离散元课件二
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《离散数学》课件-第四章 二元关系
则关系R的各次幂为： R0 =A ={<1,1> ， <2,2> ， <3,3> ， <4,4> ， <5,5>} R1=R
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
离散完整ppt课件5.2-3共23页文档
代数系统定义与实例
定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, f2, … , fk 组成的系统称为一个代数系统, 简称代 数，记做 V=<S, f1, f2, … , fk>.
S 称为代数系统的载体， S 和运算叫做代数系 统的成分. 有的代数系统定义指定了S中的特殊 元素，称为代数常数, 例如二元运算的单位元. 有时也将代数常数作为系统的成分.
6
积代数
定义 设 V1=<S1,o>和 V2=<S2,>是代数系统，其中 o 和 是二元运算. V1 与 V2 的 积代数 是V=<S1S2,∙>,
<x1,y1>, <x2,y2>S1S2 , <x1,y1> ∙ <x2,y2>=<x1ox2, y1y2>
例3 V1=<Z,+>, V2=<M2(R), ∙ >, 积代数< ZM2(R),o> <z1,M1>, <z2,M2>ZM2(R) , <z1,M1> o <z2,M2> = <z1+z2, M1∙M2>
单同态、满同态、同构 自同态
同态映射的性质
9
同态映射的定义
定义 设 V1=<S1,∘>和 V2=<S2,>是代数系统，其中 ∘ 和 是二元运算. f: S1S2, 且x,yS1, f (x∘y) = f(x) f( y), 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.
10
更广泛的同态映射定义
f (x∘y)=f(x)f(y), f (x∙y)=f(x)◊f(y), f (∆ x)=∇f(x) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.
定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, f2, … , fk 组成的系统称为一个代数系统, 简称代 数，记做 V=<S, f1, f2, … , fk>.
S 称为代数系统的载体， S 和运算叫做代数系 统的成分. 有的代数系统定义指定了S中的特殊 元素，称为代数常数, 例如二元运算的单位元. 有时也将代数常数作为系统的成分.
6
积代数
定义 设 V1=<S1,o>和 V2=<S2,>是代数系统，其中 o 和 是二元运算. V1 与 V2 的 积代数 是V=<S1S2,∙>,
<x1,y1>, <x2,y2>S1S2 , <x1,y1> ∙ <x2,y2>=<x1ox2, y1y2>
例3 V1=<Z,+>, V2=<M2(R), ∙ >, 积代数< ZM2(R),o> <z1,M1>, <z2,M2>ZM2(R) , <z1,M1> o <z2,M2> = <z1+z2, M1∙M2>
单同态、满同态、同构 自同态
同态映射的性质
9
同态映射的定义
定义 设 V1=<S1,∘>和 V2=<S2,>是代数系统，其中 ∘ 和 是二元运算. f: S1S2, 且x,yS1, f (x∘y) = f(x) f( y), 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.
10
更广泛的同态映射定义
f (x∘y)=f(x)f(y), f (x∙y)=f(x)◊f(y), f (∆ x)=∇f(x) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.
离散完整ppt课件3.1-3共41页
证明 X=Y
命题演算法 等式代入法 反证法 运算法
以上的 X, Y 代表集合公式
18
命题演算法证 XY
任取 x ， xX … xY
例3 证明AB P(A)P(B) 任取x xP(A) xA xB xP(B) 任取x xA {x}A {x}P(A) {x}P(B) {x}B xB
13
例1
F:一年级大学生的集合
S：二年级大学生的集合
R：计算机系学生的集合
M：数学系学生的集合
T：选修离散数学的学生的集合
L：爱好文学学生的集合
P：爱好体育运动学生的集合
所有计算机系二年级学生都选修离散数学
数学系一年级的学生都没有选修离散数学
数学系学生或爱好文学或爱好体育运动 只有一、二年级的学生才爱好体育运动 除去数学和计算机系二年级学生外都不 选修离散数学3.2 集合的基本运算
集合基本运算的定义
文氏图（John Venn） 例题 集合运算的算律 集合包含或恒等式的证明
10
集合基本运算的定义
并 交 相对补 对称差
绝对补
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA)
由已知包含式通过运算产生新的包含式 XY XZYZ, XZYZ
= (AB)(AB) A = EA
11
文氏图表示
12
关于运算的说明
运算顺序： 和幂集优先，其他由括号确定 并和交运算可以推广到有穷个集合上，即
A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn} A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn} 某些重要结果 ABA AB AB=（后面证明） AB= AB=A
离散数学第2章 关系(祝清顺版)
第二章 二元关系 2007年8月20日
离散数学
关系矩阵的实例
例9 设A={3, 5, 6, 9}, A上的二元关系
R={<x, y｜x＞y},
试求出关系矩阵。
[解] 关系的集合表示为:
R＝{9, 3, 9, 5, 9, 6, 6, 3, 6, 5, 5, 3}.
