解析几何之—直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质
︱高中总复习︱二轮·理数
解析:(1)依题意,得 O(0,0),R= 5 ,O1(a,0),半径为 r. 两圆在 A 点处的切线互相垂直,则两切线必过两圆的圆心,如图, OA⊥O1A,OO1⊥AB,OC= OA2 AC2 =1, 所以 OA2=OC·OO1, 即 5=1×OO1,所以 OO1=5, 所以 O1C=4,r=AO1= 22 44 =2 5 ,
2 所以|AB|=2 r2 d 2 =2 4 2 =2 2 . 答案:(2)2 2
︱高一般有两类方法:①几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、 圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量;②代数法,即用待定系数法先设出 圆的方程,再由条件列出方程组求得各系数.如果已知条件与圆心、半径有 关,常设圆的标准方程求解;如果已知条件与圆心、半径无直接关系,常设圆 的一般方程求解. (2)处理直线与圆的位置关系问题时,主要是几何法,即利用圆心到直线的距 离与半径的大小关系判断,并依据圆的几何性质求解;直线与圆相交涉及弦 长问题时,主要依据弦长的一半、弦心距、半径恰构成一直角三角形的三 边进行求解;经过圆内一点,垂直于过这点的半径的弦最短.
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1,F2,A
为椭
圆上一动点(异于左、右顶点),若△AF1F2 的周长为 6 且面积的最大值为 3 ,则 椭圆的标准方程为( )
(A) x2 + y 2 =1 (B) x2 + y 2 =1
43
32
(C) x2 +y2=1 2
(D) x2 +y2=1 4
y=k(x+2),即 kx-y+2k=0,则 2k 3 2k =4,解得 k=- 7 ,故另一条切线的方程为
k2 1
24
y=- 7 (x+2),即 7x+24y+14=0.综上,故选 C. 24
答案:(1)C
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)(2019·唐山市高三模拟)已知直线l:kx-y-k+2=0与圆C:x2+y2-2y-7=0相交于
(A)[ 1 ,1) 2
(B)[ 1 , 1 ] 32
(C)[ 1 , 1 ] 54
(D)[ 1 , 2 ] 23
︱高中总复习︱二轮·理数
解析:(2)设椭圆的左焦点为 F′(-1,0),则|PF′|+|PF|=2a,即|PF|=2a-|PF′|, 又椭圆 E 上存在一点 P 使得|PA|+|PF|=9, 所以|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF′|=9, 即|PA|-|PF′|=9-2a, 因为-|AF′|≤|PA|-|PF′|≤|AF′|, 所以-1≤|PA|-|PF′|≤1, 即-1≤9-2a≤1,解得 4≤a≤5.
︱高中总复习︱二轮·理数
解析:(2)由椭圆的定义可得 2(a+c)=6,
所以 a+c=3,
①
当 A 在上(或下)顶点时,△AF1F2 的面积取得最大值,
即最大值为 bc= 3 ,② 由①②及 a2=c2+b2 联立求得 a=2,b= 3 ,c=1,
可得椭圆方程为 x2 + y 2 =1.故选 A. 43
解析:(1)由题意得 e2=1+( b )2=3,得 b2=2a2.当双曲线的焦点在 x 轴上时,有 8 -
a
a2
2 =1,解得 a2=7,b2=2a2=14,所以双曲线的标准方程为 x2 - y 2 =1;当双曲线的焦
2a2
7 14
点在 y 轴上时,有 2 - 8 =1,此方程无解. a2 2a2
︱高中总复习︱二轮·理数
方法技巧 (1)解有关圆锥曲线焦半径问题,常考虑用定义求解. (2)求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算” ①定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程. ②计算,即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法 确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设 mx2+ny2=1(m>0, n>0),双曲线设为mx2-ny2=1(mn>0).
a 02 0 02 =5,得 a=5,
所以,圆 O1 的方程为(x-5)2+y2=20, 故选 C. 答案:(1)C
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)(2018·全国Ⅰ卷)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=
.
