专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线
专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD|=43|AB|. (1)求C 1的离心率;(2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF|=5,求C 1与C 2的标准方程. 2.已知圆O :x 2+y 2=4,点A (√3,0),以线段AB 为直径的圆内切于圆O ,记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB 交圆O 于C ,D 两点,当B 为CD 的中点时,求直线AB 的方程.3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|. 4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (-1,32)是椭圆上一点,|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程;(2)若A 为椭圆的右顶点,直线AP 与y 轴交于点H ,过点H 的另一条直线与椭圆交于M ,N 两点,且S △HMA =6S △PHN ,求直线MN 的方程.5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,P (1,√22)为椭圆上一点,且|PF 1|=3√22. (1)求椭圆的标准方程;(2)设直线l :x=-2,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M ,N 两点,当∠MAN 最小时,求直线AB 的方程.6.(2020天津河北一模,19)已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,直线x+y-√6=0与圆x 2+y 2=b2相切.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P (4,0)的直线l 与椭圆C 交于不同两点A ,B ,线段AB 的中垂线为l 1,若l 1在y 轴上的截距为413,求直线l 的方程.专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线1.解 (1)由已知可设C 2的方程为y 2=4cx ,其中c=√a 2-b2.不妨设A ,C 在第一象限,由题设得A ,B 的纵坐标分别为b 2a ,-b2a ;C ,D 的纵坐标分别为2c ,-2c ,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b 23a ,即3×c a =2-2(c a )2,解得c a =-2(舍去),c a=12.所以C 1的离心率为12. (2)由(1)知a=2c ,b=√3c ,故C 1:x 24c 2+y 23c 2=1.设M (x 0,y 0),则x 024c 2+y 023c 2=1,y 02=4cx 0,故x 024c 2+4x03c =1.①由于C 2的准线为x=-c ,所以|MF|=x 0+c ,而|MF|=5,故x 0=5-c ,代入①得(5-c )24c 2+4(5-c )3c=1,即c 2-2c-3=0,解得c=-1(舍去),c=3.所以C 1的标准方程为x 236+y 227=1,C 2的标准方程为y 2=12x.2.解(1)设AB 的中点为M ,切点为N ,连接OM ,MN ,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+1|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A 关于y 轴的对称点A',连接A'B ,则|A'B|=2|OM|, 故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.所以点B 的轨迹是以A',A 为焦点,长轴长为4的椭圆. 其中a=2,c=√3,b=1,则曲线Γ的方程为x 24+y 2=1.(2)因为B 为CD 的中点,所以OB ⊥CD ,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .设B (x 0,y 0),则x 0(x 0-√3)+y 02=0.又x 024+y 02=1,解得x 0=√3,y 0=±√2√3.则k OB =±√22,k AB =∓√2,则直线AB 的方程为y=±√2(x-√3), 即√2x-y-√6=0或√2x+y-√6=0. 3.解 设直线l :y=32x+t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).(1)由题设得F (34,0), 故|AF|+|BF|=x 1+x 2+32, 由题设可得x 1+x 2=52.由{y =32x +t ,y 2=3x ,可得9x 2+12(t-1)x+4t 2=0,则x 1+x 2=-12(t -1)9. 从而-12(t -1)=5,得t=-7.所以l 的方程为y=32x-78. (2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=-3y 2. 由{y =32x +t ,y 2=3x可得y 2-2y+2t=0.所以y 1+y 2=2.从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3. 代入C 的方程得x 1=3,x 2=13. 故|AB|=4√133.4.解 (1)因为|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项,所以a=2c ,得a 2=4c 2,则b 2=a 2-c 2=3c 2.又P (-1,32)在椭圆上,所以14c 2+94b2=1,即14c 2+34c 2=1,所以c=1.则a 2=4,b 2=3,椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)因为P (-1,32),由(1)计算可知A (2,0),H (0,1),当直线MN 与x 轴垂直时,易验证,不合题意.当直线MN 与x 轴不垂直时,设直线MN 的方程为y=kx+1,联立直线与椭圆的方程{y =kx +1,x 24+y 23=1,消去y ,可得(4k 2+3)x 2+8kx-8=0, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由韦达定理可得{x 1+x 2=-8k4k 2+3,x 1x 2=-84k 2+3.①由S △HMA =6S △PHN ,可得|AH||MH|=6|NH||PH|,又|AH|=2|PH|, 所以|MH|=3|NH|,得x 1=-3x 2, 代入①,可得{-2x 2=-8k4k 2+3,-3x 22=-84k 2+3,所以3×16k2(4k 2+3)2=84k 2+3,解得k=±√62,所以直线MN 的方程为y=±√62x+1.5.解 (1)设椭圆的左焦点F 1(-c ,0)(c>0),则|PF 1|=√(1+c )2+12=3√22,解得c=1,所以|PF 2|=√22,则由椭圆定义|PF 1|+|PF 2|=2a=2√2,∴a=√2,b=1.故椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由题意直线AB 的斜率必定不为零,于是可设直线AB :x=ty+1,联立方程{x =ty +1,x 22+y 2=1,得(t 2+2)y 2+2ty-1=0,∵直线AB 交椭圆于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∴Δ=4t 2+4(t 2+2)=8(t 2+1)>0, 由韦达定理得y 1+y 2=-2tt 2+2,y 1y 2=-1t 2+2, 则y N =-t t 2+2,∴x N =ty N +1=-t 2t 2+2+1=2t 2+2.∵MN ⊥AB ,∴k MN =-t ,∴|MN|=√1+t 2·-2-2t 2+2=√1+t 2·2t 2+6t 2+2. 又|AN|=12|AB|=12√1+t 2·|y 1-y 2|=√1+t 2·√2√1+t 2t 2+2,∴tan ∠MAN=|MN |=√2(2√t +1=√2(√t 2+1+√t +1)≥√2·2√2=4.当且仅当2+1=√t +1,即t=±1时取等号.此时直线AB 的方程为x+y-1=0或x-y-1=0. 6.解 (1)由题意得,{e =ca =12,b =√6|1+1=√3,又a 2=b 2+c 2, ∴a=2.∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由题意,直线l 的斜率k 存在且不为零. 设直线l 的方程为y=k (x-4),k ≠0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点Q (x 0,y 0).由{y =k (x -4),x 24+y 23=1,消去y ,整理得(3+4k 2)x 2-32k 2x+64k 2-12=0. 由Δ=(-32k 2)2-4(3+4k 2)(64k 2-12)>0, 解得-1<k<1,且k ≠0,∴x 1+x 2=32k23+4k2.∴x 0=16k 23+4k2,y 0=k (x 0-4)=-12k 3+4k2.∴Q (16k23+4k2,-12k 3+4k2).由题意可知,l 1:y-y 0=-1k(x-x 0),即y+12k3+4k 2=-1k (x -16k23+4k2). 化简得,y=-1k x+4k 3+4k 2.令x=0,4k 3+4k 2=413.解得k=14或k=3.∵-12<k<12,且k ≠0,∴k=14.故直线l 的方程为y=14(x-4),即x-4y-4=0.。
