等概念与方法，为今后的学习与研究打下坚实的数学基础。
自考高等数学(一)微积分串讲讲义1
试题特点：知识点覆盖全面， 大多数题目难度不大，个别题目有一定的难度， 但都没有超出大纲要求。
复习要求：不报侥幸心理， 复习要涉及每个知识点。
每个知识点要做相应的练习题。
高等数学(一)微积分一元函数微分学( 第三章、第四章)一元函数积分学（第五章）第一章函数及其图形第二章极限和连续多元函数微积分（第六章）高数一串讲教材所讲主要内容如下：全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分 函数极限与连续（包括级数） 第二部分 导数及其应用（包括多元函数）第三部分 积分计算及其应用 （包括二重积分和方程）第一部分 函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
二、极限与连续常见考试题型：1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在，函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。
每年必有的考点第三部分导数微分及其应用常见考试题型：1、导数的几何意义；2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。
3、求函数的导数：复合函数求导，隐含数求导，参数方程求导；4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；5、求闭区间上连续函数的最值；6、实际问题求最值。
每年必有的考点第四部分积分计算及应用考试常见题型1、不定积分的概念与计算；2、定积分的计算；3、定积分计算平面图形的面积；4、定积分计算旋转体的体积；5、无穷限反常积分6、二重积分7、微分方程最近几年考题中，积分计算的题目较多，而且也有一定的难度。
第一部分函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型：1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
例1..函数y=23log log x 的定义域是___________. 2007.7 知识点：定义域约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。
(完整word版)高等数学辅导讲义.doc
第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。
解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。
大学《高等数学》核心考点精讲讲义(附例题练习)
（2）“ ∀ 正整数 N ， ∃ 正整数 K ，当 0 <
x − x0
≤1 K
时，恒有
f (x) − A ≤ 1 2N
”是
“ lim f (x) = A ”的充要条件； x→x0
（3）“ ∀ε ∈ (0,1) ， ∃ 正整数 N ，当 n ≥ N 时，恒有| xn − a |≤ 2ε ”是“数列{xn} 收敛于 a ”
<δ
时，恒有
f (x) − A
<ε
1
注：趋向方式六种
（2）数列极限定义：
lim
n→∞
xn
=
a
⇔
∀ε
>
0, ∃N
>
0, 当 n
>
N
时，恒有
xn
−a
<ε
注：趋向方式只有一种
【例】以下三个说法，
ε
（1）“ ∀ε > 0 ，∃X > 0 ，当 x > X 时，恒有 f (x) − A < e10 ”是“ lim f (x) = A ”的充要条 x→+∞
【例】求极限 lim( 1 − cos2 x) x→0 sin2 x x2
4
②没有分母，创造分母，再通分
1
【例】求极限 lim [x2 (e x −1) − x] x→+∞
第三组： ∞0 00 1∞
1
【例 1】求极限 lim (x + 1+ x2 ) x x→+∞
1
【例 2】求极限 lim(tan x) cos x−sin x x→π 4
数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有界.
（3）若极限不存在，则转向“四则运算规则”——有限个有界函数与有界函数的和、差、积
考研数学强化班高等数学讲义汤家凤
第一讲 极限与连续主要内容归纳（略）要点题型解说一、极限问题种类一：连加或连乘的求极限问题 1．求以下极限：（ 1） lim111；n13 35(2n1)(2n 1)（ 2） limnk 3 1 ；1nk 2k 3n（ 3） lim [nk 11] n ；k (k 1)2．求以下极限：（ 1） lim111；222n4n 14n24nn3．求以下极限：（ 1） lim111；22222nn 2 n n21 n（ 2） lim nn!；nnn 1（ 3） lim。
ni2i 11nn种类二：利用重要极限求极限的问题 1．求以下极限：（ 1） lim cos x cos xcos x(x0) ；( n 1) n 112 n （ 2） limnsin；n222nnn2．求以下极限：1（ 1） lim 1 sin x 2 1 cos x ；x 011（ 3） lim1 tan x x 3ln(1 2 x)（4） lim cos1 sin x；xx 0x种类三：利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题1．求以下极限：x 2；（ 1） lim1 tan x 1 sin x ；（ 2） lime tan xe x ；x 0x(1 cosx) x 0x(1 cosx)（ 3） lim1 2 cos xx1] ；（ 4） lim (11) ；x 3 [(3)x 2tan 2x 0xx（ 5） lim(3 x) x3 x2；x 0xln(1 f (x) ) f (x)（ 6）设 lim sin xA ，求 lim 。
