专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线
高考大题专项突破 直线与圆及圆锥曲线
高考大题专项突破五5.1直线与圆及圆锥曲线1.(优质试题河南南阳、信阳等六市一模,理20)如图,抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线上一定点Q(1,2).(1)求抛物线C的方程及准线l的方程;(2)过焦点F的直线(不经过点Q)与抛物线交于A,B两点,与准线l交于点M,记QA,QB,QM的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3成立?若存在λ,求出λ的值;若不存在,说明理由.〚优质试题21500816〛2.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.3.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于点A,B,当直线l的倾斜角是时,AB的垂直平分线交y轴于点Q(0,5).(1)求p的值;(2)以AB为直径的圆交x轴于点M,N,记劣弧的长度为S,当直线l绕点F 旋转时,求的最大值.4.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.5.(优质试题山西吕梁二模,理20)如图,已知圆N:x2+(y+)2=36,P是圆N上的点,点Q在线段NP上,且有点D(0,)和DP上的点M满足=2=0.(1)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程;(2)若斜率为的直线l与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点A,B,又点C,求△ABC面积最大值时对应的直线l的方程.〚优质试题21500817〛6.(优质试题安徽黄山二模,理20)已知椭圆E:=1(a>)的离心率e=,右焦点F(c,0),过点A的直线交椭圆E于P,Q两点.(1)求椭圆E的方程;(2)若点P关于x轴的对称点为M,求证:M,F,Q三点共线;(3)当△FPQ面积最大时,求直线PQ的方程.参考答案高考大题专项突破五5.1直线与圆及圆锥曲线1.解 (1)把Q(1,2)代入y2=2px,得2p=4,所以抛物线方程为y2=4x,准线l的方程为x=-1.(2)由条件可设直线AB的方程为y=k(x-1),k≠0.由抛物线准线l:x=-1,可知M(-1,-2k).又Q(1,2),所以k3==k+1.把直线AB的方程y=k(x-1),代入抛物线方程y2=4x,并整理,可得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1.又Q(1,2),故k1=--,k2=--.因为A,F,B三点共线, 所以k AF=k BF=k,即--=k.所以k1+k2=----=--=2(k+1),即存在常数λ=2,使得k1+k2=2k3成立.2.解由题知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0且A,B,P-,Q-,R-.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明:由于点F在线段AB上,因此1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=---=-=-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设直线l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|-,S△PQF=-.由题设可得|b-a|-=-,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,(x≠1 .由k AB=k DE可得-又=y,所以y2=x-1(x≠1 .当AB与x轴垂直时,点E与点D重合.故所求轨迹方程为y2=x-1.3.解 (1)抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,当l的倾斜角为时,l的方程为y=x+.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-2px-p2=0,则x1+x2=2p,y1+y2=x1+x2+p=3p,得AB中点为D,AB的垂直平分线为y-p=-(x-p),把x=0代入得y=p=5.∴p=2.(2)设直线l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0,∴|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,AB中点为D(2k,2k2+1).令∠MDN=2α,S=2α·|AB|=α·|AB|,∴=α,点D到x轴的距离|DE|=2k2+1,cos α==1-.当k2=0时cos α取最小值,α的最大值为.故的最大值为.4.解 (1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=,故+()2=22,即m=±.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得-=x2+y2,即x2-y2=2.因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1).因为点P在圆O内,所以-由此得y2<1.所以的取值范围为[-2,0).5.解 (1)由题意,MQ是线段DP的垂直平分线,∴|NP|=|NQ|+|QP|=|QN|+|QD|=6>|DN|=2.∴点Q的轨迹是以D,N为焦点的椭圆,且c=,a=3,b=2.∴点Q的轨迹方程是=1.(2)设直线l:y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),与椭圆联立,可得9x2+6mx+2m2-18=0,∴x1+x2=-m,x1·x2=(2m2-18),∴|AB|=--=-.点C到直线l的距离d=,∴S=|AB|d=-,∴当m=±3时,S最大,此时直线l的方程为y=x±3.6.(1)解由-得a=,c=ea==2,则b2=a2-c2=2,∴椭圆E的方程是=1.(2)证明由(1)可得A(3,0),设直线PQ的方程为y=k(x-3),由方程组-得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,依题意Δ=12(2-3k2)>0,得-<k<.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.∵F(2,0),M(x1,-y1),=(2-x1,y1),=(x2-2,y2),由(2-x1)y2-(x2-2)y1=(2-x1)·k(x2-3)-(x2-2)·k(x1-3)=k[5(x1+x2)-2x1x2-12]=k---=0,得,∴M,F,Q三点共线.(3)解设直线PQ的方程为x=my+3.。
