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陈文灯.高数讲义(打印版)
第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质） 7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 20-==>-x x ax （连续性的概念）三、补充习题（作业）1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim220=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法 A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2t e ty y tx x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=13.y x x y y xy +==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
高等数学教案word版
高等数学教案word版篇一：高等数学上册教案篇二：《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。
(2)值域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。
例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。
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第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2(),[()]1x f x e f x xϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。
解: 由2()x f x e =知2()[()]1x f x e xϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤.例2 (1990, 3分) 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.练习题: (1)设1,1,()0,1,(),1,1,xx f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x ,并作出这两个函数的图形。
(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。
性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。
性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。
性质3(收敛数列的保号性) 如果lim nn xa→∞=,且0a >(或0a <),那么存在0n N+∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim nn n n xa yb →∞→∞==那么(1)()lim nn n xy a b →∞±=±;(2)lim nn n xy a b→∞∙=∙;(3)当0()nyn N +≠∈且0b ≠时,limn n nx a y b→∞=.例3 若 lim nn xa→∞=,则 limn n x a→∞=.注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)nnx =-, 显然1limn n x →∞=,但数列(1)nnx=-没有极限。
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第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数例1 (1988, 5分) 设2(),[()]1x f x e f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。
解: 由2()x f x e =知2()[()]1x f x e x ϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤.例2 (1990, 3分) 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.练习题: (1)设 1,1,()0,1,(),1,1,x x f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这两个函数的图形。
(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。
性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。
性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。
性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞=,且0a >(或0a <),那么存在0n N +∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim n n n n x a y b →∞→∞==那么(1)()lim n n n x y a b →∞±=±;(2)lim n n n x y a b →∞•=•;(3)当0()n y n N +≠∈且0b ≠时,limn n n x a y b→∞=.例3 若lim nn xa →∞=,则lim nn xa →∞=.注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)n n x =-, 显然1lim n n x →∞=,但数列(1)n n x =-没有极限。
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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑵、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
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高等数学讲义 第一章 函数一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求 1.理解函数的概念．2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念．3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构.4.会建立简单实际问题的函数模型. （二） 内容提要 1.函数的定义 (1) 函数的定义定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集,如果对于每个数D x ∈,变量y 按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量.当自变量x 取数值0x 时，因变量y 按照法则f 所取定的数值称为函数)(x f y =在点0x 处的函数值，记作)(0x f .当自变量x 遍取定义域D 的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W ={}D x x f y y ∈=),(称为函数的值域.定义2 设D 与B 是两个非空实数集，如果存在一个对应规则f ，使得对D 中任何一个实数x ，在B 中都有惟一确定的实数y 与x 对应，则对应规则f 称为在D 上的函数，记为B D f y x f →→: :或,y 称为x 对应的函数值，记为D x x f y ∈=),(,其中，x 称为自变量，y 称为因变量.由定义2知, 函数是一种对应规则，在函数)(x f y =中，f 表示函数，)(x f 是对应于自变量x 的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在x 处的函数值y 称为函数，并用)(x f y =的形式表示y 是x 的函数.