专题直线与圆、圆锥曲线知识点

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直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)

y＝±
33x，
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
• 【例1】已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值．
解• 析分证：联结析立论：方程．先组用yy2＝＝代(aax＋数. 1)方x－法1，即联(1)立当 a方＝0程时，组此解方程决组恰，有再一组从解几为何xy＝＝上10.，验
两式相减可得yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－ba22，即 kAB＝－ba22xy00
.
x2 y2 类似的可得圆锥曲线为双曲线a2－b2＝1
时，有
kAB＝ab22yx00.
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
求椭圆
x2 9
y2 4
1 被点
Q(2,1)平分的弦 AB
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离
(D) 不确定
2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线
只有一个公共点，则l的条数为( A )
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线
a
为
4 0，－1，－5时，
直线 y＝(a＋1)x－1 与曲线 y2＝ax 恰有一个公共点．
三、弦的中点问题
x2 y2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆a2＋b2＝1 上不同的两点，
且 x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为 AB 的中点，则xaxa212222＋＋ybyb212222＝＝11，.

专题12 直线、圆、圆锥曲线的方程与性质

专题12 直线、圆、圆锥曲线的方程与性质1.已知方程22121x y k k +=--的图像是双曲线,那么k 的取值范围是 . 2.已知函数2()4+3f x x x =-,集合(){},|()()0M x y f x f y =+≤,(){},|()()0,N x y f x f y x y =-≥≥,则集合M N 的面积是 .3.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P ,若2AP PB = ,则椭圆的离心率为 .4.在ABC ∆中,390,tan 4A B =︒=,若以,A B 为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = .5.如果方程222kx y +=表示焦点在x 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是 .6.已知点()2,3在双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上,双曲线C 的焦距为4,则它的离心率为 .7.设()00,M x y 为抛物线2:8C x y =上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则0y 的取值范围是 .8.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2,若抛物线()22:20C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线2C 的方程为 .9.在平面直角坐标系x O y 中,已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1,则实数c 的取值范围为 .10.已知三点()()()125,2,6,0,6,0P F F -.(1)求以12,F F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；(2)设点12,,P F F 关于直线y x =的对称点分别为12,,P F F ''',求以为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.11.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,上下顶点分别为12,B B .设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13,圆C 与以线段2OA为直径的圆关于直线11A B 对称.(1)求椭圆E 的离心率；(2)判断直线11A B 与圆C 的位置关系,并说明理由；(3)若圆C 的面积为π,求圆C 的方程. 12. 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()12,0F -,右准线方程为8x =. (1)求椭圆C 的方程；(2)若M 为右准线上一点,A 为椭圆C 的左顶点,连接AM 交椭圆于点P ,求PM AP的取值范围；(3)设圆()()22:14Q x t y t -+=>与椭圆C 有且只有一个公共点,过椭圆C 上一点B 作圆Q 的切线BS ,BT ,切点分别为,S T ,求BS BT ⋅ 的最大值.。

