《复变函数》第3章
复变函数第3章
§3.1 复变函数积分的概念
主要内容
一 积分的定义 二 可积的条件及计算法 三 积分的性质
要求： 要求：
理解复变函数积分的概念， 理解复变函数积分的概念，掌握计算方法及性质
§3.1 复变函数积分的概念
一 积分的概念
1 有向曲线： 有向曲线： 为平面上给定的一条光滑( 设 C为平面上给定的一条光滑 ( 按段光滑 ) 曲线 . 如果选 为平面上给定的一条光滑 按段光滑) 曲线. 的两个可能方向中的一个作为正方向， 定C的两个可能方向中的一个作为正方向，那么我们就把 的两个可能方向中的一个作为正方向 C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线 理解为带有方向的曲线， 理解为带有方向的曲线 称为有向曲线
k =1
n
+ i ∑ [v (ξ k ,η k )∆x k + u(ξ k ,η k )∆y k ]
k =1
n
§3.1 复变函数积分的概念
二 积分存在的条件及计算法
1 积分存在的条件 是连续函数C是光滑曲线 若f(z)是连续函数 是光滑曲线,则积分∫ f (z)dz一定存在 是连续函数 是光滑曲线, C 【证】∑ f (ζ k ) ⋅∆z k = ∑ [u(ξ k ,η k )∆x k − v (ξ k ,η k )∆y k ]
udx − vdy + i ∫ vdx + udy
C
C
udx + ivdx + iudy − vdy
§3.1 复变函数积分的概念
二 积分存在的条件及计算法
2 积分计算法 设连续函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)，光滑曲线 的方程为 设连续函数 ，光滑曲线C的方程为
z = z(t) = x(t) + i y(t), α ≤ t ≤ β
复变函数第3章
z 1 2 所以
z 1 2 2 2 f ( z) 2, z 1 2 由估值不等式有
z 1 C z 1 dz 8 .
3.1.3 复变函数的积分的计算问题
定理3.1 设C为光滑曲线， 若 f z ux, y ivx, y
沿曲线C连续,则 f ( z )沿C可积,且
1 1 f ( z) ＝ 1. Re z 1＋3t
而L之长为3，故
dz L Re z 3.
例4
计算积分
其中积分路径为
C
z dz
2
(1) 连接0到1+i的直线段 (2) 连接0到1的直线段及连接1到1+i的直 线段所成的折线. 解 方程为 (1) 连接0到1+i的直线段的参数
z (1 i)t (0 t 1).
y
B
那么B到A就是曲线L的负向,
记为 L .
o
A
x
关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作 为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向. 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线L的正向是 P 指当曲线上的点P顺此方向 前进时, 邻近P点的曲线的 o 内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.
0 0 1 1
1
1
1 tdt i dt i. 0 0 2
(此例说明:积分路径不同, 积分结果可能不 同)
作业:P45.T1;T3.
1. 柯西积分定理 2. 复合闭路定理 3. 解析函数的原函数
由定理3.1,复积分可转化为实二元函数 的第二型曲线积分.那么,复积分在什么情况 下与路径无关? 1 2 比较 f ( z ) z , f ( z ) Re z , f ( z ) za 可能与被积函数的解析性及解析区域有关
复变函数第三章习题答案
第三章柯西定理柯西积分掌握内容：1.柯西积分定理：若函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()Cf z dz =⎰0 。
2.柯西积分定理的推广：若函数()f z 在围线C 之内的,,...n z z z 12点不解析，则()()()...()nCC C C f z dz f z dz f z dz f z dz =+++⎰⎰⎰⎰12，其中,,...nC C C 12是分别以,,...n z z z 12为圆点，以充分小的ε为半径的圆。
3.若在围线C 之内存在不解析点，复变函数沿围线积分怎么求呢？——运用柯西积分公式。
柯西积分公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()Cf z dz if z z z π=-⎰002 4.柯西积分公式的高阶求导公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()()()!n n Cf z i dz f z z z n π+=-⎰0102习题：1.计算积分⎰++-idz ix y x 102)(积分路径是直线段。
解：令iy x z +=，则idy dx dz += 积分路径如图所示：在积分路径上：x y =，所以313121212131211032223211211211210102102102i x ix y i x ix x dxix x i iydy xdx dx ix x dy ix x i iydy ydx dx ix x idy dx ix y x dz ix y x ii+-=-+--+=++--+=++--+=++-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++)()()()()())(()(2.计算积分⎰-iidz z 。
积分路径分别是：（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。
解：（1）令z x i y =+，则z dz xd idy ==+，在积分路径上，0x =，所以11iiz dz iydy iydy i--=-+=⎰⎰⎰（2）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//222i i iz dz ie d i πθπθ--==⎰⎰（3）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//2322ii iz dz ie d i πθπθ-==⎰⎰5.不用计算，证明下列分之值为零，其中为单位圆。
复变函数 第三章 复变函数的积分
{ u [ x ( t ), y ( t )] i [ v [ x ( t ), y ( t )]]}( x ' ( t ) iy ' ( t )) dt
i v x t,y () t) xt ' () u (()() x ty t) yt ' () } d t {(()
f[ z ( t)] z '( t) dt fz ( ) d z f [ z ( t ) ] zt ' ( ) d t
C
（ 3 . 6 ）
用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积分路径的 参数方程着手,称为参数方程法.