但应正确理解，函数的本质是指对应规则f .例如104(23-+=x x x f ）就是一个特定的函数，f 确定的对应规则为10)(4)()(23-+=f就是一个函数.(2) 函数的两要素函数)(x f y =的定义域D 是自变量x 的取值范围，而函数值y 又是由对应规则f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域D 和对应规则f 所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2v z x y ==与，就是相同的函数.2． 函数的三种表示方法(1) 图像法(2) 表格法 (3) 公式法在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： ① 分段函数在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如就是一个定义在区间]5,(-∞上的分段函数.② 用参数方程确定的函数 用参数方程 ⎩⎨⎧ψ=ϕ=)()(t y t x （t ∈Ι）表示的变量x 与y 之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数)]1,1[(12-∈-=x xy 可以用参数方程)0(sin cos π≤≤⎩⎨⎧=t tty 表示.③ 隐函数如果在方程0),(=y x F 中，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该 方程的惟一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数.例如方程01e =-+xy x 就确定了变量y 是变量x 之间的函数关系.注意 能表示成)(x f y =(其中)(x f 仅为x 的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把 一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如01e =-+xy x可以化成显函数xy x e 1-=.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如-+xy x e 0e =y .3． 函数的四种特性设函数)(x f y =的定义域为区间D ，函数的四种特性如下表所示.函数的四种特性表⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤<+=,52,ln ,20,,0,1)(2x x x x x x x f4． 基本初等函数六种基本初等函数见下表5. 反函数、复合函数和初等函数二、主要解题方法1．求函数定义域的方法 例1 求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .小结 函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I) 在式子中分母不能为零； (II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数 x x arccos ,arcsin ，要满足1≤x ；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求. 2．将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法 例2 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1) 11sin22+=x y ， （2） )e ln(tan sin 22xxy +=.小结 （I ）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II ）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数. 3． 建立实际问题的函数模型的方法例3 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.例4 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为A ，A 是一常量。
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【最新整理，下载后即可编辑】高等数学教材完整一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数一 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N。
⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A 的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
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第一章 微积分的基本思想——极限（复习）一、基础知识1. 数列的极限（当n →∞时数列的敛散性态）数列{}n x 收敛，则①极限唯一；②数列整体有界；③数列元素局部保号；④子列也收敛于同一极限。
若数列{},{},{}n n n x y z 从某一项开始满足n n n y x z ≤≤且lim lim n n n n y z a →∞→∞==，则l i m n n x a →∞=（数列的夹逼准则）。
若数列{}n x 单调增加且有上界，或者{}n x 单调减少且有下界，则此数列一定收敛有极限。
（单调有界数列必收敛）。
2．函数的极限（当0 x x x →→∞或时函数的敛散性态）函数0() f x x x x →→∞当（或）收敛于A ，即0lim ()x x f x A →=，则①极限唯一；②函数局部有界；③函数局部保号；④收敛于0x 的任一数列{}n x 构成的函数列{()}n f x 也收敛于同一极限A 。
注意：0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==，所以对于分段函数而言有时需要注意讨论左右极限是否存在且相等。
3. 无穷小无穷小的概念（若0lim ()0x x f x →=，则称0()f x x x →是时的无穷小）lim ()(),lim 0.x x x x f x A f x A αα→→=⇔=+=且有限个无穷小的加、减、乘法是无穷小。
有界函数乘以无穷小是无穷小！ 若0, ()x x x αβ→→∞都是时的无穷小，则lim 0lim lim (0)lim 1lim (0)k C k C ββααββααββααββααββαα⎧⇔=⎪⎪⎪⇔=∞⎪⎪⎪⇔=≠⎨⎪⎪⇔=⎪⎪⎪⇔=≠⎪⎩是比高阶的无穷小是比低阶的无穷小是的同阶无穷小与等价是的阶无穷小 4. 极限的求法（1）极限的四则运算（注意必须在极限都存在的前提下，且做除法运算时分母极限不为零） （2）无穷小的概念（已知0()f x x x →是时的无穷小，则0lim ()0x x f x →=）（3）无穷小的运算（有界函数乘以无穷小是无穷小，有限个无穷小的加、减、乘法是无穷小）（4）两个重要极限0sin 1lim1, lim(1)e x x x x x x→→∞=+=可以推广到()()0()sin ()1lim 1, lim (1)e ()()x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ→→∞=+=或者10lim(1)e x x x →+= （5）等价无穷小替换乘除法因子： 0x →时的等价无穷小：12sin , arcsin , tan , arctan ,111cos , (1) 1 , ln(1), e 12xn x x x x x x x x xx x x x x xn-+-~+-一定要注意等价无穷小的使用条件（在无穷小的情况下用且只能对乘除法因子使用！） 要学会相应的推广！即当()0x ϕ→时有sin ()(), ln(1())()x x x x ϕϕϕϕ+等。