高考数学专项突破圆锥曲线专题
高考数学专项突破：圆锥曲线专题目录一、知识考点讲解 (2)第一部分了解基本题型 (3)第二部分掌握基本知识 (6)第三部分掌握基本方法 (8)二、知识考点深入透析 (15)三、圆锥曲线之高考链接 (18)四、基础知识专项训练 (22)五、解答题专项训练 (30)附录：圆锥曲线之高考链接参考答案 (35)附录：基础知识专项训练参考答案 (39)附录：解答题专项训练参考答案 (41)一、知识考点讲解一、圆锥曲线的考查重点：高考试卷对圆锥曲线的考查主要是：给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；或给出直线及曲线、曲线及曲线的位置关系，讨论及其有联系的有关问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等）；或讨论直线及曲线、曲线及曲线的关系；或考查圆锥曲线及其它知识的综合（如及函数、数列、不等式、向量、导数等）等。
二、圆锥曲线试题的特点：1、突出重点知识的考查。
直线及圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是圆锥曲线命题的根本，在对圆锥曲线的考查中，直线及圆锥曲线的位置关系仍然是重点。
2、注重数学思想及方法的考查。
3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识，在知识网络的交汇点处设计问题是高考的一大特点，由于向量具有代数和几何的双重身份，使得圆锥曲线及平面向量的整合交汇成为高考命题的热点，导数知识的引入为我们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法。
三、命题重点趋势：直线及圆锥曲线或圆及圆锥曲线1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线及圆锥曲线或圆及圆锥曲线，直线及圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。
2、热点主要体现在：直线及圆锥曲线的基础题；涉及位置关系的判定；轨迹问题；范围及位置问题；最值问题；存在性问题；弦长问题；对称问题；及平面向量或导数相结合的问题。
3、直线及圆锥曲线的题型涉及函数的及方程，数形结合，分类讨论，化归及转化等重要的数学思想方法，是高考必考内容之一，这类题型运算量比较大，思维层次较高，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能，对学生的能力要求也相对较高，是每年高考中平面几何部分出题的重点内容第一部分了解基本题型一、高考中常见的圆锥曲线题型1、直线及圆锥曲线结合的题型（1）求圆锥曲线的轨迹方程：这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质，要求较低，一是出现在选择题，填空题或者解答题的第一问，较容易。
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷专练（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
则由椭圆的中心对称性可知可知AF1BF2为平行四边形，则可得△ABF2的周长为|AF当AB位于短轴的端点时，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，当围成的等腰三角形底边在直线l因为tanα=2tanα21―tan2α2=2，且tanα2>所以k=tanθ=tanα2=5―12，或故选：B．5．（5分）（2024·西藏拉萨的最小值为（）A．1453【解题思路】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可6．（5分）（2024·湖南邵阳点B在C上且位于第一象限，B．8 A．453【解题思路】由点A―1,8由点A―1,8在抛物线y23所以抛物线C的方程为y2设B(x0,y0)，则x0>0,y0>由题意知F p2,0，又OP 显然直线AB的斜率不为由y2=2pxx=ty+p2，得y2―2pty显然直线BD的斜率不为由y2=2pxλp，得y2故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
如图，因为K OA=∠PDA=∠ODB，所以×|PA|⋅S△PAB=12故选：ABD.11．（6分）（2024·福建龙岩|AB|=8.过焦点F的直线C的准线与坐标轴的交点，则（A．若MF=3FN，则直线C．∠MON为钝角设M(x1,y1),N(x2,y 得y2―8my―16=所以y1y2=―16,x1∴x1x2+y1y2=4⟨⟩三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
直线、圆、圆锥曲线提升训练答案