解析:(2)由 x2+y2+2y-3=0,得 x2+(y+1)2=4. 所以圆心 C(0,-1),半径 r=2. 圆心 C(0,-1)到直线 x-y+1=0 的距离 d= 1 1 = 2 ,
2 (C) 5 (D)2
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解析:(1)由题意知,∠F1PF2=90°,|PO|=|OF2|=|OF1|=|PF2|=c,三角形 POF2 为等边 三角形, 则|PF1|= 3 c,|PF2|=c, 则|PF1|-|PF2|= 3 c-c=2a, 解得 c = 2 = 3 +1,
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(5)经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几 何性质. (6)了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的简单几何 性质. 2.命题规律 (1)直线与圆的内容主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离、直线与圆的 位置关系、简单的弦长与切线问题.多以选择题、填空题的形式出现,有时也可 能出直线与圆的位置关系的解答题,难度为中、低档. (2)椭圆、双曲线、抛物线的概念、方程与几何性质一直是高考的重点内容,多 以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题,难度为中、低档.
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热点训练 2:(1)在平面直角坐标系中,经过点 P(2 2 ,- 2 )且离心率为 3 的双曲线 的标准方程为( ) (A) x2 - y 2 =1
72 (B) x2 - y2 =1
7 14 (C) x2 - y 2 =1
36 (D) x2 - y 2 =1
14 7
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(D)椭圆
解析:(1)设动圆P和定圆B内切于点M.动点P到定点A(-3,0)和定圆圆心 B(3,0)距离之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>6. 所以点P的轨迹是以A,B为两焦点,长半轴为4的椭圆.故选D.
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(2)(2018·衡阳三模)椭圆
2
22
2
2
=2 6 . 答案:(2)2 6
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热点二 圆锥曲线的定义与标准方程
例2:(1)(2019·河北衡水第十三中学高三质检)已知动圆P过定点A(-3,0),并且
在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与定圆相切,则动圆的圆心P的轨迹是( )
(A)线段 (B)直线 (C)圆
综上,双曲线的标准方程为 x2 - y2 =1,故选 B. 7 14
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)(2019·福建省五校第二次联考)已知以圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为焦点的抛 物线C1与圆C在第一象限交于A点,B点是抛物线C2:x2=8y上任意一点,BM与直线 y=-2垂直,垂足为M,则|BM|-|AB|的最大值为( ) (A)1 (B)2 (C)-1 (D)8
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专题六 解析几何 第1讲 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质
考情分析 热点突破
︱高中总复习︱二轮·理数
考情分析
1.考查内容 (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.能根 据斜率判定两条直线平行或垂直. (2)根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、 两点式及一般式). (3)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.并掌握平面上两点间的距离公 式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. (4)在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.能根据给定直 线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
a 3 1 故离心率为 3 +1,故选 A.
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(2)(2019·河南省九师联盟高三 2 月质量检测)设椭圆 E: x2 + y 2 =1(a>b>0)的 a2 b2
一个焦点为 F(1,0),点 A(-1,1)为椭圆 E 内一点,若椭圆 E 上存在一点 P,使得 |PA|+|PF|=9,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( )
解析:(1)法一 因为圆C的方程可化为(x-2)2+(y3)2=16,所以圆心坐标为(2,3),半径为4.如图,在平面直角 坐标系中画出圆C,显然过点M的圆C的其中一条切线的方 程为x+2=0,另一条切线的斜率小于0,故选C.
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法二 因为圆 C 的方程可化为(x-2)2+(y-3)2=16,所以圆心坐标为(2,3),半径为 4, 易得过点 M 的圆 C 的其中一条切线的方程为 x+2=0,设另一条切线的方程为
︱高中总复习︱二轮·理数
热点三 圆锥曲线的几何性质 例 3:(2019·四省八校双教研联盟高考联考)已知椭圆与双曲线有公共焦点 F1,F2,F1 为左焦点,F2 为右焦点,点 P 为它们在第一象限的一个交点,且∠F1PF2= π ,
4 设 e1,e2 分别为椭圆与双曲线的离心率,则 1 + 1 的最大值为( )
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热点训练 3:(1)(2019·安徽黄山高三第一次质量检测)已知双曲线 C: x2 - y 2 =1 a2 b2
专题 圆锥曲线的定义、方程与性质(课件)2023届高考数学二轮专题复习
√
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解析：由题意可知，抛物线 的标准方程为 , ,设直线 的方程为 , , ,联立得 消去 ,得 , ,则 , . ,所以当 时， 的面积取得最小值，最小值为2，故选D.
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（2）（2022·新高考卷Ⅱ）已知直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 在第一象限交于 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> 与 <m></m> 轴、 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点，且 <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 的方程为__________________．
，所以 ①,又 ②, 得 ,所以四边形 的面积为18.
