四川省雅安中学高二数学12月月考试题 理

雅安中学2011—2012学年高二上（12月）月考试题数 学 试 题（理）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分；每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

4.由y=︱x ︱和圆422=+y x 所围成的较小图形的面积（ ） （A ）4π （B ）43π （C ） π （D ） 23π5.动点在圆122=+y x 上运动，它与定点B （3,0）连线的中点的轨迹方程式（ ） (A)4)3(22=++y x (B)1)3(22=+-y x (C)14)32(22=+-y x (D)21)23(22=++y x 6. 椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） （A ）3（B ）11（C ）22（D ）107．某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取（ ）人A ．8，15，7B ．16，2，2C ．16，3，1D ．12，3，58 在下列关于直线l 、m 与平面α和β的命题中，真命题的是（ ）Ａ．若β⊂l 且α⊥β，，则l ⊥α； Ｂ．若l ⊥β且α∥β，则l ⊥α； Ｃ．若l ⊥β且α⊥β，则l ∥α； Ｄ．若m =⋂βα且l ∥m ，则l ∥α9. 从区间内任取两个数，则这两个数的和小于的概率是 （ ）A. B. C. D.10．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为（ ）A.B.C.D.11.设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）A.1B.25C.2D.5 12.若曲线C ：2230y y x --+=和直线3:2l y kx =+只有一个公共点，那么k 的值为 （ ） (A)0或12 (B)0或14 (C)12-或14 (D)0或12-或14第Ⅱ卷（选择题 共90分）二． 填空题（共4题，每题4分）13．掷两枚骰子，出现点数之和为5的概率是____。

14．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A B C ，，共面，那么λ= ．15.P 是椭圆14922=+y x 上的点，F 1、F 2 是两个焦点，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差是______.16.给出下列命题：①已知⊥a b ，则()()ab c c b a b c ++-=···； ②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面；③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底；④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论为（） 三、解答题 17．（本小题满分12分）如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，求①xy的最大值；②y x -的最小值； ③22x y +的最值．18. （本小题满分12分）已知点(2,0)P 及圆C ：226440x y x y +-++=.（Ⅰ）若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；（Ⅱ）设过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；（Ⅲ）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由19．（本小题满分12分）设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试问是否存在实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在，请写出证明．（12分）20,（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

（1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

EABCFE 1A 1B 1C 1D 1D21．（本小题满分12分）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上，两准线间的距离为29，并且与直线)4(31-=x y 相交所得线段中点的横坐标为32-，求这个双曲线方程。

22．（本小题满分14分）.如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标；(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范围.雅安中学2011—2012学年高二上（12月）月考试题数 学 试 题（理）一、选择题12*5=601,B2,B,3D4,C5,C,6 D 7C,8B9,D10,B11A12D 二、填空题4*4=16 13（91）14（152）15（5）16（①②④） 三、解答题17.分析：22410x y x +-+=表示以(2,0)xy为圆上的点M 与原点连线的斜率；设y x b -=，则y x b =+，可知b 是斜率为1的直线在y 轴上的截距，于是问题①实质上是求圆上的点与原点连线的斜率的最大值；②实质上是求斜率为1的直线与已知圆有公共点时直线的纵截距的最小值；③实质上是求圆上一点到原点距离平方的最大值与最小值。

