【淘宝店铺：日出书屋】2021高考数学一轮习题：专题8 第73练 直线与圆锥曲线小题综合练
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷专练（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
则由椭圆的中心对称性可知可知AF1BF2为平行四边形，则可得△ABF2的周长为|AF当AB位于短轴的端点时，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，当围成的等腰三角形底边在直线l因为tanα=2tanα21―tan2α2=2，且tanα2>所以k=tanθ=tanα2=5―12，或故选：B．5．（5分）（2024·西藏拉萨的最小值为（）A．1453【解题思路】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可6．（5分）（2024·湖南邵阳点B在C上且位于第一象限，B．8 A．453【解题思路】由点A―1,8由点A―1,8在抛物线y23所以抛物线C的方程为y2设B(x0,y0)，则x0>0,y0>由题意知F p2,0，又OP 显然直线AB的斜率不为由y2=2pxx=ty+p2，得y2―2pty显然直线BD的斜率不为由y2=2pxλp，得y2故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
如图，因为K OA=∠PDA=∠ODB，所以×|PA|⋅S△PAB=12故选：ABD.11．（6分）（2024·福建龙岩|AB|=8.过焦点F的直线C的准线与坐标轴的交点，则（A．若MF=3FN，则直线C．∠MON为钝角设M(x1,y1),N(x2,y 得y2―8my―16=所以y1y2=―16,x1∴x1x2+y1y2=4⟨⟩三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2021年高考数学一轮复习 第三讲 直线与圆锥曲线的综合问题讲练 理 新人教A版
2021年高考数学一轮复习 第三讲 直线与圆锥曲线的综合问题讲练 理新人教A 版一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x (或y )的一元方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．1．当a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； ③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．2．当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线E 相交，且只有一个交点，①若E 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 二、圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋1k2|y 2－y 1|.基础自测1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【解析】 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)， 又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 【答案】 A2．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 【解析】 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23. 【答案】 C3．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．【解析】 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1x 2＝4y得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16. 【答案】 164．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．【解析】 由题意A 点的坐标(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为(－a 2，a2)，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴c 2＝2b 2，∴e ＝63.【答案】63考点一 中点弦、弦长问题例 已知F 1(－1,0)、F 2(1,0)，圆F 2：(x －1)2＋y 2＝1，一动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆F 2相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C ，曲线E 是以F 1，F 2为焦点的椭圆．(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与曲线E 相交于第一象限点P ，且|PF 1|＝73，求曲线E 的标准方程；(3)在(1)、(2)的条件下，直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，若AB 的中点M 在曲线C 上，求直线l 的斜率k 的取值范围．【思路点拨】 (1)利用两圆外切的性质求曲线C 的方程．(2)利用|PF 1|＝73可求点P 的横坐标，进一步求|PF 2|的长，再结合椭圆的定义求出椭圆的方程．(3)设出直线l 的方程，与椭圆方程联立利用根与系数的关系求解或用点差法求解． 【尝试解答】 (1)设动圆圆心的坐标为(x ，y )(x ＞0)因为动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆F 2相外切，所以|CF 2|－x ＝1， ∴x －12＋y 2＝x ＋1，化简整理得y 2＝4x ，曲线C 的方程为y 2＝4x (x ＞0)；(2)依题意，c ＝1，|PF 1|＝73，可得x p ＝23，∴|PF 2|＝53，又由椭圆定义得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝73＋53＝4，a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝3，所以曲线E 的标准方程为x 24＋y 23＝1；(3)(方法一)设直线l 与椭圆E 交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 的中点M 的坐标为(x 0，y 0)，设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，与x 24＋y 23＝1联立得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由Δ＞0得4k 2－m 2＋3＞0；①由韦达定理得x 1＋x 2＝－8km3＋4k2，∴x 0＝－4km 3＋4k 2，y 0＝3m3＋4k2，将M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2代入y 2＝4x ，整理得m ＝－16k 3＋4k 29，② 将②代入①得162k 2(3＋4k 2)＜81，令t ＝4k 2(t ＞0)，则64t 2＋192t －81＜0，∴0＜t ＜38. ∴－68＜k ＜68且k ≠0. (方法二)设直线l 与椭圆E 交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 的中点M 的坐标为(x 0，y 0)， 将A ，B 的坐标代入椭圆方程中，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋4y 21－12＝0，3x 22＋4y 22－12＝0，两式相减得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 04y 0， ∵y 20＝4x 0，∴直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－316y 0，由(2)知x p ＝23，∴y 2p ＝4x p ＝83，∴y P ＝±263，由题设－263＜y 0＜263(y 0≠0)，∴－68＜－316y 0＜68， 即－68＜k ＜68(k ≠0)． 方法与技巧 1.在第2问方法一中，根据Δ＞0求t 的范围，进而去求k 的取值范围，这是求解的关键.2.涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2和x 1＋x 2，y 1＋y 2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想.跟踪练习 设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线． (1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．【解】 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y ) 再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设弦MN 的中点为P (－12，y 0)，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆上的点，可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4.两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×(－12)＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，y M －y N x M －x N ＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P (－12，y 0)在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m .所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P (－12，y 0)在线段BB ′上(B ′、B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′＜y 0＜y B ，也即－3＜y 0＜ 3. 所以－334＜m ＜334，且m ≠0.考点二 最值与范围问题例 (xx·课标全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．【思路点拨】 (1)涉及到弦AB 的中点问题，考虑点差法，建立关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值，确立M 的方程；(2)将四边形的面积表示出来，可转化为S ＝|AB |·h ，然后利用函数的知识求最值． 【尝试解答】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)， 则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463. 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533＜n ＜3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±29－n 23.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积 S ＝12|CD |·|AB |＝869 9－n 2， 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD 面积的最大值为863.方法与技巧 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： 1利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；3利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 4利用基本不等式求出参数的取值范围；5利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.跟踪练习 (xx·玉溪模拟)已知定点A (1,0)和定直线x ＝－1上的两个动点E 、F ，满足AE →⊥AF →，动点P 满足EP →∥OA →，FO →∥OP →(其中O 为坐标原点)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中轨迹C 相交于两个不同的点M 、N ，若AM →·AN →＜0，求直线l 的斜率的取值范围．【解】 (1)设P (x ，y )，E (－1，y 1)，F (－1，y 2)(y 1、y 2均不为0)， 由EP →∥OA →得y 1＝y ，即E (－1，y )，由FO →∥OP →得y 2＝－y x，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－y x ，由AE →⊥AF →得AE →·AF →＝0⇒(－2，y 1)·(－2，y 2)＝0⇒y 1y 2＝－4⇒y 2＝4x (x ≠0)，∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)．