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考点二 圆锥曲线的几何性质
例2.（1）（2022·陕西西安五校高三联考）已知双曲线 <m></m> 的离心率为2，则双曲线 <m></m> 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，双曲线的实半轴长的平方 ,虚半轴长的平方 ,所以双曲线的离心率 满足 ,从而 ,所以双曲线的渐近线方程为 ,故选A.
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2. <m></m> ， <m></m> 是椭圆 <m></m> 的两个焦点， <m></m> 是椭圆 <m></m> 上异于顶点的一点， <m></m> 是 <m></m> 的内切圆圆心，若 <m></m> 的面积等于 <m></m> 的面积的3倍，则椭圆 <m></m> 的离心率为_ _.
专题五 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一 考点二 考点三 课后训练 提升能力
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考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
[全练——快速解答]
1根．据(20双17曲·高线考C全的国渐卷近Ⅲ线)已方知程双为曲y＝线 25Cx：，xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) 的可一知条ba＝渐近25线.①方程为 y＝ 25x，且与椭圆1x22＋y32＝1 有公共焦点， 则 A又所.x8C2椭以－的圆a1y方2021＋x＝22程＋b12为＝y32(＝9.②B1 的)B焦.x4点2－坐y52标＝为1 (3,0)和(－3,0)， C根所.x52据以－①Cy42②＝的可1方知程为a2＝x42－4D，.yx542b2＝－2＝1y3. 椭圆离心率求法·T10
学科素养 通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、 方程及几何性质的考查，着重考查了
数学抽象、数学建模与数学运算三大
核心素养.
考情分析 明确方向
考查角度及命题 年份 卷别
位置
命题分析及学科素养
抛物线与圆的综 命题分析
Ⅰ卷
合问题·T10
1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高
线与双曲线的位置关 空题的形式考查，常出现在第 4～
系·T11 双曲线的渐近线方
11 或 15～16 题的位置，着重考查 圆锥曲线的几何性质与标准方程，
Ⅱ卷 程·T5
2018
椭圆的离心率·T12
双曲线的离心率·T11
难度中等． 2.圆锥曲线的综合问题多以解答题 的形式考查，常作为压轴题出现在 第 20 题的位置，一般难度较大．
3．(2018·惠州模拟)已知 F1，F2 是双曲线ay22－xb22＝1(a＞0，b＞
0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的
圆锥曲线所有知识点和二级结论
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。
它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。
下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。
在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。
在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。
二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。
2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。
3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。
三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。
2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。
四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。
2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。
3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。
注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。
若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。
当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。
注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
高考总复习二轮数学精品课件 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
3
a
在双曲线 C 上,若△AF1F2 的周长为 10,则△AF1F2 的面积为(
)
A. 15
B.2 15
C.15
D.30
(2)已知|z+ 5i|+|z- 5i|=6,则复数 z 在复平面内所对应的点 P(x,y)的轨迹方程
是椭圆的右焦点,若 AF⊥BF,则 a=
答案 3+ 3
.
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形 AF1BF
π
为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
为
.
(3)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x
Hale Waihona Puke 轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程
为
答案 (1)A
.
2
(2)
9
2
+ =1
4
3
(3)x=2
解析 (1)由题意得
e=
所以双曲线方程为
=
2
1 + 2
=
3
1 + 2=2,所以 a2=1.
2
即 x±2y=0,故 B 正确;
2 5
5
e1·
e2= 5 × 2 =1,所以 C1 与 C2 的离心率互为倒数,故 C
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心率用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。
则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。
当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
第1课时 圆锥曲线的定义、方程与性质
3 =2 3 .故选C. 2
考点聚焦
栏目索引
考点二 圆锥曲线的几何性质(高频考点)
命题点 1.求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围; 2.由圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程;
高考导航
3.求双曲线的渐近线方程.
1 2 3 2
高考导航
考点聚焦
栏目索引
方法归纳 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准 方程.
高考导航
(2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法
确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设为mx2+ny2=1(m>0, n>0,且m≠n),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn>0).
考点聚焦
栏目索引
跟踪集训
x2 y 2 1.(2017辽宁沈阳质量检测(二))已知双曲线C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左、 a b 高考导航
右焦点分别为F1,F2,点M与双曲线C的焦点不重合,点M关于F1,F2的对称 点分别为A,B,线段MN的中点在双曲线的右支上,若|AN|-|BN|=12,则a=
(3)抛物线的标准方程为x2=±2py,y2=±2px,其中p>0.