关系矩阵为: 0 1 MR= 1 1
关系的三种表示方法： 集合表达式 关系矩阵
关系图
关系矩阵和关系图可以表示有限集合上的关系。
离散数学
第二章 二元关系
2007年8月20日
关系矩阵
设给定集合A={a1,a2,…,an}，B={b1,b2,…,bm}，R为从A到B
的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标注矩
阵的行，用集合B的元素标注矩阵的列，对于aiA和bjB，令
n2 n2
个. 不
每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有 2 同的二元关系。 |Ai|=mi，则A1×A2×…×An上有 2 二元关系。
离散数学 第二章 二元关系 2007年8月20日
m1m2…mn
个不同的
常用的关系
定义 对任意集合A，定义 (1) 空关系 (2) 全域关系 EA={<x, y>|x∈A且y∈A}=A×A (3) 恒等关系 IA={<x, x>|x∈A} (4) 小于或等于关系：LA={<x, y>|x, y∈A且x≤y}, 其中 AR。 (5) 整除关系：DA={<x, y>|x, y∈A且x整除y}, 其中 AZ* , Z*是非零整数集 (6) 包含关系：R＝{<x, y>|x, y∈A且xy}, 其中A是集 合族。
离散数学
关系矩阵的实例
例9 设A={3, 5, 6, 9}, A上的二元关系
R={<x, y｜x＞y},
试求出关系矩阵。
[解] 关系的集合表示为:
R＝{9, 3, 9, 5, 9, 6, 6, 3, 6, 5, 5, 3}.
关系矩阵为: 0 1 MR= 1 1
关系的三种表示方法： 集合表达式 关系矩阵
关系图
关系矩阵和关系图可以表示有限集合上的关系。
离散数学
第二章 二元关系
2007年8月20日
关系矩阵
设给定集合A={a1,a2,…,an}，B={b1,b2,…,bm}，R为从A到B
的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标注矩
阵的行，用集合B的元素标注矩阵的列，对于aiA和bjB，令
n2 n2
个. 不
每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有 2 同的二元关系。 |Ai|=mi，则A1×A2×…×An上有 2 二元关系。
离散数学 第二章 二元关系 2007年8月20日
m1m2…mn
个不同的
常用的关系
定义 对任意集合A，定义 (1) 空关系 (2) 全域关系 EA={<x, y>|x∈A且y∈A}=A×A (3) 恒等关系 IA={<x, x>|x∈A} (4) 小于或等于关系：LA={<x, y>|x, y∈A且x≤y}, 其中 AR。 (5) 整除关系：DA={<x, y>|x, y∈A且x整除y}, 其中 AZ* , Z*是非零整数集 (6) 包含关系：R＝{<x, y>|x, y∈A且xy}, 其中A是集 合族。
离散数学课件第六章(第2讲)
《定理》：设*是S上的二元运算,且x S,对任一m,n
I+有（1）xmxn=xm+n
（2）(xm)n=xmn
证明： （1） xmxn= (xm x) x… x = (xm+1 x) x… x
n
n-1
=….= xm+n
（2）(xm)n= xm … xm= xm+m xm … xm=…=xmn
n
例：设M= {0º,60º,120º,240º,300º,180º}表示平面上几何图形 顺时针旋转的六种位置，定义一个二元运算*，对M中任一 元素a,b有a*b=图形旋转(a+b)的角度，并规定当旋转到 360º时即为0º，试验证<M ,*>是一个群。
* 0º 60º 120º 180º 240º 300º 0º 0º 60º 120º 180º 240º 300º 60º 60º 120º 180º 240º 300º 0º 120º 120º 180º 240º 300º 0º 60º 180º 180º 240º 300º 0º 60º 120º 240º 240º 300º 0º 60º 120º 180º 300º 300º 0º 60º 120º 180º 240º
例： <I ,max>，其中max(x1,x2)取二者之大值；<I ,min>， 其中min(x1,x2)取二者之小值，均不为独异点（不存在幺 元）。<N ,max>则为独异点，其中 e =0
《定义》：设< S ,* >是一半群，TS，且*在T上是封闭的， 那么< T ,* >也是半群，称< T ,* >是< S ,* >的子半群。
离散元课件
运动描述
转动方程：
转动方程可以表示为
dωi Ii Ti dt j 1
式中，I i 与ωi 分别为颗粒 i 的转动惯量与角速度，对于 球形颗粒 I i为
ki
2 I i mi Ri2 5
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
综述：
关于接触力的计算模型已有大量的研究成果，目前仍旧是 一个活跃的研究领域，特别是对于切向力的计算方法。