(2)设直线l 的方程y ＝kx ＋2(k ≠0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，消去x 得ky 2－4y ＋8＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8k，且Δ＝16－32k ＞0即k ＜12.∴AM →·AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1＋y 1y 2＝y 21y 2216－14(y 21＋y 22)＋y 1y 2＋1 ＝4k 2－14⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 2－16k ＋8k ＋1＝k ＋12k.∵AM →·AN →＜0，∴－12＜k ＜0.考点三 定值、定点问题例 设M 、N 为抛物线C ：y ＝x 2上图8－8－1的两个动点，过M 、N 分别作抛物线C 的切线l 1、l 2，与x 轴分别交于A 、B 两点，且l 1与l 2相交于点P ，若|AB |＝1.(1)求点P 的轨迹方程；(2)求证：△MNP 的面积为一个定值，并求出这个定值．【思路点拨】 (1)设出M 、N 的坐标，再求出切线l 1，l 2的方程，然后求出交点P 的坐标，最后利用|AB |＝1可求得点P 的轨迹方程．(2)设出直线MN 的方程，再与抛物线方程联立，结合根与系数关系表示出弦长|MN |，再求出点P 到直线MN 的距离，证明△MNP 的面积为定值．【尝试解答】 (1)设M (m ，m 2)，N (n ，n 2)，则依题意知，切线l 1，l 2的方程分别为y ＝2mx －m 2，y ＝2nx －n 2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n2，0.设P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2mx －m 2，y ＝2nx －n 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋n 2，y ＝mn ，①因为|AB |＝1，所以|n －m |＝2，即(m ＋n )2－4mn ＝4，将①代入上式，得 y ＝x 2－1.∴点P 的轨迹方程为y ＝x 2－1.(2)证明 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋b (b ＞0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝x 2， 消去y ，得x 2－kx －b ＝0. 所以m ＋n ＝k ，mn ＝－b .② 点P 到直线MN 的距离d ＝|k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2－mn ＋b |1＋k2，|MN |＝1＋k 2|m －n |，∴S △MNP ＝12d ·|MN |＝12|k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2－mn ＋b |·|m －n | ＝14·(m －n )2·|m －n |＝2. 即△MNP 的面积为定值2.方法与技巧 1.求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．跟踪练习 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 【解】 (1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得 y 2－4ty －4b ＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2， ∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点(2,0).\ 31845 7C65 籥24786 60D2 惒40606 9E9E 麞34078 851E 蔞29528 7358 獘29082719A 熚S25148 623C 戼21660 549C 咜27827 6CB3 河Di。
(山东专用)2021版高考数学一轮复习第八章解析几何第九讲第1课时直线与圆锥曲线的位置关系学案(含解析)
第九讲 圆锥曲线的综合问题第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共 点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f x ，y ＝0消元，如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0，①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .当Δ__＞__0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； 当Δ__＝__0时，直线和圆锥曲线相切于一点； 当Δ__＜__0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 知识点二 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k (k 不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝__1＋k 2·|x 1－x 2|__或|P 1P 2|＝__1＋1k2·|y 1－y 2|__.(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 知识点三 圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0.重要结论1．判定直线与圆位置关系的关键是圆心到直线的距离与半径的大小关系．2．判定过定点的直线与椭圆的位置关系应关注定点与椭圆的位置关系．3．判定过定点的直线与双曲线的位置关系应注意直线斜率与渐近线斜率的关系，过定点与双曲线只有一个公共点的直线可能与双曲线相切，可能与渐近线平行．4．过定点与抛物线只有一个公共点的直线可能与抛物线相切，可能与对称轴平行．双基自测1．(2020·天津模拟)若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝( D )A ．14 B ．12 C ．2D ．4[解析] 因为双曲线x 23－16y 2p2＝1(p >0)的左焦点为(－3＋p 216，0)，抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，所以－3＋p 216＝－p2，得p ＝4，故选D ． 2．(2019·宁夏模拟)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( B )A ．y 2＝－12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B ．3．(2019·广东揭阳模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为( D )A ．2B ．32C ．5－1D ．5＋12[解析] 令x ＝c 得|y |＝b 2a，由题意得2b 2a ＝2c ，c 2－a 2＝ac ，e 2－e －1＝0，e ＝1＋52，(负值舍去)，选D ． 4．(2019·山东济南模拟)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1→·AF 2→＝0，AF 2→＝2F 2B →，则椭圆E 的离心率为( C )A ．23B ．34C ．53D ．74[解析] ∵AF 2→＝2F 2B →， 设|BF 2|＝x ，则|AF 2|＝2x ， 由椭圆的定义，可以得到 |AF 1|＝2a －2x ，|BF 1|＝2a －x ， ∵AF 1→·AF 2→＝0，∴AF 1→⊥AF 2→，在Rt △AF 1B 中，有(2a －2x )2＋(3x )2＝(2a －x )2， 解得x ＝a3，∴|AF 2|＝2a 3，|AF 1|＝4a3，在Rt △AF 1F 2中，有(4a 3)2＋(2a 3)2＝(2c )2，整理得c 2a 2＝59，∴e ＝c a ＝53，故选C ．5．(2019·安徽六校教育研究会联考)已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 23＝1的左右焦点，点M 的坐标为(－1，32)，∠F 1MF 2的角平分线所在直线的斜率为( A )A ．－2B ．－1C ．－ 3D ．－ 2[解析] ∵F (－1,0)，∴|MF 1|＝32，∴|MF 2|＝4－32＝52，记∠F 1MF 2的平分线与x 轴交于H ， 则|F 1H ||HF 2|＝|MF 1||MF 2|＝35，即x H ＋11－x H ＝35， ∴x H ＝－14，∴k ＝32－0－1－－14＝－2，故选A ．6．(2020·温州模拟)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3，4)关于一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为__x 25－y 220＝1__.[解析] 由题设知点M (－3,4)与右焦点F 2(c,0)关于直线y ＝b ax 对称， 所以－4c ＋3·ba＝－1，即4b ＝a (c ＋3)①， 且线段MF 2的中点(c －32，2)在直线y ＝b ax 上，即2＝b a ·c －32，得b (c －3)＝4a ②.由①÷②得4c －3＝c ＋34，得c 2＝25，c ＝5，代入①可得b ＝2a . 又c 2＝a 2＋b 2，所以25＝a 2＋(2a )2，所以a 2＝5，从而b 2＝4a 2＝20. 故所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 直线与圆锥曲线的位置关系——自主练透例1 (1)(2019·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( B )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0(2)(2020·湖北武汉调研)已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA ＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( D )A ．3B ．2C ．－2D ．－3(3)(2020·辽宁沈阳二中月考)直线l ：y ＝k (x －2)与曲线x 2－y 2＝1(x >0)相交于A ，B 两点，则直线l 倾斜角α的取值范围是( B )A ．[0，π)B ．(π4，π2)∪(π2，3π4)C ．[0，π2)D ．[π4，π2)∪(π2，3π4][解析] (1)∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2＞2，∴m 2＋n 2＜4.∴m29＋n24＜m29＋4－m24＝1－536m2＜1，∴点(m，n)在椭圆x29＋y24＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点有2个，故选B．(2)由题意可知，直线OA的方程为y＝2x，与抛物线方程y2＝2px联立得⎩⎪⎨⎪⎧y＝2x，y2＝2px，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝p2，y＝p，即A(p2，p)，则直线AB的方程为y－p＝6(x－p2)，即y＝6x－2p，与抛物线方程y2＝2px联立得⎩⎪⎨⎪⎧y＝6x－2p，y2＝2px，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2p9，y＝－2p3或⎩⎪⎨⎪⎧x＝p2，y＝p，所以B(2p9，－2p3)，所以直线OB的斜率为k OB＝－2p32p9＝－3.故选D．(3)直线l过定点(2，0)，曲线x2－y2＝1(x>0)的渐近线的倾斜角分别为π4，3π4，又直线的斜率存在，结合图形可知选B．名师点拨☞研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数．注意：(1)在没有给出直线方程时，要对直线斜率不存在的情况进行讨论，避免漏解；(2)对于选择题、填空题，常根据几何条件，利用数形结合的方法求解．考点二直线与圆锥曲线相交的弦的问题——多维探究角度1 弦长问题例2 (2020·广东省佛山市质检)已知F为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点，过原点O的动直线l与C交于A，B两点．当A的坐标为(1，255)时，|OB|＝|BF|.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)延长BF 交椭圆C 于Q ，求△QAB 的面积的最大值． [解析] (1)由A (1，255)，得B (－1，－255)，而|OB |＝|BF |.∴F (－2,0)，即c ＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋45b 2＝1a 2＝b 2＋4，解得a 2＝5，b 2＝1.∴椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.