1．直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ）A ．210x y +-=B ．210x y +-=C ．230x y +-=D ．230x y +-= 【答案】D 【解析】试题分析：直线210x y -+=和直线1x =的交点为()1,1，直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程的斜率为12k =-，故所求直线方程为()1112y x -=--，化简可得230x y +-=，故选D ．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程 2．已知点A （2，3），B （－3，－2），若直线l 过点P （1，1）且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．324k k ≥≤或 B ．324k ≤≤ C ．34k ≥D ．2k ≤ 【答案】A 【解析】试题分析：用数形结合，建立坐标系直线PA 的斜率31221-=-k=，直线PB 的斜率213314--'=--k =，结合图象可得直线l 的斜率取值范围是324k k ≥≤或；考点：1．数形结合思想；2．直线的斜率公式；3．过点()2,3P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ） A ．230x y -= B ．50x y +-=C ．320x y -=或50x y +-=D ．230x y -=或50x y +-=【答案】C 【解析】试题分析：当截距都为0时，过点()0,0时直线为320x y -=，当截距不为零时，设直线为1x ya a+=，代入点()2,3P 得550a x y =∴+-= 考点：直线方程4．直线l 经过点(2,),(3,A y B ，且倾斜角范围是2[,]33ππ，则y 的范围是（ ）A 、[-B 、(,0])-∞⋃+∞C 、(,[0,)-∞-⋃+∞D 、 【答案】C 【解析】 试题分析：)2[,]tan 33k πθπθ∈∴=∈+∞(,-∞([),0,k y =∈-∞-+∞ 考点：直线倾斜角与斜率的关系5．对于直线x sin α+y+1=0，其斜率的取值范围是（ ）A ．-,-1][1,+)∞⋃∞（ B ．[1,1]- C ．[-,]44ππD ．[-,]22ππ【答案】B【解析】试题分析：直线的斜率为αsin -=k ，因此斜率的取值范围是[-1，1]，答案选B ． 考点：直线的一般方程与斜率6．若直线ax+2y+6=0与直线x+a(a+1)y+a 2－1=0垂直，则实数a 的值为（ ） A ．－32 B ．0 C ．1 D ．0或－32【答案】D ． 【解析】试题分析：根据一般式直线方程中，两直线垂直的等价条件，则有2(1)0a a a ++=，即2230a a +=，解得a=0或a=－32，故选D ．考点：直线的一般式方程中，两直线垂直的等价参数关系．7．平行线0943=-+y x 和620x my ++=的距离是（ ） A ．58 B ．2 C ．511 D ．57 【答案】B 【解析】试题分析：根据两直线平行，可以断定8m =，所以直线方程可化为3410x y ++=，由公式可得两直线之间的距离1925d +==，故选B ． 考点：平行线间的距离公式．8．直线30x y -+=被圆()()22222x y ++-=截得的弦长等于（ ）A ．2． 【答案】D 【解析】试题分析：圆心为()2,2-，半径r =圆心到直线的距离为d ==，所以弦长l 满足2222l d r l ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭考点：直线与圆相交问题9．圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，M 、N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值A ．4B 1C ．6-【答案】A 【解析】试题分析：作2C 关于x 轴的对称点)4,3(-A ，连接1AC 得1AC 所在直线方程0177=-+y x ，与x 轴的交点为)0,717(P ，此时21PC PC +最小，连接1PC 、2PC 分别交圆于N M 、，则PNPM +最小，PN PM +==--+3121PC PC 425-考点：1.圆与最值问题；10．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+D ．221+【答案】B 【解析】试题分析：先将圆012222=+--+y x y x 配方得1)1()1(22=-+-y x ，知此圆的圆心坐标为),1,1( 半径r=1,再求出圆心到已知直线的距离：12)1(121122>=-+--=d ，画出草图可知：所求最大值应为1+2，故选B ．考点：直线与圆的位置关系．11．设抛物线28y x =的焦点为F ,准线为l ，P 为抛物线上一点，且,PA l A ⊥为垂足，如果直线AF 的斜率为1-，则PF 等于（ ）A ．2B ．4C ． 8D ．12 【答案】B 【解析】试题分析：∵抛物线方程为28y x =，∴焦点20F （，），准线方l 程为2x =-，∵直线AF 的斜率为1-，直线AF 的方程为2y x =--（），当2x =-时，4y =，由可得A 点坐标为()2,4A -,PA l A ⊥ 为垂足，∴P 点纵坐标为4，代入抛物线方程，得点P 坐标为()2,4P ， 224PF PA ∴==--=（）． 考点：抛物线的定义12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为（ ）A 、5B 、2C 、332 D 、3 【答案】B 【解析】试题分析：()02，F ，4=p ，所以422=+b a ，根据抛物线的焦半径公式，522=+=+=x px PF ，解得3=x ，代入抛物线有242=y ，因为点P 是交点，所以代入双曲线，有124922=-b a ，解得：3,122==b a ，所以离心率2==a c e ．考点：1．抛物线的几何性质；2．双曲线的方程；3．抛物线的方程．13．已知点()0,2A ，抛物线C:2(0)y ax a =>（0a >）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M，与其准线相交:KM MN =于点N ，若则a 的值等于（ ） A ．41 B ．21C ．1D ．4【答案】D 【解析】 试题分析：(,0),:1:54a F M F M K M M N =∴ ，42421:2:=∴=∴=a a KM KN ． 考点：抛物线的性质．14．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．xy 22±= B ．x y 2±= C ．x y 2±= D ．