二 基本原理
离散化模型
图1 颗粒元与块体元示意图
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
俞 缙
bugyu0717@
华侨大学岩土工程研究所
二 基本原理
根据离散化模型中所采用的单元种类分别介绍离 散元法的基本原理：
颗粒元
• 二维圆盘单元 • 三维圆球单元
块体元
• 多边形单元 • 多面体单元
对于理想散体颗粒（无粘连）：采用 Hertz 理论描述法向作用，而采 用Mindlin与Deresiewicz理论描述切向作用； 对于存在粘连的散体颗粒：法向接触力根据在 Hertz 理论基础上考虑 粘连力的JKR（Johnson-Kendall-Roberts）理论确定，切向接触力增量 则根据把 Savkoor 和 Briggs 理论与 Mindlin 和 Deresiewicz理论相结合形 成的理论确定。
1988 年 Cundall 所在的 ITASCA 咨询公司推出针对三维块体元的 3DEC程序。至此，离散元的理论体系基本形成。
一 历史由来及研究现状
早期的离散单元法
Cundall称之为“Distinct Element Method”，随着该方法的推广， 有的学者称其为“ Discrete Element Method” ，缩写形式均为 DEM。 最初，离散元的研究对象主要是岩石等非连续介质的力学行为， 它的基本思想是把不连续体分离为刚性元素的集合，使各个刚性 元素满足运动方程，用时步迭代的方法求解各刚性元素的运动方 程，继而求得不连续体的整体运动形态。离散元法允许单元间的 相对运动，不一定要满足位移连续和变形谐调条件，计算速度快， 所需存储空间小，尤其适合求解大位移和非线性问题。
转动方程：
转动方程可以表示为
dωi Ii Ti dt j 1
式中，I i 与ωi 分别为颗粒 i 的转动惯量与角速度，对于 球形颗粒 I i为
ki
2 I i mi Ri2 5
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
综述：
关于接触力的计算模型已有大量的研究成果，目前仍旧是 一个活跃的研究领域，特别是对于切向力的计算方法。
二 基本原理
离散化模型
图1 颗粒元与块体元示意图
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
俞 缙
bugyu0717@
华侨大学岩土工程研究所
二 基本原理
根据离散化模型中所采用的单元种类分别介绍离 散元法的基本原理：
颗粒元
• 二维圆盘单元 • 三维圆球单元
块体元
• 多边形单元 • 多面体单元
对于理想散体颗粒（无粘连）：采用 Hertz 理论描述法向作用，而采 用Mindlin与Deresiewicz理论描述切向作用； 对于存在粘连的散体颗粒：法向接触力根据在 Hertz 理论基础上考虑 粘连力的JKR（Johnson-Kendall-Roberts）理论确定，切向接触力增量 则根据把 Savkoor 和 Briggs 理论与 Mindlin 和 Deresiewicz理论相结合形 成的理论确定。
1988 年 Cundall 所在的 ITASCA 咨询公司推出针对三维块体元的 3DEC程序。至此，离散元的理论体系基本形成。
一 历史由来及研究现状
早期的离散单元法
Cundall称之为“Distinct Element Method”，随着该方法的推广， 有的学者称其为“ Discrete Element Method” ，缩写形式均为 DEM。 最初，离散元的研究对象主要是岩石等非连续介质的力学行为， 它的基本思想是把不连续体分离为刚性元素的集合，使各个刚性 元素满足运动方程，用时步迭代的方法求解各刚性元素的运动方 程，继而求得不连续体的整体运动形态。离散元法允许单元间的 相对运动，不一定要满足位移连续和变形谐调条件，计算速度快， 所需存储空间小，尤其适合求解大位移和非线性问题。
离散完整ppt课件2.1-2共25页
2.1 一阶逻辑基本概念
▪ 个体词 ▪ 谓词 ▪ 量词 ▪ 一阶逻辑中命题符号化
1
基本概念——个体词、谓词、量词
个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具 体或抽象的客体
个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围
有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成
12
原子公式
定义 设R(x1, x2, …, xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…, tn 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, tn)是原子公式. 原子公式是由项组成的n元谓词. 例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式
13
合式公式