(2)当直线BF 斜率不存在时，BF ：x ＝－2， 此时B (－2，－55)，|BQ |＝255，A (2，55)， S △QAB ＝12×255×4＝455；当BF 所在直线斜率存在时，设BF ：y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2x 25＋y 2＝1，得(1＋5k 2)x 2＋20k 2x ＋20k 2－5＝0， 设B (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－512＋5k 2.则|BQ |＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋k 2·－20k21＋5k22－80k 2－201＋5k2 ＝1＋k 2·451＋k21＋5k 2. 又O 到BQ 的距离d ＝|2k |1＋k2，则A 到BQ 的距离为|4k |1＋k2，∴S △QAB ＝85k 4＋k21＋5k 2. 令1＋5k 2＝t (t >1)， 则S △QAB ＝85－4251t2＋3251t ＋125＝1655－1t －382＋2564. ∴当1t ＝38时，(S △QAB )max ＝2 5.综上，△QAB 的面积的最大值为2 5. 名师点拨 ☞处理弦长问题的两个注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用． 〔变式训练1〕(多选题)(2020·山东德州期末)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AF |＝8，则以下结论正确的是( ABC )A ．p ＝4B ．DF →＝FA →C ．|BD |＝2|BF | D ．|BF |＝4[解析] 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M . 抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则|PF |＝p ， 由于直线l 的斜率为3，其倾斜角为60°， ∵AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |，则△AEF 为等边三角形， ∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°， ∴|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，得p ＝4， A 选项正确；∵|AE |＝|EF |＝2|PF |，又PF ∥AE ， ∴F 为AD 的中点，则DF →＝FA →，B 选项正确； ∴∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD |＝2|BM |＝2|BF |(抛物线定义)，C 选项正确； ∵|BD |＝2|BF |，∴|BF |＝13|DF |＝13|AF |＝83，D 选项错误，故选ABC ．角度2 利用中点弦解决对称问题例3 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m的值为( A )A ．32B ．52C ．2D ．3[解析] 由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32，选A ．名师点拨 ☞处理中点弦问题常用的求解方法〔变式训练2〕已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，点A 和点B 关于直线l 对称，l 与x 轴交于点G ，则点G 横坐标的取值范围是__(－12，0)__.[解析] 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， 所以方程有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，因为点A 和点B 关于直线l 对称， 所以直线l 为AB 的垂直平分线，其方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，因为k ≠0，所以－12<x G <0，即点G 横坐标的取值范围为(－12，0)．故填(－12，0)．角度3 求直线的方程例4 (2019·湖南醴陵期中)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，过点P (0，－2)，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆x 2＋y 2＝8于A ，B 两点，l 2交椭圆C 于另一个点D ，求△ABD 面积取得最大值时直线l 1的方程．[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c a ＝22a 2＝b 2＋c2⇒⎩⎨⎧a ＝22b ＝2c ＝2，所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.方法二：由e ＝c a ＝22得a ＝2c ，由椭圆经过点P (0，－2)得b ＝c ＝2，所以a ＝22， 所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)由题知直线l 1的斜率存在，不妨设为k ， 则l 1：y ＝kx －2.若k ＝0时，直线l 1的方程为y ＝－2，l 2的方程为x ＝0，易求得|AB |＝4.|DP |＝4. 此时S △ABD ＝12|AB |·|DP |＝8.若k ≠0时，则直线l 2：y ＝－1kx －2.圆心(0,0)到直线l 1的距离为d ＝21＋k2.直线l 1被圆x 2＋y 2＝8截得的弦长为 |AB |＝28－d 2＝41＋2k21＋k2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x k －2x 28＋y 24＝1⇒(k 2＋2)x 2＋8kx ＝0，得x D ＋x P ＝－8kk 2＋2故|DP |＝1＋1k 264k 2k 2＋22＝8k 2＋1k 2＋2∴S △ABD ＝12|AB |·|DP |＝12·41＋2k 21＋k 2·81＋k 2k 2＋2＝162k 2＋1k 2＋2 ＝321＋2k 22k 2＋1＋3＝322k 2＋12k 2＋1＋32k 2＋1 ＝322k 2＋1＋32k 2＋1≤3223＝1633.当2k 2＋1＝32k 2＋1，即k ＝±1时上式等号成立．因为8<1633， 所以△ABD 面积取得最大值时直线l 1的方程应该是y ＝±x －2.名师点拨 ☞设直线方程时一定要关注直线的斜率是否存在，若不能确定，应分类求解，当过点P (a ，b )的直线不与x 轴垂直时，可设其方程为y ＝k (x －a )＋b ；当过点P (a ，b )的直线不与y 轴垂直时，可设其方程为x ＝m (y －b )＋a .〔变式训练3〕(2020·广西桂林、崇左模拟)椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，过点A (－a,0)和B (0，b )的直线与原点间的距离为63. (1)求椭圆M 的方程；(2)过点E (1,0)的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，且点D 位于第一象限，当CE DE＝3时，求直线l 的方程．[解析] (1)据题知，直线AB 的方程为bx －ay ＋ab ＝0. 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab a 2＋b 2＝63e ＝a 2－b 2a 2＝22. 解得a 2＝2，b 2＝1， 所以椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)(x 2>0，y 2>0)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ∈R )． 代入椭圆方程整理得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0. Δ＝8m 2＋8>0，∴y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.① 由CE DE＝3，依题意可得：y 1＝－3y 2，② 结合①②得⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝m m 2＋23y 22＝1m 2＋2，消去y 2解得m ＝1，m ＝－1(不合题意)．所以直线l 的方程为y ＝x －1.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升“设而不求，整体代换”解决圆锥曲线问题例5 (2020·山西太原模拟)已知动点C 到点F (1,0)的距离比到直线x ＝－2的距离小1，动点C 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (km <0)与曲线E 相交于A ，B 两个不同点，且OA →·OB →＝5，证明：直线l 经过一个定点．[解析] (1)由题意可得动点C 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，∴曲线E 是以点(1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线．设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴p 2＝1，∴p ＝2， ∴曲线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，y 2＝4x 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，x 1x 2＝m 2k 2， Δ＝(2km －4)2－4m 2k 2＝16(1－km )>0.∵OA →·OB →＝5，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2＋4km k 2＝5， ∴m 2＋4km －5k 2＝0，∴m ＝k 或m ＝－5k .∵km <0，则m ＝k 舍去，∴m ＝－5k ，满足Δ＝16(1－km )>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －5)，∴直线l 必经过定点(5,0)．名师点拨 ☞对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果．〔变式训练4〕(2020·福建龙岩质检)已知椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2＝1，点A 为长轴的右端点．B ，C 为椭圆E 上关于原点对称的两点．直线AB 与直线AC 的斜率k AB 和k AC 满足：k AB ·k AC ＝－12. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋t 与圆x 2＋y 2＝23相切，且与椭圆E 相交于M ，N 两点，求证：以线段MN 为直径的圆恒过原点．[解析] (1)设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)由x 20a 2＋y 20＝1得，y 20＝1－x 20a 2＝a 2－x 2a 2，由k AB ·k AC ＝－12，即y 0x 0－a ·－y 0－x 0－a＝－12得，y 20＝a 2－x 22，所以a 2－x 20a 2＝a 2－x 202，所以a 2＝2，即椭圆E 的标准方程为：x 22＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋t 得：(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.y 1y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝k 2x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝k 22t 2－21＋2k 2＋－4k 2t 21＋2k 2＋t 2＝t 2－2k 21＋2k 2，又l 与圆C 相切，所以63＝|t |1＋k 2即23＝t 21＋k 2，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2t 2－2＋t 2－2k21＋2k 2＝3t 2－21＋k 21＋2k 2＝21＋k 2－21＋k 21＋2k 2＝0，所以，OM →⊥ON →，即∠MON ＝90°，所以，以线段MN 为直径的圆经过原点．。
2021年高考数学第一轮复习 第八篇 解析几何细致讲解练 理 新人教A版