考点聚焦
栏目索引
典型例题
x2 y 2 (1)(2017河南郑州质量预测(三))椭圆 5 + 4 =1的左焦点为F,直线x=
a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是 ( )
圆锥曲线标准方程
圆锥曲线标准方程圆锥曲线是平面上的一类重要曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
本文将重点介绍圆锥曲线的标准方程，以及它们在几何和代数上的性质。
首先，我们来看圆的标准方程。
圆的标准方程可以表示为：(x h)² + (y k)² = r²。
其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径。
这个方程描述了平面上所有到圆心距离为r的点的集合。
圆是一种特殊的椭圆，其长短轴相等。
接下来，我们来讨论椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1。
其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
椭圆是一种闭合曲线，其所有点到两个焦点的距离之和是一个常数。
椭圆在几何光学、天体力学等领域有着重要的应用。
双曲线是另一种重要的圆锥曲线。
它的标准方程可以表示为：(x h)²/a² (y k)²/b² = 1。
或者。
(x h)²/a² (y k)²/b² = -1。
双曲线有两条渐近线，其性质和椭圆有很大的不同。
在电磁学、光学等领域，双曲线也有着重要的应用。
最后，我们来讨论抛物线的标准方程。
抛物线的标准方程可以表示为：y = ax² + bx + c。
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
抛物线是一种开口朝上或开口朝下的曲线，其在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
通过以上介绍，我们可以看到圆锥曲线的标准方程在数学和实际应用中有着重要的地位。
它们描述了平面上各种不同的曲线形状，具有丰富的几何和代数性质。
深入理解和熟练运用圆锥曲线的标准方程，对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。
总之，圆锥曲线的标准方程是数学中的重要概念，对于理解和应用各种曲线形状具有重要意义。
二轮专题复习——解析几何
二轮专题复习——解析几何一．专题内容分析解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划二．解答策略与核心方法、核心思想 圆锥曲线综合问题的解答策略：核心量的选择：常见的几何关系与几何特征的代数化：①线段的中点：坐标公式②线段的长：弦长公式；解三角形③三角形面积： 21底×高，正弦定理面积公式④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征代数运算：设参、消参重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式．三．典型例题分析1.（海淀区2017.4）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 边形APQM 为梯形？若存在，求出点P解法1：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形.由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ AP MQ k k =.设点0(4,)P y ，11(,)M x y ，06AP y k =，114MQ y k x =-,∴01164y y x =-① ∴直线PB 方程为0(2)2yy x =-， 由点M 在直线PB 上，则011(2)2y y x =-② ①②联立，0101(2)264y x y x -=-，显然00y ≠，可解得1x =又由点M 在椭圆上，211143y +=，所以132y =±，即3(1,)2M ±， 将其代入①，解得03y =±，∴(4,3)P ±.解法2：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形.由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =， 显然直线AP 斜率存在，设直线AP 方程为(2)y k x =+.由(2)4y k x x =+⎧⎨=⎩，所以6y k =，所以(4,6)P k ，又(2,0)B ，所以632PB k k k ==.∴直线PB 方程为3(2)y k x =-，由223(2)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，消y ，得2222(121)484840k x k x k +-+-=.又(2,0)B , 所以212482121k x k +=+，即212242121k x k -=+，∴112123(2)121ky k x k -=-=+.∴22224212(,)121121k k M k k --++.由APMQ k k =可得22212612124264121kk k k k -+=--+， 解得12k =±, ∴3(1,)2M ±，(4,3)P ±，解法3：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形.由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k = . 显然直线MB 存在斜率且斜率不为0，∴设直线MB 方程为2x ty =+(0)t ≠.24x ty x =+⎧⎨=⎩由，得2(4,)P t .∴2163APt k t ==，由22234120x ty x y =+⎧⎨+-=⎩得22(34)120t y ty ++=， 设11(,)M x y ，又因为(2,0)B ，∴121234ty t -=+， ∴211268234t x ty t -+=+=+，即2226812(,)3434t tM t t -+-++.由APMQ k k =，所以22212134683434tt t t t -+=-+-+，解得23t =±解法4：假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, 所以||1||2BM BP =. 过点M 作M H AB ⊥于H ，则有||||BH BQ =∴||1BH =，∴(1,0)H ，即11x =，代入椭圆方程，求得∴(4,3)P ±.2.（东城区2016.4理科）已知抛物线2:2(C y px p =>x 轴）过点F 且与抛物线C 交于,A B 两点，直线OA 与OB 的斜率之积为p -．