定义 合式公式（简称公式）定义如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合 式公式.
15
公式的解释与分类
给定公式 A=x(F(x)G(x)) 成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1
代入得A=x(x>2x>1) 真命题 成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2
(2) x (F(x)G(x))
这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.
7
一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化
▪ 个体词 ▪ 谓词 ▪ 量词 ▪ 一阶逻辑中命题符号化
1
基本概念——个体词、谓词、量词
个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具 体或抽象的客体
个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围
有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成
12
原子公式
定义 设R(x1, x2, …, xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…, tn 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, tn)是原子公式. 原子公式是由项组成的n元谓词. 例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式
13
合式公式
定义 合式公式（简称公式）定义如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合 式公式.
15
公式的解释与分类
给定公式 A=x(F(x)G(x)) 成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1
代入得A=x(x>2x>1) 真命题 成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2
(2) x (F(x)G(x))
这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.
7
一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化
离散数学第2章ppt课件
E AA∪B∪BC
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
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二基本原理球形颗粒元离散元法
接触模型
两个处于接触颗粒单位法向和切向向量：
单位法向向量 n Ri / Ri
单位切向向量 t Vij Vij • n n Vij Vij • n n
单位切向量之所以通过两个颗粒的相对速度来计算， 是因为接触力与粘性阻尼力的方向与相对速度的方 向相同。
二基本原理球形颗粒元离散元法
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
运动描述
处于一个理想散体中的任意一个颗粒,具有6个自由 度,3个平动自由度与三个转动自由度,可通过Newton 第二定律分别描述。
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
平动方程：
mi
dVi dt
ki
Fc,ij Fd ,ij
j 1
mi g
式中，mi与 Vi 分别为颗粒 i 的质量和速度。t 为时间，
,
Fct ,ij s Fcn,ij Fct ,ij s Fcn,ij
3
Fct,ij
δt 为颗粒 i 与 j 间的累积切向位移矢量
δt N δt N1 Vij n n t
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
切向接触力模型 —阻尼力 ：
Fdt,ij ct Vij n n
式中，ct 为切向粘性接触阻尼系数。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
计算模型总结
运动方程
mi g 为颗粒的重力，Fc,ij 与 Fd ,ij 分别为颗粒 i 与 j 的
接触力与粘性接触阻尼力，ki 为所有与颗粒接触的颗
粒总数。
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
接触力的分解：
颗粒 i与 j间的接触力可分解为法向与切向接触力，即
Fc,ij Fcn,ij Fct,ij
同理，粘性接触阻尼力也可分解为法向与切向分量形 式，即
式中，
k