年高考数学第一轮复习 第八篇 解析几何细致讲解练 理 新人教A 版第1讲 直线与方程[最新考纲]1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理知 识 梳 理1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；②规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． (2)直线的斜率①定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.2．直线方程的五种形式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．辨 析 感 悟1．对直线的倾斜角与斜率的理解(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°.(×)(3)(教材习题改编)若三点A (2,3)，B (a,1)，C (0,2)共线，则a 的值为－2.(√) 2．对直线的方程的认识(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．(×)(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．(√)(6)直线l 过点P (1,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为x ＋y －3＝0.(×) [感悟·提升]1．直线的倾斜角与斜率的关系 斜率k 是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k ＝tan α.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率，如(1)． 2．三个防范 一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围，如(2)；二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论，如(4)；三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论，如(6).考点一 直线的倾斜角和斜率【例1】 (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )．A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(2)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )．A.13B ．－13C ．－32D.23解析 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.故选B.(2)依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.答案 (1)B (2)B规律方法 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．【训练1】 经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α的范围． 解 法一 如图所示，k PA ＝－2－－11－0＝－1，k PB ＝1－－12－0＝1，由图可观察出：直线l 倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.法二 由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＋1＝kx ，即kx －y －1＝0.∵A ，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线l 上． ∴(k ＋2－1)(2k －1－1)≤0，即2(k ＋1)(k －1)≤0. ∴－1≤k ≤1.∴直线l 的倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.考点二 求直线的方程【例2】 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14.(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且 |AB |＝5.解 (1)法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0， 设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎨⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5， 即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －1，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)则B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52， 解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.规律方法 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况． 【训练2】 △ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.考点三 直线方程的综合应用【例3】 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．审题路线 根据截距式设所求直线l 的方程⇒把点P 代入，找出截距的关系式⇒运用基本不等式求S △ABO ⇒运用取等号的条件求出截距⇒得出直线l 的方程． 解 设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1.∴1＝3a ＋2b ≥26ab，即ab ≥24.∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4.△ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为：x 6＋y4＝1.即2x ＋3y －12＝0.规律方法 (1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的某函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．【训练3】 在例3的条件下，求直线l 在两轴上的截距之和最小时直线l 的方程． 解 设l 的斜率为k (k ＜0)，则l 的方程为y ＝k (x －3)＋2，令x ＝0，得B (0,2－3k )，令y＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，∴l 在两轴上的截距之和为 2－3k ＋3－2k＝5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3k ＋⎝⎛⎭⎪⎫－2k≥5＋26，当且仅当k ＝－63时，等号成立． ∴k ＝－63时，l 在两轴上截距之和最小，此时l 的方程为6x ＋3y －36－6＝0.1．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 2．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．思想方法9——分类讨论思想在求直线方程中的应用【典例】 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程．解 (1)当k ＝0时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝12.(2)当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G (a,1)．所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k AG ·k ＝－1，1ak ＝－1⇒a ＝－k .故G 点坐标为G (－k,1)，从而折痕所在的直线与AG 的交点坐标(线段AG 的中点)为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，12. 折痕所在的直线方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 22＋12.∴k ＝0时，y ＝12；k ≠0时，y ＝kx ＋k 22＋12.[反思感悟] (1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论．(2)本题需对斜率k 为0和不为0进行分类讨论，易错点是忽略斜率不存在的情况．【自主体验】1．若直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )． A ．3x ＋4y ＋15＝0 B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0解析 若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为52－42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －32k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x＋4y ＋15＝0. 答案 D2．已知两点A (－1,2)，B (m,3)，则直线AB 的方程为________． 解析 当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1， 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)，即y ＝1m ＋1x ＋1m ＋1＋2. 答案 x ＝－1或y ＝1m ＋1x ＋1m ＋1＋2基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )． A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析 直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为α∈[0，π)，所以α＝60°. 答案 B2．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.则直线l 的方程为( )．A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0 解析 由点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，即3x ＋4y －14＝0. 答案 A3．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )． A ．1 B ．2 C ．－12 D ．2或－12解析 由题意可知2m 2＋m －3≠0，即m ≠1且m ≠－32，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m2－3m －2＝0，解得m ＝2或－12.答案 D4．(xx·佛山调研)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )．A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析 由题意，令x ＝0，y ＝－cb >0；令y ＝0，x ＝－c a>0.即bc <0，ac <0，从而ab ＞0. 答案 A5．(xx·郑州模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪()1，＋∞ C ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 D 二、填空题6．(xx·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 47．(xx·温州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案 －248．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析 设所求直线的方程为x a ＋y b＝1， ∵A (－2,2)在直线上， ∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 三、解答题9．(xx·临沂月考)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0.∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]．10．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 存在．理由如下：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－4k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(xx·北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )．A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解析 |AB |＝cos α＋12＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33. 答案 B2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2解析 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k PA ＝33，则直线PA 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2. 答案 B 二、填空题3．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析 直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案 12三、解答题4.