x y 21±= 【答案】A【解析】试题分析：根据题意，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程，则a b ====则所求双曲线的渐近线方程为xy 22±=，所以答案为A ．考点：1．双曲线的标准方程；2，双曲线的渐近线方程．15．抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是 （ ） A ．（1，1） B ．（41,21） C ．)49,23( D ．（2，4）【答案】A 【解析】试题分析：设抛物线上的点为()200,x x点到直线的距离为d =，当01x =时取得最小值，所以点的坐标为（1，1）考点：1．点到直线的距离；2．函数求最值16．已知抛物线的方程为x y 42=，过其焦点F 的直线l 与抛物线交于B A ,两点，若BOF AOF S S ∆∆=（O 为坐标原点），则=AB （ ） A ．316 B ．38 C ．34D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：设B A ,的纵坐标为21,y y ，则由BOF AOF S S ∆∆=，得212121y OF y OF =，即021=+y y ；即x AB ⊥轴，即()1,1y A ，则21=y ，所以4=AB ． 考点：直线与抛物线的位置关系．17．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1、F 2F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A【解析】试题分析：由椭圆的定义可知三角形的周长为344)(221111==+++=++a BF AF BF AF AB BF AF ，解得3=a ，又离心率33=a c ，所以1=c ，由222c b a +=得2=b ，所以椭圆的方程为12322=+y x ，答案选A ．考点：椭圆的方程与几何性质18．已知F 是抛物线24y x =的焦点，A B ， 是抛物线上的两点，12AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 11 【答案】B 【解析】试题分析：∵212A B AF BF x x +=++=，∴10A B x x +=，∴52A Bx x +=，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为5，故选B. 考点：直线与抛物线的位置关系.19．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+222131e e ． 【答案】4【解析】试题分析：设11ce a =，22ce a =，则221222212313a a e e c ++=，又2221212122cos3PF PF PF PF F F π+-=，所以22121212()3PF PF PF PF F F +-=，22121212()PF PF PF PF F F -+=，即22112434a PF PF c -=，2221244a PF PF c +=，因此222222121241216,34,a a c a a c +=+=2212134.e e +=考点：椭圆及双曲线定义20．将一个半径为2的半圆面围成一个圆锥，所得圆锥的轴截面面积等于 ．【解析】试题分析：半径为2的半圆面的半周长是π2，那么围成圆锥的半径为r ，ππ22=r ，1=r ，所以轴截面是以2为边长的等边三角形，面积是3432==a S ． 考点：圆锥的基本计算21．椭圆221259x y +=上的点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 中点，则||ON = ．【答案】4 【解析】试题分析：根据椭圆的定义：1021=+MF MF ,所以82=MF ,N 是1MF 中点，O 是21F F 的中点，所以4212==MF ON ． 考点：1．椭圆的定义；2．椭圆的几何意义．22．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(1,8)A -，P 为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是______________ 【答案】9 【解析】试题分析：根据题意，过P 作抛物线的准线的垂线垂足为P ' ，根据抛物线的定义PF PP '=,所以PA PF PA PP '+=+的最小值即为抛物线上一个动点P 到一个定点()1,8A -的距离与到定直线1y =-的距离之和的最小值，显然，最小值即为点A 到直线1y =-的距离为()819--=．考点：1．抛物线的定义；2．距离的最小值．23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，点M 为线段AB 的靠近点B 的三等分点，∠MOA=45°，则椭圆的离心率为 .【解析】试题分析：A （a,0）,B （0,b ）,M 的靠近点B 的三等分点，所以M （2,33a b ），又因为∠MOA=45°，所以2233a b a b =∴=，222222223344a c a b e e a a a -====∴=考点：本题考查椭圆的离心率点评：通过M 是三等分点，相似三角形求得M 点坐标，再利用∠MOA=45°，可得M 的横纵坐标相等，找到a,b 的关系24．设抛物线22y x =的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，则4AF BF +的最小值为_____________. 【答案】4.5 【解析】试题分析：根据题意抛物线的焦点坐标为：()1,0F ，过焦点的直线与抛物线22y x =交于两点，直线斜率一定存在，设过焦点()1,0F 与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 的直线方程为：()1y k x =-带入22y x =中，化简为：()22221204k x k x k -++=，根据韦达定理得：1214x x =，根据抛物线的定义知：4AF BF +121211555944222222x x x x ⎛⎫=+++=++≥== ⎪⎝⎭（当且仅当“1241x x ==”时取“=”），所以4AF BF +的最小值为4.5. 考点：1.抛物线的定义；2.基本不等式求最值.25．