(完整版)《圆锥曲线》主要知识点

圆锥曲线与方程知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF >=+，则点P 的轨迹是平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF ==+，则点P 的轨迹是平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF <=+，则点P 的轨迹是 2若P 是椭圆：12222=+by a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：①点P 在椭圆上⇔ ；②点P 在椭圆内部⇔ ； ③点P 在椭圆外部⇔ .(2)直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：先联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消y 得一个一元二次方程是：(3)弦长公式：设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2， ∴|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2＝1＋k 2·（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1ky 1－1k y 22＋（y 1－y 2）2＝1＋1k 2·（y 1－y 2）2＝1＋1k2×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2. 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．（4）直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆：()012222>>=+b a by a x 的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M （x 0，y 0），则k = (用x 0，y 0表示) 二、双曲线方程. 1、双曲线的定义：平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF <=-，则点P 的轨迹是平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF >=-，则点P 的轨迹是平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF ==-，则点P 的轨迹是 2（1）等轴双曲线：双曲线a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率（2）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλby a x 的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为 .（3）从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于 . 3、直线与双曲线的位置关系(1)一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m ……① 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) ……②把①代入②得关于x 的一元二次方程为 . ①当b 2－a 2k 2＝0时，直线l 与双曲线的渐近线，直线与双曲线C ． ②当b 2－a 2k 2≠0时，Δ>0⇒直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线； Δ＝0⇒直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线； Δ<0⇒直线与双曲线公共点，此时称直线与双曲线．注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．（2）直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线：()0,012222>>=-b a by a x 的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M （x 0，y 0），则k = (用x 0，y 0表示) 三、抛物线方程. 1、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的，直线l 叫做抛物线的．思考1：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 经过点F )，点的轨迹是 2、抛物线的性质：3、抛物线的焦点弦的性质1．如图，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 的位置关系是； (2)|AB |＝ (焦点弦长用中点M 的坐标表示)； (3)若直线AB 的倾斜角为α，则|AB |＝ (焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α＝90°时，AB 叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；抛物线的通径等于 . (4)求证A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝，y 1·y 2＝ . 4、直线与抛物线的位置关系1．设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的一元二次方程为，(1)若k ＝0，直线与抛物线有个公共点，此时直线于抛物线的对称轴或与对称轴．因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的条件． (2)若k ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线，有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线，有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线，无公共点．2．直线l ：y ＝kx ＋m 与抛物线：y 2＝2px (p >0)的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M （x 0，y 0），则k = (用p 和x 0，y 0表示)3．抛物线：y 2＝2px (p >0，y >0)在点A (x 0，02px )处的切线方程为，4．抛物线：x 2＝2py (p >0)在点A (x 0，px 220)处的切线方程为，。