例3.1 计算 z d z ,C : 从原点到点 3 4 i 的直线 . C y x3 t, 0t 1 , 解 直线方程为 A y 4 t ,
C C
u ( x , y ) d x v ( x , y ) d y iv ( x , y ) d x u ( x , y ) d y
C C
C
f ( z )d z
结 论 1 ： 当是 fz () 连 续 函 数 , C 是 光 滑 曲 线 时 ， () d z 一 定 存 在 。 fz 结 论 2 ： () d z 可 以 通 过 两 个 二 元 实 函 数 的 fz
k k
证明 令 z x iy x x x y y y k k k k k k 1 k k k 1
n
k n k k k k k k
n
u (k, x v(k, y k) k k) k
k 1 k 1 n n
k 1 n
《复变函数》第三章 复变函数的积分
y
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C zn1
1 A
2
z1
z2
k zk zk 1
o
x
4
n
n
作和式 Sn f ( k ) (zk zk1 ) f ( k ) zk ,
k 1
k 1
这里 zk zk zk1, sk zk1zk的长度,
记 m1kaxn{sk }, 当n 无限增加且 0 时,
如果不论对C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯
情况二 : 若 C 包围 点,
由上节例4可知, c (z )ndz 0.
31
四、小结与思考
通过本课学习, 重点掌握柯西－古萨基本定 理:
并注意定理成立的条件.
32
思考题
应用柯西–古萨定理应注意什么?
33
思考题答案
(1) 注意定理的条件“单连通域”.
反例: f (z) 1 在圆环域 1 z 3内;
线的限制, 必须记作 f (z)dz.
C
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24
第二节 柯西－古萨基本定理
一、问题的提出 二、基本定理 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
观察上节例1, 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
此时积分与路线无关. 观察上节例4, 被积函数当 n 0时为 1 ,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1
由此希望将基本定理推广到多连域中.