高考大题专项突破 直线与圆及圆锥曲线
高考大题专项突破五5.1直线与圆及圆锥曲线1.(优质试题河南南阳、信阳等六市一模,理20)如图,抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线上一定点Q(1,2).(1)求抛物线C的方程及准线l的方程;(2)过焦点F的直线(不经过点Q)与抛物线交于A,B两点,与准线l交于点M,记QA,QB,QM的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3成立?若存在λ,求出λ的值;若不存在,说明理由.〚优质试题21500816〛2.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.3.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于点A,B,当直线l的倾斜角是时,AB的垂直平分线交y轴于点Q(0,5).(1)求p的值;(2)以AB为直径的圆交x轴于点M,N,记劣弧的长度为S,当直线l绕点F 旋转时,求的最大值.4.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.5.(优质试题山西吕梁二模,理20)如图,已知圆N:x2+(y+)2=36,P是圆N上的点,点Q在线段NP上,且有点D(0,)和DP上的点M满足=2=0.(1)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程;(2)若斜率为的直线l与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点A,B,又点C,求△ABC面积最大值时对应的直线l的方程.〚优质试题21500817〛6.(优质试题安徽黄山二模,理20)已知椭圆E:=1(a>)的离心率e=,右焦点F(c,0),过点A的直线交椭圆E于P,Q两点.(1)求椭圆E的方程;(2)若点P关于x轴的对称点为M,求证:M,F,Q三点共线;(3)当△FPQ面积最大时,求直线PQ的方程.参考答案高考大题专项突破五5.1直线与圆及圆锥曲线1.解 (1)把Q(1,2)代入y2=2px,得2p=4,所以抛物线方程为y2=4x,准线l的方程为x=-1.(2)由条件可设直线AB的方程为y=k(x-1),k≠0.由抛物线准线l:x=-1,可知M(-1,-2k).又Q(1,2),所以k3==k+1.把直线AB的方程y=k(x-1),代入抛物线方程y2=4x,并整理,可得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1.又Q(1,2),故k1=--,k2=--.因为A,F,B三点共线, 所以k AF=k BF=k,即--=k.所以k1+k2=----=--=2(k+1),即存在常数λ=2,使得k1+k2=2k3成立.2.解由题知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0且A,B,P-,Q-,R-.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明:由于点F在线段AB上,因此1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=---=-=-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设直线l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|-,S△PQF=-.由题设可得|b-a|-=-,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,(x≠1 .由k AB=k DE可得-又=y,所以y2=x-1(x≠1 .当AB与x轴垂直时,点E与点D重合.故所求轨迹方程为y2=x-1.3.解 (1)抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,当l的倾斜角为时,l的方程为y=x+.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-2px-p2=0,则x1+x2=2p,y1+y2=x1+x2+p=3p,得AB中点为D,AB的垂直平分线为y-p=-(x-p),把x=0代入得y=p=5.∴p=2.(2)设直线l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0,∴|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,AB中点为D(2k,2k2+1).令∠MDN=2α,S=2α·|AB|=α·|AB|,∴=α,点D到x轴的距离|DE|=2k2+1,cos α==1-.当k2=0时cos α取最小值,α的最大值为.故的最大值为.4.解 (1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=,故+()2=22,即m=±.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得-=x2+y2,即x2-y2=2.因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1).因为点P在圆O内,所以-由此得y2<1.所以的取值范围为[-2,0).5.解 (1)由题意,MQ是线段DP的垂直平分线,∴|NP|=|NQ|+|QP|=|QN|+|QD|=6>|DN|=2.∴点Q的轨迹是以D,N为焦点的椭圆,且c=,a=3,b=2.∴点Q的轨迹方程是=1.(2)设直线l:y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),与椭圆联立,可得9x2+6mx+2m2-18=0,∴x1+x2=-m,x1·x2=(2m2-18),∴|AB|=--=-.点C到直线l的距离d=,∴S=|AB|d=-,∴当m=±3时,S最大,此时直线l的方程为y=x±3.6.(1)解由-得a=,c=ea==2,则b2=a2-c2=2,∴椭圆E的方程是=1.(2)证明由(1)可得A(3,0),设直线PQ的方程为y=k(x-3),由方程组-得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,依题意Δ=12(2-3k2)>0,得-<k<.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.∵F(2,0),M(x1,-y1),=(2-x1,y1),=(x2-2,y2),由(2-x1)y2-(x2-2)y1=(2-x1)·k(x2-3)-(x2-2)·k(x1-3)=k[5(x1+x2)-2x1x2-12]=k---=0,得,∴M,F,Q三点共线.(3)解设直线PQ的方程为x=my+3.。
高考数学专项突破圆锥曲线专题
高考数学专项突破：圆锥曲线专题目录一、知识考点讲解 (2)第一部分了解基本题型 (3)第二部分掌握基本知识 (6)第三部分掌握基本方法 (8)二、知识考点深入透析 (15)三、圆锥曲线之高考链接 (18)四、基础知识专项训练 (22)五、解答题专项训练 (30)附录：圆锥曲线之高考链接参考答案 (35)附录：基础知识专项训练参考答案 (39)附录：解答题专项训练参考答案 (41)一、知识考点讲解一、圆锥曲线的考查重点：高考试卷对圆锥曲线的考查主要是：给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；或给出直线及曲线、曲线及曲线的位置关系，讨论及其有联系的有关问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等）；或讨论直线及曲线、曲线及曲线的关系；或考查圆锥曲线及其它知识的综合（如及函数、数列、不等式、向量、导数等）等。
二、圆锥曲线试题的特点：1、突出重点知识的考查。
直线及圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是圆锥曲线命题的根本，在对圆锥曲线的考查中，直线及圆锥曲线的位置关系仍然是重点。
2、注重数学思想及方法的考查。
3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识，在知识网络的交汇点处设计问题是高考的一大特点，由于向量具有代数和几何的双重身份，使得圆锥曲线及平面向量的整合交汇成为高考命题的热点，导数知识的引入为我们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法。
三、命题重点趋势：直线及圆锥曲线或圆及圆锥曲线1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线及圆锥曲线或圆及圆锥曲线，直线及圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。
2、热点主要体现在：直线及圆锥曲线的基础题；涉及位置关系的判定；轨迹问题；范围及位置问题；最值问题；存在性问题；弦长问题；对称问题；及平面向量或导数相结合的问题。