已知P 是双曲线1366422=-y x 上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________． 【答案】33 【解析】试题分析：根据双曲线定义知;1216PF PF -==,所以2116161733PF PF =+=+=或21PF =（舍去），故答案为33. 考点：1.双曲线定义；2.计算.26．在平面直角坐标系中，已知两点(3,0)A -及(3,0)B ，动点Q 到点A 的距离为10，线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ． （Ⅰ）求||||PA PB +的值；（Ⅱ）求点P 的轨迹方程【答案】（Ⅰ）10；（Ⅱ）2212516x y += 【解析】试题分析：（Ⅰ）由线段的垂直平分线的性质及抛物线的定义易得||||PA PB +=||PA +||PQ =||AQ =10（Ⅱ）由（Ⅰ）及椭圆的定义可知点P 的轨迹是中心在原点，以,A B 为焦点，长轴在x 轴上的椭圆，则椭圆方程可求试题解析：（Ⅰ）因为线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ，∴||PB =||PQ ， ∴||||PA PB +=||PA +||PQ =||AQ =10；（Ⅱ）由（Ⅰ）知||||PA PB +=10（常数），又||||PA PB +=10＞6=||AB ，∴点P 的轨迹是中心在原点，以,A B 为焦点，长轴在x 轴上的椭圆，其中210,26a c ==，所以椭圆的轨迹方程为2212516x y +=． 考点：椭圆、抛物线的定义。
2020高考数学大二轮专题突破文科通用直线与圆圆锥曲线精选试题及答案解析(10页)
2020高考数学大二轮专题突破文科通用直线与圆圆锥曲线精选试题1.(节选)已知圆M:x2+y2=r2(r>0)与直线l1:x-y+4=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于B,且动点N满足=2,设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)略.2.(2019甘肃武威第十八中学高三上学期期末考试)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.(1)求证:圆C1和圆C2相交;(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.3.已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.4.(2019全国卷1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.5.(2019天津河北区高三二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点P(2,1),且短轴长为2.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作x轴的垂线l,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上),点A关于l的对称点为A',直线A'P与椭圆C交于另一点B.设O为坐标原点,判断直线AB与直线OP的位置关系,并说明理由.6.(2019天津第一中学高三下学期第五次月考)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,且圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a.(1)求椭圆C1的方程;(2)过点P(0,1)的直线l1:y=kx+1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD中点,若△MAB的面积为,求k的值.参考答案专题突破练24直线与圆及圆锥曲线1.解(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AB⊥x轴于B,所以B(x0,0).已知圆M的方程为x2+y2=r2,由题意得r==2,所以圆M的方程为x2+y2=4.由题意,=2,所以(0,-y0)=2(x0-x,-y),即将A(x,2y)代入圆M:x2+y2=4,得动点N的轨迹方程为+y2=1.(2)略.2.(1)证明圆C1的圆心C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心C2(5,6),半径r2=4, 两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,所以|r1-r2|<d<r1+r2.所以圆C1和C2相交.(2)解将圆C1和圆C2的方程相减,得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.因为圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为d==3,故两圆的公共弦长为2-=2.3.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=,b=1,则曲线Γ的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则.设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又=1,解得x0=,y0=±.则k OB=±,k AB=∓,则直线AB的方程为y=±(x-),即x-y-=0或x+y-=0.4.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=--.从而--,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.5.解(1)由题意得解得∴椭圆C的方程为=1.(2)直线AB与直线OP平行,证明如下:由题意知,直线PA的斜率存在且不为零.PA,PA'关于l:x=2对称,则直线PA与PA'斜率互为相反数.设直线PA:y-1=k(x-2),PB:y-1=-k(x-2).