38
二、复合闭路定理
1. 闭路变形原理 设函数 f (z) 在多连通域内解析,
C 及 C1 为 D内的任意两条简 单闭曲线(正向为逆时针方向), A A
数学物理方法复变函数第三章幂级数
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
复变函数第3章
第三章 复变函数的积分1.复积分的定义：1()d lim (),nkk k Cf z z f z λξ→==∆∑⎰2.复变函数积分的性质性质3.1（方向性）若函数f (z )沿曲线C 可积，则()d ()d .CC f z z f z z -=-⎰⎰ (3.1)性质3.2（线性性）若函数f (z )和g (z )沿曲线C 可积，则(()())d ()d ()d ,CCCf zg z z f z z g z z αβαβ+=+⎰⎰⎰ (3.2)其中αβ,为任意常数.性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f (z )沿曲线C 可积，曲线C 由曲线段12,,,n C C C ,依次首尾相接而成，则12()d ()d ()d ()d .nCC C C f z z f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰⎰ (3.3)性质3.4（积分不等式）若函数f (z )沿曲线C 可积，且对z C ∀∈,满足()f z M ≤, 曲线C 的长度为L ,则()d ()d ,CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰3.复变函数积分的基本计算方法定理3.1 若函数f (z )=u (x,y )+iv (x,y )沿曲线C 连续，则f (z )沿C 可积，且()d d d d d .CCCf z z u x v y i v x v y =-++⎰⎰⎰ (3.5)计算公式：设C 为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为()()()(),z z t x t iy t a t b ==+≤≤则：()d (())()d .baCf z z f z t z t t '=⎰⎰4. 柯西－古萨定理定理3.2（柯西-古萨定理） 若函数f (z )是单连通域D 内的解析函数，则f (z )沿D 内任一条闭曲线C 的积分为零，即()d 0.Cf z z =⎰5. 复合闭路定理：定理 3.5 若f (z )在复闭路012n C C C C C ---=++++ 及其所围成的多连通区域内解析，则12()d ()d ()d ()d nC C C C f z z f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰⎰ , (3.10)也就是()d 0Cf z z =⎰ .6. 原函数与不定积分（1）上限函数：固定下限z 0，让上限z 1在区域D 内变动，并令z 1=z ,则确定了一个关于上限z 的单值函数()()d .zz F z f ξξ=⎰ (3.8)并称F (z )为定义在区域D 内的积分上限函数或变上限函数. （2）定理3.3 若函数f (z )在单连通域D 内解析，则函数F (z )必在D 内解析，且有F '(z )=f (z ). （3）原函数：定义3.2 若在区域D 内，()z ϕ的导数等于f (z )，则称()z ϕ为f (z )在D 内的原函数.（4）不定积分：全体原函数可以表示为()()z F z C ϕ=+,其中C 为任意常数.称为f (z )的不定积分（5）定理3.4 若函数f (z )在单连通域D 内处处解析，()z ϕ为f (z )的一个原函数， 则11010()d ()()()z zz z f z z z z z ϕϕϕ=-=⎰, (3.9)其中z 0、z 1为D 内的点. 7.柯西积分公式定理3.6 若f (z )是区域D 内的解析函数，C 为D 内的简单闭曲线，C 所围内部全含于D 内，z 为C 内部任一点，则1()()d 2πC f f z i zξξξ=-⎰ , (3.11) 其中积分沿曲线C 的正向.8.高阶导数公式定理3.7 定义在区域D 的解析函数f (z )有各阶导数，且有()1!()()d (1,2,),2π()n n C n f f z n i z ξξξ+==-⎰ (3.13) 其中C 为区域D 内围绕z 的任何一条简单闭曲线，积分沿曲线C 的正向.9.调和函数（1）定义3.3 在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程22220x y ϕϕ∂∂+=∂∂ 的二元实函数(,)x y ϕ称为在D 内的调和函数.调和函数是流体力学、电磁学和传热学中经常遇到的一类重要函数.（2）定理3.10 任何在区域D 内解析的函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )，它的实部u (x ,y )和虚部v (x ,y )都是D 内的调和函数.（3）使u (x ,y )+iv (x ,y )在区域D 内构成解析函数的调和函数v (x ,y )称为u (x ,y )的共轭调和函数.或者说，在区域D 内满足柯西-黎曼方程u x =v y ,v x =-u y 的两个调和函数u 和v 中，v 称为u 的共轭调和函数.解析函数f (z )=u +iv 的虚部v 为实部u 的共轭调和函数，u 与v 的关系不能颠倒，任意两个调和函数u 与v 所构成的函数u+iv 不一定是解析函数.已知单连通域D 内的解析函数f (z )的实部或虚部求f (z )的方法书上已经详细介绍了三种方法，这里不再赘述求积分2e d 1zCz z +⎰ ，其中C 为： |z |=2.。
复变函数ppt第三章
移向得
∫C0 f ( z)dz = ∫C1 f ( z)dz + ∫C2 f ( z)dz + L+ ∫Cn f ( z)dz
完
27
例3 设C为一简单闭光滑曲线, a∈C.计算积分 ∫ C
page47
dz . z−a
参考解答 a
C
r
a
C
Cr
(1)
(2)
完
28
dz 例4 计算积分 ∫ C 2 . 积分按逆时针方向,沿曲线 逆 z −z C进行,C是包含单位圆周|z|=1的任意一条光
31
定理3 定理3 设w=f(z) 在单连通区域D内解析,则由
F(z) = ∫ f (ξ )dξ
z0
z
z ∈ D (Th3-1)
定义的函数F(z)在D内解析,且
F ′( z ) = f ( z )
参考证明
完
32
牛顿－莱布尼兹公式
定理4 定理4 设w=f(z) 在单连通区域 单连通区域D内解析, Φ ( z )是f(z) 单连通区域 的任一原函数,那么
都含在C0内部,这n+1条曲线围成了一个多连通区域 多连通区域 D,D的边界 ∂D 称为复闭路 复闭路. 复闭路 左手法则定正向: 左手法则定正向 沿着D的边界走, 区域D的点总在 左手边.