3、直线及圆锥曲线的题型涉及函数的及方程，数形结合，分类讨论，化归及转化等重要的数学思想方法，是高考必考内容之一，这类题型运算量比较大，思维层次较高，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能，对学生的能力要求也相对较高，是每年高考中平面几何部分出题的重点内容第一部分了解基本题型一、高考中常见的圆锥曲线题型1、直线及圆锥曲线结合的题型（1）求圆锥曲线的轨迹方程：这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质，要求较低，一是出现在选择题，填空题或者解答题的第一问，较容易。
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷专练（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
则由椭圆的中心对称性可知可知AF1BF2为平行四边形，则可得△ABF2的周长为|AF当AB位于短轴的端点时，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，当围成的等腰三角形底边在直线l因为tanα=2tanα21―tan2α2=2，且tanα2>所以k=tanθ=tanα2=5―12，或故选：B．5．（5分）（2024·西藏拉萨的最小值为（）A．1453【解题思路】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可6．（5分）（2024·湖南邵阳点B在C上且位于第一象限，B．8 A．453【解题思路】由点A―1,8由点A―1,8在抛物线y23所以抛物线C的方程为y2设B(x0,y0)，则x0>0,y0>由题意知F p2,0，又OP 显然直线AB的斜率不为由y2=2pxx=ty+p2，得y2―2pty显然直线BD的斜率不为由y2=2pxλp，得y2故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
如图，因为K OA=∠PDA=∠ODB，所以×|PA|⋅S△PAB=12故选：ABD.11．（6分）（2024·福建龙岩|AB|=8.过焦点F的直线C的准线与坐标轴的交点，则（A．若MF=3FN，则直线C．∠MON为钝角设M(x1,y1),N(x2,y 得y2―8my―16=所以y1y2=―16,x1∴x1x2+y1y2=4⟨⟩三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
直线、圆、圆锥曲线提升训练答案
1．直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ）A ．210x y +-=B ．210x y +-=C ．230x y +-=D ．230x y +-= 【答案】D 【解析】试题分析：直线210x y -+=和直线1x =的交点为()1,1，直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程的斜率为12k =-，故所求直线方程为()1112y x -=--，化简可得230x y +-=，故选D ．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程 2．已知点A （2，3），B （－3，－2），若直线l 过点P （1，1）且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．324k k ≥≤或 B ．324k ≤≤ C ．34k ≥D ．2k ≤ 【答案】A 【解析】试题分析：用数形结合，建立坐标系直线PA 的斜率31221-=-k=，直线PB 的斜率213314--'=--k =，结合图象可得直线l 的斜率取值范围是324k k ≥≤或；考点：1．数形结合思想；2．直线的斜率公式；3．过点()2,3P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ） A ．230x y -= B ．50x y +-=C ．320x y -=或50x y +-=D ．230x y -=或50x y +-=【答案】C 【解析】试题分析：当截距都为0时，过点()0,0时直线为320x y -=，当截距不为零时，设直线为1x ya a+=，代入点()2,3P 得550a x y =∴+-= 考点：直线方程4．直线l 经过点(2,),(3,A y B ，且倾斜角范围是2[,]33ππ，则y 的范围是（ ）A 、[-B 、(,0])-∞⋃+∞C 、(,[0,)-∞-⋃+∞D 、 【答案】C 【解析】 试题分析：)2[,]tan 33k πθπθ∈∴=∈+∞(,-∞([),0,k y =∈-∞-+∞ 考点：直线倾斜角与斜率的关系5．对于直线x sin α+y+1=0，其斜率的取值范围是（ ）A ．-,-1][1,+)∞⋃∞（ B ．[1,1]- C ．[-,]44ππD ．[-,]22ππ【答案】B【解析】试题分析：直线的斜率为αsin -=k ，因此斜率的取值范围是[-1，1]，答案选B ． 考点：直线的一般方程与斜率6．若直线ax+2y+6=0与直线x+a(a+1)y+a 2－1=0垂直，则实数a 的值为（ ） A ．－32 B ．0 C ．1 D ．0或－32【答案】D ． 【解析】试题分析：根据一般式直线方程中，两直线垂直的等价条件，则有2(1)0a a a ++=，即2230a a +=，解得a=0或a=－32，故选D ．考点：直线的一般式方程中，两直线垂直的等价参数关系．7．平行线0943=-+y x 和620x my ++=的距离是（ ） A ．58 B ．2 C ．511 D ．57 【答案】B 【解析】试题分析：根据两直线平行，可以断定8m =，所以直线方程可化为3410x y ++=，由公式可得两直线之间的距离1925d +==，故选B ． 考点：平行线间的距离公式．8．直线30x y -+=被圆()()22222x y ++-=截得的弦长等于（ ）A ．2． 【答案】D 【解析】试题分析：圆心为()2,2-，半径r =圆心到直线的距离为d ==，所以弦长l 满足2222l d r l ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭考点：直线与圆相交问题9．圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，M 、N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值A ．4B 1C ．6-【答案】A 【解析】试题分析：作2C 关于x 轴的对称点)4,3(-A ，连接1AC 得1AC 所在直线方程0177=-+y x ，与x 轴的交点为)0,717(P ，此时21PC PC +最小，连接1PC 、2PC 分别交圆于N M 、，则PNPM +最小，PN PM +==--+3121PC PC 425-考点：1.圆与最值问题；10．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+D ．221+【答案】B 【解析】试题分析：先将圆012222=+--+y x y x 配方得1)1()1(22=-+-y x ，知此圆的圆心坐标为),1,1( 半径r=1,再求出圆心到已知直线的距离：12)1(121122>=-+--=d ，画出草图可知：所求最大值应为1+2，故选B ．考点：直线与圆的位置关系．11．设抛物线28y x =的焦点为F ,准线为l ，P 为抛物线上一点，且,PA l A ⊥为垂足，如果直线AF 的斜率为1-，则PF 等于（ ）A ．2B ．4C ． 8D ．12 【答案】B 【解析】试题分析：∵抛物线方程为28y x =，∴焦点20F （，），准线方l 程为2x =-，∵直线AF 的斜率为1-，直线AF 的方程为2y x =--（），当2x =-时，4y =，由可得A 点坐标为()2,4A -,PA l A ⊥ 为垂足，∴P 点纵坐标为4，代入抛物线方程，得点P 坐标为()2,4P ， 224PF PA ∴==--=（）． 考点：抛物线的定义12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为（ ）A 、5B 、2C 、332 D 、3 【答案】B 【解析】试题分析：()02，F ，4=p ，所以422=+b a ，根据抛物线的焦半径公式，522=+=+=x px PF ，解得3=x ，代入抛物线有242=y ，因为点P 是交点，所以代入双曲线，有124922=-b a ，解得：3,122==b a ，所以离心率2==a c e ．考点：1．抛物线的几何性质；2．双曲线的方程；3．抛物线的方程．13．已知点()0,2A ，抛物线C:2(0)y ax a =>（0a >）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M，与其准线相交:KM MN =于点N ，若则a 的值等于（ ） A ．41 B ．21C ．1D ．4【答案】D 【解析】 试题分析：(,0),:1:54a F M F M K M M N =∴ ，42421:2:=∴=∴=a a KM KN ． 考点：抛物线的性质．14．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．xy 22±= B ．x y 2±= C ．x y 2±= D ．x y 21±= 【答案】A【解析】试题分析：根据题意，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程，则a b ====则所求双曲线的渐近线方程为xy 22±=，所以答案为A ．考点：1．