x2x 0 a 1 x 0 xx 22．求以下极限： lim cos x e 23x 0x sin x种类四：极限存在性问题：1．设 x 1 1, x n 11 x n0 ，证明数列 { x n } 收敛，并求 lim x n 。
nnn2．设 f ( x) 在 [ 0, ) 上单一减少、非负、连续， a nf (k)f (x)dx(n 1,2, ) ，证明：k11lim a n 存在。
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高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。
用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。
它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。
“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。
时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。
第1讲 函数1.2 函数要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。
一、常量与变量先看几个例子：圆的面积公式2πr S =自由活体的下落距离2021gt t v s += 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。
变量可以视为实属集合（不止一个元素）。
二、函数的定义定义1.1 设D 是一个非空数集。
如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为)(x f y =并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。
实数集合},)(;{D x x f y y Z ∈==称为函数f 的值域。
看看下面几个例子中哪些是函数：}6,3,1{=Xf}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ⊂。
}7,6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。
例1 求函数x y -=1的定义域。
解 在实数范围内要使等式有意义，有01≥-x即fff1≤x所以函数的定义域为]1,(-∞。
例2 求函数2411x x y -+-=的定义域。
解 在实数范围内要使第一个等式有意义，有01≠-x即1≠x在实数范围内要使第二个等式有意义，有042≥-x 或 42≤x即2≤x 或 22≤≤-x所以函数的定义域为]2,1()1,2[ -。
三、函数表示法函数表示法主要有以下三种⒈解析法用数学式子表示变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法。
例如2x y =x y sin =⎩⎨⎧>-≤+=0,10,1)(x x x x x f ⒉图形法在平面直角坐标系中满足一定条件的曲线图形，也可以确定一个函数关系，这种表示函数的方法称为图形法。
例如表示一天内温度随时间变化的函数关系。
⒊列表法在实际应用中把一系列自变量值及其相对应的函数值列成表，这种表示函数的方法称为列表法。
如对数函数表、三角函数表等等。
四、函数的几种属性⒈单调性请看下面两个图左边的图形表示，函数值随自变量的增加而增加，就称函数单调增加，数学上描述为：如果当任意的),(,21b a x x ∈且21x x <时，恒有)()(21x f x f <则称函数)(x f 在区间),(b a 内是单调上升的或单调增加的。
右边的图形表示，函数值随自变量的增加而减少，就称函数单调减少，数学上描述为：如果当任意的),(,21b a x x ∈且21x x <时，恒有)()(21x f x f >则称函数)(x f 在区间),(b a 内是单调下降的或单调减少的。
⒉奇偶性请看下面两个图左边的函数图形关于y 轴对称，就称函数是偶函数，数学上描述为：如果函数)(x f y =的定义域D 以原点为对称，且恒满足等式)()(x f x f =-，则称)(x f 是偶函数。
右边的函数图形关于原点对称，就称函数是奇函数，数学上描述为：如果函数)(x f y =的定义域D 以原点为对称，且恒满足等式)()(x f x f -=-，则称)(x f 是奇函数。
例3 判断下列函数的奇偶性： ⑴x x f =)(； ⑵)1,1(11lg )(-∈+-=x x xx f解 ⑴由绝对值的性质，对任意x 有)()(x f x x x f ==-=-由此可知)(x f 是偶函数。
⑵由对数函数的性质，对任意)1,1(-∈x 有1)11lg(11lg )(1)(1lg )(-+-=-+=-+--=-x xx x x x x f)(11lg x f x x-=+--=由此可知)(x f 是奇函数。
判断函数的奇偶性也可以利用以下结论：偶函数加减偶函数是偶函数奇函数加减奇函数是奇函数偶函数乘偶函数是偶函数奇函数乘奇函数是偶函数奇函数乘偶函数是奇函数例如，x x y sin +=是奇函数，x x y cos =也是奇函数。
