(完整word版)高等数学辅导讲义

第一部分函数极限连续

历年试题分类统计及考点分布

本部分常见的题型

1.求分段函数的复合函数。

2.求数列极限和函数极限。

3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。

4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、 求分段函数的复合函数

例1 (1988, 5分) 设2

(),[()]1x f x e f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。

解: 由2

()x f x e =知2

()[()]1x f x e x ϕϕ==-,又()0x ϕ≥,

则()0x x ϕ=≤.

例2 (1990, 3分) 设函数1,1

()0,1

x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.

练习题: (1)设 1,1,

()0,1,(),1,1,

x x f x x g x e x ⎧<⎪

===⎨⎪

->⎩求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这

两个函数的图形。 (2)

设

20,0,0,0,

()(),

,0,,0,

x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求

[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .

二、 求数列的极限

方法一 利用收敛数列的常用性质

一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。

性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞

=,且0a >(或0a <),那么存在

0n N +∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).

性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim n n n n x a y b →∞

→∞

==那么

(1)()lim n n n x y a b →∞

±=±;

(2)lim n n n x y a b →∞

•=•;

(3)当0()n y n N +≠∈且0b ≠时,lim

n n n x a y b

→∞

=.

例3 若

lim n

n x

a →∞

=,则

lim n

n x

a →∞

=.

注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)n n x =-, 显然1lim n n x →∞

=,

但数列(1)n n x =-没有极限。

例4 如果数列{}n x 收敛, 那么数列{}n x 一定有界。

注: 例4的逆命题是不对的, 例如我们取(1)n n x =-, 显然数列{}n x 有界, 但数列(1)n n x =-没有极限。

例5 设{}{}{},,n n n a b c 均为非负数列, 且0,1,lim lim lim n n n n n n a b c →∞

→∞

→∞

===+∞.

下列陈述中哪些是对的, 哪些是错的? 如果是对的, 说明理由;如果是错的, 试给出一个反例。

(1) ,n n a b n N +<∈; (2) ,n n b c n N +<∈; (3)

lim n n

n a c

→∞

不存在; (4)

lim n n

n b c

→∞

不存在.

解: (1)是错的, 我们可以令1,1n n n

a b n

n ==+, 显然0,1lim lim n n n n a b →∞→∞

==, 但111

1,2

a b ==, 从而11a b >.

(2)是错的, 我们可以令1

,13

n n n b c n n =

=+, 显然

1,lim lim n n n n b c →∞→∞

==+∞, 但1111

,23b c ==, 从而11b c >. (3)是错的, 我们可以令1

1,3

n n a c n n ==, 显然0,lim lim n n n n a c →∞

→∞

==+∞,

但111()33

lim lim n n n n a c n n →∞

→∞

=•=.

(4)是对的, 由于10,lim lim n n n n b c →∞

→∞

=≠=+∞, 则lim n n n b c →∞

=+∞, 即极

限lim n n n b c →∞

不存在。

注1: 极限的保序性是说, “若,,lim lim n n n n a a b b a b →∞

→∞

==>, 则存在0n N +

∈

使得当0n n >时有n n a b >.”, 而不是对任意的n N +∈有n n a b >. 注2: 事实上我们可以得到如下一个常用的结论:

若0,lim lim n n n n a a b →∞

→∞

=≠=∞, 则lim n n n a b →∞

=∞.

练习题: 设数列{}n x 与{}n y 满足0lim n n n x y →∞

=, 则下列断言正确的是( )

(A) 若{}n x 发散, 则{}n y 必发散. (B) 若{}n x 无界, 则{}n y 必无界. (C) 若{}n x 有界, 则{}n y 必为无穷小. (D) 若1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

为无穷小, 则{}n y 必为无穷小. 方法二 利用一些常用的结论

(1) 设数列{}n x 有界, 又0lim n n y →∞

=, 则0lim n n n x y →∞

=.

(2) 0,10(1),1,1,1

lim lim n

n n n q q q q q q →∞→∞⎧<⎪=<==⎨⎪

+∞>⎩.

(3)

11(0)lim n

n a

a →∞

=>.

例6

1cos 2lim n n n

π→∞=0. 练习题:

(1)1)sin

2

lim n n π

→∞

=_______.

(2)1)sin

2

lim n n π

→∞

=__________. 例7

1()lim n

n

n n

n a

b c →∞

++={}max ,,a b c (0,0,0a b c ≥≥≥).

解: 由于{}{}11max ,,()3max ,,n

n

n n n a b c a b c a b c ≤++≤,故1()lim n

n

n n

n a b c →∞

++=

{}max ,,a b c .