双曲线的标准方程；2，双曲线的渐近线方程．15．抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是 （ ） A ．（1，1） B ．（41,21） C ．)49,23( D ．（2，4）【答案】A 【解析】试题分析：设抛物线上的点为()200,x x点到直线的距离为d =，当01x =时取得最小值，所以点的坐标为（1，1）考点：1．点到直线的距离；2．函数求最值16．已知抛物线的方程为x y 42=，过其焦点F 的直线l 与抛物线交于B A ,两点，若BOF AOF S S ∆∆=（O 为坐标原点），则=AB （ ） A ．316 B ．38 C ．34D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：设B A ,的纵坐标为21,y y ，则由BOF AOF S S ∆∆=，得212121y OF y OF =，即021=+y y ；即x AB ⊥轴，即()1,1y A ，则21=y ，所以4=AB ． 考点：直线与抛物线的位置关系．17．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1、F 2F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A【解析】试题分析：由椭圆的定义可知三角形的周长为344)(221111==+++=++a BF AF BF AF AB BF AF ，解得3=a ，又离心率33=a c ，所以1=c ，由222c b a +=得2=b ，所以椭圆的方程为12322=+y x ，答案选A ．考点：椭圆的方程与几何性质18．已知F 是抛物线24y x =的焦点，A B ， 是抛物线上的两点，12AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 11 【答案】B 【解析】试题分析：∵212A B AF BF x x +=++=，∴10A B x x +=，∴52A Bx x +=，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为5，故选B. 考点：直线与抛物线的位置关系.19．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+222131e e ． 【答案】4【解析】试题分析：设11ce a =，22ce a =，则221222212313a a e e c ++=，又2221212122cos3PF PF PF PF F F π+-=，所以22121212()3PF PF PF PF F F +-=，22121212()PF PF PF PF F F -+=，即22112434a PF PF c -=，2221244a PF PF c +=，因此222222121241216,34,a a c a a c +=+=2212134.e e +=考点：椭圆及双曲线定义20．将一个半径为2的半圆面围成一个圆锥，所得圆锥的轴截面面积等于 ．【解析】试题分析：半径为2的半圆面的半周长是π2，那么围成圆锥的半径为r ，ππ22=r ，1=r ，所以轴截面是以2为边长的等边三角形，面积是3432==a S ． 考点：圆锥的基本计算21．椭圆221259x y +=上的点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 中点，则||ON = ．【答案】4 【解析】试题分析：根据椭圆的定义：1021=+MF MF ,所以82=MF ,N 是1MF 中点，O 是21F F 的中点，所以4212==MF ON ． 考点：1．椭圆的定义；2．椭圆的几何意义．22．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(1,8)A -，P 为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是______________ 【答案】9 【解析】试题分析：根据题意，过P 作抛物线的准线的垂线垂足为P ' ，根据抛物线的定义PF PP '=,所以PA PF PA PP '+=+的最小值即为抛物线上一个动点P 到一个定点()1,8A -的距离与到定直线1y =-的距离之和的最小值，显然，最小值即为点A 到直线1y =-的距离为()819--=．考点：1．抛物线的定义；2．距离的最小值．23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，点M 为线段AB 的靠近点B 的三等分点，∠MOA=45°，则椭圆的离心率为 .【解析】试题分析：A （a,0）,B （0,b ）,M 的靠近点B 的三等分点，所以M （2,33a b ），又因为∠MOA=45°，所以2233a b a b =∴=，222222223344a c a b e e a a a -====∴=考点：本题考查椭圆的离心率点评：通过M 是三等分点，相似三角形求得M 点坐标，再利用∠MOA=45°，可得M 的横纵坐标相等，找到a,b 的关系24．设抛物线22y x =的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，则4AF BF +的最小值为_____________. 【答案】4.5 【解析】试题分析：根据题意抛物线的焦点坐标为：()1,0F ，过焦点的直线与抛物线22y x =交于两点，直线斜率一定存在，设过焦点()1,0F 与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 的直线方程为：()1y k x =-带入22y x =中，化简为：()22221204k x k x k -++=，根据韦达定理得：1214x x =，根据抛物线的定义知：4AF BF +121211555944222222x x x x ⎛⎫=+++=++≥== ⎪⎝⎭（当且仅当“1241x x ==”时取“=”），所以4AF BF +的最小值为4.5. 考点：1.抛物线的定义；2.基本不等式求最值.25．已知P 是双曲线1366422=-y x 上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________． 【答案】33 【解析】试题分析：根据双曲线定义知;1216PF PF -==,所以2116161733PF PF =+=+=或21PF =（舍去），故答案为33. 考点：1.双曲线定义；2.计算.26．在平面直角坐标系中，已知两点(3,0)A -及(3,0)B ，动点Q 到点A 的距离为10，线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ． （Ⅰ）求||||PA PB +的值；（Ⅱ）求点P 的轨迹方程【答案】（Ⅰ）10；（Ⅱ）2212516x y += 【解析】试题分析：（Ⅰ）由线段的垂直平分线的性质及抛物线的定义易得||||PA PB +=||PA +||PQ =||AQ =10（Ⅱ）由（Ⅰ）及椭圆的定义可知点P 的轨迹是中心在原点，以,A B 为焦点，长轴在x 轴上的椭圆，则椭圆方程可求试题解析：（Ⅰ）因为线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ，∴||PB =||PQ ， ∴||||PA PB +=||PA +||PQ =||AQ =10；（Ⅱ）由（Ⅰ）知||||PA PB +=10（常数），又||||PA PB +=10＞6=||AB ，∴点P 的轨迹是中心在原点，以,A B 为焦点，长轴在x 轴上的椭圆，其中210,26a c ==，所以椭圆的轨迹方程为2212516x y +=． 考点：椭圆、抛物线的定义。
2020高考数学大二轮专题突破文科通用直线与圆圆锥曲线精选试题及答案解析(10页)
2020高考数学大二轮专题突破文科通用直线与圆圆锥曲线精选试题1.(节选)已知圆M:x2+y2=r2(r>0)与直线l1:x-y+4=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于B,且动点N满足=2,设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)略.2.(2019甘肃武威第十八中学高三上学期期末考试)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.(1)求证:圆C1和圆C2相交;(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.3.已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.4.(2019全国卷1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.5.(2019天津河北区高三二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点P(2,1),且短轴长为2.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作x轴的垂线l,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上),点A关于l的对称点为A',直线A'P与椭圆C交于另一点B.设O为坐标原点,判断直线AB与直线OP的位置关系,并说明理由.6.