解析几何：直线、圆、圆锥曲线知识点总结

解析几何的知识点复习总结一．直线1．求斜率的两种方法①定义 : k=;②斜率公式 : 直线经过两点(x1, y1),(x2, y2)，k = ______，2．方向向量 : 过两点(x1, y1),(x2, y2)的直线的方向向量为,用斜率 k 表示也就是3．直线方程的几种形式:①点斜式： _____ __ , 适用范围 ______；②斜截式： ______ _,适用范围 ______；③两点式： ____ __,适用范围 ____；④截距式： __,适用范围 __；⑤一般式： __,适用范围 __；⑥几种特殊的直线方程：x 轴____；平行与x轴的直线 ___________；y 轴____；平行与y轴的直线 _______ _；经过原点 (不包括坐标轴 ) 的直线 ____；在两轴上的截距相等的直线方程；4．两条直线的位置关系(一 )已知直线 l1 : y = k1 x + b1, l2 : y =k2 x + b2（斜率 k 存在）① l1 l 2__________________ ②l1与l2平行____________________ ③l1与l2重合______________________ 5．两条直线的位置关系(二 )已知直线 l1： A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2：A2 x +B2 y + C2= 0 则① l1 // l2_______________________② l1与 l 2重合_____________ __________ ③l1l 2______________________ 6．点(x0，y0)到直线l：Ax +By + C = 0 的距离 d_____7.两平行线l1: Ax By C10 ; l 2 : Ax By C20的距离d____8.与直线l：Ax + By + C = 0平行的直线系 ______________________________与直线 l： A x+ B +y C=0 垂直的直线系_______________________________9. 经过两条直线 l1：A1 x B1 y C10和l 2： A2x B2 y C2 0 的交点的直线系_____________________________二．圆1．圆的方程①圆的标准方程为 ___________________ ；圆心坐标为，半径为；圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程为；②圆的一般方程为________________ ；圆心坐标为，半径 r=；2．二元二次方程Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的充要条件为(1)_______ _______ (2)__________ ____ (3)_________3. 判断点与圆的位置关系点M在圆C内，点M在圆C上，点 M 在圆 C 内，（其中｜MC｜=）4．判断直线与圆的位置关系有两种方法.(1)直线和圆公共点个数的角度：直线与圆相交有公共点；直线与圆相切有公共点；直线与圆相离公共点；(2)直线和圆的位置关系的判定：①代数法 :由直线方程与圆的方程联立消元得一元二次方程利用求解 ;②几何法 :由圆心到直线距离 d 与半径r比较大小来判断.直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离222 的切线问题5．圆(x- a)+(y -b) = r(1)切点已知： P(x0，y0)为圆上的点，过P的切线方程（一条切线）y0b1x0a先求出 k OP；然后 k切kOP y0，最后点斜式写切线x0a b(2) 切点未知：P(x0，y0)为圆外的一点，过P 的切线方程（两条切线）设切线方程为 y y0 k x x0或x x0，利用 d r 求 k ，并验证 x x0是否成立6．圆的弦长公式：圆 C1:(x -22= r122227．两圆的位置关系：a1) + ( y -b1)；圆 C2:(x - a2)+(y -b2) = r2相离外切相交内切内含8．过两圆、交点的圆系方程为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.三．椭圆、双曲线、抛物线：椭圆1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a (2a>|F1F2|)的点的轨迹定义2．与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹 .（0<e<1）轨迹条件图形标准方程范围中心顶点对称轴x 轴， y 轴；长轴长短轴长焦点双曲线1．到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值 2a(0<2a<| F1F2 |)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（e>1）x轴， y 轴 ;实轴长，虚轴长抛物线与定点和直线的距离相等的点的轨迹 .x轴四 .常用结论：x2y 21(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1， F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2，1.椭圆b 2a 2则椭圆的焦点角形的面积为.2.与椭圆 x2y 21(a＞b＞0)有相同焦点的椭圆系为a 2b23.x 2y 21（ a＞0,b＞ 0）的左右焦点分别为F1， F 2，点 P 为双曲线上任意一点双曲线b2a 2F1 PF2，则双曲线的焦点角形的面积为.4.①与双曲线x2y 21（a＞0,b＞0）有相同焦点的双曲线系为a 2b 2②与双曲线x2y 21（a＞0,b＞0）有相同渐进线的双曲线系为a 2b 2③等轴双曲线系为，其渐近线方程为，离心率e=④双曲线的渐近线为x y0 时，它的双曲线方程可设为a b3.抛物线的通径过焦点的所有弦中最的 . 以焦点弦为直径的圆与准线标准方程y 2 2 px y2 2 px x2 2 py x2 2 py▲▲ y▲y▲ yy图形xx x x方程：方程：方程：准准线实轴，且在两顶准线与焦点位于顶点，线准线长轴，且在椭圆.且到顶点的距离相等 .点的焦距离心率渐近线焦半径焦准距通径O O O O焦点准线范围对称轴顶点离心率焦半径五.求圆锥曲线的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.六. 判断点P(x0, y0)与圆锥曲线点 P 与圆锥曲线的位x2y2x2y2y 22px( p 0)置a2b21(a b 0)a2b2 1(a 0,b 0)点 P 在圆锥曲线内部点 P 在圆锥曲线上点P 在圆锥曲线外部七．直线与圆锥曲线的位置(1)判断直线与圆锥曲线的位置的一般步骤：联立直线、圆锥曲线方程组关于 x（或 y）的一元二次方程“”：0；0；0；注：①直线与双曲线方程联立之后得到一元一次方程：则直线是与双曲线渐近线平行的直线，此时，直线和双曲线相交，但只有一个公共点。

直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结

直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1）运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线，是由平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。

圆锥曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、基本概念1. 定义：圆锥曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。