1.3 初等函数要了解初等函数，首先从以下开始一、基本初等函数我们将以下几类函数称为基本初等函数，它们是⒈常数函数 R c c y ∈=常数函数的图形如下⒉幂函数 R x y ∈=αα幂函数的图形如下⒊指数函数1,0≠>=a a a y x指数函数的图形如下⒋对数函数1,0log ≠>=a a x y a对数函数的图形如下⒌三角函数正弦函数 x y sin =余弦函数 x y cos =正切函数 x y tan =余切函数 x y cot =正弦、余弦、和正切函数的图形分别是⒍反三角函数反正弦函数 x y arcsin =反余弦函数 x y arccos =反正切函数 x y arctan =反正弦、反余弦、和反正切函数的图形分别是二、函数的复合运算在介绍函数的复合运算之前，先介绍函数的四则运算：设)(x f ，)(x g 是两个函数，定义域分别为1D ，2D ，如果21D D D =不是空集，那么在D 上可以得到以下函数)()(x g x f + )()(x g x f -)()(x g x f ⋅ )(/)(x g x f这里要注意，最后一个函数)(/)(x g x f 的定义域要在D 中去掉使0)(=x g 的点。
除了函数的四则运算外，再看下面复杂一些的运算，如函数x y sin lg =可以看作由函数u y lg =和x u sin =构成的，这种构成方式就是一种新的运算。
一般地，由两个函数)(u f y =和)(x g u =构成的对应规则))((x g f y =称为f 和g 这两个函数的复合函数。
三、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而成，能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
函数⎩⎨⎧>+≤=0,10,sin )(x x x x x f 不是初等函数，这类函数称为分段函数。
第2讲 极限与连续微积分的主要研究对象是函数，它所使用的一个重要工具就是我们要在下面介绍的——极限。
极限的严格描述奠定了微积分的理论基础，而微积分学几乎所有的重要概念都以不同的极限形式来表示。
2.2 函数的极限一、极限的概念首先让我们看看反正切函数x y arctan =的图形当自变量x 向∞+变化时，函数值在向2π靠近。
而且x 向∞+充分接近时，函数值可以和2π任意靠近。
我们将x 向∞+充分接近说成x 趋于∞+，记为+∞→x 。
一般地，当自变量x 趋于∞+时，如果函数)(x f 的函数值和某个常数A 任意靠近，我们就称函数)(x f 当x 趋于∞+时以A 为极限（或称当x 趋于∞+时，)(x f 的极限是A ）。
记为A x f x =+∞→)(lim 或 )()(+∞→→x A x f如我们在开始看到的情形就是 2πarctan lim =+∞→x x 类似可以得到B x f x =-∞→)(lim ，仍以反正切函数为例，有 2πarctan lim -=-∞→x x 再一次观察反正切函数x y arctan =的图形，当自变量x 向点0=x 变化时，函数值在向0靠近。
而且x 向点0=x 充分接近时，函数值可以和0任意靠近。
我们将x 向点0=x 充分接近说成x 趋于0，记为0→x 。
一般地，当自变量x 趋于0x 时，如果函数)(x f 的函数值和某个常数A 任意靠近，我们就称函数)(x f 当x 趋于0x 时以A 为极限（或称当x 趋于0x 时，)(x f 的极限是A ）。
记为A x f x x =→)(lim 0 或 )()(0x x A x f →→这样我们就得到0arctan lim 0=→x x 极限A x f x x =→)(lim 0的直观意义可以用下面的图形说明函数在一点的极限可能存在，也可能不存在，如函数x y 1sin =当0→x 时的极限就不存在，我们也可以从图形中看出再看下面这个图形可以看出，这个函数当1→x 时没有极限，但当x 从大于1的方向趋于1时，函数值与5.2任意接近。
一般地，当自变量x 从大于0x 的方向趋于0x 时，如果函数)(x f 的函数值和某个常数A 任意靠近，就称A 为)(x f 在点0x 的右极限，记为A x f x x =+→)(lim 0类似可以给出)(x f 在点0x 的左极限，记为B x f x x =-→)(lim 0。
如此一来我们就有了以下结论 )(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是)(lim 0x f x x +→和)(lim 0x f x x -→都存在，且)(lim )(lim 00x f x f x x x x +-→→=二、极限的运算法则为了方便地计算函数的极限，我们不加证明地给出极限的运算法则：若)(lim x f ，)(lim x g 存在，则有)(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ±=±)(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ⋅=⋅c x f c x cf )(lim )](lim[=为常数)(lim )(lim ])()(lim[x g x f x g x f = （假定0)(lim ≠x g ） 例1 求623lim 222-++-→x x x x x 。
解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则，)3)(2()1)(2(lim 623lim 2222+---=-++-→→x x x x x x x x x x 51)3(lim )1(lim 31lim 222=+-=+-=→→→x x x x x x x 例2 求5232lim 22-+-++∞→x x x x x 。