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点D ，求证：2OD OM>.备注：以抛物线为背景，核心变量的选择（直线方程的不同形式）；几何特征翻译代数关系（先转化再翻译）解：（Ⅰ）因为直线AB 过点F 且与抛物线C 交于,A B 两点，(,0)2PF ， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB （不垂直x 轴）的方程可设为()(0)2py k x k =-≠． 所以2112(0)y px p =>，2222y px =． 因为直线OA 与OB 的斜率之积为p -， 所以1212y y p x x =-． 所以221212()y y p x x =，得 124x x =． ……4分 由2(),22,p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 消y 得22222(2)04k p k x k p p x -++= 其中 22222(2)0k p p k p k =+->V所以2124p x x =， 21222k P P x x k ++=． 所以4p =，抛物线2:8C y x =． ……8分 （Ⅱ）设0033(,),(,)M x y P x y ，因为M 为线段AB 的中点，所以2201222122(2)()22k P P k x x x k k ++=+==，004(2)y k x k =-=. 所以直线OD 的斜率为02022op y kk x k ==+. 直线OD 的方程为222op ky k x x k ==+代入抛物线2:8C y x =的方程， 得22322(2)k x k +=.所以23(2)x k x =+.因为 20k >, 所以23(2)2OD x k OMx ==+>. ……13分 3.（东城区2018.5文科）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆C 在y 轴右侧部分上的两个动点，若原点O 到直线ABABF的周长为定值．解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）①当AB 垂直于x 轴时，可得 4AF BF AB ++=． ②当AB 不垂直于x 轴时，设AB 的方程为m kx y +=． 因为原点O 到直线AB=223(1)m k =+．由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=，即222(34)8120k x kmx k +++=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122834km x x k -+=+，21221234k x x k=+．所以12|||AB x x =-====24||||34m k k =+． 因为A ,B 在y 轴右侧，所以0mk <，所以24||34mkAB k=-+． 22222111122111(1)(1)3(1)41124(2)42.x AF x y x x x x =-+=-+-=-+=-又所以11||22AF x =-，同理21||22BF x =-． 所以121||||4()2AF BF x x +=-+221844()423434km kmk k -=-=+++． 所以2244||||||443434km kmAF BF AB k k ++=+-=++．综上，△ABF 的周长等于椭圆C 的长轴长4．解法2：作OH AB ⊥于H ，所以||OH =所以2222222211111||||||33(1)344x x AH OA OH x y x =-=+-=+--=，即1||2x AH =， 同理2|B |2x H =， 所以121||||||()2AB AH BH x x =+=+， 又11||22AF x =-，同理21||22BF x =-． 所以．1212111||||||22()4222AF BF AB x x x x ++=-+-++= 综上，△ABF 的周长等于椭圆C 的长轴长4．解析几何选择填空题练习：1.（2018年全国3卷）设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是原点．过2F作C 一条渐近线的垂线，垂足为P．若1|||PF OP = ，则C 的离心率为（ ）2分析：由题可知22||,||PF b OF c == ，所以||PO a =， 在2Rt POF ∆中，222||cos ||PF bPF O OF c∠== ， 又在12PF F ∆中，2222121212|PF ||FF |||cos 22|PF ||FF |PF PF O +-∠=⋅，=，所以b c = 所以223c a =，所以离心率ce a==.故选C. 解法二：过左焦点作渐近线的垂线，垂足为Q ，利用直角三角形勾股定理建立关系，可求。
(统考版)2023高考数学二轮专题复习：圆锥曲线的定义、方程与性质课件
3 6
4
答案：
x2
(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知直线l与椭圆6 Nhomakorabeay2
+ ＝1在第一象限交于A，
3
B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2 3，
x＋ 2y－2 2＝0
则l的方程为______________．
归纳总结
直线与圆锥曲线关系的求解技巧
18
16
2
x
y2
C． + ＝1
3
2
答案：B
x2
y2
B． + ＝1
9
8
2
x
D． ＋y2＝1
2
(2)[2022·贵州毕节模拟预测]如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西
安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作
的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可
以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在
使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，
要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(2)椭圆
x2
a2
y2
+ 2
b
＝1(a>b>0)截直线所得的弦的中点是P(x0，y0)(y0≠0)，
b2 x0
则直线的斜率为－ 2 .
a y0
x2
c
a
2c
2a
＝ 7m，所以C的离心率e＝ ＝ ＝
F1 F2
PF1 − PF2
＝
7m
7