18.解：（Ⅰ）设直线l 的斜率为k （k 存在）则方程为0(2)y k x -=-.又圆C 的圆心为(3,2)-，半径3r =，由1=， 解得34k =-.所以直线方程为3(2)4y x =--， 即 3460x y +-=.当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件.（Ⅱ）由于CP =d ==所以d=CP =P 为MN 的中点.故以MN 为直径的圆Q 的方程为22(2)4x y -+=.（Ⅲ）把直线10ax y --=即1y ax =+．代入圆C 的方程，消去y ，整理得22(1)6(1)90a x a x ++-+=． 由于直线10ax y --=交圆C 于,A B 两点，故2236(1)36(1)0a a ∆=--+>，即20a ->，解得0a <． 则实数a 的取值范围是(,0)-∞． 设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心(3, 2)C -必在2l 上． 所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PCk a k ==-，所以12a =．19．解：假设4123a a a a λμν=++成立．1234(211)(132)(213)(325)a a a a =-=-=--=，，，，，，，，，，，∵， (22323)(325)λμνλμνλμν+--++--=，，，，∴．22332235λμνλμνλμν+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，，，∴解得213λμν=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，． 所以存在213v λμ=-==-，，使得412323a a a a =-+-． 理由即为解答过程．20（解法一：（1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1， 连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD ， 所以CD =//A 1F 1，A 1F 1CD 为平行四边形，所以CF 1//A 1D ， 又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1//A 1D ，所以CF 1//EE 1，又因为1EE ⊄平面FCC 1，1CF ⊂平面FCC 1， 所以直线EE 1//平面FCC 1.（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱AB 的中点,所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取CF 的中点O,则OB ⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥平面ABCD,所以CC 1⊥BO,所以OB ⊥平面CC 1F,过O 在平面CC 1F 内作OP ⊥C 1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB 为二面角B-FC 1-C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中,OB =在Rt △CC 1F 中, △OPF ∽△CC 1F,∵11OP OFCC C F=∴22OP ==,在Rt △OPF中,BP ===,cos OP OPB BP ∠===,所以二面角B-FC 1-C的余弦值为7. 解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点, 所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF 的中点M, 连接DM,则DM ⊥AB,所以DM ⊥CD,以DM 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴建立空间直角坐标系,,则D （0,0,0）,A）,F）,C （0,2,0）EAB CFE 1A 1B 1C 1D 1D F 1O PE 1 A 1C 1（0,2,2）,E（2,12-,0）,E 1（,-1,1）,所以11(,,1)22EE =-,1,0)CF =- ,1(0,0,2)CC =1(,2)FC = 设平面CC 1F 的法向量为(,,n x y z = 则100n CF n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以00y z -==⎪⎩取(1n = ,则1111002n EE ⋅=-⨯= ,所以1n EE ⊥ ,所以直线EE 1//平面FCC 1.（2）(0,2,0)FB = ,设平面BFC 1的法向量为1111(,,)n x y z = ,则1110n FB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以1111020y y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩,取1n = ,则121002n n ⋅=⨯+=, ||2n ==,1||n = ,所以111cos ,||||n n n n n n ⋅〈〉===,由图可知二面角B-FC 1-C 为锐角,所以二面角B-FC 1-C的余弦值为7. 21．解: 由题意可设所求双曲线方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>设直线)4(31-=x y 与双曲线相交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211222222221(1)1(2)x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩(1)-(2)得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-+-= 即2121221212()()x x b y y y y a x x +-=+- 又由线段AB 中点的横坐标为32-可得，其纵坐标为1214(4)339--=-∴12242()33x x +=⨯-=- 1214282()99y y +=⨯-=-又 121213y y x x -=- ∴224132839b a -=-∴2279b a =，2222169c a b a =+=，43c a = 又 双曲线两准线间的距离为29∴2922a c ⨯= ∴292423a a ⨯=∴3a = 29a = ∴27b =∴所求双曲线方程为：22197x y -=22.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1. (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59.因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)，由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得 54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59,由此得出：x 1+x 2=8. 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=221x x +=4.(3)解法一：由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2) 将k x x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0)代入上式，得9×4+25y 0(－k1)=0 (k ≠0)即k =3625y 0(当k =0时也成立). ①②由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m ,所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0. 由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部，得－59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜516.解法二：因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1(x －4)(k ≠0) ③将③代入椭圆方程92522y x +=1,得 (9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =3625y 0.(当k =0时也成立)(以下同解法一).。