(2019天津第一中学高三下学期第五次月考)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,且圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a.(1)求椭圆C1的方程;(2)过点P(0,1)的直线l1:y=kx+1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD中点,若△MAB的面积为,求k的值.参考答案专题突破练24直线与圆及圆锥曲线1.解(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AB⊥x轴于B,所以B(x0,0).已知圆M的方程为x2+y2=r2,由题意得r==2,所以圆M的方程为x2+y2=4.由题意,=2,所以(0,-y0)=2(x0-x,-y),即将A(x,2y)代入圆M:x2+y2=4,得动点N的轨迹方程为+y2=1.(2)略.2.(1)证明圆C1的圆心C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心C2(5,6),半径r2=4, 两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,所以|r1-r2|<d<r1+r2.所以圆C1和C2相交.(2)解将圆C1和圆C2的方程相减,得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.因为圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为d==3,故两圆的公共弦长为2-=2.3.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=,b=1,则曲线Γ的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则.设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又=1,解得x0=,y0=±.则k OB=±,k AB=∓,则直线AB的方程为y=±(x-),即x-y-=0或x+y-=0.4.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=--.从而--,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.5.解(1)由题意得解得∴椭圆C的方程为=1.(2)直线AB与直线OP平行,证明如下:由题意知,直线PA的斜率存在且不为零.PA,PA'关于l:x=2对称,则直线PA与PA'斜率互为相反数.设直线PA:y-1=k(x-2),PB:y-1=-k(x-2).设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y得(4k2+1)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-4=0, -∴2x1=--.∴x1=--.同理,x2=-.∴x1-x2=-.∵y1=k(x1-2)+1,y2=-k(x2-2)+1,∴y1-y2=k(x1+x2)-4k=-.∵A在第四象限,∴k≠0 且A不在直线OP上,∴k AB=-.-又k OP=,∴k AB=k OP.故直线AB与直线OP平行.6.解(1)因为F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,故当y=0时,x=,即F2(,0),故c=.因为圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a,所以点Q(在椭圆上,故有=1.联立方程组解得所以椭圆方程为=1.(2)因为直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD的中点,所以QM与直线l2垂直.又因为直线l1与直线l2垂直,所以QM与直线l1平行.所以点M到直线AB的距离即为点Q到直线AB的距离.即点M到直线AB的距离为d=.设点A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组解得(1+2k2)x2+4kx-2=0,Δ=b2-4ac=16k2+8(2k2+1)=32k2+8>0,由韦达定理可得--则|x1-x2|=----.所以AB=|x1-x2|=.所以△MAB的面积为.所以.即·|k|=,两边同时平方,化简得,28k4-47k2-18=0,解得k2=2或k2=-(舍).故k=±.此时l2:y=±x+1.圆心Q到l2的距离h=-<1成立.综上所述,k=±.。
2019年高考数学二轮复习专题7解析几何2直线圆圆锥曲线小综合题专项练课件理
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设点CA..圆[[P2心2,到6,3]到直直2线]线ABA的B 的距D.距离[2B离为.[24,dd,38='.]易|22+]知02+2|=2 2.
d-r≤d'≤d+r,即 2 ≤d'≤3 2.
又 AB=2 2,
∴S△ABP=12 ·|AB|·d'= 2d', ∴2≤S△ABP≤6.
关闭
A
解析 答案
=
������-������ ������������
, 代入
������1 + ������2 = 2������,
������1 + ������2 = 2������������,
得B a2=bc,即 a4=(c2-a2)c2,有 e4-e2-1=0,得 e=
1+ 2
5.
关闭
解析 答案
一、选择题 二、填空题
近 的由则线 离题F2的 心意到对 率,F渐1称 为(近0点(,-线c恰)的,F好2距)(0落离,c在)为,一以条���F���渐������1 为近=圆线b.心方,程|O为F1|y为=半������������x,径的圆上,则双曲线 关闭
A.3
B. 3 ������2+������2 C.2
D. 2
5.过圆及圆锥曲线上一点的切线方程
(1)过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2; (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(xa)+(y0-b)(y-b)=r2; 为(A3)x过0x+曲B线y0Cy+:ADx���2���0+2+B������y+2+E���D���0x2++������E+yF+=F0=. 0上的一点P(x0,y0)的切线方程
2025年高考数学一轮复习-第九章-直线与圆、圆锥曲线【课件】
间的距离.
卷·T15
7.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程 2021年:新高考Ⅰ
与一般方程.
卷·T11
8.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2021年:新高考Ⅱ
9.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
卷·T11
角度 考查内容
课程标准
3.重视数学思想方法的应用 (1)解析法:用代数方法研究几何问题是本章的基本方法,一是依据条件求曲线 的方程;二是由曲线的方程,研究曲线的几何性质. (2)数形结合思想:在解决与直线的倾斜角、斜率有关的最值问题、对称问题, 与参数有关的问题,与弦的中点有关问题时,往往用到数形结合思想. (3)函数与方程思想:在求解直线、圆、椭圆、抛物线等的方程,解决参数问题、 最值问题时,经常利用函数与方程思想. (4)分类与整合思想:在解决与参数有关的问题时,往往依据解析式特点、函数 取最值的条件,或题设条件对参数进行分类讨论.
高考真题
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻
平面 解析 几何
画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭 圆的定义、标准方程及简单几何性质. 圆锥曲线 3.了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标 与方程 准方程,以及它们的简单几何性质. 4.通过对圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数 形结合的思想.
角度 考查内容
课程标准
1.题型设置:各种题型均有涉及. 命题
2.内容考查:主要考查直线和圆的位置关系及圆锥曲线的方程与性质. 趋势
3.能力考查:注重运算求解能力与逻辑推理能力的考查.
高考真题
备考策略 根据近三年新高考卷命题特点和规律,复习本章时,要注意以下几个方面: 1.全面系统复习,深刻理解知识本质 (1)概念:直线的倾斜角、斜率,直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,两直
2019-2020年高考数学一轮复习专题突破提升练4直线圆与圆锥曲线的交汇问题
由
x2 4＋
y
2＝
1
，
y＝ kx＋ m，
得 (1 ＋ 4k2 ) x2＋ 8kmx＋ 4m2－ 4＝ 0.
则
Δ
＝
(8
km)
2－
4(1
＋
4k2)(4
m2－
4)
＝
16(1
＋
4k 2－
m2)
＞0，
x1＋
x2 ＝－
8km 1＋ 4k2 ， x1x2 ＝
4m2 －4
m2－ 4k2
1＋ 4k2，则 y1y2＝( kx1＋ m)( kx2＝－ x2 联立得
3x2－ 4x－t
＝ 0，由
Δ＝ 16＋ 12t
＝0
得
t
＝－
4 ，两条平行线间的距
3
离即为所求最小距离，由两平行线的距离公式得
4 d＝ 3.