设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y得(4k2+1)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-4=0, -∴2x1=--.∴x1=--.同理,x2=-.∴x1-x2=-.∵y1=k(x1-2)+1,y2=-k(x2-2)+1,∴y1-y2=k(x1+x2)-4k=-.∵A在第四象限,∴k≠0 且A不在直线OP上,∴k AB=-.-又k OP=,∴k AB=k OP.故直线AB与直线OP平行.6.解(1)因为F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,故当y=0时,x=,即F2(,0),故c=.因为圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a,所以点Q(在椭圆上,故有=1.联立方程组解得所以椭圆方程为=1.(2)因为直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD的中点,所以QM与直线l2垂直.又因为直线l1与直线l2垂直,所以QM与直线l1平行.所以点M到直线AB的距离即为点Q到直线AB的距离.即点M到直线AB的距离为d=.设点A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组解得(1+2k2)x2+4kx-2=0,Δ=b2-4ac=16k2+8(2k2+1)=32k2+8>0,由韦达定理可得--则|x1-x2|=----.所以AB=|x1-x2|=.所以△MAB的面积为.所以.即·|k|=,两边同时平方,化简得,28k4-47k2-18=0,解得k2=2或k2=-(舍).故k=±.此时l2:y=±x+1.圆心Q到l2的距离h=-<1成立.综上所述,k=±.。
2019年高考数学二轮复习专题7解析几何2直线圆圆锥曲线小综合题专项练课件理
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设点CA..圆[[P2心2,到6,3]到直直2线]线ABA的B 的距D.距离[2B离为.[24,dd,38='.]易|22+]知02+2|=2 2.
d-r≤d'≤d+r,即 2 ≤d'≤3 2.
又 AB=2 2,
∴S△ABP=12 ·|AB|·d'= 2d', ∴2≤S△ABP≤6.
关闭
A
解析 答案
=
������-������ ������������
, 代入
������1 + ������2 = 2������,
������1 + ������2 = 2������������,
得B a2=bc,即 a4=(c2-a2)c2,有 e4-e2-1=0,得 e=
1+ 2
5.
关闭
解析 答案
一、选择题 二、填空题
近 的由则线 离题F2的 心意到对 率,F渐1称 为(近0点(,-线c恰)的,F好2距)(0落离,c在)为,一以条���F���渐������1 为近=圆线b.心方,程|O为F1|y为=半������������x,径的圆上,则双曲线 关闭
A.3
B. 3 ������2+������2 C.2
D. 2
5.过圆及圆锥曲线上一点的切线方程
(1)过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2; (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(xa)+(y0-b)(y-b)=r2; 为(A3)x过0x+曲B线y0Cy+:ADx���2���0+2+B������y+2+E���D���0x2++������E+yF+=F0=. 0上的一点P(x0,y0)的切线方程
2025年高考数学一轮复习-第九章-直线与圆、圆锥曲线【课件】
间的距离.
卷·T15
7.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程 2021年:新高考Ⅰ
与一般方程.
卷·T11
8.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2021年:新高考Ⅱ
9.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
卷·T11
角度 考查内容
课程标准
3.重视数学思想方法的应用 (1)解析法:用代数方法研究几何问题是本章的基本方法,一是依据条件求曲线 的方程;二是由曲线的方程,研究曲线的几何性质. (2)数形结合思想:在解决与直线的倾斜角、斜率有关的最值问题、对称问题, 与参数有关的问题,与弦的中点有关问题时,往往用到数形结合思想. (3)函数与方程思想:在求解直线、圆、椭圆、抛物线等的方程,解决参数问题、 最值问题时,经常利用函数与方程思想. (4)分类与整合思想:在解决与参数有关的问题时,往往依据解析式特点、函数 取最值的条件,或题设条件对参数进行分类讨论.
高考真题
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻
平面 解析 几何
画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭 圆的定义、标准方程及简单几何性质. 圆锥曲线 3.了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标 与方程 准方程,以及它们的简单几何性质. 4.通过对圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数 形结合的思想.
角度 考查内容
课程标准
1.题型设置:各种题型均有涉及. 命题
2.内容考查:主要考查直线和圆的位置关系及圆锥曲线的方程与性质. 趋势
3.能力考查:注重运算求解能力与逻辑推理能力的考查.
高考真题
备考策略 根据近三年新高考卷命题特点和规律,复习本章时,要注意以下几个方面: 1.全面系统复习,深刻理解知识本质 (1)概念:直线的倾斜角、斜率,直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,两直
2019-2020年高考数学一轮复习专题突破提升练4直线圆与圆锥曲线的交汇问题
由
x2 4＋
y
2＝
1
，
y＝ kx＋ m，
得 (1 ＋ 4k2 ) x2＋ 8kmx＋ 4m2－ 4＝ 0.