C0
C3
C2 C1
∴当C0取逆时针, C1 , C2 ,L , Cn都取顺时针.
24
∂D = C 0 + C1 + C 2 +
第三章 复变函数的积分 复变函数
引言 复变函数积分的概念 柯西—古萨定理 柯西 古萨定理 柯西积分公式、 柯西积分公式、 解析函数的高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系
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§1 复变函数积分的概念
一、定义 1. 有向曲线: C : z z (t ) x(t ) iy(t ) 选定正方向: 起点 终点 C + 简单闭曲线正方向: P 沿正向前进, 曲线 内部在左方. 2. 复变函数的积分:(P70定义)
f ( z )dz
c
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( n ) k 1
复 变 函 数（第四版）
第三章 复变函数的积分
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 复变函数积分的概念 柯西－古萨(Cauchy-Goursat)基本定理 基本定理的推广－复合闭路定理 原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系
《复变函数》(第四版) 第1 页
2014-10-20
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条件放宽, C 为解析域 D 的边界. f (z)在D C D上连续 , 则 c f ( z )dz 0 例: 对任意 C .
c z
2
dz 0
c e dz 0 c sin z dz 0
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dz ire d i 2 dz ire c 0 n1 i ( n1) d n 1 ( z z0 ) r e i 2 i 0 n in d n r r e
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i
2 0
e in d
第7 页
( 接上页例 )
i [v( k ,k )xk u( k ,k )yk ] .
k 1
《复变函数》(第四版) 第3 页
n
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c f ( z )dz cudx vdy i cvdx udy c(u iv)(dx idy)
复变函数积分
1 1 于是 dz ds cz i c c zi 1 1 在C上, z i | 3t ( 4t 1) i |
1
2
4 25 t 25 25
5 9 3
而
c ds 5,
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1 5 25 c z i dz 3 c ds 3
原式 0 [ x (1 y ) i ] d( x i y ) 0 [ x (1 x )] dx i 0 [(1 x ) x ] dx
1 1
1
2 i
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第9 页
2, (0≤x≤1) y = x 解: 2) 取弧段方程为: dy = 2xdx 2 i z x (1 y )i x (1 x ) i
2014-10-20 《复变函数》(第四版)
k 1
k
( 见P79图3.6 )
第18页
证明:
AEBBE AA f ( z )dz 0 AAF BBFA f ( z )dz 0
相加
（闭路变形原理）
c c
1
0
即
c
C
( P78图3.5 )
例: 由§1的例2知, 当C为以z0中心的正向圆周时, dz 由闭路变形原理 c z z 2 i 0 结论: 对于包含z0的任何一条正向简单闭曲线Γ, dz 2 i 有 z z0 《复变函数》 2014-10-20 第19页
t dt
1 7 2 (3 4i ) 12i 2 2
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又:
c zdz c ( x iy)(dx i dy ) c xdx ydy i c ydx xdy
右边两个线积分都与路径C无关，
c zdz
1 2 1 2
5. 积分估值式：设曲线 C的长度为L， f ( z )在C上满足 | f ( z ) | M .
则 | c f ( z )dz | c | f ( z ) | ds ML
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例4. 设C为以原点到3 4i 的直线段, 试求积分 1 c z i dz 绝对值的一个上界. 解: C 的方程为 z (3 4 i ) t 0 t 1
而若积分与路径无关, 则有 因此, 有
柯西－古萨基本定理:
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c f ( z )dz 0 .