【答案】 A x2 y2
2．双曲线 a2－ b2＝ 1( a＞ 0， b＞0) 的左、右焦点分别为
F1 ， F2，渐近线分别为
l 1， l 2，
率为 1 的直线 l 与抛物线 C交于 A，B 两点，则弦 AB的中点到抛物线准线的距离为 ________． 【解析】 设抛物线方程为 y2＝ 2px( p＞ 0) ，因为焦点 F 与双曲线的右焦点重合，故
p F(3,0) ，所以 2＝ 3， p＝ 6，抛物线方程为
y2＝12x，设 A( x1， y1) ， B( x2， y2) ，过点 P(2,0)
1 PF1 ⊥PF2，即 | OP| ＝ 2| F1F2| ＝c，即
x20＋y20 ＝c2. 又因为
b y0 ＝ ax0 ，代入得
x 20＋
b ax0
高考数学(文科)2轮专题突破训练：专题6 直线、圆、圆锥曲线 专题能力训练15 Word版含答案
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D.4.过三点A(1,3),B(4,2),C(1, -7)的圆交y轴于M,N两点,那么|MN| =()A.2B.8C.4D.105.(2021全国Ⅰ,文15)直线y =x +1与圆x2 +y2 +2y -3 =0交于A,B两点,那么|AB| =.6.a∈R,方程a2x2 +(a +2)y2 +4x +8y +5a =0表示圆,那么圆心坐标是,半径是.7.假设直线 =1(a>0,b>0)过点(1,2),那么2a +b的最|小值为.8.P是抛物线y2 =4x上的动点,过P作抛物线准线的垂线,垂足为M,N是圆(x -2)2 +(y -5)2 =1上的动点,那么|PM| +|PN|的最|小值是.9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x -y =4相切.(1)求☉O的方程;(2)假设☉O上有两点M,N关于直线x +2y =0对称,且|MN| =2,求直线MN的方程;(3)设☉O与x轴相交于A,B两点,假设圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.10.☉O:x2 +y2 =4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于☉O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交☉O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.11.过点A(0,1)且斜率为k的直线l与☉C:(x -2)2 +(y -3)2 =1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)假设 =12,其中O为坐标原点,求|MN|.二、思维提升训练12.圆M:x2 +y2 -2ay =0(a>0)截直线x +y =0所得线段的长度是2.那么圆M与圆N:(x -1)2 +(y -1)2 =1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离13.(2021全国Ⅲ,文8)直线x +y +2 =0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x -2)2 +y2 =2上,那么△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]14.在平面直角坐标系xOy中,A( -12,0),B(0,6),点P在圆O:x2 +y2 =50上.假设≤20,那么点P的横坐标的取值范围是.15.在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的 "伴随点〞为P';当P是原点时,定义P的 "伴随点〞为它自身.现有以下命题:①假设点A的 "伴随点〞是点A',那么点A'的 "伴随点〞是点A;②单位圆上的点的 "伴随点〞仍在单位圆上;③假设两点关于x轴对称,那么它们的 "伴随点〞关于y轴对称;④假设三点在同一条直线上,那么它们的 "伴随点〞一定共线.其中的真命题是.(写出所有真命题的序号)16.在平面直角坐标系xOy中,☉C1:(x +3)2 +(y -1)2 =4和☉C2:(x -4)2 +(y -5)2 =4.(1)假设直线l过点A(4,0),且被☉C1截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与☉C1和☉C2相交,且直线l1被☉C1截得的弦长与直线l2被☉C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.如图,在平面直角坐标系xOy中,以M为圆心的圆M:x2 +y2 -12x -14y +60 =0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x =6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC =OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.专题能力训练15直线与圆一、能力突破训练1.C解析由题意可知圆心坐标为( -1,0),故圆心到直线y =x +3的距离d =,应选C.2.B解析由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x =1与线段AB垂直平分线的交点,设为P,而线段AB垂直平分线的方程为y -,它与x =1联立得圆心P坐标为,那么|OP|=.3.B解析当|MN| =2时,在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中,可知圆心(1, -2)到直线y =kx +3的距离为 =1,即 =1,解得k = -.假设使|MN|≥2,那么k≤ -.4.C解析设圆的方程为x2 +y2 +Dx +Ey +F =0,将点A,B,C代入,得解得那么圆的方程为x2 +y2 -2x +4y -20 =0.令x =0得y2 +4y -20 =0,设M(0,y1),N(0,y2),那么y1,y2是方程y2 +4y -20 =0的两根,由根与系数的关系,得y1 +y2 = -4,y1y2 = -20,故|MN| =|y1 -y2| = =4.5.2解析圆的方程可化为x2 +(y +1)2 =4,故圆心C(0, -1),半径r =2,圆心到直线y =x +1的距离d =,所以弦长|AB| =2 =2 =2.6.( -2, -4)5解析由题意,可得a2 =a +2,解得a = -1或2.当a = -1时,方程为x2 +y2 +4x +8y -5 =0,即(x +2)2 +(y +4)2 =25,故圆心为( -2, -4),半径为5;当a =2时,方程为4x2 +4y2 +4x +8y +10=0, +(y +1)2 = -不表示圆.7.8解析∵直线 =1过点(1,2),∴ =1.∵a>0,b>0,∴2a +b =(2a +b) =4 +≥4 +2 =8.当且仅当b =2a时 " =〞成立.8. -1解析抛物线y2 =4x的焦点为F(1,0),圆(x -2)2 +(y -5)2 =1的圆心为C(2,5),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最|小值为|FC| =,故|PM| +|PN|的最|小值是|FC| -1 = -1.9.解(1)依题意,☉O的半径r等于原点O到直线x -y =4的距离,即r = =2.所以☉O的方程为x2 +y2 =4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x -y +m =0.那么圆心O到直线MN的距离d =.由垂径定理,得 +()2 =22,即m =±.所以直线MN的方程为2x -y + =0或2x -y - =0.(3)设P(x,y),由题意得A( -2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得 =x2 +y2,即x2 -y2 =2.因为 =( -2 -x, -y)·(2 -x, -y) =2(y2 -1),且点P在☉O内,所以由此得y2<1.所以的取值范围为[ -2,0).10.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,那么|OM| +|MN| =|ON| =2,|AB| =|ON| -(|OM| -|MN|) =2 -|OM| +|AB|,即|AB| +2|OM| =4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,那么|A'B| =2|OM|,所以|AB| +2|OM| =|AB| +|A'B| =4>|A'A|.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a =2,c =,b =1,故曲线Γ的方程为 +y2 =1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,那么.设B(x0,y0),那么x0(x0 -) + =0.又 =1,解得x0 =,y0 =±.那么k OB =±,k AB =∓,那么直线AB的方程为y =±(x -),即x -y - =0或x +y -=0.11.解(1)由题设,可知直线l的方程为y =kx +1.因为l与C交于两点,所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y =kx +1代入方程(x -2)2 +(y -3)2 =1,整理得(1 +k2)x2 -4(1 +k)x +7 =0.所以x1 +x2 =,x1x2 =.=x1x2 +y1y2=(1 +k2)x1x2 +k(x1 +x2) +1 = +8.由题设可得 +8 =12,解得k =1,所以l的方程为y =x +1.故圆心C在l上,所以|MN| =2.二、思维提升训练12.B解析圆M的方程可化为x2 +(y -a)2 =a2,故其圆心为M(0,a),半径R =a.所以圆心到直线x +y =0的距离d = a.所以直线x +y =0被圆M所截弦长为2 =2a,由题意可得 a =2,故a =2.圆N的圆心N(1,1),半径r =1.而|MN| =,显然R -r<|MN|<R +r,所以两圆相交.13. A解析设圆心到直线AB的距离d = =2.点P到直线AB的距离为d'.易知d -r≤d'≤d +r,即≤d'≤3.又AB =2,∴S△ABP =·|AB|·d' =d',∴2≤S△ABP≤6.14.[ -5,1]解析设P(x,y),由≤20,易得x2 +y2 +12x -6y≤20.把x2 +y2 =50代入x2 +y2 +12x -6y≤20得2x -y +5≤0.由可得由2x -y +5≤0表示的平面区域及P点在圆上,可得点P在圆弧EPF上,所以点P横坐标的取值范围为[ -5,1].15.②③解析对于①,假设令P(1,1),那么其伴随点为P',而P'的伴随点为( -1, -1),而不是P,故①错误;对于②,令单位圆上点的坐标为P(cos x,sin x),其伴随点为P'(sin x, -cos x)仍在单位圆上,所以②正确;③设A(x,y)与B(x, -y)为关于x轴对称的两点,那么A的 "伴随点〞为A',B点的伴随点为B',A'与B'关于y轴对称,故③正确;对于④,取直线l:y =1.设其 "伴随曲线〞为C,其上任一点M(x,y),与其对应的直线l上的点为N(t,1).那么由定义可知①2 +②2得x2 +y2 = =x,整理得x2 +y2 -x =0,显然不是一条直线.故④错误.所以正确的序号为②③.16.解(1)设直线l的方程为y =k(x -4),即kx -y -4k =0,由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离d = =1.由点到直线距离公式,得 =1,化简,得24k2 +7k =0,解得k =0或k = -.当k =0时,直线l的方程为y =0;当k = -时,直线l的方程为y = -(x -4),即7x +24y -28 =0.故所求直线l的方程为y =0或7x +24y -28 =0.(2)设点P坐标为(m,n),直线l1,l2的方程分别为y -n =k(x -m)和y -n = -(x -m),即kx -y +n -km =0, -x -y +n +m =0.∵直线l1被☉C1截得的弦长与直线l2被☉C2截得的弦长相等,两圆半径相等,∴由垂径定理得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等.∴,化简,得(2 -m -n)k =m -n -3或(m -n +8)k =m +n -5.∵关于k的方程有无穷多解,∴解得故点P坐标为.17.解圆M的标准方程为(x -6)2 +(y -7)2 =25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x =6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7 -y0 =5 +y0,解得y0 =1.因此,圆N的标准方程为(x -6)2 +(y -1)2 =1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为 =2.设直线l的方程为y =2x +m,即2x -y +m =0,那么圆心M到直线l的距离d =.因为BC =OA = =2,而MC2 =d2 +,所以25 = +5,解得m =5或m = -15.故直线l的方程为2x -y +5 =0或2x -y -15 =0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),,所以①因为点Q在圆M上,所以(x2 -6)2 +(y2 -7)2 =25.②将①代入②,得(x1 -t -4)2 +(y1 -3)2 =25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x -(t +4)]2 +(y -3)2 =25上,从而圆(x -6)2 +(y -7)2 =25与圆[x -(t +4)]2 +(y -3)2 =25有公共点, 所以5 -5≤≤5 +5,解得2 -2≤t≤2 +2.因此,实数t的取值范围是[2 -2,2 +2].。
高考数学命题热点名师解密：专题(25)圆的解题方法(文)(含答案)
专题26 圆的解题方法一．【学习目标】1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题.2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题.3.能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；体会用代数法处理几何问题的思想.二．方法规律总结1.在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式.圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便于作图使用；圆的一般方程是二元一次方程的形式，便于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛.同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互化.如果问题中给出了圆心与圆上的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.2.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件.3.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.4.处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法，即利用圆心到直线的距离，两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解.5.求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：(1)几何方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出.(2)代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出.(以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得).6.求直线被圆截得的弦长(1)几何方法：运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2·r2－d2.(2)代数方法：运用韦达定理.弦长|AB|＝[（x A＋x B）2－4x A·x B]（1＋k2）.7.注意利用圆的几何性质解题.如：圆心在弦的垂直平分线上，切线垂直于过切点的半径，切割线定理等，在考查圆的相关问题时，常结合这些性质一同考查，因此要注意灵活运用圆的性质解题. 三．【典例分析及训练】例1．圆：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，若点的坐标为，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，，设的坐标为,则, ,,因为，所以，即，又，联立解得或，因为在第二象限，故只有满足，即.故答案为B.练习1．已知圆上的动点和定点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，取点，连接，，，，，，，因为,当且仅当三点共线时等号成立,的最小值为的长，，，故选D.【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将转化为.练习2．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.练习3．直线l是圆C1：（x+1）2+y2=1与圆C2：（x+4）2+y2=4的公切线，并且l分别与x轴正半轴，y轴正半轴相交于A，B两点，则△AOB的面积为A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设OA=a，OB=b，由三角形相似可得：，得a=2．再由三角形相似可得：，解得b=．∴△AOB的面积为．故选A．（二）圆的一般方程例2．若由方程x2－y2＝0和x2＋(y－b)2＝2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是( )A．b≥2或b≤－2 B．b≥2或b≤－2 C．－2≤b≤2 D．－2≤b≤2【答案】B练习1．若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.练习2．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为A．a=1或a=–2 B．a=2或a=–1 C．a=–1 D．a=2【答案】C【解析】若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则，解得a=–1．故答案为：C（三）点与圆的位置关系例3．例3．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是A． B． C． D．【答案】B练习 1.已知点，，是圆内一点，直线，，，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，四条直线围成的四边形面积，故选A.练习2．设点M（3，4）在圆外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，要使圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上存在点N，使得∠OMN＝，则∠OMN的最大值大于或等于时一定存在点N，使得∠OMN＝，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时OM＝5，ON＝，又点M（3，4）在圆x2+y2＝r2（r＞0）外，∴实数r的取值范围是．故选：C．（四）圆的几何性质例4．如图，在平面直角坐标系内，已知点，，圆C的方程为，点P为圆上的动点．求过点A的圆C的切线方程．求的最大值及此时对应的点P的坐标．【答案】（1）或；（2）最大值为，.【解析】当k存在时，设过点A切线的方程为，圆心坐标为，半径，，解得，所求的切线方程为，当k不存在时方程也满足；综上所述，所求的直线方程为：或；设点，则由两点之间的距离公式知，要取得最大值只要使最大即可，又P为圆上的点，，，此时直线OC：，由，解得舍去或，点P的坐标为练习1．已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线相切，与y轴交于M，N两点，且．Ⅰ求圆C的标准方程；Ⅱ过点的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若时，求直线l的方程；Ⅲ已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得？若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I）；（II）或；（III）存在，或，满足题意.【解析】Ⅰ由题意知圆心，且，由知中，，，则，于是可设圆C的方程为又点C到直线的距离为，所以或舍，故圆C的方程为，Ⅱ设直线l的方程为即，则由题意可知，圆心C到直线l的距离，故，解得，又当时满足题意，因此所求的直线方程为或，Ⅲ方法一：假设在x轴上存在两定点，，设是圆C上任意一点，则即，则，令，解得或，因此存在，，或，满足题意，方法二：设是圆C上任意一点，由得，化简可得，对照圆C的标准方程即，可得，解得解得或，因此存在，或，满足题意．练习2．设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆与圆相外切，则的最大值为A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，函数y，即（x﹣1）2+y2＝4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下半部分，又由点Q（2a，a﹣3），则Q在直线x﹣2y﹣6＝0上，当|PQ|取得最小值时，PQ与直线x﹣2y﹣6＝0垂直，此时有2，解可得a＝1，圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+n）2+（y+2）2＝9相外切，则有3+2＝5，变形可得：（m+n）2＝25，则mn，故选：C．练习3．已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵||＝||＝1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．∴的最大值．故选：C．练习4．设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )A． B．C． D．【答案】C【解析】圆的圆心为M(0,6)，半径为，设，则，即，∴当时，，故的最大值为.故选C.（五）轨迹问题例 5.已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O 为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为：（2）令，则当，即时面积最大为2又直线过点，，∴到直线的距离为，当直线斜率不存在时，到的距离为1不满足，令故直线的方程为：（3）设点，由于点则，令有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以练习1．已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，求以弦GH 为直径的圆的面积最小值及此时直线m的方程.学-科网（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.（O 为坐标原点）【答案】（1）；（2）圆的面积最小值（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为：（2）由题意知，原心到直线的距离∴当即当时，弦长最短，此时圆的面积最小，圆的半径，面积又，所以直线斜率，又过点故直线的方程为：（3）设点，由于点法一：所以，令有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程. 当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以法二：∴从而练习2．四棱锥P-ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．球的一部分 D．抛物线的一部分【答案】A练习3．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点，设点的坐标，若，则下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点P，且l1⊥l2，∴P在线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02＝1，∴1，故A错误，B正确；3x02+2y02＞2x02+2y02＝2（x02+y02）＝2＞1，故C正确；由圆x2+y2＝1在P（x0，y0）的切线方程为：x0x+y0y＝1，如图，∵坐标原点O（0，0）与点（）在直线x0x+y0y＝1的同侧，且x0×0+y0×0＝0＜1，∴，故D正确．∴不正确的选项是A．故选：A．练习4．已知圆C： (为锐角) ,直线l：y=kx,则A．对任意实数k与,直线l和圆C相切 B．对任意实数k与,直线l和圆C有公共点C．对任意实数k与,直线l和圆C相交 D．对任意实数k与,直线l和圆C相离【答案】B【解析】由题意，圆心坐标为：，所以圆心的轨迹方程为：，所以圆心与原点的距离为1，所以圆必过原点.由于直线过原点，所以直线与圆必有交点.故选B.（六）直线与圆的位置关系例6.已知抛物线的顶点在坐标原点，其焦点在轴正半轴上，为直线上一点，圆与轴相切（为圆心），且，关于点对称.（1）求圆和抛物线的标准方程；（2）过的直线交圆于，两点，交抛物线于，两点，求证：.【答案】（1）的标准方程为.的标准方程为（2）见证明【解析】（1）设抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为.已知在直线上，故可设因为，关于对称，所以，解得所以的标准方程为.因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为.（2）由（1）知，直线的斜率存在，设为，且方程为则到直线的距离为，所以，由消去并整理得：.设，，则，，.所以因为，，，所以所以，即.练习1．已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）直线的斜率，的中点坐标为直线的方程为（2）设圆心，则由点在上，得．①又直径，，．②由①②解得或，圆心或圆的方程为或练习2．已知直线，曲线，若直线与曲线相交于、两点，则的取值范围是____；的最小值是___.【答案】【解析】直线l：kx﹣y k＝0过定点（1，），曲线C为半圆：（x﹣2）2+y2＝4（y≥0）如图：由图可知：k OP，k PE，∴；要使弦长AB最小，只需CP⊥AB，此时|AB|＝22，故答案为：[，]；．练习3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2＝1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为_____．【答案】【解析】如图所示，取点K（﹣2，0），连接OM、MK．∵OM＝1，OA＝，OK＝2，∴，∵∠MOK＝∠AOM，∴△MOK∽△AOM，∴，∴MK＝2MA，∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|，在△MBK中，|MB|+|MK|≥|BK|，∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，∵B（1，1），K（﹣2，0），∴|BK|＝.故答案为：．练习4．已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，则m的值为_____，动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为_____．【答案】0或2 ．（七）圆与圆的位置关系例1．在平面直角坐标系中，已知点和直线：，设圆的半径为1，圆心在直线上.（Ⅰ）若圆心也在直线上，过点作圆的切线.（1）求圆的方程；（2）求切线的方程；（Ⅱ）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）(1)或（2）或（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）(1)由得圆心为，∵圆的半径为1，∴圆的方程为：.（2）由圆方程可知过的切线斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即，∴，解之得：或，∴所求圆的切线方程为：或.即或.（Ⅱ）∵圆的圆心在直线：上，设圆心为，则圆的方程为：，又∵，∴设为，则整理得：，设为圆,∴点应该既在圆上又在圆上∴圆和圆有公共点，∴,即：，解之得：即的取值范围为：.练习1．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，记外接圆为圆.(1)求圆的方程；(2)在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）存在，且个数为2【解析】(1)设外接圆的方程为,将代入上述方程得：解得则圆的方程为(2)设点的坐标为，因为，所以化简得：.即考查直线与圆的位置关系点到直线的距离为所以直线与圆相交，故满足条件的点有两个。