则
Δ
＝
(8
km)
2－
4(1
＋
4k2)(4
m2－
4)
＝
16(1
＋
4k 2－
m2)
＞0，
x1＋
x2 ＝－
8km 1＋ 4k2 ， x1x2 ＝
4m2 －4
m2－ 4k2
1＋ 4k2，则 y1y2＝( kx1＋ m)( kx2＝－ x2 联立得
3x2－ 4x－t
＝ 0，由
Δ＝ 16＋ 12t
＝0
得
t
＝－
4 ，两条平行线间的距
3
离即为所求最小距离，由两平行线的距离公式得
4 d＝ 3.
【答案】 A x2 y2
2．双曲线 a2－ b2＝ 1( a＞ 0， b＞0) 的左、右焦点分别为
F1 ， F2，渐近线分别为
l 1， l 2，
率为 1 的直线 l 与抛物线 C交于 A，B 两点，则弦 AB的中点到抛物线准线的距离为 ________． 【解析】 设抛物线方程为 y2＝ 2px( p＞ 0) ，因为焦点 F 与双曲线的右焦点重合，故
p F(3,0) ，所以 2＝ 3， p＝ 6，抛物线方程为
y2＝12x，设 A( x1， y1) ， B( x2， y2) ，过点 P(2,0)
1 PF1 ⊥PF2，即 | OP| ＝ 2| F1F2| ＝c，即
x20＋y20 ＝c2. 又因为
b y0 ＝ ax0 ，代入得
x 20＋
b ax0
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专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD|=43|AB|. (1)求C 1的离心率;(2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF|=5,求C 1与C 2的标准方程. 2.已知圆O :x 2+y 2=4,点A (√3,0),以线段AB 为直径的圆内切于圆O ,记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB 交圆O 于C ,D 两点,当B 为CD 的中点时,求直线AB 的方程.3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|. 4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (-1,32)是椭圆上一点,|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程;(2)若A 为椭圆的右顶点,直线AP 与y 轴交于点H ,过点H 的另一条直线与椭圆交于M ,N 两点,且S △HMA =6S △PHN ,求直线MN 的方程.5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,P (1,√22)为椭圆上一点,且|PF 1|=3√22. (1)求椭圆的标准方程;(2)设直线l :x=-2,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M ,N 两点,当∠MAN 最小时,求直线AB 的方程.6.(2020天津河北一模,19)已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,直线x+y-√6=0与圆x 2+y 2=b2相切.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P (4,0)的直线l 与椭圆C 交于不同两点A ,B ,线段AB 的中垂线为l 1,若l 1在y 轴上的截距为413,求直线l 的方程.专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线1.解 (1)由已知可设C 2的方程为y 2=4cx ,其中c=√a 2-b2.不妨设A ,C 在第一象限,由题设得A ,B 的纵坐标分别为b 2a ,-b2a ;C ,D 的纵坐标分别为2c ,-2c ,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b 23a ,即3×c a =2-2(c a )2,解得c a =-2(舍去),c a=12.所以C 1的离心率为12. (2)由(1)知a=2c ,b=√3c ,故C 1:x 24c 2+y 23c 2=1.设M (x 0,y 0),则x 024c 2+y 023c 2=1,y 02=4cx 0,故x 024c 2+4x03c =1.①由于C 2的准线为x=-c ,所以|MF|=x 0+c ,而|MF|=5,故x 0=5-c ,代入①得(5-c )24c 2+4(5-c )3c=1,即c 2-2c-3=0,解得c=-1(舍去),c=3.所以C 1的标准方程为x 236+y 227=1,C 2的标准方程为y 2=12x.2.解(1)设AB 的中点为M ,切点为N ,连接OM ,MN ,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+1|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A 关于y 轴的对称点A',连接A'B ,则|A'B|=2|OM|, 故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.所以点B 的轨迹是以A',A 为焦点,长轴长为4的椭圆. 其中a=2,c=√3,b=1,则曲线Γ的方程为x 24+y 2=1.(2)因为B 为CD 的中点,所以OB ⊥CD ,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .设B (x 0,y 0),则x 0(x 0-√3)+y 02=0.又x 024+y 02=1,解得x 0=√3,y 0=±√2√3.则k OB =±√22,k AB =∓√2,则直线AB 的方程为y=±√2(x-√3), 即√2x-y-√6=0或√2x+y-√6=0. 3.解 设直线l :y=32x+t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).(1)由题设得F (34,0), 故|AF|+|BF|=x 1+x 2+32, 由题设可得x 1+x 2=52.由{y =32x +t ,y 2=3x ,可得9x 2+12(t-1)x+4t 2=0,则x 1+x 2=-12(t -1)9. 从而-12(t -1)=5,得t=-7.所以l 的方程为y=32x-78. (2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=-3y 2. 由{y =32x +t ,y 2=3x可得y 2-2y+2t=0.所以y 1+y 2=2.从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3. 代入C 的方程得x 1=3,x 2=13. 故|AB|=4√133.4.解 (1)因为|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项,所以a=2c ,得a 2=4c 2,则b 2=a 2-c 2=3c 2.又P (-1,32)在椭圆上,所以14c 2+94b2=1,即14c 2+34c 2=1,所以c=1.则a 2=4,b 2=3,椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)因为P (-1,32),由(1)计算可知A (2,0),H (0,1),当直线MN 与x 轴垂直时,易验证,不合题意.当直线MN 与x 轴不垂直时,设直线MN 的方程为y=kx+1,联立直线与椭圆的方程{y =kx +1,x 24+y 23=1,消去y ,可得(4k 2+3)x 2+8kx-8=0, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由韦达定理可得{x 1+x 2=-8k4k 2+3,x 1x 2=-84k 2+3.①由S △HMA =6S △PHN ,可得|AH||MH|=6|NH||PH|,又|AH|=2|PH|, 所以|MH|=3|NH|,得x 1=-3x 2, 代入①,可得{-2x 2=-8k4k 2+3,-3x 22=-84k 2+3,所以3×16k2(4k 2+3)2=84k 2+3,解得k=±√62,所以直线MN 的方程为y=±√62x+1.5.解 (1)设椭圆的左焦点F 1(-c ,0)(c>0),则|PF 1|=√(1+c )2+12=3√22,解得c=1,所以|PF 2|=√22,则由椭圆定义|PF 1|+|PF 2|=2a=2√2,∴a=√2,b=1.故椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由题意直线AB 的斜率必定不为零,于是可设直线AB :x=ty+1,联立方程{x =ty +1,x 22+y 2=1,得(t 2+2)y 2+2ty-1=0,∵直线AB 交椭圆于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∴Δ=4t 2+4(t 2+2)=8(t 2+1)>0, 由韦达定理得y 1+y 2=-2tt 2+2,y 1y 2=-1t 2+2, 则y N =-t t 2+2,∴x N =ty N +1=-t 2t 2+2+1=2t 2+2.∵MN ⊥AB ,∴k MN =-t ,∴|MN|=√1+t 2·-2-2t 2+2=√1+t 2·2t 2+6t 2+2. 又|AN|=12|AB|=12√1+t 2·|y 1-y 2|=√1+t 2·√2√1+t 2t 2+2,∴tan ∠MAN=|MN |=√2(2√t +1=√2(√t 2+1+√t +1)≥√2·2√2=4.当且仅当2+1=√t +1,即t=±1时取等号.此时直线AB 的方程为x+y-1=0或x-y-1=0. 6.解 (1)由题意得,{e =ca =12,b =√6|1+1=√3,又a 2=b 2+c 2, ∴a=2.∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由题意,直线l 的斜率k 存在且不为零. 设直线l 的方程为y=k (x-4),k ≠0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点Q (x 0,y 0).由{y =k (x -4),x 24+y 23=1,消去y ,整理得(3+4k 2)x 2-32k 2x+64k 2-12=0. 由Δ=(-32k 2)2-4(3+4k 2)(64k 2-12)>0, 解得-1<k<1,且k ≠0,∴x 1+x 2=32k23+4k2.∴x 0=16k 23+4k2,y 0=k (x 0-4)=-12k 3+4k2.∴Q (16k23+4k2,-12k 3+4k2).由题意可知,l 1:y-y 0=-1k(x-x 0),即y+12k3+4k 2=-1k (x -16k23+4k2). 化简得,y=-1k x+4k 3+4k 2.令x=0,4k 3+4k 2=413.解得k=14或k=3.∵-12<k<12,且k ≠0,∴k=14.故直线l 的方程为y=14(x-4),即x-4y-4=0.。