( 转下页↓)
第15页
柯西－古萨基本定理:
f (z) 在单连通域B内处处解析 c f ( z )dz 0 , C为B中的任一条封闭曲线. ( 又称柯西积分定理 ) 等价命题: 如果函数 f (z) 在单连通域B内处处 解析, 则积分 c f ( z )dz 与路径无关. 逆命题(莫瑞拉(Morcra)定理):设D是复平面上的单连 通域, 函数f (z)在D上连续, 若在D内任一条闭曲 线C上都有 c f ( z )dz 0, 则函数f (z)在D内解析.
2 [ x ( 1 x ) i ] d( x i y ) 原式 0 1
0 [ x (1 x ) i ] d x i 0 [ x (1 x )i ]2 x d x
2 2
1
1
0 [ x (1 x )2 x ] d x i 0 [(1 x 2 ) x 2 x ] d x
n0 2 i 2 1 2 n i i i n 0 e n [e e ]0 n nr 0 r i n
即
n0
1 2 i ( z z ) n1 dz 0 |z z 0 | r 0
n0 n0
—————————————— 公式 特点: 与积分圆周的中心和半径无关.
的值, 不论C是怎样的连接原点到
1 2 3+4i 的曲线, 都等于 (3 4i ) . 2
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dz , 例2:(P73) 计算 c n 1 其中C为以zo为中心, ( z z0 ) r 为半径的正向圆周, n为整数.
解: C 的方程: i z z0 re , 0 2
(转下页↓)
第11页
《复变函数》(第四版)
( 接上页例 )
∴ 原式 0 i (e e
2
2
i
i 2
) (ie )d
i
0 (e
2 e 3i
2
3 i 2
e 2 )d
2 2 e i 0
i
i
3 i 2
Hale Waihona Puke 2 2 3 i 2i i i e 2i e ( 2i ) 3 3
z2
§3 基本定理的推广－复合闭路定理
定理推广到多连通域的情况. Th: 设 C 为多连通域 D 内的一条简单闭曲线, C1, C2, …, Cn 是在C内部的简单闭曲线,它们 互不包含也互不相交, 并且以 C1, C2, …, Cn 为边界的区域全含于D. 如果 f (z)在Γ内解析, 在Γ及Γ内连续，那末 . n i) c f ( z )dz c f ( z )dz , 其中C及Ck均取正方向. i i) f ( z )dz 0 , 其中 C C1 C2 Cn
f (z) = u (x )
一元实变函数 b 定积分: u( x)dx a
f (
k 1
n
k
)zk [u( k , k ) iv( k , k )](xk iyk )
n
[u ( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
k 1
k 1 n
2 2 i 2i i 2i 3 3
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8 i 3
第12页
(与实函定积分类似) 三、性质 1. c f ( z )dz c f ( z )dz
2.
c k f ( z)dz k c f ( z)dz ( k为常数 ) 3. c [ f ( z ) g ( z )] dz c f ( z )dz c g ( z ) dz 4. c c f ( z ) dz c f ( z ) dz c f ( z ) dz
0
lim f ( k )z k
《复变函数》(第四版) 第2 页
n
如果C为闭曲线, 沿此闭曲线的积分记作: c f ( z )dz 复变函数积分
C: a≤x≤b
二、计算 1.当C为光滑曲线,f(z)沿C连续时,积分c f ( z )dz存在 2.若 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) zk= xk + iyk , 则
例1:计算 c zdz.其中C为从原点到 3+4i 的直线段. 解: C : x 3t , y 4t , 或: z 3t i 4t (3 4i)t.
dz (3 4i )dt.
2 1 0
0 t 1
c zdz 0 (3 4i )
1
2
t dt (3 4i )
《复变函数》(第四版) 第14页
§2 柯西－古萨(Cauchy-Goursat)基本定理
c f ( z )dz c udx vdy i c vdx udy
由曲线积分与路径无关的条件. u v v u , . y x y x 恰为 f ( z ) u iv 解析的 C R条件.
2
1
1
2 2 i 3
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第10页
补例2: 计算积分: