考点规范练52 直线与圆锥曲线
圆锥曲线的综合问题：直线与圆锥曲线的位置关系
圆锥曲线的综合问题：直线与圆锥曲线的位置关系ZHI SHI SHU LI 知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共 点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消元，如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0， ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .当Δ__＞___0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； 当Δ__＝___0时，直线和圆锥曲线相切于一点； 当Δ__＜___0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k (k 不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝1＋k 2·|x 1－x 2|或|P 1P 2|＝__1＋1k2·|y 1－y 2|___. (2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0.ZHONG YAO JIE LUN重要结论求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型，就是指定类型．也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，就是利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外．当焦点位置无法确定时，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)．SHUANG JI ZI CE双基自测1．(2019·天津模拟)若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝( D ) A ．14B ．12C ．2D ．4[解析] 因为双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点为(－3＋p 216，0)，抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，所以－3＋p 216＝－p2，得p ＝4，故选D ． 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( D ) A ．x 23＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 29＋y 24＝1D ．x 29＋y 25＝1[解析] 由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1，故选D ．3．(2019·宁夏模拟)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( B ) A ．y 2＝－12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B ．4．已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a >0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( B ) A ．5x ±3y ＝0 B ．3x ±5y ＝0 C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] 设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a2－x 2＝1上，得y 20a 2－x 20＝1，9a 2－24＝1，a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B ．5．(2019·桂林模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过(c,0)，(0，b )两点的直线的距离为c2，则椭圆的离心率为( A )A ．32B ．22 C ．12D ．33[解析] 经过(c,0)，(0，b )两点的直线方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0，所以由题设得bcb 2＋c 2＝c2，化简得c 2＝3b 2，得c 2＝3(a 2－c 2)，所以4c 2＝3a 2，所以2c ＝3a ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝32.故选A ．6．(2019·温州模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为__x 25－y 220＝1___.[解析] 由题设知点M (－3,4)与右焦点F 2(c,0)关于直线y ＝ba x 对称，所以－4c ＋3·b a ＝－1，即4b ＝a (c ＋3)①，且线段MF 2的中点(c －32，2)在直线y ＝ba x 上，即2＝b a ·c －32，得b (c －3)＝4a ②.由①÷②得4c －3＝c ＋34，得c 2＝25，c ＝5，代入①可得b ＝2a .又c 2＝a 2＋b 2，所以25＝a 2＋(2a )2，所以a 2＝5，从而b 2＝4a 2＝20. 故所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.考点1 直线与圆锥曲线的位置关系——自主练透例1 (1)(2019·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( B )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0(2)(2019·湖北武汉调研)已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA ＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( D ) A ．3 B ．2 C ．－2D ．－3(3)已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则k 的取值范围为( D ) A ．(0，52) B ．[1，52] C ．(－52，52) D ．(1，52) [解析] (1)∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4.∴m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2＜1， ∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B ．(2)由题意可知，直线OA 的方程为y ＝2x ，与抛物线方程y 2＝2px联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2，y ＝p ，即A (p 2，p )，则直线AB 的方程为y －p ＝6(x －p2)，即y ＝6x －2p ，与抛物线方程y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6x －2p ，y 2＝2px ，得⎩⎨⎧ x ＝2p9，y ＝－2p 3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2，y ＝p ，所以B (2p 9，－2p3)，所以直线OB 的斜率为k OB ＝－2p 32p9＝－3.故选D ．(3)由题意知k >0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0，因为直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋20(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝－2k 1－k2>0，x 1x 2＝－51－k 2>0，解得1<k <52，即k ∈(1，52)，故选D ． 名师点拨 ☞研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数．注意：(1)在没有给出直线方程时，要对直线斜率不存在的情况进行讨论，避免漏解；(2)对于选择题、填空题，常利用几何条件，利用数形结合的方法求解．考点2 直线与圆锥曲线的弦长问题——师生共研例2 (2019·常州模拟)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上一点P 的纵坐标为4，且点P 到焦点F 的距离为5. (1)求抛物线E 的方程；(2)如图，设斜率为k 的两条平行直线l 1，l 2分别经过点F 和H (0，－1)，l 1与抛物线E 交于A ，B 两点，l 2与抛物线E 交于C ，D 两点．问：是否存在实数k ，使得四边形ABDC 的面积为43＋4？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由抛物线的定义知，点P 到抛物线E 的准线的距离为5. ∵抛物线E 的准线方程为y ＝－p 2，∴4＋p2＝5，解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为x 2＝4y . (2)由已知得，直线l 1：y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4＝0， Δ1＝16(k 2＋1)>0恒成立，|AB |＝1＋k 2·16(k 2＋1)＝4(k 2＋1)．直线l 2：y ＝kx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx ＋4＝0，由Δ2＝16(k 2－1)>0得k 2>1， |CD |＝1＋k 2·16(k 2－1)＝4(k 2＋1)(k 2－1)， 又直线l 1，l 2间的距离d ＝2k 2＋1，∴四边形ABDC 的面积S ＝12·d ·(|AB |＋|CD |)＝4(k 2＋1＋k 2－1)．解方程4(k 2＋1＋k 2－1)＝4(3＋1)，得k 2＝2(满足k 2>1)，∴存在满足条件的k ，k 的值为± 2. 名师点拨 ☞处理弦长问题的两个注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用． 〔变式训练1〕(2019·贵阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝(x 12，y 1)，n ＝(x 22，y 2)，m ·n ＝0.(1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值？并说明理由． [解析] (1)∵k 1，k 2存在，∴x 1x 2≠0，∵m ·n ＝0， ∴x 1x 24＋y 1y 2＝0，∴k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－14. (2)①当直线PQ 的斜率不存在，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时， 由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214－y 21＝0， 又由P (x 1，y 1)在椭圆上，得x 214＋y 21＝1， ∴|x 1|＝2，|y 1|＝22，∴S △POQ ＝12|x 1||y 1－y 2|＝1.②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(4k 2＋1－b 2)>0， ∴x 1＋x 2＝－8kb4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1.∵x 1x 24＋y 1y 2＝0， ∴x 1x 24＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，得2b 2－4k 2＝1， ∵原点O 到直线PQ 的距离d ＝|b |1＋k 2，∴S △POQ ＝12·|b |1＋k 2·|PQ |＝12|b |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2|b |4k 2＋1－b 24k 2＋1＝1.综上可得，△POQ 的面积S 为定值．考点3 中点弦问题——多维探究角度1 利用中点弦确定直线方程例3 已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为__x ＋2y －3＝0___.[解析] 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k .设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②，①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.角度2 利用中点弦确定曲线方程例4 过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为__x 2＝2y 或x 2＝4y ___.[解析] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p(x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p ，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p＝12，16＋8p 22p ＝12，解得p ＝1或p ＝2. 角度3 利用中点弦解决对称问题例5 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( A ) A ．32B ．52C ．2D ．3[解析] 由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32，选A ． 名师点拨 ☞处理中点弦问题常用的求解方法提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2019·江西五市联考)已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( A ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327(2)(角度3)已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，点A 和点B 关于直线l 对称，l 与x 轴交于点G ，则点G 横坐标的取值范围是__(－12，0)___.[解析] (1)由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)，整理得y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－a b ，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，∴－32×(－1)＝－a b ，∴a b ＝－32，故选A ．(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， 所以方程有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，因为点A 和点B 关于直线l 对称， 所以直线l 为AB 的垂直平分线，其方程为 y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，因为k ≠0，所以－12<x G <0，即点G 横坐标的取值范围为(－12，0)．故填(－12，0)．。
高考数学复习考点题型专题讲解 题型29 直线与圆锥曲线(解析版)
高考数学复习考点题型专题讲解题型:之直线与圆锥曲线【高考题型一】：直线与圆锥曲线在简答题中的步骤体现。
『解题策略』：答题规范模板:步骤1：设直线方程：注意设直线的技巧。
①当斜率不存在的直线不满足，斜率为零的直线满足时，一般设为b kx y +=； ②当斜率为零的直线不满足，斜率不存在的直线满足时，一般设为n my x +=；③两类直线均满足或均不满足时，两种设法均可，但两类直线均满足时，注意要对取不到的直线补充验证。
)。
步骤2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程。
步骤3：写出根与系数的关系（如果求范围或直线与曲线不是恒有公共点，则写出)0(0≥∆>∆）。
步骤4：转化已知条件，转化为两根的关系。
步骤5：把根与系数的关系代入转化的条件中。
※注：若题目中不涉及根与系数，则．．．．．．．．．．．．．步骤．．4．\．步骤．．5．可省略。
．．．． 弦长公式：弦长：直线与曲线相交中两交点的距离。
弦长公式：直线与曲线联立，若消y ，转化为关于x 的一元二次方程，20,ax bx c ++=则弦长=a ；若消x ，则转化为关于y 的一元二次方程:20,ay by c ++=则弦长。
【题型1】：直线与椭圆的位置关系。
『解题策略』：直线0:=++C By Ax l ，椭圆C :221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠；判定方法：∆法：直线与椭圆方程联立：220,00,10,Ax By c mx ny ∆>⎧++=⎧⎪⇒∆=⎨⎨+=⎩⎪∆<⎩相交相切相离。
1.(高考题)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点。
（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。
【解析】：(1)c=2，设椭圆方程为：142222=-+a y a x ，代入点A 得椭圆方程为2211612x y +=。
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.说明：(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝||a ∆，|y 2－y 1|＝||a ∆ 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)点差法设而不求，借用中点公式即可求得斜率．(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0； 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0. 典型例题题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．题型二 中点弦问题例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________．题型三 弦长问题例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．课堂练习1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________．3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．4．(四川文)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．课下作业1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．2．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________．3．已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________．5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________．8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为________． 9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．13．(陕西文)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.。
直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线1．从几何的角度看，可以分：直线与圆锥曲线有两个不同公共点，仅有一个公共点，无公共点； ⑴有两个公共点，就是相交，直线被圆锥曲线截得的线段称为曲线的弦； ⑵仅有一个公共点，对于圆和椭圆来说，表示直线与其相切； 对于双曲线来说，表示直线与其相切或与渐近线平行； 对于抛物线来说，表示直线与其相切或平行于对称轴； ⑶无公共点，就是相离；2．从代数的角度看，将表示直线的方程0Ax By C ++=代入到圆锥曲线的方程()0f x y =，中，消去一个变元y （或x ）后，得到方程20ax bx c ++=；⑴若0a =，当圆锥曲线是双曲线时，说明直线与其渐近线平行； 当圆锥曲线是抛物线时，说明直线与其对称轴平行； ⑵若0a ≠，记24b ac ∆=-，则 0∆>，说明直线与圆锥曲线相交； 0∆=，说明直线与圆锥曲线相切； 0∆<，说明直线与圆锥曲线相离；知识梳理第10讲直线与圆锥曲线3．斜率为k 的直线与圆锥曲线()0f x y =，相交，将两者方程联立，消去y ，得到方程20ax bx c ++=，则弦长公12x x -=；4．当过定点00()P x y ，的直线斜率可能不存在时，为避免分类讨论，可以设斜率的倒数为m ，把直线方程写成x my n =+；这种形式的方程能够表示斜率不存在的情形，但不能够表示斜率为0的情形． 此时同样代入圆锥曲线方程，消去x ，得到20ay by c ++=．5．在计算圆锥曲线内接三角形面积时，我们常常用到下面这些计算公式：111sin sin 222ABC S dl d l ll αθ''===△由三角形的面积容易推出圆锥曲线内接四边形的计算公式：1sin 2ABCD S AC BD α=⋅（其中α为对角线夹角）特别地，对角线互相垂直的四边形的面积为ABCD S =12AC⋅<教师备案>直线与圆锥曲线的位置关系：⑴讨论直线与圆锥曲线的位置关系一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消元（x 或y ），若消去y 得到20ax bx c ++=，讨论根的个数得到相应的位置关系，这里要注意的是： ①二次项系数a 可能有0a =或0a ≠两种情况，（例外情形：当圆锥曲线为双曲线且直线平行于渐近线时，或者当圆锥曲线为抛物线且直线平行于对称轴时，二次项系数为0）只有当0a ≠，才能用∆判断根的个数；②直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但有一个公共点不一定相切．经典精讲⑵在讨论直线与双曲线的交点时，要注意数形结合的方法，结合图象作出判断有时更方便快捷，要注意双曲线的渐近线的斜率，以及直线与渐近线的斜率比较．⑶当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．尖子班学案1【铺1】 ⑴若直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为________．⑵过定点(01)，且与双曲线224x y -=的两支各有一个公共点的直线l 的斜率的取值范围________．【解析】 ⑴1m ≥且5m ≠ ⑵()1,1-考点：直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 ⑴过定点(01)-，且与抛物线24y x =有且只有一个公共点的直线有_____条；．⑵过点()4,4P 且与双曲线221169x y -=只有一个交点的直线有______条．⑶已知两定点(10)M -，，(10)N ，，若直线上存在点P ，使得||||4PM PN +=，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是． ①1y x =+②2y =③3y x =-+④23y x =-+⑷（海淀一模文8）若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是（）A ．22(1)1x y -+=B ．2212x y +=C ．2y x =D ．221x y -=【解析】 ⑴3；⑵4 ⑶①④ ⑷B<教师备案>直线与圆锥曲线问题的基本方法：直线与圆锥曲线的问题尤其是相交问题，最基本的方法分为两种：⑴代入法；即联立直线与圆锥曲线的方程，把直线的方程代入后者消去一个变元（通常是y ），得到关于x 的二次方程，二次方程的根即代表交点的横坐标，然后用韦达定理与坐标运算去求解交点的相关问题； 代入法的优点：适用性强，基本上对于任何问题都能适用；代入法的缺点：通常计算量较大，当方程含参时，坐标运算比较复杂； 在与弦长有关的问题中，通常采用代入法． ⑵点差法：以直线与椭圆相交为例，设出交点的坐标()A A x y ，，()B B x y ，，由于这两者都满足椭圆方程，相减就得：22222222A B A B x x y y a a b b ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再利用平方差公式就得：22A B A BA B A By y x x b x x a y y -+=--+ 若设AB 的中点为M ，就得到了斜率与AB 中点坐标的一个简单关系式：22M Mx b k a y =-；这种方法称为点差法．点差法的优点：计算量非常小；点差法的缺点：适用范围非常狭窄，通常只能用来解决中点弦问题，或者斜率与坐标和密切相关的问题；而且点差法的变换过程不是等价的，需要考虑是否有0∆>；在与中点弦有关而且不太需要交点坐标运算的问题中，可以考虑使用点差法．考点：代入法与点差法【例2】 ⑴已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，过F 且倾斜角为45︒的直线与椭圆相交于A B ，两点，则弦长AB =________．⑵直线l 与椭圆22184x y +=交于两点A B ，，AB 的中点坐标为(11)-，，则直线l 的方程是．⑶ABC △的三个顶点都在抛物线24y x =上，A 点与原点重合，且三角形重心恰为抛物线的焦点，则三角形的周长是．⑷经过抛物线2y x =上一点(42)A -，引两条直线1l 和2l ，与抛物线分别交于M 、N 两点，若1l 与2l 的斜率互为相反数，则直线MN 的斜率为．【解析】 ⑴247； ⑵230x y --=⑷14【例3】 （石景山一模文19）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）右顶点到右焦点的距离为1-，短轴长为 ⑴求椭圆的方程；⑵过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若线段AB，求直线AB 的方程． 【解析】⑴椭圆方程为22132x y +=．⑵直线AB0y -+=0y +=．目标班学案1【拓2】 （东城二模文19）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1(1,0)F -，长轴长与短轴长的比是2⑴求椭圆的方程；⑵过1F 作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m n ⊥，求证：11AB CD+为定值． 【解析】⑴椭圆方程为22143x y +=．⑵由⑴知()11,0F -，当直线m 与x 轴重合时，此时3,4AB CD ==，11AB CD +1173412=+=． 当直线m 不与x 轴重合时，设直线m 的方程为：1x my =-． 由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2234690m y my +--=．由直线过椭圆内定点1F 知一定有0∆>．则有()2212134m AB m +==+．在上式中用1m -代换m ，同理可知()2212143m CD m +=+． 所以11AB CD +()()22223434712121121m m m m ++=+=++． 综上，11AB CD +为定值712．【例4】 ⑴连接抛物线24x y =的焦点F 与点(1,0)M 所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则OAM △的面积为（ ）A ．1-B ．32C ．1D ．32⑵过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OAB△的面积为___________．⑶已知抛物线24y x =，点()4,0M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于A 、B 两点．则ANB △面积的最小值为________．【解析】 ⑴ B⑵53； ⑶32【例5】 （丰台二模文20）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点()01，，过右焦点F 且不与x 轴重合的动直线l交椭圆于A 、C 两点，当动直线l 的斜率为2时，坐标原点O 到l ． ⑴求椭圆的方程；⑵过F 的另一直线交椭圆于B 、D 两点，且AC BD ⊥，当四边形ABCD 的面积169S =时，求直线l 的方程．【解析】 ⑴椭圆的方程为2212x y +=．⑵直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．尖子班学案2【铺1】 若已知点(C ，平行于CO 的直线l 和椭圆221124x y +=交于M 、N 两个不同点，当CMN △面积取最大值时，求直线l 的方程．【解析】 直线l 的方程为0x y +±=．【例6】 （西城二模文19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．⑴求椭圆C 的方程；⑵过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求AOB △（O 为原点）面积的最大值．【解析】⑴椭圆C 的方程是2213x y +=．⑵AOB △． 【点评】本题求面积也可以用传统面积公式点O 到直线AB的距离d =，弦长12AB x x -，【备选】（朝阳一模文19）已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ．在椭圆M 中有一内接三角形ABC ，其顶点C 的坐标)1，AB ． ⑴求椭圆M 的方程；⑵当ABC △的面积最大时，求直线AB 的方程．【解析】 ⑴椭圆M 的方程为22162x y +=．⑵直线AB 的方程为y =过定点312P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，的直线l 与抛物线24y x =相交所得的弦长为4，求直线l 的方程．【解析】 错解：设直线的斜率为k ，直线的方程可以写成3(1)2y k x +=-，与抛物线方程联立消去y ，得： 22223(234)02k x k k x k ⎛⎫-++++= ⎪⎝⎭222223(234)416241602k k k k k k ⎛⎫∆=++-+=++> ⎪⎝⎭恒成立； 然后得弦长4s ==化简得323321022k k k +++=，即2(1)(32)0k k k +++=，1k =-；所以直线方程为3(1)2y x +=--，即102x y ++=．【点评】 上面的误解中，设直线斜率时没有讨论斜率是否存在；若斜率不存在，则直线方程为1x =，与抛物线的两个交点为(12)±，，弦长正好也为4，所以满足题意的直线有两条：1x =或者102x y ++=．在设直线方程时，如果是用点斜式或者斜截式，一定要讨论斜率是否存在．（北京文19）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>()0，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(32)P -，．⑴求椭圆G 的方程； ⑵求PAB △的面积．【解析】 ⑴椭圆G 的方程为221124x y +=．⑵PAB △的面积92S =．【演练1】若直线4mx ny +=和圆O ：224x y +=仅有一个交点，则过点()m n ，的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为________．【解析】 1或2【演练2】已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA与FB 的比值等于．【解析】3+【演练3】已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A ，B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为()22M ，，则ABF△的面积等于．【解析】 2实战演练真题再现【演练4】已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，则E 的方程为（）A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=【解析】B【演练5】（西城一模文19）已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(40)M ，．⑴若点F 到直线ll 的斜率；⑵设A B ，为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值．【解析】 ⑴l的斜率为2±． ⑵设线段AB 中点的坐标为00()N x y ，；因为AB 不垂直于x 轴，则MN 的斜率为004y x -，直线AB 的斜率为04x y -； 但另一方面，22044244A B A B AB A B A BA B y y y y k y y x x y y y --====-+-； ∴00042x y y -=，∴02x =；即AB 中点的横坐标恒为定值2． 【演练6】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1F 、2F 为左右焦点，点A 是椭圆上位于第一象限的点，且满足2AF x ⊥轴，直线AO 交椭圆于点B ，若2ABF △的面积为【解析】 椭圆方程为221168x y +=．（上海交大自主招生考试）已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上，试求AB 的中点M 到y 轴的距离最短时M 点的坐标．【解析】 如图所示，抛物线的焦点为104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程为14x =-；过A M B ，，分别作准线的垂线，垂足为P R Q ，，；大千世界则()111424M x MR AP BQ =-=+-()1124AF FB =+- 115244AB -=≥等号成立当且仅当A F B ，，共线，即AB 过焦点F ．设此时AB 的方程为14x my -=，与抛物线方程联立得214y my =+，∴A B y y -∴231A B AB y m =-=+，m =；∴()21152422424A B A B M M y y y y mm x y m ⎛⎛⎫++⎛⎫=+=+=± ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，∴M 点的坐标为54⎛± ⎝⎭，．。
第16讲 直线与圆锥曲线的位置关系(3大考点+强化训练)(习题版)
第16讲直线与圆锥曲线的位置关系（3大考点+强化训练）[考情分析]直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等．知识导图考点分类讲解考点一：弦长问题已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k (k ≠0)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.易错提醒(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等．(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉．(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p 是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立．【例1】（22-23高三·全国·对口高考）通过椭圆22143x y +=的焦点且垂直于x 轴的直线l 被椭圆截得的弦长等于（）A ．B ．3CD ．6【变式1】（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线C ：22142-=y x ，则双曲线C 的渐近线方程是；直线1x =与双曲线相交于M ，N 两点，则MN =.【变式2】（2024·内蒙古包头·一模）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 与C 交于P 、Q 两点，则PQ =.【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知中心在坐标原点的椭圆 E 的一个焦点为)，且过点()4,0，过原点O 作两条互相垂直的射线交椭圆于 A 、 B 两点，则弦长 AB 的取值范围为．考点二：面积问题规律方法圆锥曲线中求解三角形面积的方法(1)常规面积公式：S ＝12×底×高．(2)正弦面积公式：S ＝12ab sin C .(3)铅锤水平面面积公式：①过x 轴上的定点：S ＝12a |y 1－y 2|(a 为x 轴上定长)；②过y 轴上的定点：S ＝12a |x 1－x 2|(a 为y 轴上定长)．【例2】（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若8AB =，则OBF 的面积为（）A B C D 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知直线1y x =+与椭圆22221x ya b+=()0a b >>交于A ，B 两点，点A关于x 轴的对称点记为P ，且OBP 的面积为2，则椭圆恒过定点（）A ．⎛ ⎝⎭B ．()1,1C ．(D ．【变式2】（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知A 是左、右焦点分别为12,F F 的椭圆22:143x y E +=上异于左、右顶点的一点，C 是线段1AF 的中点，O 是坐标原点，过2F 作1AF 的平行线交直线CO 于B 点，则四边形12AF BF 的面积的最大值为（）A ．2B ．34C D【变式3】（2024·山东泰安·一模）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF 周长最小时，该三角形的面积为（）A ．B ．C ．D ．考点三：中点弦问题已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为圆锥曲线E 上两点，AB 的中点C (x 0，y 0)，直线AB 的斜率为k .若E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则k ＝－b 2a 2·x 0y 0；若E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则k ＝b 2a 2·x 0y 0；若E 的方程为y 2＝2px (p >0)，则k ＝py 0.规律方法处理中点弦问题常用的求解方法【例3】（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过C 的焦点F 且倾斜角为π3的直线交C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为W ，4||3FW =，则p =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（23-24高三下·全国·阶段练习）设直线()300x y m m -+=≠与双曲线22221(0)x y a b a b-=>>分别交于A B 、两点，若线段AB 的中点横坐标是45m ，则该双曲线的离心率是（）AB C ．2D【变式2】（22-23高二下·陕西榆林·期末）已知,A B 为双曲线2219y x -=上两点，且线段AB 的中点坐标为()1,4--，则直线AB 的斜率为.【变式3】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线l 交抛物线2:28C x y =-于,M N 两点，且MN 的中点为()2,11--，则直线l 的斜率为（）A ．114-B ．1114C ．17D ．17-强化训练一、单选题1．（23-24高三下·新疆·阶段练习）将抛物线21:2(0)C y px p =>绕原点O 顺时针旋转90︒得到抛物线2C ，若抛物线1C 与抛物线2C 交于异于原点O 的点B ，记抛物线1C 与2C 的焦点分别为M 、N ，且四边形OMBN 的面积为8，则p =（）A ．4B ．2C ．22D 22．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）设A ，B 为双曲线221816x y -=上的两点，若线段AB 的中点为()1,2M ，则直线AB 的方程是（）A ．30x y +-=B ．230x y +-=C ．10x y -+=D ．230x y -+=3．（2023高三·全国·专题练习）已知12,F F 分别为双曲线22:36C x y -=的左、右焦点，A 是双曲线C 右支上(顶点除外)任意一点，若12F AF ∠的角平分线与以1AF 为直径的圆交于点B ，则12BF F △的面积的最大值为（）A ．182B ．183C ．362D ．34．（2023·四川资阳·三模）已知抛物线C ：28y x =，过点()2,1P -的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若AP BP =，则直线l 的斜率是（）A ．4-B ．4C ．14-D ．145．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为e ．倾斜角为120︒的直线与C 交于,A B 两点，并且满足21AB AF BF e=-，则C 的离心率为（）A ．12B C D 6．（22-23高三上·江西·期末）如图，已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N .若四边形OCMN 的面积等于8，则E 的方程为（）A ．22y x =B ．24y x=C ．2y =D ．28y x=7．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线22:13y C x -=，直线l 经过点(且与双曲线C 的右支交于,A B 两点．点P 为y 轴上一点且满足PA PB =，则22OP PA -=（）A ．0B ．1C ．2D ．38．（2023·河南·模拟预测）已知直线l 与椭圆221:12x C y +=相切于点P ，与圆222:4C x y +=交于A ，B 两点，圆2C 在点A ，B 处的切线交于点Q ，O 为坐标原点，则OPQ △的面积的最大值为（）AB ．1C D ．2二、多选题1．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）直线3x ty =+过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，则（）A ．3p =B ．6p =C ．MN 的最小值为6D ．MN 的最小值为122．（2024·云南昭通·模拟预测）已知椭圆22:143x y C +=，直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，下列结论正确的是（）A ．椭圆的离心率为12B ．椭圆的长轴长为2C ．若直线l 的方程为1y x =+，则右焦点到lD ．若直线l 过点()1,0，且与y 轴平行，则32AB =3．（2023·河北沧州·三模）已知1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上第一象限内一点，且12π3F PF ∠=，12F F =1F 关于12F PF ∠的平分线的对称点Q 恰好在C 上，则（）A ．C 的实轴长为2B ．C 的离心率为C ．12F PF △的面积为D ．12F PF ∠10y --=三、填空题1．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知O 为坐标原点，过抛物线C ：26y x =的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，2OM OF =，若AF AM =，则AB =．2．（2023高三·全国·专题练习）过点(0,1)P 作斜率为1-的直线l 与椭圆22186x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为.3．（2024·黑龙江·二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>其左､右焦点分别为12,F F ，过2F 作C 的一条渐近线的垂线并交C 于,M N 两点，若34MN =，则1△MNF 的周长为.四、解答题1．（2023·河南·三模）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在y 轴的正半轴上，圆22(1)1y x +-=经过抛物线C 的焦点.(1)求C 的方程；(2)若直线:40l mx y +-=与抛物线C 相交于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线C 的切线，两条切线相交于点P ，求ABP 面积的最小值.2．（2023高三·全国·专题练习）已知倾斜角为3π4的直线l 与双曲线C ：2214y x -=交于A ，B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程．3．（2023高三·全国·专题练习）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，右顶点为A ，设点O 为坐标原点，点B 为椭圆E 上异于左、右顶点的动点，OABE 的标准方程；4．（2024·云南贵州·二模）已知椭圆C 的方程()222210x y a b a b+=>>，右焦点为()1,0F ，且离心率为12(1)求椭圆C 的方程；(2)设A B ，是椭圆C 的左、右顶点，过F 的直线l 交C 于D E ，两点（其中D 点在x 轴上方），求DBF 与AEF △的面积之比的取值范围.5．（2024·云南曲靖·一模）已知斜率为1的直线1l 交抛物线()2:20E x py p =>于A 、B 两点，线段AB 的中点Q 的横坐标为2．(1)求抛物线E 的方程；(2)设抛物线E 的焦点为F ，过点F 的直线2l 与抛物线E 交于M 、N 两点，分别在点M 、N 处作抛物线E 的切线，两条切线交于点P ，则PMN 的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．。
原创2：2.5直线与圆锥曲线
(1)若直线l的斜率不存在，则|AB|＝|y1－y；
(2)若直线l的斜率为0，则|AB|＝|x1－x2|；
(3)若直线l的方程为y＝kx＋b，则|AB|＝
或
1
1＋ 2|y1－y2|
k
.
1＋k2|x1－x2|
典例导航
题型一：直线与圆锥曲线的交点个数的判定
例1 已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：
3
=
4(2−)2 −12
3+4 2
=
(3−2)2 −12
3+4 2
3
2
= + −
又直线AF的斜率为(-k),上式中以(-k)代k
=
(3+2)2 −12
3+4 2
3
2
= − + +
O
E
(动点)
x
F
(动点)
∴ =
−
−
=
由韦达定理知1 + 2 =
2
，
+
1 ∙ 2 =
−1
+
则|AB|＝ 1 + 2 × (1 + 2 )2 −41 2
＝ 2×
42
(+)2
−
4(−1)
+
= 2×
4 2 −4(+)(−1)
(+)2
∵|AB|＝2 2，∴
+−
＝1.
+
①
1 +2
将y＝2x－4代入得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
+16
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1） 运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。
直线与圆锥曲线知识点
直线与圆锥曲线知识点
一．考点分析。
⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定
直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.
直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<.
⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长
直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长
上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.
当直线斜率不存在是,则12AB y y =-.
注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；
2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法；
3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围,二是建立不等式，通过解不等式求范围.。
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考点规范练52 直线与圆锥曲线考点规范练B 册第37页基础巩固1.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ) A .54 B.5 C .√54D .√5答案:D解析:不妨设x 2a −y 2b =1的渐近线y=ba x 与y=x 2+1只有一个交点,由{y =ba x ,y =x 2+1,得ax 2-bx+a=0,所以Δ=b 2-4a 2=0,即c 2-a 2-4a 2=0,c 2a 2=5,e=ca =√5.故选D .2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y=2x 2上的两点,直线l 是AB 的垂直平分线.当直线l 的斜率为12时,直线l 在y 轴上的截距的取值范围是( ) A .(34,+∞) B .[34,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,-1)答案:A解析:设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程为y=12x+b ,过点A ,B 的直线可设为y=-2x+m ,联立方程{y =2x 2,y =-2x +m 得2x 2+2x-m=0,从而有x 1+x 2=-1,Δ=4+8m>0,m>-12.又AB 的中点(-12,m +1)在直线l 上,即m+1=-14+b ,得m=b-54,将m=b-54代入4+8m>0,得b>34,所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是(34,+∞).3.过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点F (1,0)作x 轴的垂线与双曲线交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若△AOB 的面积为83,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±32x B.y=±2√2x C.y=±2√3x D.y=±2x答案:B解析:由题意得|AB|=2b 2a,∵S △AOB =83,∴12×2b 2a×1=83,∴b 2a=83.①∵a 2+b 2=1,② 解①②得a=13,b=2√23, ∴双曲线的渐近线方程为y=±ba x=±2√2x.故选B .4.斜率为1的直线l 与椭圆x 24+y 2=1相交于A ,B 两点,则|AB|的最大值为( ) A.2 B .4√55C .4√105D .8√105答案:C解析:设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),直线l 的方程为y=x+t ,由{x 2+4y 2=4,y =x +t 消去y ,得5x 2+8tx+4(t 2-1)=0. 则x 1+x 2=-85t ,x 1x 2=4(t 2-1)5.所以|AB|=√1+k 2|x 1-x 2| =√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√2·√(-85t)2-4×4(t 2-1)5=4√25·√5-t 2当t=0时,|AB|max =4√105. 5.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 答案:A解析:方法一:由题意,易知直线l 1,l 2斜率不存在时,不合题意. 设直线l 1方程为y=k 1(x-1), 联立抛物线方程,得{y 2=4x ,y =k 1(x -1),消去y ,得k 12x 2-2k 12x-4x+k 12=0,所以x 1+x 2=2k 12+4k 12.同理,直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=2k 22+4k 22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p=2k 12+4k 12+2k 22+4k 22+4=4k 12+4k 22+8≥2√16k 12k 22+8=16,当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F (1,0),设AB 倾斜角为θ(不妨令θ∈(0,π2)).作AK 1垂直准线,AK 2垂直x 轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得{|AF |·cosθ+|GF |=|AK 1|,|AK 1|=|AF |,|GF |=2,所以|AF|·cos θ+2=|AF|,即|AF|=21-cosθ. 同理可得|BF|=21+cosθ,所以|AB|=41-cos θ=4sin θ. 又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π2+θ,则|DE|=4sin 2(π2+θ)=4cos 2θ,所以|AB|+|DE|=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=414sin 22θ=16sin 22θ≥16,当θ=π4时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A .6.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2-y 2=1右支上的一个动点.