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别 交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ，设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.第2讲 两条直线的位置关系[最新考纲]1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知 识 梳 理知 识 梳 理1．两直线平行与垂直 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.可以验证，当A ＝0或B ＝0时，上式仍成立． (3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(其中A ，B 不同时为0，且C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 辨 析 感 悟1．对两条直线平行与垂直的理解(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. (×) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)(xx·天津卷改编)已知过点P (2,2)斜率为－12的直线且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a＝2. (√)2．对距离公式的理解(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.(×)(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√) (6)(教材习题改编)两平行直线2x －y ＋1＝0,4x －2y ＋1＝0间的距离是0.(×) [感悟·提升]三个防范 一是在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．如(2)中忽视了斜率不存在的情况；二是求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式，如(4)； 三是求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x ，y 的系数对应相同，如(6).考点一 两条直线平行与垂直【例1】 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值． 解 (1)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧aa －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6⇒a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．(2)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1⇒a ＝23.法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.规律方法 (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 【训练1】 (xx·长沙模拟)已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )． A ．－10 B ．－2 C ．0 D ．8解析 ∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8，又∵l 2⊥l 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10. 答案 A考点二 两条直线的交点问题【例2】 求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．解 法一 先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1，l 2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1， 故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三 由于l 过l 1，l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0. 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.规律方法 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有： (1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，此直线系不包括l 2)．【训练2】 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．解 法一 设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3－2－x 0－54－y 0－5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝5，因此直线l 的方程为y －25－2＝x －－1－2－－1，即3x ＋y ＋1＝0.法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋k ＋2＝0，4x ＋y ＋3＝0，得x ＝－k －5k ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋k ＋2＝0，3x －5y －5＝0，得x ＝－5k －155k －3.则－k －5k ＋4＋－5k －155k －3＝－2，解得k ＝－3. 因此直线l 的方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋1＝0.考点三 距离公式的应用【例3】 已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋ 1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－12＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72，又a ＞0，解得a ＝3. (2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0； 由于P 在第一象限， 所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12；舍去联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．规律方法 (1)在应用两条平行直线间的距离公式时．要注意两直线方程中x ，y 的系数必须对应相同．(2)第(2)问是开放探索性问题，要注意解决此类问题的一般策略．【训练3】 (1)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )． A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0(2)已知两条平行直线，l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0间的距离为5，则直线l 1的方程为________．解析 (1)由题意可知所求直线斜率存在，故设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.(2)∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或18.故所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为4x －8y －2＝0， ∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或22.故所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0. 答案 (1)D (2)2x ±4y ＋9＝0或2x ±4y －11＝0两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意思想方法10——对称变换思想的应用【典例】 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解 (1)设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上． 设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.[反思感悟] (1)解决点关于直线对称问题要把握两点：点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直．(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题． (3)若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：①若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；②若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上． 【自主体验】(xx·湖南卷)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )．A ．2B ．1C.83D.43解析 以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，从而P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4,4－x )，P 2(－x,0)与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43共线，所以4343＋x ＝43－4－x 43－4，求得x ＝43.答案 D基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )． A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0解析 由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y－1＝0. 答案 A2．(xx·济南模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝( )． A ．－1 B ．2 C ．0或－2 D ．－1或2解析 若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线若平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2. 答案 D3．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( )．A.85B.32C ．4D ．8 解析 ∵直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32.答案 B4．(xx·金华调研)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限． 答案 B5．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点( )． A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4) D ．(4，－2)解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)． 答案 B 二、填空题6．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0， ∴m ＝－9. 答案 －97．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．解析 由a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0.∴两直线垂直． 答案 垂直8．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°. 其中正确答案的序号是________．解析 很明显直线l 1∥l 2，直线l 1，l 2间的距离为d ＝|1－3|2＝2，设直线m 与直线l 1，l 2分别相交于点B ，A ，则|AB |＝22，过点A 作直线l 垂直于直线l 1，垂足为C ，则|AC |＝d ＝2，则在Rt △ABC 中，sin ∠ABC ＝|AC ||AB |＝222＝12，所以∠ABC ＝30°，又直线l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°. 答案 ①⑤ 三、解答题9．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得： (1)l 1与l 2相交； (2)l 1⊥l 2； (3)l 1∥l 2； (4)l 1，l 2重合． 