2. 定点：圆锥曲线的两个定点分别称为焦点。

3. 对称轴：通过两个焦点并垂直于准线的直线称为对称轴。

4. 准线：通过两个焦点的直线段称为准线。

二、椭圆1. 定义：椭圆是圆锥曲线的一种，其离心率小于1，且焦点不重合的曲线。

2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

3. 性质：椭圆具有对称性、渐近线和切线性质等。

4. 应用：椭圆在天文学、建筑学和电子等领域应用广泛。

三、双曲线1. 定义：双曲线是圆锥曲线的一种，其离心率大于1的曲线。

2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。

3. 性质：双曲线具有渐近线和切线性质，且有两个分支。

4. 应用：双曲线在物理学、天文学和通信等领域有重要应用。

四、抛物线1. 定义：抛物线是圆锥曲线的一种，其离心率等于1的曲线。

2. 方程：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。

3. 性质：抛物线具有对称性、渐近线和切线性质等。

4. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有广泛应用。

五、圆1. 定义：圆是圆锥曲线的一种，其离心率等于0的曲线。

2. 方程：圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径长度。

3. 性质：圆具有对称性、切线性质和切圆定理等。

4. 应用：圆在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。

总结：圆锥曲线是解析几何的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。

2019人教A版高中数学知识点梳理 ---- 第八章解析几何(直线、圆、圆锥曲线)

第八章解析几何【知识网络】【知识点梳理】一、直线和圆1．倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为_________. (3)范围：直线倾斜角的取值范围是 .斜率：（1）倾斜角α=90°时，斜率__________；α≠90°时，斜率k =tanα .（2）在右侧作出简图：正切函数k =tanα,α∈[0,π2)∪(π2,π) 此函数的增区间为___________________（3）直线的方向向量坐标：若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则直线P 1P 2的方向向量P 1P 2→的坐标为________________. 若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y )，则k ＝，特别地，(1， )是l 的一个方向向量. 故斜率k =y 2−y 1x 2−x 1(x 1≠x 2).2. 斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围) α＝0°斜率(范围)k ＝0例1．直线（a +1）x −y +1=0的倾斜角的范围为_______________ 3．直线五种方程：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式 (x 0，y 0)是直线上一定点，k 为斜率斜截式k 为_____，b 是直线的_______“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．（2）求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解；例2．过点()4,3−，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程_______________ 4．两直线平行和垂直①若斜率存在l 1:y=k 1x ＋b 1 ,l 2：y=k 2x ＋b 2,则l 1∥l 2⇔k 1=k 2，且b 1≠b 2； l 1⊥l 2⇔______________ ②若l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1=0, l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2=0,则l 1⊥l 2⇔_______________；两直线平行，⇔____________________③与l ：Ax ＋By ＋C=0平行的直线可设为________________,垂直的直线可设为___________________例3．已知两条直线(3)453,2(5)8m x y m x m y ++=−++=，当两条直线平行时______________________;当两条直线相交时______________________ 当两条直线垂直时______________________5．距离问题：已知1122(,),(,)A x y B x y ，AB =__________________，,A B 中点的坐标________ l:Ax +By +C =0，则A 到l 的距离为_________________ 两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝_______________. 6．对称性问题：点（a ,b ）关于直线Ax ＋By ＋C ＝0对称点问题：如：点（1，2）关于直线x ＋3y ＋1＝0对称点为_____________ 【对称常用结论】(1)点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为_____________，关于直线y ＝－x 的对称点为_____________. (2)点(x 0，y 0)关于直线x ＝a 的对称点为_____________，关于直线y ＝b 的对称点为_____________. (3)点(x 0，y 0)关于点(a ，b)的对称点为_____________. (4)点(x 0，y 0)关于直线y =x +m 的对称点是______________ (5)点(x 0，y 0)关于直线y =−x +m 的对称点是______________ 7．常见直线系方程：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系方程：y －y 1＝k (x －x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：_________________________. (3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：_________________________.(4)过两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：_________________________.8.圆的方程(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)圆的标准方程：我们把方程____________________称为圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程.当a ＝b ＝0时，方程为___________________，表示以原点O 为圆心，r 为半径的圆.(3)圆的一般方程：对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，配方得到：______________________________.①当____________________时，该方程表示以______________为圆心，_______________为半径的圆，该方程叫做圆的一般方程.②当________________ 时，该方程表示_______________________； ③当_________________时，该方程不表示任何图形.注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆⇔A=C ≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0；（4）已知A （11,y x ）B （22,y x ）以AB 为直径的圆的方程是_________________________________ （5）圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为（三角换元）：{x =___________________y =___________________；例4．（1）052422=+−++m y mx y x 表示圆的充要条件是（2）对于任意实数k ，方程222(2)20x y kx k y k +++−−=所表示的曲线恒过两定点，则这两定点的坐标9. 点与圆的位置关系已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，点P (x 0，y 0)，设d ＝|PC |＝（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2.位置关系 d 与r 的大小关系图示点P 的坐标特点点在圆外(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2点在圆上点在圆内10. 直线与圆的位置关系:设圆的半径为r (r >0)，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆的位置关系如下表所示. 位置关系图示公共点个数几何特征直线、圆的方程组成的方程组的解相离相切1 d ＝r两组相同实数解相交例5．(1)若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系___________(2)求过原点且与圆22(1)(2)1x y −+−=相切的直线方程________________________ 例6．(1)已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r的取值范围是______________________11. 圆与圆的位置关系位置关系图示(R >r )公共点个数几何特征(O 1O 2＝d )两个圆的方程组成的方程组的解外离外切1 d ＝R ＋r两组相同实数解相交两组不同实数解内切两组相同实数解内含例7．集合A ＝｛（x ，y ）|x 2＋y 2＝4｝，B ＝｛（x ，y ）|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2｝，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是___________ .12.相交弦直线方程：把两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋C 1=0与x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋C 2=0方程相减即得相交弦所在直线方程_____________________________________；过两曲线交点的曲线系方程为f 1（x,y)＋λf 2(x,y)=0例8．两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y −+−=相交于,A B 两点，直线AB 方程__________________.13.圆上动点到某条直线（或某点）的距离的最大、最小值的求法（过圆心）例9．已知圆：，过圆外一点作圆的切线（为切点），当点在直线上运动时，则四边形P AOB 的面积的最小值为．O 922=+y x P PB PA ,B A ,P 0102=+−y x14. 【常用结论】与切线、切点弦有关结论:二、圆锥曲线（一）椭圆：1、椭圆的定义：平面内到定点21,F F 的_________________为定值（定值______||21F F ）的点的轨迹。

圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)

圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。

其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。

定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。

定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。

标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。

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专题直线与圆、圆锥曲线
一、直线与方程
1、倾斜角与斜率：1
21
2tan x x y y k --=
=α
2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式：
121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y
a b
+= ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线：
222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔21
2
121//b b k k l l ；
⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2
12
1b b k k ；⑷12121-=⇔⊥k k l l .
4、对于直线：
0:,
0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔122
11
22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔；
⑶1l 和2l 重合⎩⎨
⎧==⇔1
2211
221C B C B B A B A ；⑷0212121=+⇔⊥B B A A l l .
5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-=
6、点到直线距离公式： 2
2
00B
A C
By Ax d +++=
7、两平行线间的距离公式：
1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2
2
21B
A C C d +-=
二、圆与方程
1、圆的方程：⑴标准方程：()()2
2
2
r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r .
⑵一般方程：02
2=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22
D
E
-
-
，半径为r =
2、直线与圆的位置关系
直线0=++C By Ax 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .
弦长公式：222d r l -
==3、两圆位置关系：21O O d =
⑴外离：r R d +>；⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=；⑸内含：r R d -<. 3、空间中两点间距离公式： ()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=
三、圆锥曲线与方程
关于抛物线焦点弦的几个结论：
设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、
，直线AB 的倾斜角为θ，则
⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p
AB θ
= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切。