若点P 到直线x-y+1=0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 . 答案:√22解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x 平行,且两平行线间的距离为√22.由图形知,双曲线右支上的动点P 到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于√22,要使距离d 大于c 恒成立,只需c ≤√22即可,故c 的最大值为√22.7.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点F (-2,0),上顶点B (0,2).(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,且线段MN 的中点G 在圆x 2+y 2=1上,求m 的值.解:(1)由题意可得,c=2,b=2,由a 2=b 2+c 2得a 2=22+22=8,所以a=2√2. 故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1.(2)设点M ,N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段MN 的中点G (x 0,y 0), 由{y =x +m ,x 28+y 24=1消去y 得3x 2+4mx+2m 2-8=0,则Δ=96-8m 2>0,所以-2√3<m<2√3. x 0=x 1+x 22=-2m 3,y 0=x 0+m=m3,因为点G (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上, 所以(-23m)2+(13m)2=1.解得m=±3√55. 8.在平面直角坐标系xOy 中,直线l :y=t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :y 2=2px (p>0)于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连接ON 并延长交C 于点H. (1)求|OH ||ON |;(2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由. 解:(1)由已知得M (0,t ),P (t 22p ,t). 又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t),ON 的方程为y=pt x ,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x 1=0,x 2=2t 2p.因此H (2t 2p,2t).所以N 为OH 的中点,即|OH ||ON |=2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点. 理由如下:直线MH 的方程为y-t=p2t x ,即x=2tp (y-t ).代入y 2=2px 得y 2-4ty+4t 2=0,解得y 1=y 2=2t ,即直线MH 与C 只有一个公共点, 所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点.能力提升9.(2019广东六校第一次联考)抛物线y=2x 2上有一动弦AB ,中点为M ,且弦AB 的长为3,则点M 的纵坐标的最小值为( ) A .118B .54C .32D.1答案:A解析:由题意设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),直线AB 的方程为y=kx+b. 由题意知y 0≥b>0.联立得{y =kx +b ,y =2x 2,整理得2x 2-kx-b=0,Δ=k 2+8b>0,x 1+x 2=k 2,x 1x 2=-b 2,则|AB|=√1+k 2·√k 24+2b ,点M 的纵坐标y 0=y 1+y 22=x 12+x 22=k 24+b.因为弦AB 的长为3,所以√1+k 2√k 24+2b =3,即(1+k 2)(k 24+2b)=9,故(1+4y 0-4b )(y 0+b )=9, 即(1+4y 0-4b )(4y 0+4b )=36.由基本不等式得,(1+4y 0-4b )+(4y 0+4b )≥2√00+4b )=12,当且仅当{b =18,y 0=118时取等号,即1+8y 0≥12,y 0≥118,所以点M 的纵坐标的最小值为118.故选A . 10.已知双曲线C :x 23-y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN|=( ) A .32 B.3 C.2√3 D.4答案:B解析:由条件知F (2,0),渐近线方程为y=±√33x ,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.不妨设∠OMN=90°,则|MN|=√3|OM|.又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos 30°=√3, 所以|MN|=3.11.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.答案:32解析:如图,双曲线的渐近线为y=±bax.由{y=bax,x2=2py,得A(2bpa,2b2pa).由{y=-bax,x2=2py,得B(-2bpa,2b2pa).∵F(0,p2)为△OAB的垂心,∴k AF·k OB=-1.即2b2pa2-p22bpa-0·(-ba)=-1,解得b2a2=54,∴c2a2=94,即可得e=32.12.在平面直角坐标系xOy中,曲线C:y=x 24与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解:(1)由题设可得M(2√a,a),N(-2√a,a)或M(-2√a,a),N(2√a,a).又y'=x2,故y=x24在x=2√a处的导数值为√a,C在点(2√a,a)处的切线方程为y-a=√a(x-2√a),即√a x-y-a=0.y=x 24在x=-2√a处的导数值为-√a,C在点(-2√a,a)处的切线方程为y-a=-√a(x+2√a),即√a x+y+a=0.故所求切线方程为√a x-y-a=0和√a x+y+a=0.(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.高考预测13.已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点F的坐标为(√3,0),点P坐标为(-2,2),且直线PA1⊥x轴,过点P作直线与椭圆E交于A,B两点(A,B在第一象限且点A在点B的上方),直线OP与AA2交于点Q,连接QA1.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线QA1的斜率为k1,直线A1B的斜率为k2,问:k1k2的斜率乘积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.解:(1)由题意可知{a=2, c=√3,所以b=1.所以椭圆的方程为x 24+y2=1.(2)是定值,定值为-14.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB过点P(-2,2), 设直线AB的方程为x=my-2m-2,联立{x2+4y2=4,x=my-2m-2⇒(m2+4)y2-(4m2+4m)y+(4m2+8m)=0,所以y1+y2=4m 2+4mm2+4,y1y2=4m2+8mm2+4.因为点Q 在直线OP 上,所以可设Q (-t ,t ). 又Q 在直线AA 2上,所以t-t -2=y 1x 1-2⇒t=-2y 1x 1+y 1-2,所以k 1k 2=-2y 1x 1+y 1-22y1x 1+y 1-2+2·y 2x2+2=-y 1y 2(x2+2)(x 1+2y 1-2)=-y 1y 2(my2-2m )(m+2)(y 1-2)=-y 1y 2(m +2m )[y 1y 2-2(y 1+y 2)+4]=-14.。