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第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。
解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。
(2)设0, x 0, 0, x 0,求f ( x)g( x)x 2 ,x, x 0,, x 0,f [ f (x)], g[ g( x)], f [g (x)], g[ f ( x)] .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言 ,收敛数列有以下四种常用的性质。
性质 1(极限的唯一性 ) 如果数列x n 收敛 ,那么它的极限唯一。
性质 2(收敛数列的有界性 )如果数列 x n 收敛 ,那么数列 x n 一定有界。
性质 3(收敛数列的保号性 ) 如果lim xna ,且 a 0(或 a 0 ),那么存在nn 0 N,使得当 n n 0 时,都有 x n 0 (或 x n 0 ).性质 4(数列极限的四则运算法则 )如果 limx n a,limynb, 那么nn(1)lim n (x n y n )a b ;(2) lim x n ? yna ?b ;n(3)当 y n 0( n N ) 且 b 0 时,lim xna .ny nb例 3 若limx na,则limxna .nn注: 例 3 的逆命题是不对的 , 例如我们取 x n ( 1)n, 显然 limxn1,n但数列 x n( 1)n 没有极限。
例 4 如果数列 x n 收敛 , 那么数列 x n 一定有界。
注: 例 4 的逆命题是不对的 , 例如我们取 x n ( 1)n , 显然数列 x n 有界 ,但数列 x n(1)n 没有极限。
例 5 设 a n , b n ,cn均为非负数列 , 且liman0,lim b n1,limcn.nnn下列陈述中哪些是对的 , 哪些是错的 ? 如果是对的 , 说明理由 ; 如果是错的 , 试给出一个反例。
(1) a n b n , n N ;(2) b n c n , n N ;(3) lim n a n c n 不 存在 ;(4)limb n cn不存在 .n解:(1)是错的 , 我们可以令 a n1 , b n n , 显然 lim an0,lim bn1 ,n n 1nn但 a 1 1,b 1 1, 从而 a 1 b 1 .2n1(2) 是 错 的 , 我 们 可 以 令 b n ,c nn , 显 然n 1 3 limb n 1,limc n, 但 b 1 1 , c 1 1 , 从而 b 1 c 1 .nn2 3(3)是错的 , 我们可以令 a n1 , c n 1 n , 显然lim an0,lim cn,n 3nn但lim n a n c n lim n1 1 1( n ? 3 n) 3.(4) 是对的 ,由于lim nb n 10,lim n c n,则 lim n b n c n, 即极限 limb n cn不存在。
n注 1: 极限的保序性是说 , “若 lim a na ,lim bnb, a b , 则存在 n 0Nnn使得当 n n0时有 a n b n.”,而不是对任意的 n N 有 a n b n.注 2: 事实上我们可以得到如下一个常用的结论 :若lim a n a0,lim b n , 则lim a n b n .n n n练习题 : 设数列 x n与 y n满足lim x n y n0,则下列断言正确的是( )n(A)若(B)若(C)若x nx nx n发散 , 则无界 , 则有界 , 则y n必发散.y n必无界.y n必为无穷小.(D)若1x n为无穷小 , 则y n必为无穷小 .方法二利用一些常用的结论(1) 设数列x n 有界 , 又lim y n0 , 则lim x n y nn n0, q 1(2) lim n q n1),limnn1 . 0( q q 1, q, q 1(3)10) . lim a n 1(an例 6 lim 1cosn0 .n n 2练习题 : (1) lim(n n2 1 1)sin n _______.n 2(2) lim(n n 1)sin n __________.n 2例 71lim (a n b n c n) n max a, b, c (a 0, b 0, c n解:1 1由于 max a,b, c (a n b n c n) n 3n max a,b, c0.0).1,故lim(a n b n c n ) nnmax a, b, c .练习题 : 已知 a 1 10,......, a m, 求极限 lim(a1n...... a m n ) n .n1 x2 nx, x 1例 81 . lim n 1 x2 nx0, xx, x 11x 2 n解:当 x1时lim 1 x 2 nx x;n1 x 2n当x 1时lim n 1 x 2nx 0;1 x 2n11当 x 1时 lim lim x 2nx .2n xx1 xnn11x 2n1 x 2nx, x 1 故 limx 0, x 1 .1x 2n nx, x 1练习题 :lim 1 x________.1 2 nnx方法三 利用 Heine 定理将抽象数列的极限转化为具体函数的极限Heine定理 :lim xx f ( x) A 的充分必要条件是 : 对于任意满足条件limxnx 0 且 x n x 0 (n N ) 的数列 x n, 相应的函数值数列 f ( x n ) 成立nlimf (x n)A.n1例 9 设数列 x n 满足 x n0(n N)且 limxn0 , 计算lim(sin x n) x n2.nnx n解: 我们考虑函数极限1sin x x 2lim x0 ( x)ln(sin x) ln(1sin x1)sin x 1 sin x x cos x 1xxxlim ex 2limex2lim e x 2lim e x 3lim e 3 x 2x 0x 0x 0x 0x 0sin x1lim e 6 xe 6x 01从而lim(sin x n) x n 2nx n练习题 : 设数列1 1lim(sin x) x 2e 6 .xx1x n 满足 x n0(n N )且 limxn0 ,计算lim[ln(1 x n )] x n .nnx n方法四 利用夹逼准则例 10 计算limn( 11 ......1) .n 2n 2 2 n 2nn解: 由于n 2n( 11......1 )n 2, 故2n2n 22n 2n2nnnlimn( 11......1) 1 .2 n 22n 2nnn练习题 : (1) 计算lim(11......1) . n 21 n 22 n 2nn (2)计算 lim( 12......n ) .2 n1 2n 2n 2nnnnn(3)计算 lim(1 11 ...... 1 ) n 1 .n2 3 n(4)计算lim(11......1) .1n2nnnn方法五 利用单调有界准则适用题型 : (1) 由递推关系 x n 1 f ( x n ) 定义的数列 x n 极限问题 , 一般先 用单调有界准则证明极限存在 , 然后等式两边取极限求出极限。
(2)有些题目直接给出了数列x n 的通项公式 , 要求我们证 明数列 x n 的极限存在 , 这时优先考虑用单调有界准则证明其极限存在。
例 11 (1996, 6分) 设 x 1 10, x n 1 6x n (nN ) , 试证数列 x n 极限存在 ,并求此极限。
证明 : 先证明数列 x n 是单调减少的。
由于 x n 1 x n6 x n x n(3 x n )(2 x n )n N ) , 所以数列 x n是单6 x n0(x n调减少的。
注意到 0 x n x 1 ( n N ) , 于是数列 x n 有界 , 故数列 x n 极限存在。
设 limx n a , 等式 x n 1 6 x n 两边取极限 得 a6 a , 即 a 3 或 na 2 , 又 0 ax 1 10 ,所以 a 3 , 亦即 limx n3.n练习题 : (1)证明数列 2, 22, 222 ,...... 的极限存在 , 并求此极限。
(2) 设 x 12, x n 12x n ( n N ) , 试证数列 x n 极限存在 , 并求此极限。
(3) 设 x 1 1, x n 14 3x n (n N ) , 试证数列 x n 极限存在 , 并求此极限。
(4) 设 0x 1 1, x n 1 x n (2 x n )(n N ) , 试证数列 x n 极限存在 ,并求此极限。