为法向弹簧刚度。
n
Hale Waihona Puke 二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
法向接触力计算模型 —法向粘性接触阻尼力：
Fdn,ij cn Vij • n n
式中，cn为法向粘性接触阻
尼系数。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
切向接触力计算模型 —综述：
处于接触中的两个颗粒的切向作用，从本质上讲，是 一种摩擦行为，按照摩擦机理，摩擦力包括：滑动摩 擦、滚动摩擦与静摩擦，其中滑动摩擦与静摩擦属于 切向摩擦力；滚动摩擦是由于法向接触应力的不均匀 分布产生的。介绍两个切向接触力模型： Coulomb准则 Mindlin与Deresiewicz切向接触力模型
Fd ,ij Fdn,ij Fdt,ij
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
接触力产生的力矩：
颗粒间的接触力作用在两个颗粒的接触点上，而不是作 用在颗粒的中心，所以这些接触力（除法向接触力Fcn,ij 外）将会对颗粒产生力矩 Ti ，
Ti Ri Fct,ij Fdt,ij
式中，Ri为从颗粒i 的质心指向接触点的矢量，其幅值为
对于理想散体颗粒（无粘连）：采用Hertz理论描述法向作用，而采 用Mindlin与Deresiewicz理论描述切向作用； 对于存在粘连的散体颗粒：法向接触力根据在Hertz理论基础上考虑 粘连力的JKR（Johnson-Kendall-Roberts）理论确定，切向接触力增量 则根据把Savkoor和Briggs理论与Mindlin和Deresiewicz理论相结合形 成的理论确定。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
岩土工程研究所
刘军
二 基本原理
根据离散化模型中所采用的单元种类分别介绍离 散元法的基本原理：
颗粒元
• 二维圆盘单元 • 三维圆球单元
块体元
• 多边形单元 • 多面体单元
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
基本假设
假定速度和加速度在每个时间步长内为常量 ； 选取的时间步长应该足够小以至于在单个时间步长 内扰动的传播不会超过当前与之相邻的粒子 。
R（i 颗粒的半径）。
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
转动方程：
转动方程可以表示为
Ii
dωi dt
ki
Ti
j 1
式中，Ii与ωi 分别为颗粒 i 的转动惯量与角速度，对于
球形颗粒 Ii为
Ii
2 5
mi Ri2
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
综述：
关于接触力的计算模型已有大量的研究成果，目前仍旧是 一个活跃的研究领域，特别是对于切向力的计算方法。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
切向接触力计算模型 —Coulomb准则：
在离散元模拟中，一般用Coulomb准则这种简单的形 式描述，静摩擦的详细刻画需要涉及切向位移甚至可能 要考虑时间依赖效应。
Fct ,ij
Fct ,ij ,
s Fcn,ij
,
Fct ,ij s Fcn,ij Fct ,ij s Fcn,ij
式中，μs 为静摩擦系数，切向摩擦力的方向为与相对滑
动的趋势相反。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
切向接触力模型 —Mindlin与Deresiewicz模型 ：
式中
3
Fct,ij
μs Fcn,ij δt
1
1
min
δt , δt,max δt,max
2
δt
2v
δt,max μs 2 1 v δn
接触模型
两个处于接触颗粒接触点的相对速度：
Vij V j Vi ω j R j ωi Ri
法向相对速度为
Vn,ij Vij • n n
切向相对速度为
Vt,ij Vij Vij • n n
Vt,ij Vij n n
或者写为
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
法向接触力计算模型 —Hertz模型：
式中
Fcn,ij
4 3
E*
R*
3/ n
2n
E*
E 2(1 v2 )
R* 1 1 Ri R j
δn为颗粒i与j接触时的侵入深度
n Ri R j R j Ri
二基本原理球形颗粒元离散元法
接触模型
法向接触力计算模型—
Cundall模型：
Fcn,ij kn nn
mi
dVi dt
ki
Fc,ij Fd ,ij
j 1
mi g
Ii
dωi dt
ki
Ti
j 1
接触力的计算
• 法向接触力
Fcn,ij
4 3
E*
R*
3/ n
2n
Fcn,ij kn nn
Fdn,ij cn Vij • n n
• 切向接触力
Fct ,ij
Fct ,ij , s Fcn,ij