解 (1)由已知1×3≠m (m －2)，即m 2－2m －3≠0， 解得m ≠－1且m ≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交． (2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2. (4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合．10．求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2的交点为(1,2)，设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线的距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2， 解得k ＝0或43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x＋c ＝0的两个实数根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )． A.24，12 B.2，22 C.2，12 D.22，12解析 ∵d ＝|a －b |2，a ＋b ＝－1，ab ＝c ，又|a －b |＝1－4c ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，从而d max ＝22，d min ＝12.答案 D2．(xx·武汉调研)已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0与x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )．A ．11B ．10C ．9D ．8解析 由两直线垂直，得－1a·2＝－1，解得a ＝2.所以中点P 的坐标为(0,5)．则OP ＝5，在直角三角形中斜边的长度AB ＝2OP ＝2×5＝10，所以线段AB 的长为10. 答案 B 二、填空题3．已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与 两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，如图，所以四边形的面积S ＝2k 2×2＋(4－k ＋4)×2×12＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18.答案 18三、解答题4．(1)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点Q ，使得Q 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．图1 图1解 (1)如图1，设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，直线l 的斜率为k 1，则k 1·k BB ′＝－1.即3·b －4a＝－1. ∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0.即3a －b －6＝0.②解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．(2)如图2，设C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245.∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267，图2故Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.第3讲圆的方程[最新考纲]1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题.知识梳理1．圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三种关系：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内．辨析感悟1．对圆的方程的理解(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(×)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(×)(4)(xx·江西卷改编)若圆C经过坐标原点和点(4,0)且与直线y＝1相切，则圆C的方程是(x－2)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y＋322＝254. (√)2．对点与圆的位置关系的认识(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.(√) (6)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条．(×) [感悟·提升]1．一个性质 圆心在任一弦的中垂线上，如(4)中可设圆心为(2，b )．2．三个防范 一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号，如(2)中半径应为|a |； 二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件，如(3)；三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况，如(6).考点一 求圆的方程【例1】 根据下列条件，求圆的方程．(1)求过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43的圆的方程． (2)已知圆的半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，圆被直线x －y ＝0截得的弦长为4 2. 解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)．① 将P ，Q 点的坐标分别代入①得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20， ②D －3E －F ＝10， ③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0.④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根， 所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤解②、③、⑤组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. (2)法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝10. 由圆心在直线y ＝2x 上，得b ＝2a .① 由圆在直线x －y ＝0上截得的弦长为42， 将y ＝x 代入(x －a )2＋(y －b )2＝10， 整理得2x 2－2(a ＋b )x ＋a 2＋b 2－10＝0. 由弦长公式得 2a ＋b2－2a 2＋b 2－10＝42，化简得a －b ＝±2.②解①、②得a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.法二 根据图形的几何性质：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形．如图， 由勾股定理，可得弦心距d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫4222＝10－8＝ 2. 又弦心距等于圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离， 所以d ＝|a －b |2，即|a －b |2＝ 2.③又已知b ＝2a .④解③、④得a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4. 故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.规律方法 求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．【训练1】 (1)(xx·济南模拟)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )． A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________． 解析 (1)由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2或－12(舍去)．故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.故选A.(2)依题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，将A ，B 点坐标分别代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧5－a 2＋1＝r 2，1－a2＋9＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，r 2＝10.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案 (1)A (2)(x －2)2＋y 2＝10。
2021年高考数学一轮复习 直线与圆备考试题
2021年高考数学一轮复习直线与圆备考试题一、填空题1、（xx年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为▲ ．2、（xx年江苏高考）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是▲ ．3、（xx届江苏南通市直中学高三9月调研）已知圆，直线过点P（3，1），则当直线被圆C截得的弦长最短时，直线的方程为▲4、（xx届江苏苏州高三9月调研）已知圆与直线相交于两点则当的面积最大时此时实数的值为▲5、（南京市xx届高三第三次模拟）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60，则圆M的方程为6、（南通市xx届高三第三次调研）在平面直角坐标系中，圆C的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是▲．7、（xx江苏百校联考一）已知圆，点在直线上，若过点存在直线与圆交于、两点，且点为的中点，则点横坐标的取值范围是．8、（南通市xx届高三第二次模拟）在平面直角坐标系xOy中，设是半圆：（）上一点，直线的倾斜角为45°，过点作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交半圆于点，则直线的方程是▲9、（南京、盐城市xx届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为▲10、（苏锡常镇四市xx届高三3月教学情况调研（一））在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若△ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为▲11、（江苏省诚贤中学xx届高三12月月考）垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是▲12、（江苏省灌云高级中学xx届高三第三次学情调研）已知点（1，0）在直线的两侧，则下列说法（1）（2）时，有最小值，无最大值（3）恒成立（4）,, 则的取值范围为（-其中正确的是（把你认为所有正确的命题的序号都填上）二、解答题1、（xx年江苏高考）本小题满分14分。
2021年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第9讲直线与圆锥曲线的位置关系知能训练轻松闯关理北师大版
2021年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第9讲直线与圆锥曲线的位置关系知能训练轻松闯关理北师大版1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a＞2，所以e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞1＋4＝ 5. 3．双曲线C 1的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 1的一个焦点与抛物线C 2：y 2＝12x 的焦点重合，且抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，则双曲线C 1的实轴长为( ) A ．6 B ．2 6 C. 3 D ．2 3解析：选D.设双曲线C 1的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意可知抛物线C 2的焦点为(3，0)，准线方程为x ＝－3，即双曲线中c ＝3，a 2＋b 2＝9，将x ＝－3代入双曲线方程，解得y ＝±b a 9－a 2，又抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，所以2×b a9－a 2＝43，与a 2＋b 2＝9联立得，a 2＋23a －9＝0，解得a ＝3，故双曲线C 1的实轴长为23，故选D.4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( ) A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B.依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.5．(xx·太原模拟)已知中心为原点，一个焦点为F (0，52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( )A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 解析：选C.由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12（a 2－50）10a 2－450，由题意知x 1＋x 2＝1，即12（a 2－50）10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1，故选C. 6．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝λFB →(λ＞1)，则λ的值为( ) A ．5 B ．4 C.43D.52解析：选B.根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)，由AF →＝λFB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，（y 1＋y 2）2y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.7．(xx·宜宾模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：由题意得|PF 2|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝|PF 2|，所以2c ＝b 2a，因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2＋2ac－a 2＝0，所以e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1±2，又0<e <1，所以e ＝2－1.答案：2－18．(xx·辽宁省大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.答案：5539．(xx·高考江西卷)过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 所以－b 2a 2＝－12，所以a 2＝2b 2.又因为b 2＝a 2－c 2， 所以a 2＝2(a 2－c 2)，所以a 2＝2c 2，所以c a ＝22. 答案：2210．已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则满足条件的l 的条数为________．解析：因为a 2＝4，b 2＝5，c 2＝9，所以F (3，0)，若A ，B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将x ＝3代入x 24－y 25＝1得y ＝±52，所以|AB |＝5，满足题意；若A ，B 分别在两支上，因为a＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝4<5，所以满足|AB |＝5的直线有2条，且关于x 轴对称．综上，一共有3条． 答案：311．已知点Q 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：y ＝2x 2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B .若点Q 的坐标为(1，－6)，求直线AB 的方程及弦AB 的长．解：由Q (1，－6)在抛物线y 2＝2px 上，可得p ＝18，所以抛物线C 1的方程为y 2＝36x .设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝k （x －1），y ＝2x 2，消去y ，得2x 2－kx ＋k ＋6＝0，Δ＝k 2－8k －48.由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0， 解得k ＝－4或k ＝12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝－4（x －1），y 2＝36x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－3；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝12（x －1），y 2＝36x ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，9. 所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237.12．(xx·北京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，所以a 2＝43b 2.因为双曲线y 22－x 2＝1的焦点坐标为(0，±3)，所以b ＝3，所以a 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的倾斜角为0°时，不妨令A (－2，0)，B (2，0)，则OA →·OB →＝－4，当直线l 的倾斜角不为0°时，设其方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，3x 2＋4y 2＝12⇒(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0， 由Δ>0⇒(24m )2－4×(3m 2＋4)×36>0⇒m 2>4， 设A (my 1＋4，y 1)，B (my 2＋4，y 2)． 因为y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，所以OA →·OB →＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＋y 1y 2＝1163m 2＋4－4，因为m 2>4，所以OA →·OB →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，134.综上所述，OA →·OB →的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134.1．(xx·高考全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析：选A.由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以 F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以 MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． 因为 MF 1→·MF 2→＜0，所以 (－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0， 即x 20－3＋y 20＜0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20＜0，所以－33＜y 0＜33.故选A. 2．(xx·高考山东卷)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba，又直线l 过右焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为y ＝b a (x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝c a＝2＋ 3.答案：2＋ 33．(xx·衡水调研)已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227.求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程． 解：(1)由题意知c ＝1，2a ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝4，a ＝2， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得：(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ＞0成立， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.可得|AB |＝12（k 2＋1）3＋4k 2， 又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k2，所以△AF 2B 的面积为12|AB |r＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227， 化简得17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1， 所以r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.4．(xx·高考湖南卷)已知抛物线C 1 ：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1 与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32， 所以94a 2＋6b2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0. 而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x 28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9， 解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.。
高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习及答案)_g31083直线与圆锥曲线的位置关系(1).
g3.1083直线与圆锥曲线一、知识要点1.关于直线与圆锥曲线的交点问题:一般方法是用解方程组的方法求其交点的坐标.2.判断直线与圆锥曲线交点个数问题:即判断方程组解的个数.3.直线与圆锥曲线位置关系的判定:通法是消去一个未知数若得到的是关于另一未知数的一元二次方程,可用根的判别式∆来判断，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.4.直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式:|AB|=]4))[(1(212212x x x x k -++.5.关于相交弦的中点问题:涉及到弦的中点时,常结合韦达定理.6.曲线关于直线对称问题:注意两点关于直线对称的条件:(1)两点连线与该直线垂直;(2)中点在此直线上.二、基础训练1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点； 当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ．3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有 （ ） ()A 312x x x =+ ()B 121323x x x x x x =+()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++= 4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则n m 的值为 （ ） （A ）22 （B ）322 （C ）229 （D ）2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 （ ）()A 1 条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条 三、例题分析例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =， 求直线l 的斜率．例2．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．例3.过椭圆2x 2+y 2=2的一个焦点的直线交椭圆于P 、Q 两点,求ΔPOQ 面积的最大值例4（05天津卷）抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k .（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上； （Ⅲ）当λ=1时，若点P 的坐标为（1，-1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.四、作业 同步练习 g3.1083直线与圆锥曲线1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为（ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++=()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（ ）()A 325y x =()B 325y x =- ()C 253y x =()D 253y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 4（05福建卷）已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+ 5.椭圆4x 2+9y 2=36的焦点为F 1,F 2,点P 为其上动点,当∠F 1PF 2为钝角时,点P 的横坐标的取值范围是 .6．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为7．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是8. （05山东卷）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =9．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率.10．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．11．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．12、（05上海）本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B,OB 的中点为M.(1)求抛物线方程;(2)过M 作MN ⊥FA, 垂足为N,求点N 的坐标;(3)以M 为圆心,MB 为半径作圆M.当K(m,0)是x 轴上一动点时,丫讨论直线AK 与圆M 的位置关系.。
高考数学一轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系 理优秀PPT
考点探究
解
析
：
(1)
由
题
意
可
设
椭
圆
方
程
为
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a
＞
b
＞
0)
，
则
aac22＝＋2231b，2＝1.故ab＝＝21，. 所以，椭圆方程为x42＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，
故可设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
考点探究
由于直线 OP，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得 0＜m2＜2 且 m2≠1. 设 d 为点 O 到直线 l 的距离， 则 S△OPQ＝12d|PQ|＝21|x1－x2||m|＝ m2（2－m2）， 所以 S△OPQ 的取值范围为(0，1)． 点评：直线与圆锥曲线相交，一般是将直线方程代入到圆锥曲线 方程中，消去 x(或 y)转化为关于 y(或 x)的二次函数，再利用判别式、 根与系数的关系以及题目的其他条件解决问题．
高考数学一轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理
第十二节 直线与圆锥曲
考点2 直线与圆锥曲线相交问题
考点3 圆锥曲线的弦长问题
第十二节 直线与圆锥曲
考点2 直线与圆锥曲线相交问题
第十二节 直线与圆锥曲 线的位置关系
高考考点总 2 复直习线数与学圆（锥理曲科线1）相.了交问解题 圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世
考点探究
④k≠0 时，Δ<0 时，解得 k∈(－∞，－1)∪12，＋∞，直线与 抛物线无公共点．
点评：方程 ky2－4y－8k＋4＝0 是形式上的二次方程，k＝0 时 有一组解不能漏掉，而且只有 k≠0 时，才有Δ＝0，Δ>0 可言．
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1．已知对任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m
＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(0,5)
C ．[1,5)∪(5，＋∞)
D ．[1,5)
2．(2020·青岛模拟)直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )
A.x 220－y 25
＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24
＝1 3．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
A ．3 2
B ．2 3 C.303 D.32
6 4．(2019·兰州期末)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB
→等于( )
A.34
B.
－34 C ．3 D ．－3 5．(2019·石家庄质检)双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是( )
A. 3 B ．2＋ 3 C ．2 D.2＋1
6．(2020·宜昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上存在A ，B 两点恰好关于直线l ：x －y －1＝0对称，且直线AB 与直线l 的交点的横坐标为2，则椭圆C 的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12
7．(多选)我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法中正确的是( )
A ．双曲线x 2－2y 2
5＋1＝1是黄金双曲线 B ．若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线
C ．若F 1，F 2为左右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )且∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线
D ．若MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线
8．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( )
A ．直线P
B 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2
b
2 B.PB 1→·PB 2→>0
C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 2
2a
D ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线
9．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，若原点O 与线段MN 的中点P 连线的斜率为22，则m n
的值是____________．
10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点(－1,0)的直线与C 交于A ，B 两点(A 在B 左侧)，若4|F A |＋|FB |的最小值为19，则抛物线C 的标准方程为____________．
11．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(1，5) D ．(1，5]
12．椭圆C ：x 24＋y 23
＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上，且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤38，34
B.⎣⎡⎦⎤12，34
C.⎣⎡⎦⎤12，1
D.⎣⎡⎦
⎤34，1 13．(2020·衡水中学调研)已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值为( )
A ．12
B ．24
C ．16
D ．32
14．(2019·山西省实验中学质检)若直线l 与双曲线x 24
－y 2＝1相切于点P ，l 与双曲线的两条渐近线分别交于M ，N 两点，则OM →·ON →的值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．与点P 的位置有关 15．已知双曲线x 2－y 23
＝1上的两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．
16．(2019·江西名校联盟调研)已知直线l 经过抛物线C ：y ＝x 24
的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，且x A ＋x B ＝8，则l 的方程为________．若点D 是曲线AOB (O 为原点)上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为____________________．
答案精析
1．C 2.A 3.C 4.B 5.B 6.C
7．ABCD 8.BC 9.
22 10.y 2＝12x 11．B 12.A
13．D [当直线的斜率不存在时，
方程为x ＝4，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y 2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32. 当直线的斜率存在时，
设其方程为y ＝k (x －4)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，y ＝k (x －4)，得ky 2－4y －16k ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k
， y 1y 2＝－16，
∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2
＝16k
2＋32>32. 综上可知，y 21＋y 22
≥32. ∴y 21＋y 22
的最小值为32，故选D.] 14．A [设点P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
其中x 20－4y 20＝4，则直线l 的方程是x 0x 4
－y 0y ＝1， 双曲线的渐近线方程为y ＝±12
x . ①当y 0＝0时，直线l 的方程是x ＝2或x ＝－2.
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，x 24－y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝－1， OM →·ON →＝(2，－1)·(2,1)＝3，
同理当x ＝－2时，OM →·ON →＝3.
②当y 0≠0时，
直线l 的方程为y ＝14y 0
(x 0x －4)． 由⎩⎨⎧
y ＝14y 0(x 0x －4)，y ＝x 2，可得 ⎩⎨⎧ x 1＝4x 0－2y 0，y 1＝2x 0－2y 0. 同理可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4x 0＋2y 0
，y 2
＝－2x 0＋2y 0.
又x 20－4y 20＝4， OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝12x 20－4y 20
＝3， 综上，OM →·ON →＝3.]
15．0或－8
解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
MN 的中点为P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21－y 213＝1，x 22－y 223
＝1，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，
得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13
(y 2－y 1)(y 2＋y 1)， 显然x 1≠x 2，∴y 2－y 1x 2－x 1·(y 2＋y 1
) ＝3(x 2＋x 1)，
即k MN ·y 0＝3x 0.
∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，
∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0.
又∵y 0＝x 0＋m ，
∴P ⎝⎛⎭⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916
m 2＝18·⎝⎛⎭⎫－m 4， 解得m ＝0或m ＝－8.]
16．2x－y＋1＝0(x－4)2＋(y－4)2＝5
[k AB＝y A－y B
x A－x B
＝
x A＋x B
4＝2，F(0,1)，l：y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.
点D到直线l距离最大时，圆D的面积最大，
令y′＝x
2＝2，解得x＝4，即D(4,4)到直线l距离最大，此时d＝5，所以所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2＝5.]。